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Sélection de titres et portefeuilles optimaux 1 Le processus de gestion de portefeuille : 2 une vue d’ensemble= FIN 8610...

Sélection de titres et portefeuilles optimaux 1 Le processus de gestion de portefeuille : 2 une vue d’ensemble= FIN 8610 LE CLIENT Aujourd’hui Aversion au risque Horizon d’investissement Statut fiscal Sélection de titres et allocation d’actifs ALLOCATION D’ACTIFS Perspectives Perspectives des marchés Classes d’actifs : Actions Obligations Actifs économiques réels Pays : Domestiques Non-domestiques À suivre Évaluation : Cash flows, compara- SÉLECTION DE TITRES Information bles, analyse Quelles actions, Obligations, Actifs réels? privée technique Coûts de ÉXÉCUTION transactions : - Fréquence des transactions Vitesse des - Commissions - Volume des transactions transactions - Écarts bid/ask - Utilisation des produits dérivés pour gérer ou prendre - Impact sur prix des risques. Timing du ÉVALUATION DE PERFORMANCE Sélectivité marché - Niveau de risque pris par le gestionnaire - Niveau de rendement réalisé par le gestionnaire - Performance du gestionnaire de portefeuille 2  Plan de la présentation Diversification et corrélation Détermination des portefeuilles efficients Théories de Markowitz Exemples d’application et modèle Black Litterman Questions 3 4 Mise en contexte Supposons que le prix du titre Gold Rush est en chute libre: faillite ! Portefeuille A : décroit de 33%. Pour compenser cette chute, les deux autres titres du portefeuille A doivent performer considérablement Portefeuille B: décroit de 1%, les 99 autres titres doivent performer marginalement pour compenser la perte de Gold Rush. 4  5 Recherche d’une diversification efficace n Diversifier, c'est répartir son investissement sur plusieurs titres de manière à en réduire le risque. n La diversification est dite efficace lorsque la réduction du risque est maximale, soit dans l'absolu, soit pour un niveau donné d’espérance de rendement. 1. Combien de titres inclure dans son portefeuille ? 2. Quelles caractéristiques doivent présenter les titres à inclure dans le portefeuille ? 3. Quelle approche faut-il suivre pour l’optimisation de portefeuille ? 5 Portefeuille avec deux titres Variance d’un portefeuille avec deux titres: s12 = variance du titre 1 s22 = variance du titre 2 Cov(r1,r2) = covariance entre les rendements des titres 1 et 2 𝜎!" = 𝑊#"𝜎#" + 𝑊""𝜎"" + 2𝑊#𝑊"𝐶𝑜𝑣(𝑟#, 𝑟") Le risque d’un portefeuille dépend non seulement de la variabilité du rendement de chacun des titres mais du degré de dépendance existant entre les titres inclus dans le portefeuille. 6  Portefeuille avec deux titres Inconvénient de la covariance: § La covariance n’indique pas l’intensité du comouvement des titres dans le portefeuille, mais uniquement la direction. § On standardise la covariance et on calcule le coefficient de corrélation qui est plus facile à interpréter que la covariance. Cov(r#,r") ρ(1,2) = σ#×σ" 7 7 r et effet de diversification En choisissant des investissements ayant un faible coefficient de corrélation entre eux, l’investisseur peut réduire le risque total de son portefeuille et bénéficier d’un effet de diversification. 𝜎!" = 𝑤#"𝜎#" + 𝑤""𝜎"" + 2𝑤#𝑤"𝐶𝑜𝑣(𝑟#𝑟") Et puisque Cov(r#r") = ρ#"σ#σ" 𝜎!" = 𝑤#"𝜎#" + 𝑤""𝜎"" + 2𝑤#𝑤"𝜌#"𝜎#𝜎" r1,2 = Coefficient de correlation entre les rendements des titres 1 et 2 s1 = écart type (standard deviation of returns) de rendement du titre 1 s2 = écart type (standard deviation of returns) de rendement du titre 2 Existe-t-il une mesure qui considère la variation de trois ou plusieurs ensemble? Non. 8 8  10 n Considérons un portefeuille P réparti en parts égales entre les deux titres A et B qui présentent les caractéristiques suivantes E(A) = 0.12 E(B) = 0.12 sA = 0.06 sB = 0.06 n E(P)= 0.12, quel que soit le coefficient de corrélation pAB qui existe entre les rendements des deux titres A et B. 𝜎!" = 𝑤#"𝜎#" + 𝑤""𝜎"" + 2𝑤#𝑤"𝜌#"𝜎#𝜎" 𝜎!" ? 10 𝜎!" = 𝑤#"𝜎#" + 𝑤""𝜎"" + 2𝑤#𝑤"𝜌#"𝜎#𝜎" 11 si pAB = 1 2 s P =(0.5)2(0.06)2 + (0.5)2 (0.06)2+ 2(0.5)(0.5)(0.06)(0.06)1 sP = 0.06 si pAB = 0.5 sP = 0.052 si pAB = 0 sP = 0.0424 si pAB = -0.5 sP = 0.03 si pAB = -1 sP = 0 11  Corrélation et diversification A et B sont positivement et parfaitement corrélés Actif A Actif B Portefeuille AB L’écart type du portefeuille est une moyenne pondérée des écarts types de A et B. Pas de réduction de risque en combinant les deux. 12 12 Corrélation et diversification A et B sont parfaitement négativement corrélés Asset C Asset D Portefeuille CD L’écart type du portefeuille est beaucoup plus faible que la moyenne pondérée des écarts types de C et D. Réduction totale de risque en combinant les deux actifs (effet de diversification) 13 13  14 Rappel: coefficient de corrélation Cet exemple illustre l'influence déterminante du coefficient de corrélation entre les rendements de deux titres sur l'efficacité de la diversification qui s'opère entre ces deux titres. +1,0≥ ρ≥-1,0 Si r = 1.0, la réduction du risque est nulle Si r = - 1.0, la réduction du risque devient totale. 14 Ensemble de portefeuilles accessibles Avec deux titres, on peut construire plusieurs portefeuilles en faisant varier la proportion des fonds investis dans chacun des titres. L’ensemble des combinaisons possibles dépendra du coefficient de corrélation entre les rendements des titres. 15 15  Ensemble de portefeuilles accessibles Premier cas: r =1 Premier cas : r =1 → s(Rp) = W1s1 + W2s2 Les deux titres sont parfaitement positivement corrélés. Si r(r1,r2) = +1 alors 𝜎! = 𝑊" # 𝜎" # + 𝑊# # 𝜎# # + 2𝑤" 𝑤# 𝜎" 𝜎# = (𝑊" 𝜎" + 𝑊# 𝜎# )# Soient deux titres A et B avec E(RA)=5% sA =4% E(RB)=8% sB =10% Proportion investie Proportion investie E(Rp) s(Rp) dans A dans B 100 0 0.05 0.04 75 25 0.0575 0.055 50 50 0.0650 0.070 25 75 0.0725 0.085 0 100 0.08 0.10 17 17 Ensemble de portefeuilles accessibles E(Rp) Premier cas :r =1 8% WA = 0% WB = 100% 5% r = +1 WA = 100% WB = 0% 4% 10% s(rp) titre A titre B 18 18  Ensemble de portefeuilles accessibles Deuxième cas :r =0 ! " = !" ! " + !! ! ! ! ! ! ! Deuxième cas :r =0 Soient deux titres A et B avec E(RA)=5%; sA =4%; E(RB)=8% sB =10% Proportion investie dans A Proportion investie dans B E(Rp) s(Rp) 100 0 0.05 0.04 75 25 0.0575 0.039 50 50 0.0650 0.054 25 75 0.0725 0.076 0 100 0.08 0.10 19 19 Ensemble de portefeuilles accessibles E(Rp) Deuxième cas :r =0 WA = 0% 8% WB = 100% B Les portefeuilles localisés sur BC sont dits efficients: Pour un niveau de C risque donné, ils donnent le rendement 5% maximal (ou bien r=0 pour un niveau de WA = 100% rendement, ils A donnent le risque le WB = 0% plus faible. 