Практическая работа № 3 Планирование экспериментальных исследований PDF

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Цель работы: познакомиться с методикой планирования факторного эксперимента. Порядок выполнения работы 1. Изучить все пункты работы. 2. Составить конспект отчета о проделанн...

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Цель работы: познакомиться с методикой планирования факторного эксперимента. Порядок выполнения работы 1. Изучить все пункты работы. 2. Составить конспект отчета о проделанной работе. 3. Ответить на контрольные вопросы. 4. Разработать 20 тестовых заданий различных типов по материалу – по 5 каждого вида (-выбор одного или -нескольких правильных ответов,- установить соответствие, -дополнить) 5. Защитить отчет. 1. Планирование эксперимента Требования к планированию эксперимента: 1) число опытов должно быть минимальным, чтобы не усложнять процедуру эксперимента и не увеличивать его стоимость, но не в ущерб точности результата; 2) необходимо определить совокупность факторов, влияющих на результаты эксперимента, ранжировать их, выявить главные, несущественные переменные можно исключить; 3) условием корректности эксперимента следует считать одновременное варьирование всеми переменными (факторами), оказывающими взаимное влияние на исследуемый процесс; 4) ряд действий в эксперименте может быть заменен их моделя- ми (прежде всего математическими), при этом адекватность моделей должна быть проверена и оценена; 5) необходимо разработать стратегию эксперимента и алгоритм се реализации: серии эксперимента должны анализироваться после завершения каждой из них перед переходом к последующей серии. План проведения эксперимента должен включать следующие разделы: 1. Наименование темы исследования.  2. Цель и задачи эксперимента. 3. Условия проведения эксперимента: параметр оптимизации и варьируемые факторы. 4. Методика проведения исследования. 5. Обоснование количества опытов (объема эксперимента). 6. Средства и методика проведения измерений. 7. Материальное обеспечение эксперимента (перечень оборудо- вания). 8. Методика обработки и анализа экспериментальных данных. 9. Календарный план проведения испытаний, в котором указы- ваются сроки их выполнения, исполнители, представляемые данные эксперимента. 10. Смета расходов. Цель и задачи эксперимента – исходный пункт плана. Они фор- мулируются на основе анализа научной гипотезы, теоретических результатов собственного исследования либо исследований других авторов. Цель определяет конечный результат эксперимента, то есть то, что исследователь должен получить в итоге. Например, подтвердить правильные научные гипотезы; проверить на практике адекватность, работоспособность и практическую пригодность моделей, методик; определить оптимальные условия технологического процесса и т. п. В различных условиях цели требуют разных затрат, средств и ме тодов измерения, времени эксперимента, отражаются на методике его проведения. Эти пункты плана будут различными, например, в условия лабораторного, полевого и производственного экспериментов. Задачи эксперимента определяют частные цели, с помощью которых может быть достигнута конечная цель либо пути ее достижения. Например, определение оптимальных показателей температуры и давления при фильтровании сусла; установление оптимального соотношения исходных материалов; обоснование скорости протекания технологического процесса и др. Частными задачами эксперимента при его планировании могут быть: - проверка теоретических положений с целью подтверждения их истинности; - проверка (уточнение) констант математических либо иных мо- делей;  - поиск оптимальных (допустимых) условий какого-либо про- цесса; - построение интерполяционных аналитических зависимостей. Частные задачи эксперимента могут иметь несколько уровней, то есть древовидную форму. Рекомендуется формулировать 2–4 сложные задачи и 10–15 более простых задач. Величина, описывающая результат проведенного эксперимента, называется параметром оптимизации (откликом) системы на воздей- ствие. Множество значений, которые принимает параметр оптимиза- ции, называется областью его определения. Параметр оптимизации должен быть количественным, задаваться числом и быть измеримым при любом фиксированном наборе уровней факторов. Он обязан характеризоваться однозначно – заданному набору уровней факторов должно соответствовать, с точностью ошибки эксперимента, одно значение параметра оптимизации. Пара- метр оптимизации должен всесторонне характеризовать объект ис- следования, удовлетворять требованию универсальности и полноты. Он должен иметь физический смысл, чтобы обеспечить последую- щую интерпретацию результатов эксперимента, быть простым и лег- ко вычисляемым. Параметр оптимизации (отклик) зависит от факторов, влияющих на эксперимент. Фактор (лат. factor – производящий) – причина какого- либо процесса, явления, определяющая его влияние на объект исследования, его характер или отдельные черты. Это измеряемая ве- личина, и каждое значение, которое может принимать фактор, назы- вается уровнем фактора. Каждый фактор в эксперименте может принимать одно из нескольких значений. Фиксированный набор уровней нескольких факторов будет определять какие-то конкретные условия проведения эксперимента. Изменение хотя бы одного из факторов приводит к изменению и условий, и, как следствие, к изменению значения параметра оптимизации. Варьируемые факторы в многофакторном эксперименте определяют цели и условия исследования. Например, факторами в эксперименте по поиску оптимальных условий при производстве наноматериалов могут быть: температура, время воздействия, количество окисла и т. п. Большое количество факторов делает эксперимент очень сложным и требует довольно много времени. Поэтому весьма важным при планировании эксперимента является сокращение числа факторов и выбор наиболее существенных. При этом можно руководствоваться принципом Парето, в соответствии с которым 20 % факторов определяют 80 % свойств системы. Значимость факторов может быть определена опытным или ана- литическим путем. В первом случае проводится ограниченный экспе- римент. При этом один фактор изменяется, а остальные нет, и т. д. Ранжирование значимых факторов осуществляется по силе их влия- ния на результат