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# Algèbre linéaire ## 1. Vecteurs ### Définitions * Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel. * Un vecteur est défini par : * une direction * un sens * une norme (longueur) * Notation : $\overrightarrow{AB}$ ou $\vec{u}$ * Un vecteur unitaire est un vecteur de nor...

# Algèbre linéaire ## 1. Vecteurs ### Définitions * Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel. * Un vecteur est défini par : * une direction * un sens * une norme (longueur) * Notation : $\overrightarrow{AB}$ ou $\vec{u}$ * Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. ### Opérations Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et $\lambda$ un scalaire. * **Addition** : $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$ * **Multiplication par un scalaire** : $\lambda \vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2)$ * **Produit scalaire** : $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. * Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. * **Produit vectoriel** : $\vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1)$ * La norme du produit vectoriel est égale à l'aire du parallélogramme formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$. * Si $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. ### Représentation graphique Un vecteur peut être représenté par une flèche dans un plan ou dans l'espace. ## 2. Matrices ### Définitions * Une matrice est un tableau de nombres. * Une matrice est définie par : * son nombre de lignes $m$ * son nombre de colonnes $n$ * Notation : $A = (a_{ij})$ où $a_{ij}$ est l'élément de la matrice $A$ situé à la $i$-ème ligne et à la $j$-ème colonne. * Une matrice carrée est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes. * Une matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. ### Opérations Soient $A$ et $B$ deux matrices et $\lambda$ un scalaire. * **Addition** : $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$ * **Multiplication par un scalaire** : $\lambda A = (\lambda a_{ij})$ * **Multiplication matricielle** : $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$ * **Transposition** : $A^T = (a_{ji})$ * **Inverse** : $A^{-1}$ est la matrice telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ ### Propriétés * $(A + B)^T = A^T + B^T$ * $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ * $(AB)^T = B^T A^T$ * $(A^{-1})^{-1} = A$ * $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ ## 3. Systèmes d'équations linéaires ### Définitions Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires. ### Résolution * **Méthode de Gauss** : consiste à transformer le système en un système équivalent triangulaire supérieur. * **Méthode de Cramer** : utilise les déterminants pour résoudre le système. * **Inversion matricielle** : permet de résoudre le système si la matrice des coefficients est inversible. ### Applications Les systèmes d'équations linéaires sont utilisés dans de nombreux domaines, tels que : * l'ingénierie * la physique * l'économie * l'informatique ## 4. Espaces vectoriels ### Définitions * Un espace vectoriel est un ensemble muni de deux opérations : * une addition * une multiplication par un scalaire * Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel. * Une base d'un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent l'espace vectoriel. * La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une base. ### Propriétés * L'ensemble des solutions d'un système d'équations linéaires homogène est un sous-espace vectoriel. * L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel. * Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel. ## 5. Valeurs propres et vecteurs propres ### Définitions * Un vecteur propre d'une matrice $A$ est un vecteur $\vec{v}$ non nul tel que $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$ où $\lambda$ est un scalaire appelé valeur propre. * Le spectre d'une matrice est l'ensemble de ses valeurs propres. * Le polynôme caractéristique d'une matrice $A$ est le polynôme $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$. * Les valeurs propres d'une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique. ### Propriétés * Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. * Une matrice est diagonalisable si et seulement si elle possède une base de vecteurs propres. ### Applications Les valeurs propres et les vecteurs propres sont utilisés dans de nombreux domaines, tels que : * l'analyse des vibrations * la mécanique quantique * le traitement du signal * la reconnaissance des formes