4% 10% s(Rp) titre A titre B 20  Ensemble de portefeuilles accessibles Deuxième cas :r =0 Les portefeuilles localisés sur BC sont dits efficients: pour un niveau de risque donné, ils donnent le rendement maximal. ou pour un niveau de rendement donné, ils donnent le risque minimal. Un investisseur rationnel ne devrait considérer que les portefeuilles situés sur BC. Le choix du portefeuille parmi ceux localisés sur BC dépend des préférences individuelles de l’investisseur. Le portefeuille C est le portefeuille à risque minimal (ou à variance minimale) 21 21 Ensemble de portefeuilles accessibles Deuxième cas :r =0 Le portefeuille C est le portefeuille à risque minimal Déterminons les coordonnées de C ? 𝑉𝑎𝑟(𝑅!) = 𝑤#"𝑉𝑎𝑟(𝑅#) + 𝑤"" var( 𝑅") + 2𝑤#𝑤" cov( 𝑅#, 𝑅") 𝑉𝑎𝑟(𝑅!) = 𝑤#"𝑉𝑎𝑟(𝑅#) + (1 − 𝑤#)" var( 𝑅") + 2𝑤#(1 − 𝑤#) cov( 𝑅#, 𝑅") 𝑑𝑉𝑎𝑟(𝑅!) = 2𝑤#𝑉𝑎𝑟(𝑅#) − 2(1 − 𝑤#) var( 𝑅") + 2 cov( 𝑅#, 𝑅") − 4𝑤# cov( 𝑅#, 𝑅") 𝑑𝑤# 𝑑𝑉𝑎𝑟(𝑅!) =0 𝑑𝑤# 𝑉𝑎𝑟(𝑅") − cov( 𝑅#, 𝑅") 𝑤# = 𝑉𝑎𝑟(𝑅#) + 𝑉𝑎𝑟(𝑅") − 2 cov( 𝑅#, 𝑅") 22 22  Ensemble de portefeuilles accessibles Deuxième cas :r =0 Le portefeuille C est le portefeuille à risque minimal Coordonnées de C dans l’exemple: "#$ & !' ! ! #$%& !( " !' ! %( = "#$ & !( ! + "#$ & !' ! ! ' #$%& !( " !' ! )#$) & ! ) !$ = = "'#&! )#)+ + )#$) & ! &*)( & !& = $ ! "'#&! = $%#"! On peut maintenant calculer les coordonnées du point C: E(Rc)=(86.2%)(0.05)+(13.8%)(0.08) =5.41% 𝜎) = (86.2%)*(0.04)* + (0.138)*(0.10)* 𝜎) = 3.71% 23 23 Ensemble de portefeuilles accessibles Troisième cas :r = -1 Troisième cas :r = -1 𝜎+ = 𝑊,*𝜎,* + 𝑊**𝜎** + 2𝑊,𝑊*(−1)𝜎,𝜎* 𝜎+ = ± 𝑊,𝜎, − 𝑊*𝜎* Proportion investie Proportion investie dans E(Rp) s(Rp) dans A B 100 0 0.05 0.04 75 25 0.0575 0.005 71.4 28.6 0.0586 0 50 50 0.0650 0.03 25 75 0.0725 0.0650 0 100 0.08 0.10 24 24  Ensemble de portefeuilles accessibles E(rp) Troisième cas :r =-1 8% B r = -1 6% C Les portefeuilles localisés 5% sur BC sont dits efficients: Pour un niveau de risque A donné, ils donnent le rendement maximal 4% 10% s(rp) titre A titre B 25 25 Ensemble de portefeuilles accessibles 26 E(rp) r =-1, r =0, r =1 8% WA = 0% WB = 100% r = -1 6% r=0 5% r = +1 WA = 100% WB = 0% s(rp) 4% 10% Stock A Stock B 26  Ensemble de portefeuilles accessibles r =-1, r =0, r =1 D’après la figure qui combine tous les portefeuilles accessibles pour les trois coefficients de corrélation, on constate que: § Plus le coefficient de corrélation est faible, plus l’effet de diversification est important. § Par exemple, pour un rendement espéré de 6%, on peut constituer un portefeuille avec un risque plus faible si r = 0 que lorsque r =1. § À l’exception du cas où le coefficient de corrélation est égal à 1, il y a effet de diversification. 27 27 À retenir : 32 n L'investisseur, s'il veut parvenir à une diversification efficace, doit inclure dans son portefeuille des titres dont les rendements sont aussi peu corrélés que possible. n Il est cependant évident que la variance du portefeuille que l'investisseur constituera sera également influencée par le niveau des variances des titres qui le composent. 32  33 Rappel: portefeuille variance minimale w Supposons l’univers d’investissement suivant: A B rA,B E(r) 10% 14% 0.2 s 15% 20% w Déterminez les poids du portefeuille variance minimale 33 34 Portefeuille variance minimale ρ=0.2 w Solution du problème de minimisation: 𝜎'" − 𝐶𝑜𝑣(𝑟&, 𝑟') 𝑤& = " 𝜎& + 𝜎'" − 2𝐶𝑜𝑣(𝑟&, 𝑟') w Numériquement: (20)" − (15)(20)(0.2) 𝑤& = = 0.6733 (20)" + (15)" − 2(15)(20)(0.2) 𝑤' = 1 − 𝑤& = 0.3267 34  35 Minimum -Variance: Redement et risque avec r =.2 w Utilisant les poids wA et wB : 𝑟( = (0.6733)(10%) + (0.3267)(14%) = 11.31% 𝜎(" = (0.6733)"(15)" + (0.3267)"(20)" + 2 0.6733 0.3267 20 15 0.2 = 171.09 𝜎( = 171.09 = 13.08% 35 36 Portefeuille variance minimale: r = -0.3 w Même démarche, on obtient: wA = 0.6087 wB = 0.3913 w Les caractéristiques du portefeuille sont: rP = 11.57% et 𝜎( = 10.09% 36  Portefeuille avec 3 titres s2p = W12s12+ W22s22+ W32s32+ 2W1W2 Cov(r1r2) + 2W1W3 Cov(r1r3) + 2W2W3 Cov(r2r3) 37 6-37 37 38 Taille du portefeuille et diversification: 1,2, 3, 100, 1000 titres? 38  39 Taille du portefeuille et diversification n Nous allons composer aléatoirement des portefeuilles de taille 1 à 200 et nous supposerons que ces portefeuilles sont également répartis entre les actions qui le composent. L'évolution de l'écart type et de la variance des rendements des portefeuilles en fonction de leur taille est présentée dans le tableau suivant: N !2pf !Pf !" #$#%&##" #$'%()" '" #$#*)%&" #$''#)" (" #$#*###" #$'###" *" !"!#$%#& #$!)))" &" #$#((##" #$!)!%" !#" #$#'%%&" #$!+++" '#" #$#'&!(" #$!&)&" &#" #$#'(&&" !"'$#$& !##" #$#'(#(" #$!&!%" '##" #$#''%+" #$!&#," ! 39 Portefeuille avec n titres Pour un portefeuille avec n titres, il faut calculer n variances et n(n-1) covariances. ' ' ' *+, # " ! = ! ( %&'# " ! + ! ! ( ( $%C# " " " ! ( ) # =$ # # # =$ ! =$ # ! # ! n termes n(n-1) termes 40 6-40 40  41 Taille du portefeuille et diversification ' ' ' *+, # " ! = ! ( %&'# " ! + ! ! ( ( $%C# " " " ! ( ) # =$ # # # =$ ! =$ # ! # ! 1 𝑁−1 𝜎!" = VAR + COV 𝑁 𝑁 n Quand N →∞, la variance du portefeuille tend vers la covariance moyenne, qui constitue la limite de diversification. n La réduction du risque est d'abord très rapide, mais elle se ralentit assez vite. 41 42 Diversification et réduction du risque Écart type 30% Risque diversifiable 15% Risque systématique Nombre de titres 10 20 50 42  43 Plusieurs études constatent qu’il faut plus de 100 titres pour éliminer le risque non systèmatique. Selon Morningstar, Inc.'s , en moyenne, le gestionnaire d’un fond mutuel d’actions détient approximativement 140 titres. - Lawrence Fisher et James H. Lorie (1970), "Some Studies of Variability of Returns on Investments in Common Stocks,“ the Journal of Business - Edwin J. Elton et Martin J. Gruber; (1977), "Risk Reduction and Portfolio Size: An Analytical Solution,“ Journal of Business - Meir Statman (1987), "How Many Stocks Make a Diversified Portfolio?“ the Journal of Financial and Quantitative Analysis. 