эксперимента. Те факторы, изменение которых сильнее отражается на конечном результате, считаются более важ- ными. Несущественными факторами можно пренебречь. Если факторов много, этот путь неэффективен, тогда используется аналитический путь, основанный на методах факторного анализа. Если факторы зависимы, их можно рассчитать с помощью метода топологической декомпозиции и структуры по их влиянию на ко- нечную цель. Задача определения рангов факторов заключается в вы- делении наиболее связной части графа. Она решается поэтапно. Сначала определяются «достижимые множества» для каждой вершины графа (для каждого фактора). Затем определяются «контр- достижимые множества», каждое из которых включает все вершины, имеющие путь в вершину. В завершении определяют наиболее суще- ственные вершины графа, составляющие сильно связанный граф. Са- мые существенные факторы оставляют, остальные отбрасывают. Важнейшим требованием эксперимента является управляемость факторов, а экспериментатор должен иметь возможность выбрать нужное значение фактора и поддерживать его постоянным на протя- жении всего эксперимента. Фактор также должен быть операцио- нальным, чтобы его можно было указать последовательностью опе- раций, необходимых для задания того или иного значения. Формализуя условия проведения эксперимента, важно также оп- ределиться с областью его проведения. Для этого необходимо оце- нить границы областей определения факторов. Здесь возможны огра- ничения нескольких типов: которые не могут быть нарушены ни при каких условиях (например, температура не может оказаться ниже аб- солютного нуля); технико-экономические ограничения (например, стоимость оборудования или продолжительность исследуемого про- цесса); конкретные условия процесса. Под моделью эксперимента обычно понимают модель черного ящика, в которой используется функция отклика, устанавливающая зависимость между параметром оптимизации и факторами: у = f(xyX2 >..., Jcn). Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции и записать ее уравнение. Тогда останется только провести эксперимент по вы- числению численных коэффициентов данной модели. Главное требо- вание к модели эксперимента – способность предсказывать дальней- шее направление опытов с требуемой точностью. Среди всех воз- можных адекватных моделей необходимо выбирать ту, которая пред- ставляется наиболее простой. Наиболее часто в планировании эксперимента выбирают поли- номиальные модели первой (линейный) или второй степени: Методика проведения эксперимента – ключевая часть плана эксперимента. Она включает: - последовательность действий исследователя; - основные приемы и правила осуществления каждого этапа, ис- пользование приборов и оборудования; - порядок измерения, фиксации результатов и методы их обра- ботки; - порядок анализа результатов эксперимента и формулирования выводов. При разработке методики важно правильно обосновать количе- ство опытов, которое гарантирует требуемую точность результата, а с другой стороны – не ведет к неоправданному перерасходу средств и времени на избыточные испытания. При более чем десяти испытаниях обоснование количества опы- тов может быть осуществлено на основе неравенства Чебышева: где X – среднее значение случайно измеряемой величины; М{х) – математическое ожидание величины; ε – требуемая точность резуль- тата; D(x) – дисперсия величины х, рассчитанная по результатам N проведенных опытов. Неравенство можно сформулировать следующим образом: «ве- роятность того, что разность между математическим ожиданием и среднестатистическим значением случайной величины X не превысит требуемую точность результата – ε, равна разности между единицей и отношением D(x) :. В неравенстве три неизвестных: N и статистические характеристики, зависящие от N. Поэтому процесс расчета N является итеративным. Если неравенство выполняется, то количество опытов достаточно. В противном случае количество опытов увеличивается. Достаточное количество наблюдений (опытов) может быть оп- ределено при помощи таблицы достаточно больших чисел (табл. 1). Она показывает, что достаточное количество наблюдений зависит от степени уверенности в результатах эксперимента (доверительной ве- роятности), величины допустимой ошибки (доверительного интерва- ла). Иными словами, степень уверенности определяется величиной вероятности, с которой делается соответствующее заключение. Относительно выбора величины вероятности Р нет какого-либо общего решения, одинакового при всех исследованиях. Чем ближе к единице будет величина рассматриваемой вероятности, тем надежнее будет заключение. В практике научных исследований доверительная вероятность обычно принимается Р = 0,9 – 0,99. Требуемая точность при исследованиях устанавливается в зависимости от природы изу- чаемого явления. В большинстве случаев требуемая точность прини- мается равной ε = 0,01 – 0,05. Например, если величина доверительной вероятности принята равной Р = 0,95, а допустимая ошибка равна ε = 0,05, то достаточное число наблюдений в ходе эксперимента будет равно 384. Другой важной составляющей плана эксперимента является обоснование средств и методики измерений, что предполагает выбор измерительных приборов, аппаратуры и оборудования, позволяет фиксировать данные эксперимента; преобразовывать их к удобному виду; хранить, обеспечивать выдачу по запросам и т. п.  