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# Guía de estudio para el primer examen parcial de álgebra lineal ## Contenidos 1. Vectores en ${\mathbb{R}}^{n}$: * Definición de vector en ${\mathbb{R}}^{n}$, ejemplos. * Operaciones con vectores: suma y producto por un escalar. * Interpretación geométrica de vectores en ${\ma...

# Guía de estudio para el primer examen parcial de álgebra lineal ## Contenidos 1. Vectores en ${\mathbb{R}}^{n}$: * Definición de vector en ${\mathbb{R}}^{n}$, ejemplos. * Operaciones con vectores: suma y producto por un escalar. * Interpretación geométrica de vectores en ${\mathbb{R}}^{2}$ y ${\mathbb{R}}^{3}$. * Combinación lineal de vectores. * Dependencia e independencia lineal. 2. Matrices: * Definición de matriz, ejemplos. * Tipos de matrices: cuadrada, identidad, triangular, diagonal, simétrica, etc. * Operaciones con matrices: suma, producto por un escalar y producto de matrices. * Transpuesta de una matriz. 3. Sistemas de ecuaciones lineales: * Definición de sistema de ecuaciones lineales, ejemplos. * Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. * Tipos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: solución única, infinitas soluciones, sin solución. * Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método de Gauss, método de Gauss-Jordan. 4. Matrices invertibles: * Definición de matriz invertible, ejemplos. * Cálculo de la inversa de una matriz utilizando el método de Gauss-Jordan. * Propiedades de las matrices invertibles. ## Ejercicios 1. Dados los vectores $\overrightarrow{u}=(1,2,3)$ y $\overrightarrow{v}=(-1,0,4)$: * Calcular $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$. * Calcular $3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$. * Encontrar un vector $\overrightarrow{w}$ tal que $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}$. 2. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o independientes: * $\{(1,2),(3,4)\}$. * $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$. * $\{(1,1,1),(2,2,2)\}$. 3. Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$: * Calcular $A+B$. * Calcular $2A-3B$. * Calcular $AB$ y $BA$. * Calcular $A^{T}$ y $B^{T}$. 4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss o Gauss-Jordan: * $x+y=5$ $2x-y=1$ * $x+y+z=6$ $2x-y+z=3$ $x-y-z=-4$ * $x+2y+3z=1$ $2x+4y+6z=2$ $3x+6y+9z=3$ 5. Determinar si las siguientes matrices son invertibles y, en caso afirmativo, calcular su inversa utilizando el método de Gauss-Jordan: * $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ * $B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ * $C=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ ## Observaciones * Se recomienda repasar los conceptos teóricos y practicar con ejercicios adicionales para afianzar los conocimientos. * Es importante comprender los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y el cálculo de la inversa de una matriz, ya que son herramientas fundamentales en álgebra lineal. * Se valorará la claridad y la precisión en la resolución de los ejercicios, así como la correcta aplicación de los conceptos teóricos.