43 44 Risque du portefeuille en fonction du nombre d’actifs risqués n Vous disposez de n titres pour former un portefeuille. 1. La moyenne des variances des n titres = 0.0049; la moyenne des covariances est de 0.0025. on suppose qu’on forme des portefeuilles équipondérés qui présentent toujours ces mêmes valeurs moyennes quel que soit le nombre de titres. Quel est le risque du portefeuille si n=5, n=10 et n=30? n Quel risque minimal peut-on atteindre en augmentant le nombre de titres dans le portefeuille? n Combien faut-il de titres pour que le risque du portefeuille (en termes d’écart-type soit 5% supérieur au risque minimal? 2. Reprendre la question 2 avec une covariance moyenne de 0.0008. Que constatez-vous? 44  Correction n L’élément déterminant n’est donc pas la variance du titre mais la covariance de ce titre avec le portefeuille. n Si n= 5, Var(Rp)=0.00298, σ(Rp)= 0.0546 𝜎! # = 1 VAR + 𝑁−1 COV 𝑁 𝑁 n Si n= 10, Var(Rp)=0.00274, σ(Rp)= 0.0523 n Si n= 30, Var(Rp)=0.00258, σ(Rp)= 0.0508 n Le risque minimal: n→∞ Var(Rp)=0.0025, σ(Rp)= 0.05 n Le portefeuille qui présente un risque de 0.05 * 1.05 = 0.0525, on remplace dans l’équation du risque et on obtient N = 9.365 → 9 ou 10 titres. n Il n’est pas nécessaire d’avoir un grand nombre de titres dans un portefeuille pour être bien diversifié. 45 45 46 Correction n Une covariance moyenne de 0.0008 n Si n= 5, Var(Rp)=0.00162, σ(Rp)= 0.0402 n Si n= 10, Var(Rp)=0.00121, σ(Rp)= 0.0348 n Si n= 30, Var(Rp)=0.000937, σ(Rp)= 0.0306 n Le risque minimal: n→∞ Var(Rp)=0.0008, σ(Rp)= 0.0283 n Le portefeuille qui présente un risque de 0.0283 * 1.05 = 0.0297, on remplace dans l’équation du risque et on obtient N → 49 ou 50 titres. n Plus le coefficient de corrélation est faible, plus il faut un grand nombre de titres pour obtenir une bonne diversification 46  47 Warren Buffet et la diversification de portefeuille n “Je ne peux pas être impliqué dans 50 ou 75 choses à la fois. Ce serait investir comme l’Arche de Noé : on finit par obtenir un zoo. Je préfère concentrer d’importantes sommes dans un nombre restreint de titres.” – Warren Buffett n “Une vaste diversification n’est seulement requise que lorsque les investisseurs ne comprennent pas ce qu’ils font.” – Warren Buffett 47 Exemple n Robinhood a actuellement (en 2022) approximativement 6 millions d’utilisateurs. n Selon leurs bases de données, il existe seulement 12 millions de titres détenus. n L’utilisateur moyen de Robinhood détient seulement deux titres (actions ou ETFs (FNB)). 48  49 La diversification: discussion 49 La diversification: un point de vue ! 50 Par Maher Kooli n La diversification de portefeuille est un outil puissant de gestion des risques financiers. n C'est une méthode robuste et simple à la portée de tous les investisseurs. n Les fluctuations du prix des actions d'une entreprise peuvent provenir soit de l'évolution du marché dans son ensemble, soit d'une information spécifique à l'entreprise et indépendante du marché. Cette dernière source de risque peut être substantielle, mais elle a l'avantage de pouvoir être éliminée dans un portefeuille bien construit. n La diversification repose sur le fait qu'un choc sur une société qui n'affecte pas les autres titres est dilué dans la masse du portefeuille. n La diversification de portefeuille peut induire par exemple un sentiment de sécurité trompeur. Elle laisse croire qu'une chute brutale d'un titre sera compensée par la hausse d'autres titres de sorte que toute catastrophe majeure semble écartée. n La globalisation et l'interdépendance croissante des marchés rendent pourtant possible des réactions en chaîne catastrophiques que l'économétrie ne peut pas facilement quantifier. La crise financière (2008-2009) que nous avons connue récemment n’en est-elle pas la preuve? n http://www.jecomprends.ca/placements/marches_boursiers/doit- on_detenir_10_20_ou_100_titres_dans_un_portefeuille 50  Eggs are Not Enough: The Truth About Diversification 51 Feifei Li, Octobre 2012. http://www.researchaffiliates.com/Our%20Ideas/Insights/Fundamentals/Pages/F_2012_Oct_Eggs_Are_Not_Enough.a spx n Ne jamais mettre ces œufs dans le même panier ! Oui, mais ceci n’est plus suffisant. Constatation: n (1) Les investisseurs ne sont pas aussi disciplinés au niveau du rebalancement de leurs portefeuilles régulièrement. n (2) les investisseurs ne diversifient pas leurs sources de risque. Ils deviennent ainsi exposés à des chocs négatifs importants sur les marchés. Remarques: (1) la volatilité des différentes classes d’actifs varie d’une période à une autre. (2) l’objectif de la diversification est difficile à atteindre en période de récession. 51 À retenir n Plusieurs portefeuilles ressemblent « à un camion rempli de plusieurs paniers d’ œufs. Ces paniers restent toutefois vulnérables à l’état de la route ». Ø Si la route est en bon état (et revêtue d’asphalte), aucun problème, Ø Si la route n’est pas revêtue d’asphalte avec plusieurs nids de poules, les « investisseurs » doivent penser à diversifier leurs paniers en ajoutant des carottes, des tomates, etc. ü Donc, ne jamais mettre ces œufs dans le même panier et diversifier aussi les paniers! 52  53 Détermination des portefeuilles efficients: La théorie de Markowitz (1959) n En pratique, des règles de bonne gestion telles que « répartir son capital sur une vingtaine de titres » et « choisir des titres dont les rendements sont peu corrélés entre eux » conduiront, sans doute, à une diversification de bonne qualité, mais certainement pas à une diversification optimale. n Pour arriver à une telle diversification, il faudra utiliser des méthodes de calcul appropriées, qui sont toutes inspirées des travaux de Markowitz. 53 54 Détermination des portefeuilles efficients: La théorie de Markowitz (1959) n En pratique, des règles de bonne gestion telles que « répartir son capital sur une vingtaine de titres » et « choisir des titres dont les rendements sont peu corrélés entre eux » conduiront, sans doute, à une diversification de bonne qualité, mais certainement pas à une diversification optimale. n Pour arriver à une telle diversification, il faudra utiliser des méthodes de calcul appropriées, qui sont toutes inspirées des travaux de Markowitz. 