Таблица 1 – Таблица достаточно больших чисел Р ε 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,75 33 40 51 67 91 132 206 367 827 3308 0,80 41 50 64 83 114 164 256 456 1026 4105 0,85 51 63 80 105 143 207 323 575 1295 5180 0,90 67 83 105 138 187 270 422 751 1690 6763 0,91 71 88 112 146 199 287 449 798 1796 7185 0,92 76 94 119 156 212 306 478 851 1915 7662 0,93 82 101 128 167 227 328 512 911 2051 8207 0,94 88 109 138 180 245 353 552 982 2210 8843 0,95 96 118 150 195 266 384 600 1067 2400 9603 0,96 105 130 164 215 292 421 659 1171 2636 10544 0,965 111 137 173 226 308 444 694 1234 2778 11112 0,970 117 145 183 240 327 470 735 1308 2943 11773 0,975 125 155 196 256 348 502 784 1395 3139 12559 0,980 135 167 211 276 375 541 845 1503 3382 13529 0,985 147 182 231 301 410 591 924 1643 3697 14791 0,990 165 204 259 338 460 663 1036 1843 4146 16587 0,991 170 210 266 348 473 682 1066 1895 4264 17057 0,992 175 217 274 358 488 703 1098 1953 4395 17583 0,993 181 224 284 371 505 727 1136 2020 4545 18182 0,994 188 233 294 385 524 755 1179 2097 4718 18875 0,995 196 243 307 402 547 787 1231 2188 4924 19698 0,996 207 255 323 422 575 828 1294 2301 5177 20409 0,997 220 271 344 449 611 880 1376 2446 5504 22018 0,998 238 294 373 487 663 954 1492 2652 5968 23873 0,999 270 334 422 552 751 1082 1691 3007 6767 27069 Система измерений должна формироваться с учетом требований метрологии науки о методах и средствах измерений, выборе единиц, шкал и систем измерений; проблемах точности измерений. Методы измерений, которые могут быть применены в различных эксперимен- тах, рассмотрены в предыдущей главе. Эти методы измерения могут быть сведены в две группы: прямых (искомая величина измеряется непосредственно в ходе эксперимента) и косвенных измерений (искомая величина, полученная на основе результатов прямых измерений). Кроме того, по признаку единиц измерений различают абсолютные измерения, проводимые в единицах исследуемой величины, и относигельные измерения, пред- полагающие фиксацию отношения измеряемой величины к ее неко- торому предельному значению. Рассмотренные основы организации и проведения эксперимента носят лишь обзорный характер, а сущность, содержание, условия применения вышеизложенных рекомендаций и последовательность использования того или иного метода проведения эксперимента тре- буют более детального изучения. Кроме того, следует четко пони- мать, что каждый метод проведения эксперимента будет иметь и свои особенности в зависимости от объекта исследования. 2. Основные понятия планирования эксперимента Планирование эксперимента, имеет свою определенную терми- нологию. Рассмотрим общие термины. Эксперимент – система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при ис- следовательских испытаниях. Опыт – воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов. Опыт – отдельная элементарная часть эксперимента. Планирование эксперимента – процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все факторы, определяющие процесс, изменяются одновременно по специальным правилам, а результаты эксперимента представляются в виде математической модели. Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны. К ним относятся: поиск оп- тимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор су- щественных факторов, оценка и уточнение констант теоретических мо- делей, выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследование диаграмм состав – свойство и т. д. Поиск оптимальных условий является одной из наиболее рас- пространенных научно-технических задач. Они возникают в тот мо- мент, когда установлена возможность проведения процесса и необхо- димо найти наилучшие (оптимальные) условия его реализации. Такие задачи называются задачами оптимизации. Процесс их решения на- зывается процессом оптимизации или просто оптимизацией. Приме- ры задачи оптимизации: выбор оптимального состава многокомпо- нентных смесей и сплавов, повышение производительности дейст- вующих установок, повышение качества продукции, снижение затратна ее получение и т. п. Выделяют следующие этапы построения математической модели: 1) сбор и анализ априорной информации; 2) выбор факторов и выходных переменных, области экспери- ментирования; 3) выбор математической модели, с помощью которой будут представляться экспериментальные данные; 4) выбор критерия оптимальностии плана эксперимента; 5) определение метода анализа данных; 6) проведение эксперимента; 7) проверка статистических предпосылок для полученных экс- периментальных данных; 8) обработка результатов; 9) интерпретация и рекомендации. Факторы определяют состояние объекта. Основное требование к факторам – управляемость. Под управляемостью понимается уста- новление нужного значения фактора (уровня) и поддержание его в течение всего опыта. В этом состоит особенность активного экспери- мента. Факторы могут быть количественными и качественными. Примерами количественных факторов являются температура, давле- ние, концентрация и т. п. Их уровням соответствует числовая шкала. Различные катализаторы, конструкции аппаратов, способы лечения, методики преподавания являются примерами качественных факто- ров. Уровням таких факторов не соответствует числовая шкала, и их порядок не играет роли. Выходные переменные – это реакции (отклики) на воздействие факторов. Отклик зависит от специфики исследования и может быть экономическим (прибыль, рентабельность), технологическим (выход, надежность), психологическим, статистическим и т. д. Параметр оп- тимизации должен быть эффективным с точки зрения достижения це- ли, универсальным, количественным, выражаемым числом, имеющим физический смысл, быть простым и легко вычисляемым. Затраты машинного времени можно значительно сократить, если на этапе оптимизации параметров использовать экспериментальную факторную математическую модель. Экспериментальные факторные модели, в отличие от теоретических, не используют физических зако- нов, описывающих происходящие в объектах процессы, а представляют собой некоторые формальные зависимости выходных параметров от внутренних и внешних параметров объектов проектирования. Экспериментальная факторная модель может быть построена на основе проведения экспериментов непосредственно на самом техни- ческом объекте (физические эксперименты), либо вычислительных экспериментов на ЭВМ с теоретической моделью. При построении экспериментальной факторной модели (рис. 1) объект моделирования (проектируемая техническая система) представляется в виде «черного ящика», на вход которого подаются некоторые переменные X и Z, а на выходе можно наблюдать и регистрировать переменные Y. Рисунок 1 – Экспериментальная факторная модель В процессе проведения эксперимента изменение переменных X и Z приводит к изменениям выходных переменных Y. Для построения факторной модели необходимо регистрировать эти изменения и осуществить необходимую статистическую обработку для определе- ния параметров модели. При проведении физического эксперимента переменными X можно управлять, изменяя их величину по заданному закону. Переменные Z – неуправляемые, принимающие случайные значения. При этом значения переменных X и Z можно контролировать и регистрировать с помощью