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# Exercices : Intégrales doubles et triples ## Exercice 1 Calculer l'intégrale double $\iint_D xy \, dxdy$ où $D$ est le domaine défini par $0 \le x \le 1$ et $0 \le y \le 1$. ### Solution $\qquad \iint_D xy \, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy \, dxdy = \int_{0}^{1} y \left[ \frac{x^2}{2} \ri...

# Exercices : Intégrales doubles et triples ## Exercice 1 Calculer l'intégrale double $\iint_D xy \, dxdy$ où $D$ est le domaine défini par $0 \le x \le 1$ et $0 \le y \le 1$. ### Solution $\qquad \iint_D xy \, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy \, dxdy = \int_{0}^{1} y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 dy = \int_{0}^{1} \frac{y}{2} dy = \left[ \frac{y^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}$ ## Exercice 2 Calculer l'intégrale double $\iint_D (x+y) \, dxdy$ où $D$ est le domaine défini par $0 \le x \le 1$ et $x^2 \le y \le x$. ### Solution $\qquad \iint_D (x+y) \, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} (x+y) \, dy dx = \int_{0}^{1} \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^{x} dx$ $\qquad = \int_{0}^{1} \left( x^2 + \frac{x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) dx $ $\qquad = \left[ \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{10} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{10 - 5 - 2}{20} = \frac{3}{20}$ ## Exercice 3 Calculer l'intégrale double $\iint_D e^{-x^2-y^2} \, dxdy$ où $D$ est le disque $x^2 + y^2 \le R^2$. ### Solution On utilise les coordonnées polaires : $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, $dxdy = r dr d\theta$. Le domaine $D$ devient $0 \le r \le R$ et $0 \le \theta \le 2\pi$. $\qquad \iint_D e^{-x^2-y^2} \, dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} e^{-r^2} r \, dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_0^R d\theta$ $\qquad = \int_{0}^{2\pi} \left( -\frac{1}{2} e^{-R^2} + \frac{1}{2} \right) d\theta = \frac{1}{2} (1 - e^{-R^2}) \int_{0}^{2\pi} d\theta = \pi (1 - e^{-R^2})$ ## Exercice 4 Calculer l'intégrale triple $\iiint_V x \, dxdydz$ où $V$ est le volume défini par $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, et $0 \le z \le 1$. ### Solution $\qquad \iiint_V x \, dxdydz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x \, dx dy dz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 dy dz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{2} dy dz = \int_{0}^{1} \left[ \frac{y}{2} \right]_0^1 dz = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} dz = \left[ \frac{z}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$ ## Exercice 5 Calculer l'intégrale triple $\iiint_V z \, dxdydz$ où $V$ est le tétraèdre borné par les plans $x=0$, $y=0$, $z=0$, et $x+y+z=1$. ### Solution Les bornes d'intégration sont $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1-x$, $0 \le z \le 1-x-y$. $\qquad \iiint_V z \, dxdydz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} z \, dz dy dx = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^{1-x-y} dy dx$ $\qquad = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \frac{(1-x-y)^2}{2} dy dx = \int_{0}^{1} \left[ -\frac{(1-x-y)^3}{6} \right]_0^{1-x} dx$ $\qquad = \int_{0}^{1} \left( 0 + \frac{(1-x)^3}{6} \right) dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{1} (1-x)^3 dx = \frac{1}{6} \left[ -\frac{(1-x)^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{6} \left( 0 + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{24}$