IMG_4018.HEIC

## Algèbre linéaire ### 1. Définitions #### 1.1 Vecteurs $\vec{u} = (x, y) \in \mathbb{R}^2$ dans le plan. $\vec{u} = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ dans l'espace. $\vec{u} = (x_1, x_2,..., x_n) \in \mathbb{R}^n$ #### 1.2 Opérations Soient $\vec{u} = (x_1, x_2,..., x_n)$ et $\vec{v} = (y_1, y_2,...

## Algèbre linéaire ### 1. Définitions #### 1.1 Vecteurs $\vec{u} = (x, y) \in \mathbb{R}^2$ dans le plan. $\vec{u} = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ dans l'espace. $\vec{u} = (x_1, x_2,..., x_n) \in \mathbb{R}^n$ #### 1.2 Opérations Soient $\vec{u} = (x_1, x_2,..., x_n)$ et $\vec{v} = (y_1, y_2,..., y_n)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^n$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ un scalaire. * **Somme:** $\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2,..., x_n + y_n)$ * **Multiplication par un scalaire:** $\lambda \vec{u} = (\lambda x_1, \lambda x_2,..., \lambda x_n)$ #### 1.3 Propriétés * $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (commutativité) * $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ (associativité) * $\exists \vec{0} \in \mathbb{R}^n$ tel que $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ (élément neutre) * $\exists -\vec{u} \in \mathbb{R}^n$ tel que $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ (opposé) * $\lambda (\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \vec{u} + \lambda \vec{v}$ (distributivité) * $(\lambda + \mu) \vec{u} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{u}$ (distributivité) * $\lambda (\mu \vec{u}) = (\lambda \mu) \vec{u}$ (associativité) * $1 \vec{u} = \vec{u}$ (élément neutre) #### 1.4 Combinaison linéaire Soient $\vec{u_1}, \vec{u_2},..., \vec{u_p}$ des vecteurs de $\mathbb{R}^n$ et $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_p$ des scalaires. La combinaison linéaire de ces vecteurs est: $\vec{v} = \lambda_1 \vec{u_1} + \lambda_2 \vec{u_2} +... + \lambda_p \vec{u_p}$ #### 1.5 Indépendance linéaire Les vecteurs $\vec{u_1}, \vec{u_2},..., \vec{u_p}$ sont linéairement indépendants si: $\lambda_1 \vec{u_1} + \lambda_2 \vec{u_2} +... + \lambda_p \vec{u_p} = \vec{0} \implies \lambda_1 = \lambda_2 =... = \lambda_p = 0$ Si les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, ils sont linéairement dépendants. #### 1.6 Base Une base de $\mathbb{R}^n$ est un ensemble de $n$ vecteurs linéairement indépendants. #### 1.7 Produit scalaire Soient $\vec{u} = (x_1, x_2,..., x_n)$ et $\vec{v} = (y_1, y_2,..., y_n)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^n$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 y_1 + x_2 y_2 +... + x_n y_n = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$ ##### 1.7.1 Propriétés * $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (commutativité) * $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ (distributivité) * $\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v}) = (\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})$ (associativité) * $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2 \geq 0$ et $\vec{u} \cdot \vec{u} = 0 \iff \vec{u} = \vec{0}$ ##### 1.7.2 Norme $||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 +... + x_n^2}$ ##### 1.7.3 Distance $d(\vec{u}, \vec{v}) = ||\vec{u} - \vec{v}|| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 +... + (x_n - y_n)^2}$ ##### 1.7.4 Angle $\cos{\theta} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$ #### 1.8 Produit vectoriel (seulement en $\mathbb{R}^3$) Soient $\vec{u} = (x_1, x_2, x_3)$ et $\vec{v} = (y_1, y_2, y_3)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^3$. $\vec{u} \times \vec{v} = (x_2 y_3 - x_3 y_2, x_3 y_1 - x_1 y_3, x_1 y_2 - x_2 y_1)$ ##### 1.8.1 Propriétés * $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$ (anti-commutativité) * $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ (distributivité) * $\lambda (\vec{u} \times \vec{v}) = (\lambda \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (\lambda \vec{v})$ (associativité) * $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ * $||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin{\theta}$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. * $\vec{u} \times \vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$.