соответствующих измерительных приборов. Кроме того, на объект воздействуют некоторые переменные Е, которые нельзя наблюдать и контролировать. Переменные X = (x1, х2,..., хn) называют контролируемыми управляемыми; переменные Z = (z1, z2,…… zm) – контролируемыми, но неуправляемыми, а переменные E = (ε1, ε2... εl) – неконтролируемыми и неуправляемыми. Переменные X и Z называют факторами. Факторы X являются управляемыми и изменяются как детерминированные переменные, а факторы Z неуправляемые, изменяемые во времени случайным обра- зом, то есть Z представляют собой случайные процессы. Пространст- во контролируемых переменных – факторов X и Z – образует фактор- ное пространство. Выходная переменная Y представляет собой вектор зависимых переменных моделируемого объекта. Ее называют откликом, а зави- симость Y от факторов X и Z – функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика называют поверхностью отклика. Переменная Е действует в процессе эксперимента бесконтрольно. Если предположить, что факторы X и Z стабилизированы во времени и сохраняют постоянные значения, то под влиянием переменных E функция отклика Y может меняться как систематическим, так и случайным образом. В первом случае говорят о систематической помехе, а во втором – о случайной помехе. При этом полагают, что случайная помеха обладает вероятностными свойствами, не изменяе мыми во времени. Возникновение помех обусловлено ошибками методик проведения физических экспериментов, ошибками измерительных приборов, неконтролируемыми изменениями параметров и характеристик объ- екта и внешней среды. В вычислительных экспериментах объектом исследования является теоретическая математическая модель, на основе которой необ- ходимо получить экспериментальную факторную модель. Для ее по- лучения необходимо определить структуру и численные значения па- раметров модели. Под структурой модели понимается вид математических соот- ношений между факторами X, Z и откликом Y. Параметры представ- ляют собой коэффициенты уравнений факторной модели. Структуру модели обычно выбирают на основе априорной информации об объ- екте с учетом назначения и последующего использования модели. За- дача определения параметров модели полностью формализована. Она решается методами регрессионного анализа. Экспериментальные факторные модели называют также регрессионными моделями. Регрессионную модель можно представить выражением , (3) где В – вектор параметров факторной модели. Вид вектор-функции φ определяется выбранной структурой модели и считается заданным, а параметры В подлежат определению на основе результатов эксперимента. Различают эксперименты пассивные и активные. Пассивным называется такой эксперимент, когда значениями факторов управлять нельзя и они принимают случайные значения. В таком эксперименте существуют только факторы Z. В процессе эксперимента в определенные моменты времени измеряются значе- ния факторов Z и функций откликов Y. После проведения N опытов полученная информация обрабатывается статистическими методами, позволяющими определить параметры факторной модели. Такой подход к построению математической модели лежит в основе метода статистических испытаний (Монте-Карло). Активным называется такой эксперимент, когда значениями факторов задаются и поддерживают их неизменными в заданных уровнях в каждом опыте в соответствии с планом эксперимента. Следовательно, в этом случае существуют только управляемые факторы X. Основные особенности экспериментальных факторных моделей следующие: они статистические; представляют собой сравнительно простые функциональные зависимости между оценками математиче- ских ожиданий выходных параметров объекта от eе внутренних и внешних параметров; дают адекватное описание установленных зави- симостей лишь в области факторного пространства, в которой реали- зован эксперимент. Статистически регрессионная модель описывает поведение объекта в среднем, характеризуя его неслучайные свойст- ва, которые в полной мере проявляются лишь при многократном по- вторении опытов в неизменных условиях. 3. Основные принципы планирования эксперимента Для получения адекватной математической модели необходимо обеспечить выполнение определенных условий проведения экспери- мента. Модель называют адекватной, если в оговоренной области варьирования факторов X полученные с помощью модели значения функций отклика Y отличаются от истинных не более чем на задан- ную величину. Методы построения экспериментальных факторных моделей рассматриваются в теории планирования эксперимента. Цель планирования эксперимента: получение максимума ин- формации о свойствах исследуемого объекта при минимуме опытов. Такой подход обусловлен высокой стоимостью экспериментов, как физических, так и вычислительных, и вместе с тем необходимостью построения адекватной модели. При планировании активных экспериментов используются следующие принципы: - отказ от полного перебора всех возможных состояний объекта; - постепенное усложнение структуры математической модели; - сопоставление результатов эксперимента с величиной случай- ных помех; - рандомизация опытов; - оптимальное планирование эксперимента. Детальное представление о свойствах поверхности отклика может быть получено лишь при условии использования густой дискретной сетки значений факторов, покрывающей все факторное пространство. В узлах этой многомерной сетки находятся точки плана, в которых проводятся опыты. Выбор структуры факторной модели основан на постулировании определенной степени гладкости поверхности отклика. Поэтому с целью уменьшения количества опытов при- нимают небольшое число точек плана, для которых осуществляется реализация эксперимента. При большом уровне случайной помехи получается большой разброс значений функции отклика Y в опытах, проведенных в одной и той же точке плана. В этом случае оказывается, что чем выше уровень помехи, тем с большей вероятностью простая модель окажется работоспособной. Чем меньше уровень помехи, тем точнее должна быть факторная модель. Кроме случайной помехи при проведении эксперимента может иметь место систематическая помеха. Наличие этой помехи практически никак не обнаруживается и результат ее воздействия на функцию не поддается контролю. Однако если путем соответствующей организации проведения