Algebra Liniowa - Notatki Studiów

Dodawanie macierzy A i B polega na dodaniu odpowiadających sobie elementów: A + B = [aij + bij].

Iloczyn macierzy A i B to nowa macierz C, gdzie cij = sum(aij * bjk) dla i=1,...,m, k=1,...,p.

Macierz transponowana AT powstaje przez zamianę wierszy i kolumn macierzy A.

Macierz kwadratowa ma tę samą liczbę wierszy i kolumn: n x n.

Macierz diagonalna ma wartości różne od zera tylko na głównej przekątnej (aij = 0 dla i ≠ j).

Macierz górna trójkątna ma zera poniżej głównej przekątnej (aij = 0 dla i > j).

Macierz dolna trójkątna ma zera powyżej głównej przekątnej (aij = 0 dla i < j).

Macierz jednostkowa I ma jedynki na głównej przekątnej i zera poza nią (δij = 1 dla i = j).

Iloczyn macierzy A·B nie gwarantuje, że istnieje B·A; mogą mieć różne rozmiary.

Dowolną przestrzeń liniową V z funkcją k.k: V → R spełniającą warunki (N1)–(N4) nazywamy przestrzenią unormowaną.

W przestrzeni unormowanej V zachodzą: d(v, w) = 0 ⇔ v = w, d(v, w) = d(w, v), oraz d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w).

Niepusty zbiór V z funkcją d : V × V → R spełniającą warunki (D1)–(D3) nazywamy przestrzenią metryczną.

Ciąg (vn) z V spełniający warunek, że dla każdego ε>0 istnieje N ∈ N, dla którego d(vm, vn) < ε.

Przestrzeń z iloczynem skalarnym, która jest zupełna jako przestrzeń metryczna.

Wektor, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, czyli θ = (0, ..., 0).

Wektor −x = (−x1, ..., −xn) jest przeciwny do wektora x = (x1, ..., xn).

Wektor a1 · v1 + ... + ak · vk, gdzie v1, ..., vk ∈ Rn i a1, ..., ak ∈ R.

Zbiór wektorów jest liniowo niezależny, gdy tylko jedyną kombinacją liniową, która daje wektor zerowy, są współczynniki równe zeru.

Niepusty podzbiór U ⊂ Rn, który zamyka się na kombinacje liniowe wektorów w U.

Układ wektorów u1, ..., uk generuje podprzestrzeń U, gdy U = lin(u1, ..., uk).

Układ wektorów, który jest liniowo niezależny i generuje podprzestrzeń U.

Macierze, które są odwracalne i manipulują innymi macierzami.

Maciera jest odwracalna, jeśli istnieje jej odwrotność.

Macierz posiadająca jedynki w określonych miejscach i zera gdzie indziej.

Forma macierzy z zerowymi wierszami na końcu.

Bijekcyjna funkcja, która przestawia elementy zbioru.

Zbiór wszystkich permutacji z operacją składania.

Zbiór wszystkich permutacji n-elementowego zbioru.

Wartości w układzie wierszy i kolumn.

Działanie na permutacjach prowadzące do nowej permutacji.

Warunki, które określają strukturę macierzy w postaci trójkątnej.

Wartość obliczana jako ∆ = 4hv, wi2 − 4kwk2, kwk, określająca charakterystykę funkcji.

Kąt ^(v, w) zdefiniowany jako cos ^(v, w) = hv, wi / (kvk kwk).

Baza (v1,..., vn) w przestrzeni V, gdzie hvi, vj i = 0, gdy i ≠ j.

Baza (v1,..., vn) gdzie hvi, vj i = 0 dla i ≠ j i hvi, vi i = 1 dla i = j.

Baza ortonormalna w przestrzeni Rn przy standardowym iloczynie skalarnym.

Proces przekształcania bazy w ortogonalną przy użyciu wzorów opartych na iloczynie skalarnym.

Projekcja wektora v na podprzestrzeń U, πU(v), z wektorem v − πU(v) ortogonalnym do U.

Funkcja, która przypisuje parze wektorów liczbę rzeczywistą, opisującą ich współzależność.

Dla bazy ortonormalnej (u1, ..., uk), πU(v) = hv, u1 i u1 + ... + hv, uk i uk.