54  Frontière efficiente à partir de plusieurs actifs risqués Point de départ: trois actifs risqués A, B et C La courbe AB décrit l’ensemble des portefeuilles possibles en combinant les titres A et B. La courbe BC décrit l’ensemble des portefeuilles possibles en combinant les titres B et C. La courbe EF décrit l’ensemble des portefeuilles possibles en combinant les portefeuilles E et F. E et F sont construits à partir de A, B et C La courbe EF se situe au nord ouest des autres courbes (ce qui est recherché par tout investisseur rationnel) 55 Frontière efficiente à partir de plusieurs actifs risqués On continue à faire des combinaisons pour créer de nouveaux portefeuilles accessibles. Plus on continue ce processus, plus l’ensemble des portefeuilles accessibles se déplacera vers le haut et à gauche. Comment arriver à la frontière efficiente? 56  Détermination des portefeuilles efficients 57 n Le gestionnaire de portefeuille qui renonce aux techniques d'optimisation doit être conscient que, ce faisant, il supporte un risque qu'il aurait pu éliminer et qui ne lui rapporte aucune espérance de rendement supplémentaire. n Il n'y a pas de gestion satisfaisante d'un portefeuille sans optimisation. n À partir d'un ensemble donné de titres, il est possible de constituer un nombre infini de portefeuilles, et le rôle d'un critère d'efficience sera d'identifier parmi eux ceux qui présentent un intérêt pour l'investisseur considéré et qui seront donc efficients. 57 58 Le critère d’efficience selon Markowitz n Le critère d'efficience se définira naturellement de la manière suivante : n « Sont efficients les portefeuilles qui pour une valeur donnée de leur rendement espéré minimisent la variance de celui-ci » n ou encore de la manière suivante : « Sont efficients les portefeuilles qui pour une variance donnée de leur rendement maximisent l'espérance de ce dernier ». n C'est ce critère d'efficience qui inspire les différentes méthodes d'optimisation des portefeuilles. 58  Frontière efficiente à partir de plusieurs actifs risqués Portefeuille efficient: Portefeuille présentant un risque minimal pour un rendement donné, ou un rendement maximal pour un risque donné. Algorithme de Markowitz: choix des proportions xi du portefeuille de sorte à minimiser la variance: à la condition que son rendement espéré corresponde au niveau désiré: et que la somme de ses proportions soit égale 1: 59 5-59 59 60 Méthode de calcul (sans contraintes de type inégalité) n Lorsque les proportions à investir dans les différents titres ne sont soumises à aucune contrainte de type inégalité, le problème consiste à trouver les proportions Xi à investir dans les différents titres pour minimiser la variance du rendement du portefeuille tout en respectant deux contraintes. n La première impose que le rendement espéré du portefeuille atteigne E* et la seconde que la somme des proportions investies soit égale à 1. n Nous utilisons les symboles suivants : Ei : rendement espéré du titre i ; σij : covariance des rendements des titres i et j ; σii : variance du rendement du titre i, 60  61 n Le portefeuille efficient de rendement espéré E*, s'obtient par la minimisation de # # " "$ %! ! =! " =! ! " !" ! ! n Sous les 2 contraintes !# $ " =" " " = $! !# " =! " =! n La technique des multiplicateurs de Lagrange: Pour chaque valeur de E*, on minimisera l’expression de Lagrange suivante: # # # # $ =$ $% &! ! " !" + "" $$ % ! '! # ' ! % + "# $$ % ! # "% ! =" " =" ! =" ! =" 61 62 #" = " # !! !! + " # "! !" + ### + " # ! ! !! + "! $! + "" = $ ## ! #" = " # !! ! ! + " # "! ! " + ### + " # ! ! !! + "! $! + "" = $ ## ! "" "" = # ! $! + # " $" + ### + # ! $! # $$ = % = # ! + # " + ### + # ! # ! = $ "!! "! " →(N+2) Équations # #! !$ % !! "! & %! ! !& ' $! ( '% ( % & ) * )! * % #! ! ! "! !& )! * ) * # + % "! " % & & $ + ) $ " * %C '() )% * !! " = # % & ) * ) * % ! % %& )"! * ) " ** % & )" * ),! *- % & , # - %% &&. / 62  63 !! " = # ! !!!" " = ! !!# " ! = " !! # v Le vecteur X détermine parfaitement la structure du portefeuille efficient dont le rendement espéré est E*. v En considérant successivement différents niveaux de E*, le rendement espéré que l'on impose au portefeuille, on obtiendra autant de portefeuilles efficients. v Seul le vecteur K se modifie quand on change le niveau du rendement espéré et que par conséquent l'inversion matricielle ne devra être pratiquée qu'une seule fois. v L'ensemble des portefeuilles efficients constitue la frontière efficiente qui est commune à tous les investisseurs qui se situent dans un espace moyenne-variance. v Ce sera ensuite à chaque investisseur qu'il appartiendra de choisir sur cette frontière le portefeuille qui correspond le mieux aux caractéristiques de sa fonction d'utilité particulière, c'est-à-dire en fin de compte à ses propres préférences en matière de rendement espéré et de risque. 63 64 Exemple d’application (1) n Pour illustrer la méthode que nous venons de décrire, nous allons considérer trois actions dont les espérances et les écarts types des rendements sont les suivants : n E1 = 0,07 E2 = 0,10 E3 = 0,12 n σ1 = 0,12 σ2 = 0,15 σ3 = 0,23 n La matrice des coefficients de corrélation entre les rendements de ces trois titres est la suivante: !"#$%& '& (& )& !"#$%& & & & '& '& *+,-& *+'-& (& *+,-& '& *+)*& )& *+'-& *+)*& '& ! !"#$%& '& (& )& !"#$%& & & & '& *+*',,& *+*''-& *+**,'& (& *+*''-& *+*((.& *+*'*,& )& *+**,'& *+*'*,& *+*.(/& n !On peut calculer la matrice variance-covariance 64  65 Exemple d’application n Notre objectif est donc de minimiser la variance du rendement du portefeuille : σ2p = 0,0144X12 + 0,0255X22 + 0,0529X32 + 2X1X2(0,0117)+2X1X3(0,0041) + 2X2X3(0,0104) sous les contraintes: EP=0,07 X1+ 0,1X2+ 0,12X3 atteigne le niveau E* X1+ X2+ X3 = 1 n L'expression de Lagrange à construire est donc la suivante : Z = 0,0144X12 + 0,0255X22 + 0,0529X32 + 2X1X2(0,0117)+2X1X3(0,0041) + 2X2X3(0,0104)+ λ1(0,07 X1+ 0,1X2+ 0,12X3- E*) + λ2 (X1+ X2+ X3 -1) 65 66 Exemple d’application !! n = 0,0288X1 + 0,0234X2 + 0,0082X3 + 0,07λ1 + λ2= 0 !" ! n !! = 0,0234X1 + 0,0450X2 + 0,0207X3 + 0,10λ1+ λ2 = 0 !" ! !! n !" ! = 0,0082X1 + 0,0207X2 + 0,1058X3 + 0,12 λ1 + λ2 = 0 n "! = 0,07 X1+ 0,1X2 + 0,12X3 = E* "!! n "! = X + X + X = 1 1 2 3 "!! !! " = # ! !!!" " = ! !!# " ! = " !! # 66  67 "# # "# # "#$ %&!! # $# % $# % $#$ "'(" % $ % $ % $ % )* $# % * $# % + ! & $#$""!