опытов искусственно создать случайную си- туацию, то систематическую помеху можно перевести в разряд слу- чайных. Такой принцип организации эксперимента называют рандо- мизацией систематически действующих помех. Наличие помех приводит к ошибкам эксперимента. Ошибки подразделяют на систематические и случайные, соответственно на- именованиям вызывающих их факторов – помех. Рандомизацию опытов осуществляют только в физических экс- периментах. Следует отметить, что в этих экспериментах системати- ческую ошибку может порождать наряду с отмеченными ранее фак- торами также неточное задание значений управляемых факторов, обусловленное некачественной калибровкой приборов для их изме- рения (инструментальная ошибка), конструктивными или технологи- ческими факторами. К факторам в активном эксперименте предъявляются определенные требования. Они должны быть: - управляемыми (установка заданных значений и поддержание постоянными в процессе опыта); - совместными (их взаимное влияние не должно нарушать про- цесс функционирования объекта); - независимыми (уровень любого фактора должен устанавли- ваться независимо от уровней остальных); - однозначными (одни факторы не должны быть функцией других); - непосредственно влияющими на выходные параметры. Выбор параметров оптимизации (критериев оптимизации) является одним из главных этапов работы на стадии предварительного изучения объекта исследования, т. к. правильная постановка задачи зависит от правильности выбора параметра оптимизации, являющегося функцией цели. Под параметром оптимизации понимают характеристику цели, заданную количественно. Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной системы. Реальные объекты или процессы, как правило, очень сложны. Они часто требуют одновременного учета нескольких, иногда очень многих, параметров. Каждый объект может характеризоваться всей совокупностью параметров, или любым подмножеством этой сово- купности, или одним-единственным параметром оптимизации.В последнем случае прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметра оптимизации, а служат ограничениями. Другой путь – построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных. Параметр оптимизации (функции отклика) – это признак, по ко- торому оптимизируется процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения. Об- ласти определения могут быть непрерывными и дискретными, огра- ниченными и неограниченными. Например, выход реакции – это па- раметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью опреде- ления. Он может изменяться в интервале от 0 до 100 %. Число брако- ванных изделий, число зерен на шлифе сплава, число кровяных телец в пробе крови – вот примеры параметров с дискретной областью оп- ределения, ограниченной снизу. Количественная оценка параметра оптимизации на практике не всегда возможна. В таких случаях пользуются приемом, называемым ранжированием. При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пяти- балльной и т. д. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо, плохо). Это может соответствовать, на- пример, годной продукции и браку. 4. Виды параметров оптимизации В зависимости от объекта и цели параметры оптимизации могут быть весьма разнообразными. Введем некоторую классификацию. Ре- альные ситуации, как правило, довольно сложны. Они часто требуют нескольких, иногда очень многих, параметров. Каждый объект может характеризоваться сразу всей совокупностью параметров или любым подмножеством из этой совокупности. Движение к оптимуму воз- можно, если выбран один-единственный параметр оптимизации. То- гда прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограничениями. Другой путь – по- строение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функ- ции от множества исходных. Экономические параметры оптимизации, такие, как прибыль, себестоимость и рентабельность, обычно используются при исследо- вании действующих промышленных объектов, тогда как затраты на эксперимент имеет смысл оценивать в любых исследованиях, в том числе и лабораторных. Если цена опытов одинакова, затраты на экс- перимент пропорциональны числу опытов, которые необходимо по- ставить для решения данной задачи. Это в значительной мере опреде- ляет выбор плана эксперимента. Среди технико-экономических параметров наибольшее распро- странение имеет производительность. Такие параметры, как долго- вечность, надежность и стабильность, связаны с длительными наблю- дениями. Имеется некоторый опыт их использования при изучении дорогостоящих ответственных объектов, например, радиоэлектронной аппаратуры. Почти во всех исследованиях приходится учитывать количество и качество получаемого продукта. Как меру количества продукта ис- пользуют выход, например, процент выхода химической реакции, выход годных изделий. Показатели качества чрезвычайно разнообраз- ны. Характеристики количества и качества продукта образуют группу технико-технологических параметров. Под рубрикой «прочие» сгруппированы различные параметры, которые реже встречаются, но не являются менее важными. Сюда по- пали статистические параметры, используемые для улучшения харак- теристик случайных величин или случайных функций. В качестве примеров можно назвать задачи на минимизацию дисперсии случай- ной величины, на уменьшение числа выбросов случайного процесса за фиксированный уровень и т. д. Последняя задача возникает, в ча- стности, при выборе оптимальных настроек автоматических регуля- торов или при улучшении свойств нитей (проволока, пряжа, искусст- венное волокно и др.). Требования к параметрам оптимизации: 1. Параметр оптимизации должен быть количественным. 2. Параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Ино- гда это получается естественно, как регистрация показания прибора. Например, скорость движения машины определяется числом на спидо- метре. Часто приходится проводить некоторые вычисления. Так бывает при расчете выхода реакции. В химии часто требуется получать продукт с заданным отношением компонентов, например, А : В = 3 : 2. Один из возможных вариантов решения подобных задач состоит в том, чтобы выразить отношение одним числом (1,5) и в качестве параметра оп- тимизации пользоваться значением отклонений (или квадратов от- клонений) от этого числа. 3. Однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно значение параметра оптимизации, при этом обратное неверно: одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов. 4. Наиболее важным требованием к параметрам оптимизации является его возможность действительно эффективной оценки функ- ционирования системы. Представление об объекте не остается посто- янным в ходе исследования. Оно меняется по мере накопления ин- формации и в зависимости от достигнутых результатов. Это приводитк последовательному подходу при выборе параметра оптимизации. Так, например, на первых стадиях исследования технологических процессов в качестве параметра оптимизации часто используется вы- ход продукта. Однако в дальнейшем, когда возможность повышения выхода исчерпана, начинают интересоваться такими параметрами, как себестоимость, чистота продукта и т. д. Оценка эффективности функционирования системы может осуществляться как для всей сис- темы в целом, так и оценкой эффективности ряда подсистем, состав- ляющих данную систему. Но при этом необходимо учитывать воз- можность того, что оптимальность каждой из подсистем по своему параметру оптимизации не исключает возможность гибели системы в целом. Это означает, что попытка добиться оптимума с учетом неко- торого локального или промежуточного параметра оптимизации мо- жет оказаться неэффективной или даже привести к браку. 5. Требование универсальности или полноты. Под универсаль- ностью параметра оптимизации понимают его способность всесто- ронне охарактеризовать объект. В частности, технологические пара- метры недостаточно универсальны: они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оп- тимизации, которые строятся как функции от нескольких частных па- раметров. 6. Параметр оптимизации желательно должен иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым. Требование физического смысла связано с последующей интерпретацией результатов экспе- римента. Не представляет труда объяснить, что значит максимум из- влечения, максимум содержания ценного компонента. Эти и подоб- ные им технологические параметры оптимизации имеют ясный физи- ческий смысл, но иногда для них может не выполняться, например, требование статистической эффективности. Тогда рекомендуется пе- реходить к преобразованию параметра оптимизации. Второе требова- ние, т. е. простота и легко вычисляемость, также весьма существен- ны. Для процессов разделения термодинамические параметры опти- мизации более универсальны. Однако на практике ими пользуются мало: их расчет довольно труден. Из приведенных двух требований первое является более существенным, потому что часто удается най- ти идеальную характеристику системы и сравнить ее с реальной ха- рактеристикой. 5. Факторы После выбора объекта исследования и параметра оптимизации нужно рассмотреть все факторы, которые могут влиять на процесс. Если какой-либо существенный фактор окажется неучтенным и принимал произвольные значения, не контролируемые экспериментатором, то это значительно увеличит ошибку опыта. При поддержании этого фактора на определенном уровне может быть получено ложное представление об оптимуме, так как нет гарантии, что полученный уровень является оптимальным. С другой стороны, большое число факторов увеличивает число опытов и размерность факторного пространства. Выбор факторов эксперимента является весьма существенным, от этого зависит успех оптимизации. Фактор – измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение и влияющая на объект исследования. Факторы должны иметь область определения, внутри которой задаются его конкретные значения. Область определения может быть непрерывной или дискретной. При планировании эксперимента зна- чения факторов принимаются дискретными, что связано с уровнями факторов. В практических задачах области определения факторов имеют ограничения, которые носят либо принципиальный, либо тех- нический характер. Факторы разделяются на количественные и качественные. К количественным относятся те факторы, которые можно измерять, взвешивать и т. д. Качественные факторы – это различные вещества, технологические способы, приборы, исполнители и т. п. Хотя к качественным факторам не соответствует числовая шкала, но при планировании эксперимента к ним применяют условную порядковую шкалу в соответствии с уровнями, т. е. производится ко- дирование. Порядок уровней здесь произволен, но после кодирования он фиксируется. Требования к факторам эксперимента: 1. Факторы должны быть управляемыми, это значит, что вы бранное нужное значение фактора можно поддерживать постоянным в течение всего опыта. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора. Например, экспериментальная установка смонтирована на открытой площадке. Здесь температурой воздуха мы не можем управлять, ее можно только контролировать, и потому при выполнении опытов температуру, как фактор, мы не можем учитывать. 2. Чтобы точно определить фактор, нужно указать последова- тельность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения. Такое определение называется операцио- нальным. Так, если фактором является давление в некотором аппара- те, то совершенно необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора. 3. Точность замеров факторов должна быть возможно более вы- сокой. Степень точности определяется диапазоном изменения факто- ров. В длительных процессах, измеряемых многими часами, минуты можно не учитывать, а в быстрых процессах приходится учитывать доли секунды. Исследование существенно усложняется, если фактор измеряет- ся с большой ошибкой или значения факторов трудно поддерживать на выбранном уровне (уровень фактора «плывет»), то приходится применять специальные методы исследования, например, конфлю- энтный анализ. 4. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять факто- ром, который является функцией других факторов. Но в планирова- нии могут участвовать другие факторы, такие как соотношения меж- ду компонентами, их логарифмы и т. п. Необходимость введения сложных факторов возникает при желании представить динамические особенности объекта в статической форме. Например, требуется най- ти оптимальный режим подъема температуры в реакторе. Если отно- сительно температуры известно, что она должна нарастать линейно, то в качестве фактора вместо функции (в данном случае линейной) можно использовать тангенс угла наклона, то есть градиент. 