( % $ % $ % $ % $ " ,% $#$ #'% $!! % $'! %( $'! %( $'!" %( E* X1 X2 X3 σ 0,08 0,7692 0,0769 0,1539 0,1118 0,09 0,4811 0,2972 0,2217 0,1162 0,10 0,1930 0,5175 0,2895 0,1300 0,11 -0,0951 0,7377 0,3574 0,1506 0,12 -0,3832 0,9580 0,4252 0,1757 0,13 -0,6713 1,1783 0,4930 0,2036 67 68 The Minimum-Variance Frontier of Risky Assets E(r) Efficient frontier Global minimum Individual variance assets portfolio Minimum variance frontier s 68  69 Sélection de portefeuille et aversion au risque E(r) U’’’ U’’ U’=courbe d’indifférence Efficient frontier of risky assets S P Less Q risk-averse investor More risk-averse investor s 69 70 Prise en considération d’un actif sans risque RF n Une valeur positive de RF correspondra à un prêt et une valeur négative à un emprunt n Le portefeuille efficient de rendement espéré E*, s'obtient par la minimisation de # # " "$ %! ! =! " =! ! " !" n Sous les 2 contraintes ! !$ % " =" " " + $ ! +" &# = % ! ! +! ! #" =! " =! # # # # % =$ $ & !'"! !" + "" $$ & ! E! + & # +"F$ # E! % + "# $$ & ! #"% ! =" " =" ! =" ! =" n Pour chaque valeur de E*, on minimisera l’expression de Lagrange suivante: 70 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xemple d’application (2) n Aux données de l'exemple précédent, nous ajoutons l'existence d'un taux d'intérêt sans risque RF= 0,05 et nous appellerons X4 la position prise dans cet actif sans risque. n Notre objectif est toujours de minimiser : σ2p = 0,0144X12 + 0,0255X22 + 0,0529X32 + 2X1X2(0,0117)+2X1X3(0,0041) + 2X2X3(0,0104) n mais les contraintes s'écrivent maintenant 0,07 X1+ 0,1X2+ 0,12X3 + 0,05X4= E* X1+ X2+ X3 +X4= 1 72  73 n Le tableau suivant indique la composition des portefeuilles efficients correspondant différents niveaux de rendement espéré ainsi que la valeur de l'écart type de leur rendement. !"# $!" $ %# $&# $'# E# #$#%" &#$!#%'" #$()#'" #$!%#*" #$*('+" #$#'*!" !"!#$ %!"&'(!$ !"()&!$ !")'!*$ !"+,++$ !"&!!&$ #$!#" &#$!%!," #$-*!#" #$(##)" #$,,)!" #$!,*," #$!!" &#$,!'+" #$'%!*" #$(-!!" #$#'+)" #$!*#," #$!," &#$,*('" #$)!!'" #$+,!(" &#$#')(" #$!'*(" #$!(" &#$,%))" !$#+,#" #$+%!+" &#$,((*" #$,##(" ! 73 Frontière efficiente dans le cas où on peut investir dans des titres risqués et un titre sans risque M Efficient E(RM) frontier r 0 σ(RM) 74 74  75 Frontière efficiente en présence d’un actif sans risque E(rp) Emprunt à RF CML prêt σp 75 76 Frontière efficiente en présence d’un actif sans risque n L'introduction d'un actif sans risque va modifier considérablement la frontière efficiente des possibilités offertes à l'investisseur. Appelons S la frontière efficiente des actifs risqués déterminée par l'investisseur et RF le taux de rendement de l'actif sans risque. n Si l'investisseur considéré place une fraction X de son portefeuille au taux RF et le solde dans le portefeuille risqué A, son espérance de rendement sera XRF + (1-X)EA et l'écart type de ce revenu (1-X) σA ; pour une valeur de X comprise entre 0 et 1, il se trouve sur le segment de droite RFA. L'investisseur peut aussi répartir son investissement entre l'actif sans risque et le portefeuille B, il se situe alors sur le segment RFB dont les points représentent des portefeuilles qui dominent ceux correspondant aux points du segment RFA. n Les meilleurs portefeuilles seront constitués par des combinaisons de l'actif sans risque et du portefeuille M. Ce portefeuille est celui qui correspond au point de tangence entre l'ancienne frontière efficiente S et la tangente à cette courbe passant par le point RF. La frontière efficiente prend maintenant la forme d’une demi-droite dont on voit aisément qu'elle domine l'ancienne frontière efficiente S. 76  77 Le portefeuille optimum d'un investisseur donné sera celui correspondant au point de tangence entre la droite RFM et la courbe d'indifférence la plus élevée qu'il peut atteindre. X0 M A RF σ 77 78 Frontière efficiente et diversification internationale n Voir exemple A B C D E F G H 1 Table 6.5 (A) Annualized Standard Deviation, Average R eturn 2 and Correlation Coefficients of International Stocks, 1980-1993 3 4 Standard Average 5 Country Deviation (%) R eturn (%) 6 US 21.1 15.7 7 G ermany 25.0 21.7 8 UK 23.5 18.3 9 Japan 26.6 17.3 10 Australia 27.6 14.8 11 Canada 23.4 10.5 12 France 26.6 17.2 13 14 Correlation matrix 15 US G ermany UK Japan Australia Canada France 16 US 1.00 0.37 0.53 0.26 0.43 0.73 0.44 17 G ermany 0.37 1.00 0.47 0.36 0.29 0.36 0.63 18 UK 0.53 0.47 1.00 0.43 0.50 0.54 0.51 19 Japan 0.26 0.36 0.43 1.00 0.26 0.29 0.42 20 Australia 0.43 0.29 0.50 0.26 1.00 0.56 0.34 21 Canada 0.73 0.36 0.54 0.29 0.56 1.00 0.39 22 France 0.44 0.63 0.51 0.42 0.34 0.39 1.00 23 24 Source: R oger G. Clarke and Mark P. Kritzman, Currency Management: Concepts and Practice , 25 Charlottesville, VA, R esearch Foundation of the Institute of Chartered Financial Analysts, 1996 78  79 Frontière efficiente et diversification internationale A B C D E F G H 27 Table 6.5 (B) Covariance Matrix: Cell Formulas 28 29 US Germany UK Japan Australia Canada France 30 US b6*b6*b16 b7*b6*c16 b8*b6*d16 b9*b6*e16 b10*b6*f16 b11*b6*g16 b12*b6*h16 31 Germany b6*b7*b17 b7*b7*c17 b8*b7*d17 b9*b7*e17 b10*b7*f17 b11*b7*g17 b12*b7*h17 32 UK b6*b8*b18 b7*b8*c18 b8*b8*d18 b9*b8*e18 b10*b8*f18 b11*b8*g18 b12*b8*h18 33 Japan b6*b9*b19 b7*b9*c19 b8*b9*d19 b9*b9*e19 b10*b9*f19 b11*b9*g19 b12*b9*h19 34 Australia b6*b10*b20 b7*b10*c20 b8*b10*d20 b9*b10*e20 b10*b10*f20 b11*b10*g20 b12*b10*h20 35 Canada b6*b11*b21 b7*b11*c21 b8*b11*d21 b9*b11*e21 b10*b11*f21 b11*b11*g21 b12*b11*h21 36 France b6*b12*b22 b7*b12*c22 b8*b12*d22 b9*b12*e22 b10*b12*f22 b11*b12*g22 b12*b12*h22 37 38 Covariance Matrix: Results 39 40 US Germany UK Japan Australia Canada France 41 US 445.21 195.18 262.80 145.93 250.41 360.43 246.95 42 Germany 195.18 625.00 276.13 239.40 200.10 210.60 418.95 43 UK 262.80 276.13 552.25 268.79 324.30 296.95 318.80 44 Japan 145.93 239.40 268.79 707.56 190.88 180.51 297.18 45 Australia 250.41 200.10 324.30 190.88 761.76 361.67 249.61 46 Canada 360.43 210.60 296.95 180.51 361.67 547.56 242.75 47 France 246.95 418.95 318.80 297.18 249.61 242.75 707.56 79 80 A B C D E F G H 49 Table 6.5 (C) Border-Multiplied Covariance Matrix for the Equally Weighted Portfolio and Portfolio Variance: 50 Cell Formulas 51 US G ermany UK Japan Australia Canada France 52 Weights a69 a70 a71 a72 a73 a74 a75 53 0.1429 a69*b68*b41 a69*c68*c41 a69*d68*d41 a69*e68*e41 a69*f68*f41 a69*g68*g41 a69*h68*h41 54 0.1429 a70*b68*b42 a70*c68*c42 a70*d68*d42 a70*e68*e42 a70*f68*f42 a70*g68*g42 a70*h68*h42 55 0.1429 a71*b68*b43 a71*c68*c43 a71*d68*d43 a71*e68*e43 a71*f68*f43 a71*g68*g43 a71*h68*h43 56 0.1429 a72*b68*b44 a72*c68*c44 a72*d68*d44 a72*e68*e44 a72*f68*f44 a72*g68*g44 a72*h68*h44 57 0.1429 a73*b68*b45 a73*c68*c45 a73*d68*d45 a73*e68*e45 a73*f68*f45 a73*g68*g45 a73*h68*h45 58 0.1429 a74*b68*b46 a74*c68*c46 a74*d68*d46 a74*e68*e46 a74*f68*f46 a74*g68*g46 a74*h68*h46 59 0.1429 a75*b68*b47 a75*c68*c47 a75*d68*d47 a75*e68*e47 a75*f68*f47 a75*g68*g47 a75*h68*h47 60 Sum(a53:a59) sum(b69:b75) sum(c69:c75) sum(d69:d75) sum(e69:e75) sum(f69:f75) sum(g69:g75) sum(h69:h75) 61 Portfolio variance sum(b76:h76) 62 Portfolio SD b77^.5 63 Portfolio mean a69*c6+a70*c7+a71*c8+a72*c9+a73*c10+a74*c11+a75*c12 64 65 Table 6.5 (C) Border-Multiplied Covariance Matrix for the Equally Weighted Portfolio and Portfolio Variance: 66 R esults 67 Portfolio US G ermany UK Japan Australia Canada France 68 Weights 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 69 0.1429 9.09 3.98 5.36 2.98 5.11 7.36 5.04 70 0.1429 3.98 12.76 5.64 4.89 4.08 4.30 8.55 71 0.1429 5.36 5.64 11.27 5.49 6.62 6.06 6.51 72 0.1429 2.98 4.89 5.49 14.44 3.90 3.68 6.06 73 0.1429 5.11 4.08 6.62 3.90 15.55 7.38 5.09 74 0.1429 7.36 4.30 6.06 3.68 7.38 11.17 4.95 75 0.1429 5.04 8.55 6.51 6.06 5.09 4.95 14.44 76 1.0000 38.92 44.19 46.94 41.43 47.73 44.91 50.65 77 Portfolio variance 314.77 78 Portfolio SD 17.7 79 Portfolio mean 16.5 80  81 Frontière efficiente et diversification internationale A B C D E F G H 80 Table 6.5(D) Border-Multiplied Covariance Matrix for the Efficient Frontier Portfolio with Mean of 16.5% 81 (after change of weights by solver) 82 83 Portfolio US Germany UK Japan Australia Canada France 84 weights 0.3467 0.1606 0.0520 0.2083 0.1105 0.1068 0.0150 85 0.3467 53.53 10.87 4.74 10.54 9.59 13.35 1.29 86 0.1606 10.87 16.12 2.31 8.01 3.55 3.61 1.01 87 0.0520 4.74 2.31 1.49 2.91 1.86 1.65 0.25 88 0.2083 10.54 8.01 2.91 30.71 4.39 4.02 0.93 89 0.1105 9.59 3.55 1.86 4.39 9.30 4.27 0.41 90 0.1068 13.35 3.61 1.65 4.02 4.27 6.25 0.39 91 0.0150 1.29 1.01 0.25 0.93 0.41 0.39 0.16 92 1.0000 103.91 45.49 15.21 61.51 33.38 33.53 4.44 93 Portfolio Variance 297.46 94 Portfolio SD 17.2 95 Portfolio mean 16.5 81 82 Frontière efficiente et diversification internationale A B C D E F G H I J 98 Standard Deviation Country Weights in Efficient Portfolios 99 Mean Unrestricted Restricted US Germany UK Japan Australia Canada France 100 9.0 24.239 not feasible -0.0057 -0.2859 -0.1963 0.2205 0.0645 0.9811 0.2216 101 10.5 22.129 0.0648 -0.1966 -0.1466 0.2181 0.0737 0.8063 0.1803 102 10.5 23.388 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0000 0.9993 0.0000 103 11.0 21.483 0.0883 -0.1668 -0.1301 0.2173 0.0768 0.7480 0.1665 104 11.0 22.325 0.0000 0.0000 0.0000 0.0735 0.0000 0.9265 0.0000 105 12.0 20.292 0.1353 -0.1073 -0.0970 0.2157 0.0829 0.6314 0.1390 106 12.0 20.641 0.0000 0.0000 0.0000 0.1572 0.0325 0.7668 0.0435 107 14.0 18.408 0.2293 0.0118 -0.0308 0.2124 0.0952 0.3982 0.0839 108 14.0 18.416 0.2183 0.0028 0.0000 0.2068 0.0884 0.4020 0.0816 109 15.0 17.767 17.767 0.2763 0.0713 0.0023 0.2108 0.1013 0.2817 0.0563 110 16.0 17.358 17.358 0.3233 0.1309 0.0355 0.2091 0.1074 0.1651 0.0288 111 17.0 17.200 17.200 0.3702 0.1904 0.0686 0.2075 0.1135 0.0485 0.0012 112 17.5 17.216 0.3937 0.2202 0.0851 0.2067 0.1166 -0.0098 -0.0125 113 17.5 17.221 0.3777 0.2248 0.0867 0.2021 0.1086 0.0000 0.0000 114 18.0 17.297 0.4172 0.2499 0.1017 0.2059 0.1197 -0.0681 -0.0263 115 18.0 17.405 0.3285 0.2945 0.1157 0.1869 0.0744 0.0000 0.0000 116 18.5 17.441 0.4407 0.2797 0.1182 0.2051 0.1227 -0.1263 -0.0401 117 18.5 17.790 0.2792 0.3642 0.1447 0.1716 0.0402 0.0000 0.0000 118 21.0 19.036 0.5582 0.4285 0.2010 0.2010 0.1380 -0.4178 -0.1090 119 21.0 22.523 0.0000 0.8014 0.1739 0.0247 0.0000 0.0000 0.0000 120 22.0 20.028 not feasible 0.6052 0.4880 0.2341 0.1994 0.1442 -0.5343 -0.1365 121 26.0 25.390 not feasible 0.7931 0.7262 0.3665 0.1929 0.1687 -1.0006 -0.2467 82  83 Frontière efficiente et diversification internationale Figure 8.13 E fficient frontier with seven countries Expected Return (%) 28 Unrestricted efficient frontier Restricted 26 efficient frontier: NO short 24 sales 22 G ermany 20 18 Japan Equally U.K weighted France 16 portfolio U.S 14 Australia 12 Canada 10 8 15 17 19 21 23 25 27 29 Standard deviation (%) 83 Utilité: Courbes d’indifference Ensemble des actifs E(rp) Utilité élevée E(rp) Frontière sp sp Pas d’actif sans risque E(rp) Portefeuille optimal sp 84  Utilité: Courbes d’indifference Ensemble des actifs en presence de l’actif sans risque E(rp) E(rp) CAL Utilité élevée MVE sp sp Avec actif sans rique E(rp) Portefeuille optimal sp 85 86 Le paradoxe de Markowitz 1) Empiriquement, il arrive fréquemment que le portefeuille équipondéré fasse mieux, même sur 10 ans et plus, que les portefeuilles optimisés!!! 2) « Optimisation du portefeuille ou Maximisation des erreurs »? Explications n La linéarité des inputs rend le portefeuille optimal très sensible à des modifications des paramètres. n Surtout si les titres sont très corrélés entre eux (par exemple obligations et bons du Trésor.) n Sans prise en compte du risque d’erreurs d’estimation, l’optimisation conduit alors à parier excessivement sur des outliers (valeurs extrêmes) qui ne sont que des mirages. n D’où « l’optimisation à la Markowitz = la maximisation des erreurs » 86  87 Que faire: n Ne plus optimiser: Mais performance inférieure même sans Markowitz n Introduire des contraintes de financememt : L’impact positif de l’interdiction des ventes à découvert, et d’autres contraintes quantitatives ü Le modèle de Black & Litterman et les modèles Bayésiens ü Le resampling de R. Michaud (réechantillionage) 87 88 Optimization MV vs. le modèle Black-Litterman n Le portefeuille optimal est obtenu en recherchant la solution d’un problème d’optimisation quadratique : !!"