5. При планировании эксперимента одновременно изменяют не- сколько факторов, поэтому необходимо знать требования к совокуп- ности факторов. Прежде всего выдвигается требование совместимо- сти. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осу- ществимы и безопасны. Несовместимость факторов наблюдается на границах областей их определения. Избавиться от нее можно сокра- щением областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри областей определения. Одно из возможных ре- шений – разбиение на подобласти и решение двух отдельных задач. 6. При планировании эксперимента важна независимость факто- ров, то есть возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыпол- нимо, то невозможно планировать эксперимент. 6. Требования к совокупности факторов При планировании эксперимента обычно одновременно изменяется несколько факторов. Поэтому очень важно сформулировать тре- бования, которые предъявляются к совокупности факторов. Прежде всего выдвигается требование совместимости. Совместимость факто- ров означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны. Это очень важное требование. Представьте себе, что вы поступили легко- мысленно, не обратили внимания на требование совместимости фак- торов и запланировали такие условия опыта, которые могут привести к взрыву установки или осмолению продукта. Согласитесь, что такой результат очень далек от целей оптимизации. Несовместимость факторов может наблюдаться на границах областей их определения. Избавиться от нее можно сокращением областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри областей определения. Одно из возможных решений – разбиение на подобласти и решение двух отдельных задач. При планировании эксперимента важна независимость факторов, то есть возможность установления фактора на любом уровне вне зави- симости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент. Итак, мы подошли ко вто- рому требованию – отсутствие корреляции между факторами. Требо- вание некоррелированности не означает, что между значениями фак- торов нет никакой связи. Достаточно, чтобы связь не была линейной. 7. Планирование эксперимента. План эксперимента При проведении активного эксперимента задается определен ный план варьирования факторов, то есть эксперимент заранее планируется. План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям. Точка плана – упорядоченная совокупность численных значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта, точка факторного пространства, в которой проводится эксперимент. Точке плана с номером i соответствует вектор-строка: (4) Общая совокупность таких векторов Xi, i = 1, L образует план эксперимента, а совокупность различных векторов, число которых обозначим N – спектр плана. В активном эксперименте факторы могут принимать только фиксированные значения. Фиксированное значение фактора называ- ют уровнем фактора. Количество принимаемых уровней факторов за- висит от выбранной структуры факторной модели и принятого плана эксперимента. Минимальный Xjmin и максимальный Хimах, j = l, … n (n – число факторов) уровни всех факторов выделяют в факторном пространстве некоторый гиперпараллелепипед, представляющий со- бой область планирования. В области планирования находятся все возможные значения факторов, используемые в эксперименте. Вектор задает точку центра области планирования. Координаты этой точки Xj0 обычно выбирают из соотно шения: (5) Точку называют центром эксперимента. Она определяет ос- новной уровень факторов , j = 1, … n. Центр эксперимента стре- мятся выбрать как можно ближе к точке, которая соответствует ис- комым оптимальным значениям факторов. Для этого используется априорная информация об объекте. Интервалом (или шагом) варьирования фактора Xj называют ве- личину, вычисляемую по формулам: , (6) j = 1, … n. Факторы нормируют, а их уровни кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний –1, а основной 0. Нор- мирование факторов осуществляют на основе соотношения: xj = (Xj-X0j)/ΔXj, (7) j = 1, … n. Рисунок 2 – Геометрическое представление области планирования при двух факторах: X1 и Х2 Точки 1, 2, 3, 4 являются точками плана эксперимента. Например, значения факторов X1 и Х2 в точке 1 равны соответственно Xlmin и Х2min, а нормированные их значения Xlmin = –1, Х2min = –1. После установления нулевой точки выбирают интервалы варьи- рования факторов. Это связано с определением таких значений фак- торов, которые в кодированных величинах соответствуют +1 и –1. Интервалы варьирования выбирают с учетом того, что значения фак- торов, соответствующие уровням +1 и –1, должны быть достаточно отличимы от значения, соответствующего нулевому уровню. Поэтому во всех случаях величина интервала варьирования должна быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фак- тора. С другой стороны, чрезмерное увеличение величины интерва- лов варьирования нежелательно, так как это может привести к сни- жению эффективности поиска оптимума. А очень малый интервал варьирования уменьшает область эксперимента, что замедляет поиск оптимума. При выборе интервала варьирования целесообразно учитывать, если это возможно, число уровней варьирования факторов в области эксперимента. От числа уровней зависят объем эксперимента и эф- фективность оптимизации. План эксперимента удобно представлять в матричной форме. Матрица плана представляет собой прямоугольную таблицу, содержащую информацию о количестве и условиях проведения опытов. Строки матрицы плана соответствуют опытам, а столбцы – факторам. Размерность матрицы плана L × n, где L – число опытов, n – число факторов. При проведении повторных (дублирующих) опытов в од- них и тех же точках плана матрица плана содержит ряд совпадающих строк. Матрица спектра плана – матрица, в которую входят только различающиеся между собой строки матрицы плана. Размерность матрицы спектра плана N × n, где N – число точек плана, различаю- щихся между собой хотя бы одной координатой U. Матрица спектра плана имеет вид: (8) Структура экспериментальной факторной модели Под структурой экспериментальной факторной математической модели понимается вид математических соотношений между факто- рами X, Z и откликом Y. В качестве факторов принимают внутренние и внешние параметры технической системы, подлежащие оптимизации в процессе ее проектирования. Внутренние параметры системы – параметры ее элементов, внешние – это параметры внешней среды, в условиях воздействий которой осуществляется функционирование системы. Функциями отклика Y являются выходные параметры технической системы, характеризующие ее эффективность и качество процессов функционирования. Выходные параметры системы принимаются в качестве критериев оптимальности. Структура факторной модели выбирается на основе априорной информации, используя принцип постепенного ее усложнения. Пара- метры факторной математической модели определяются методами регрессионного анализа. При определении параметров этими метода- ми нет необходимости различать виды факторов, то есть подразде- лять факторы на управляемые X и неуправляемые Z. Поэтому в даль- нейшем все они будут обозначаться буквой X. Тогда факторную мо- дель можно представить векторным уравнением регрессии вида: (9) Для определения параметров используются результаты эксперимента. Результаты эксперимента можно представить функцией вида: , (10) где ε – аддитивная помеха случайного характера с нормальным распределением. В качестве базисных функций используют переменные простейших полиномов, системы ортогональных полиномов, тригонометрические функции. Наиболее часто пользуются простейшими полиномами первой и второй степеней. Например, полином первой степени, описывающий функцию отклика у при двух факторах х1 и х2, может иметь вид: y = b0 + b1x1 + b2x2 (11) или y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x1x2 , (12) а полином второй степени будет иметь вид: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x1x2 + b4x12 + b5x22. (13) Базисные функции в случае использования последнего выраже- ния имеют вид: f0(X) = 1; f1(X) = x1; f2(X) = x2; f3(X) = x1 x2;f4(X) = x12; f5(X) = x22. 8. Планы экспериментов и их свойства. Виды экспериментов Для проведения активных экспериментов разработано множество различных планов. Планы учитывают как особенности структуры регрессионных моделей, так и требования их эффективности с пози- ций повышения точности получаемых моделей и снижения затрат на проведение эксперимента. При построении линейных моделей или нелинейных, содержащих только взаимодействия факторов, но без квадратов этих факторов, каждый фактор можно варьировать только на двух уровнях. Для получения таких моделей используют планы первого порядка. Известно несколько разновидностей планов первого порядка. Они предназначены для планирования следующих видов экспериментов: – однофакторного (классического) эксперимента; – полного факторного эксперимента; – дробного факторного эксперимента. Если в регрессионную модель входят факторы в квадрате или с более высокими степенями, то необходимо не менее трех уровней варьирования факторов. При построении квадратичных моделей при- меняют планы второго порядка. Планы различают по степени насыщенности и композиционности. План называют насыщенным, если общее число точек плана равно числу неизвестных параметров регрессионной модели. Такой план позволяет получить экспериментальную факторную модель при ми- нимальных затратах, так как обеспечивает минимум числа опытов. План называется композиционным, если в спектр его в качестве составной части входят точки спектра плана, который был реализован при построении более простой модели. Композиционность плана по- зволяет реализовать принцип постепенного усложнения модели при минимальных затратах, так как при этом используются результаты опытов, выполненных для получения простой модели. Многие планы второго порядка являются композиционными.  8.1. План однофакторного эксперимента Однофакторный (классический) эксперимент предназначен для получения линейной экспериментальной факторной модели вида: (14) Однофакторный эксперимент предусматривает поочередное варьирование каждого из факторов при фиксированных на некотором уровне значениях остальных факторов. Фактор Хi варьируют на двух уровнях XiB и Xi. Hа все остальные при этом должны находиться в точке центра эксперимента Xj0, j, i. Для нормированных факторов xjB = +1, xiH = –1, xj = 0. С учетом этого составим матрицу спектра плана однофакторного эксперимента:. (15) Число точек плана в этом случае N = 2n, где n – количество фак-торов. Рисунок 3 – Схема однофакторного эксперимента Вектор базисных функций имеет вид: (16) 8.2. План полного факторного эксперимента Спектр плана полного факторного эксперимента (ПФЭ) содержит все возможные комбинации значений факторов на всех уровнях их из- менения. Число точек N спектра плана определяется по формуле: , (17) где U – число уровней варьирования факторов; n – количество факторов. Рассмотрим особенности и свойства ПФЭ, применяемых при построении линейных регрессий. Для получения линейной регрессии достаточно варьировать факторы на двух уровнях, U = 2. Тогда число точек спектра плана будет: N = 2n. (18) Такой план принято обозначать ПФЭ2n. Рассмотрим порядок составления матрицы спектра плана, полагая, что факторы нормированы и, следовательно, могут принимать значения только либо +1, либо –1. Для составления матрицы спектра плана используется следующее простое правило: в первой строке матрицы все факторы равны –1, в первом столбце знаки единиц меняются поочередно; во втором столбце они чередуются через два; в третьем – через 4; в четвертом – через 8 и т. д. по степеням двойки. При n = 2 число точек плана N = 22 = 4, а матрица спектра плана имеет вид:  (19) При n = 3 N = 23 = 8, а матрица спектра плана имеет вид: (20) Точки плана ПФЭ2n располагаются в вершинах n – мерного ги- перкуба (рис. 4). Рисунок 4 – Точки плана ПФЭ2n Посредством ПФЭ можно построить как простейшую линейнуюмодель технической системы вида: , (21) так и нелинейную.  Содержание отчета 1. Титульный лист. 2. Цель работы. 3. Результаты выполнения работы (краткий отчет об изученииразделов работы). 4. Ответы на контрольные вопросы.Защитите отчет у преподавателя. Контрольные вопросы 1. Перечислите основные требования к планированию эксперимента. 2. Содержание плана эксперимента. 3. Перечислите цели и задачи эксперимента. 4. Что такое фактор эксперимента? 5. Назовите разновидности планов эксперимента.