# ! ! " # $ $! ! % ! ! % n où wT correspond aux pondérations, S est la matrice de covariance, l représente l’aversion au risque ) *5 +*6 λ= 7 ,5 n E(rM) est le rendement espéré du marché. rf correspond au taux sans risque et s2Mest la variance du marché et P le vecteur des rendements espérés. n La solution du problème est la suivante : !! ! = " #$"% " 88  89 Le modèle Black-Litterman n Le modèle Black-Litterman est un modèle d'optimisation de portefeuille développé par Fischer Black et Robert Litterman en 1990 chez Goldman Sachs. n L’approche Black-Litterman défie un des principaux points faibles de l’optimisation moyenne- variance, qui est la forte sensibilité aux rendements futurs. La particularité du modèle Black- Litterman est l’utilisation des rendements implicites issus de la relation suivante : !! = "#$ !"# n L’objectif du modèle Black-Litterman est d’intégrer à la fois l’équilibre du marché et les vues de l’investisseur (ou prévisions). n Le point de départ est le modèle d’équilibre (le CAPM, par exemple) + prévisions ou vues du gestionnaire n L'objectif est d'améliorer les performances de la construction de portefeuille en prenant en compte non seulement les estimations du marché, mais aussi les attentes de l'investisseur. n Remarque: Les gestionnaires et les analystes financiers ont des opinions sur les mouvements des marchés boursiers, mais aucun modèle ne permettait de les considérer jusqu’à l’apparition de l’approche Black-Litterman. 89 90 Le modèle Black-Litterman n où Q représente les vues, e est un vecteur de terme d’erreur indiquant l’incertitude liée à ces opinions et k le nombre de vue. 90  91 Le modèle Black-Litterman n Il n’y a aucune contrainte sur ces vues; en effet le gestionnaire peut proposer autant de vues qu’il le désire. n Cependant, il doit prendre en considération un niveau de confiance. Ce dernier reflète le degré de certitude du gestionnaire sur sa prévision. n En général, si la vue suggère qu’un certain actif obtienne un rendement supérieur au rendement implicite (ou à la différence dans le cas relatif), alors le modèle privilégiera cet actif et lui allouera un poids significatif dans le portefeuille. n Les gestionnaires ne sont pas contraints d’exprimer leur vue ni d’en révéler une pour chacune des classes d’actifs. Dans ce dernier cas, le modèle utilise les rendements implicites, soit ceux de l’équilibre du marché (selon le CAPM, par exemple). 91 92 Le modèle Black-Litterman n Pour tenir compte de ces vues dans le modèle, on suppose la relation suivante : n où Q représente les vues, e est un vecteur de terme d’erreur indiquant l’incertitude liée à ces opinions et k le nombre de vue. 92  93 Le modèle Black-Litterman n 93 94 Le modèle Black-Litterman n Soit la matrice P, représentant les actifs considérés par le gestionnaire dans ses prévisions: n Les lignes de cette matrice correspondent donc aux vues du gestionnaire. n Les colonnes concordent au nombre et à l’ordre des actifs dans le portefeuille. De façon générale: n Finalement, les vues sont exprimées par: n E[R] représente les rendements espérés que l’on ne peut pas observer. Ils vont intégrer à la fois les différentes vues des investisseurs ainsi que les relations d’équilibre P, issues des capitalisations boursières initiales. n On suppose que P.E[R] suit une distribution normale avec une moyenne Q et une variance W (matrice de covariance), correspondant au terme d’incertitude e : P.E[R]~N(Q, W) 94  Le modèle Black-Litterman n La meilleure estimation des rendements est obtenue en minimisant la variance autour des rendements d’équilibre: n n Sous les contraintes: 𝑉 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑢𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑖𝑛𝑒𝑠 n P. E(R) = " 𝑉 + 𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑢𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑖𝑛𝑒𝑠 n La solution est … A faire en exercice… 95 96 Démonstration 96  97 Le modèle Black-Litterman n On obtient la formule générale du modèle Black-Litterman : n où k est le nombre de vues exprimées par le gestionnaire, n est le nombre d’actifs dans le portefeuille, t est un facteur de proportionnalité (un scalaire) qui dépend de la confiance de l’investisseur dans le marché. Plus il est petit, plus on a confiance dans les rendements implicites, et moins dans les vues. C’est un paramètre que le gestionnaire doit spécifier. Ainsi si on ne dispose pas de vue particulière, alors t égale à 0 et les rendements espérés sont égaux à P. S est la matrice de covariance des rendements (n x n), W est la matrice diagonale de covariance des termes d’erreur, représentant les seuils de confiance de l’investisseur (k x k), P est le vecteur des rendements implicites (n x 1), P est la matrice identifiant les actifs sur lesquels l’investisseur a donné son opinion (k x n) et Q est le vecteur des vues (k x 1) n E[R] représente le nouveau vecteur de rendements selon l’approche Black- Litterman. Ainsi, lorsque le gestionnaire est moins confiant dans ses vues, on observe une espérance plus proche des rendements implicites et inversement. n Finalement, grâce à ce nouveau vecteur de rendements, on peut enfin optimiser notre portefeuille et construire une frontière efficiente. n Cette dernière nous indiquera la nouvelle répartition des classes d’actifs du portefeuille. 97 n Voici l’équation principale qui est au cœur du modèle Black-Litterman : 1. E(R) : C'est le vecteur des rendements attendus du portefeuille ajusté selon les opinions de l'investisseur. 2. Π : Représente les rendements implicites d'équilibre, souvent calculés à partir des capitalisations boursières en utilisant un modèle de marché de type CAPM (Capital Asset Pricing Model). Il s'agit des rendements attendus du marché sans l'intervention des opinions spécifiques de l'investisseur. 3. τ: C'est un scalaire qui mesure l'incertitude autour des rendements de marché implicites Π. Il est souvent difficile à estimer et est généralement fixé à une petite valeur (par exemple, 0,025). 4. Σ: C’est la matrice de covariance des rendements des actifs dans le marché. Elle capture les risques de chaque actif et les corrélations entre eux. 5. Q : Le vecteur des opinions de l’investisseur. Il représente les vues spécifiques de l’investisseur sur certains actifs ou portefeuilles (par exemple, "je pense que l'actif X surperformera l'actif Y de 2 %"). 6. Ω : C'est la matrice de covariance des erreurs liées aux opinions de l’investisseur. Elle mesure l'incertitude associée à chacune des opinions. 7. v : C'est le vecteur des opinions exprimées par l'investisseur sur certains actifs. 8. P : C'est la matrice qui relie les actifs concernés par les opinions de l'investisseur. Chaque ligne de cette matrice représente une opinion, et chaque colonne un actif. 98  Exemple: Situation initiale: n Supposons que nous avons un portefeuille composé de trois actifs : Actions A, Actions B, et Obligations C. n Les rendements du marché (Π\PiΠ) sont calculés à partir des capitalisations boursières et supposent des rendements implicites du marché basés sur le CAPM : ΠA=8% (Actions A) ΠB=6% (Actions B) ΠC=3% (Obligations C) 99 n Covariance du marché (Σ\SigmaΣ) : n Les risques et les corrélations entre les actifs sont donnés par la matrice de covariance suivante : 0.04 0.02 0.01 0.02 0.03 0.015 0.01 0.015 0.02 Cela signifie que les actions A sont plus volatiles (4%) que les obligations C (2%). n Vues de l'investisseur (v) : L'investisseur a des opinions spécifiques sur les rendements futurs des actifs : Il pense que les actions A surperformeront les actions B de 2 %. Cela nous donne le vecteur de vues : V = 2% 100  n Matrice de lien des actifs (P) : L’opinion de l’investisseur concerne une comparaison entre A et B, donc la matrice PPP prend la forme suivante : P=(1 −1 0) n Incertitude sur les vues (Ω) : L'incertitude des opinions de l'investisseur est modélisée par une matrice de covariance diagonale, souvent supposée proportionnelle à Σ\SigmaΣ. Pour simplifier, supposons une incertitude de 0.005 (ou 0.5 %) sur cette opinion. Ω=(0.005) 101 n Rendements attendus ajustés (Black-Litterman) : En utilisant l'équation du modèle Black-Litterman, nous combinons les rendements implicites du marché avec les vues de l’investisseur, tout en tenant compte de l'incertitude associée à ces vues. Le résultat est un nouveau vecteur de rendements attendus E(R), qui pourrait ressembler à ceci (résultat simplifié pour l'exemple) : -./% E(R)= 1./% 2% n Le modèle Black-Litterman ajuste les rendements attendus en fonction des opinions de l'investisseur, ce qui augmente légèrement le rendement attendu des actions A (de 8% à 8.5%) et celui des actions B (de 6% à 6.5%), tout en maintenant celui des obligations constant. n L'investisseur peut alors utiliser ces rendements ajustés pour optimiser son portefeuille, en appliquant une méthode de moyenne-variance afin de maximiser le rendement ajusté au risque. 102  103 Le modèle Black-Litterman ! ! Coefficient Matrice de Capitalisations Vues des L’incertitude d’aversion au covariance boursières gestionnaires des vues ! (Q) risque (!) (") (#mkt) ($) ! ! ! Vecteur des rendements implicites issus de l’équilibre du ! marché: % = !"#mkt ! ! ! ! On suppose que les rendements Les vues des investisseurs espérés sont distribués normalement sont représentées sous forme ! autour des rendements implicites matricielle, P.E[R] = Q + ' et ! d’équilibre avec une matrice de sont distribuées normalement: ! covariance proportionnelle à la ! matrice de covariance initiale, dont le facteur de proportion est &. ! ! N~(%, &") N~(Q, $) ! ! ! ! On obtient finalement le nouveau vecteur de rendement combinant ! les vues et l’équilibre du marché. La distribution de ce vecteur est ! la suivante: ! N~(E[R], [(&")-1 + (P’$-1P)]-1)* 103 105 Le modèle Black-Litterman n Lectures: BKMP chap. 21 Articles: n Black, Fisher, and Robert Litterman, 1992, “Global Portfolio Optimization,” Financial Analysts Journal, September 1992, 28-43. n Dobretz, Wolfgang, 2001, “How to avoid the Pitfalls in Portfolio Optimization? Putting the Black-Litterman Approach at Work,” Financial Markets and Portfolio Management, 15, 59-75. n He, Guangliang, and Robert Litterman, 1999, “The Intuition Behind Black- Litterman Model Portfolios,” Goldman-Sachs Investment Management Division. http://www.som.yale.edu/Faculty/zc25/Investments/GS- ModelIntuition.pdf n Kooli, Maher, and Margaux Selam, 2010, “Revisiting the Black-Litterman model: The case of hedge funds” Journal of Derivatives & Hedge Funds, 16, 70-81. 105  106 106 108 Série d’exercices !"#$%&%#'E')' !! !?#$#%#C#DED)*+#)E+I-.+#+-)#?*#L%)MN.2#P*+#Q*CD*+#R#S.M7-Q*)D#+7CD#%-D7)E+.*+2# 82! 9*D)7-Q*)#?:.I-%DE7C#S7CC%CD#?*+#;)7;7)DE7C+#S*#MN%I-*#DED)*#S:-C#;7)D*RL RL-R RL> ou = R 1 0.0050 0.20% 0.002 -0.20% 2 0.0049 0.19% 0.0019 -0.19% 3 0.0034 0.04% 0.0004 -0.04% 4 0.0001 -0.29% 0.29% 0.0029 5 0.0100 0.70% 0.007 -0.70% 6 0.0010 -0.20% 0.20% 0.002 7 0.0030 0.00% 0.00% 0 8 0.0070 0.40% 0.004 -0.40% 9 0.0011 -0.19% 0.19% 0.0019 10 0.0023 -0.07% 0.07% 0.0007 11 0.0078 0.48% 0.0048 -0.48% 12 0.0015 -0.15% 0.15% 0.0015 RL = 0.30% Somme = 0.0201 Somme = 0.009 Omega= 2.233 > 1 une réelle opportunité d’investissement 43 45 Le ratio Sharpe-Oméga n Développé par Kazemi, Shneeweis et Gupta (2002): Une mesure de rendement ajusté au risque où le dénominateur, le prix de option de vente (Put) représente le coût de se protéger. ". % "- ". % "- , % !#" - ! & L & $#" - ! ! )*+# (' " - %". 1 ! 1 &0 45  Mesure de performance avec changement de composition 46 du portefeuille n On suppose que le ratio Sharpe du marché (M) = 0.4 n 1 ère année: le gestionnaire suit une stratégie à faible risque et réalise un rendement excédentaire moyen annuel de 1% avec un écart-type de 2% → Un ratio Sharpe de 0.5> à la Stratégie passive (0.4) n 2 ème année: : le gestionnaire suit une stratégie à risque élevé et réalise un rendement excédentaire moyen annuel de 9% avec un écart-type de 18% → Un ratio Sharpe de 0.5> à la Stratégie passive (0.4) n Cependant, la moyenne et l’écart-type des 8 trimestres sont de 5% et de 13.42%, respectivement → Un ratio Sharpe de 0.37 < à la Stratégie passive (0.4) Bodie et al. Investments 9th Canadian Edition © 2019 McGraw-Hill Ryerson Ltd. 46 Mesure de performance avec changement de composition 47 du portefeuille n Le « shift » au niveau de la moyenne des 4 premiers (1-4) trimestres aux 4 trimestres (5-8) qui suivent n’est pas perçue comme un « shift » au niveau de la stratégie. n Le changement au niveau de la stratégie d’investissement, de la moins risquée à la plus risquée, amène plus de risque perçu et sous-estime le Sharpe ratio. n Pour une gestion active, il est important de faire un suivi de la composition du portefeuille et des changements aux niveaux de la moyenne et du risque. Bodie et al. Investments 9th Canadian Editio