Mathematik I SoSe24 - Grundlagen der Geometrie

Eine Größe, die nur durch ihren Zahlenwert definiert ist (z.B. Temperatur, Zeit, Gewicht).

Eine Größe, die sowohl durch ihren Zahlenwert als auch durch ihre Richtung definiert ist (z.B. Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung).

Der Prozentsatz der Studierenden, die eine Prüfung nicht bestanden haben.

Eine Kultur, in der Feedback aktiv ermutigt und aufgenommen wird, um zu verbessern.

Informationen, die von der Hochschule herausgegeben werden und Prüfungen betreffen (z.B. Termine, Inhalte, Anmeldefristen).

Informationen, die von der Prüfungs- und Studienkommission (PK) des Fachbereichs herausgegeben werden.

Fristen, die für bestimmte Vorgänge einzuhalten sind (z.B. Anmeldefristen für Prüfungen).

Das Hören auf Informationen, um sich über bestimmte Themen zu informieren.

Ein Zylinder im Raum wird definiert durch einen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Zylinderachse (𝑥𝑥⃗0), einen Richtungsvektor der Zylinderachse (𝑎𝑎⃗) und den Zylinderradius (𝑅𝑅). Alle Punkte auf der Mantelfläche müssen die Gleichung 𝑎𝑎⃗ × 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑅𝑅 ⋅ 𝑎𝑎⃗ erfüllen.

Die Gleichung 𝑎𝑎⃗ × 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑅𝑅 ⋅ 𝑎𝑎⃗ beschreibt die Bedingung, die alle Punkte auf der Mantelfläche eines Zylinders erfüllen müssen. Sie basiert auf dem Vektorprodukt und dem Zylinderradius.

Die Gleichung 𝑎𝑎⃗ × 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑅𝑅 ⋅ 𝑎𝑎⃗ kann vereinfacht werden zu 𝑎𝑎⃗ × 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑅𝑅 2 ⋅ 𝑎𝑎⃗ 2. Diese vereinfachte Form macht deutlich, dass der Abstand eines Punktes auf der Mantelfläche zur Achse (links) durch den Radius (rechts) festgelegt wird.

Die implizite Form der Oberflächendarstellung eines Zylinders definiert die Oberfläche durch eine Gleichung, die alle Punkte auf der Oberfläche erfüllt und keinen Parameter benötigt.

Der Kegel wird durch den Ortsvektor zur Spitze (𝑥𝑥⃗0), den Richtungsvektor der Achse (𝑎𝑎⃗) und den halben Kegelöffnungswinkel (𝛼𝛼) definiert.

Die implizite Form der Oberflächendarstellung eines Zylinders beschreibt alle Punkte auf der Oberfläche durch eine Gleichung, die die geometrischen Eigenschaften des Zylinders widerspiegelt.

Die implizite Oberflächendarstellung beschreibt die Oberfläche eines Objekts, ohne explizit die Parameter der Punkte entlang der Oberfläche anzugeben. Sie ergibt sich durch eine Gleichung, die von allen Punkten auf der Oberfläche erfüllt wird.

Die Gleichung, die die Punkte auf der Mantelfläche eines Kegels beschreibt. Sie verwendet den Ortsvektor des Punktes (x), den Ortsvektor der Kegelspitze (x0), den Richtungsvektor der Kegelachse (a) und den Winkel zwischen der Achse und der Mantellinie (alpha).

Ein Spezialfall der Kegelmantel Gleichung, bei dem die Kegelspitze im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Sie besagt, dass das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Kegelachse (a) und des Ortsvektors (x) eines Punktes auf der Kegelmantelfläche gleich dem Produkt aus der Länge von a, der Länge von x und dem Cosinus des Winkels (alpha) zwischen ihnen ist.

Die implizite Darstellung eines Kegels, die die Beziehung zwischen den Koordinaten x, y und z eines Punktes auf der Kegelmantelfläche beschreibt. Sie gilt für Kegel, deren Achse mit der z-Achse übereinstimmt.

Die Gleichung, die die Punkte auf der Oberfläche einer Kugel beschreibt. Sie verwendet den Ortsvektor des Kugelmittelpunktes (x0), den Ortsvektor eines Punktes auf der Kugeloberfläche (x) und den Radius der Kugel (R).

Die mathematische Darstellung, die einen geometrischen Körper durch eine Gleichung definiert. Beispielsweise kann die Gleichung einer Kugel alle Punkte beschreiben, die auf ihrer Oberfläche liegen.

Eine quadratische Matrix, die die Eigenwerte einer Matrix A auf ihrer Diagonale und Nullen an allen anderen Stellen enthält. Sie enthält Informationen über die Eigenwerte der Matrix.

Eine Matrix, deren Spalten die Eigenvektoren einer Matrix A sind. Sie enthält Informationen über die Eigenvektoren der Matrix.

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix A ist gleich der Spur (Summe der Diagonalelemente) der Matrix.

Das Produkt der Eigenwerte einer Matrix A ist gleich der Determinante der Matrix.

Für obere oder untere Dreiecksmatrizen sind die Eigenwerte gleich den Diagonalelementen.

Orthogonale Matrizen haben nicht unbedingt n reelle Eigenwerte, aber all ihre Eigenwerte haben den Betrag 1.

Komplexe Eigenwerte treten immer in konjugiert komplexen Paaren (z.B. a + bi und a - bi) auf.

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung der Matrix.

Eine Matrix, die die Skalierung eines Vektors in verschiedenen Richtungen beschreibt.

Eine Matrix, die eine Drehung um die x-, y- oder z-Achse beschreibt.

Eine Art der Drehung, bei der der Vektor fixiert bleibt und das Koordinatensystem gedreht wird.

Eine Art der Drehung, bei der das Koordinatensystem fixiert bleibt und der Vektor gedreht wird.

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. die Reihenfolge, in der Matrizen multipliziert werden, beeinflusst das Ergebnis.

Ein Punkt in einem dreidimensionalen Raum, der durch seine x-, y- und z-Koordinaten dargestellt wird.

Die Koordinaten des Punktes, die vor der Anwendung der Skalierungsmatrix vorlagen.

Eine Matrizenoperation, die eine andere Matrizenoperation rückgängig macht.

Homogene Koordinaten werden verwendet, um 3D-Operationen im Raum durch Matrixmultiplikation einheitlich darzustellen. Durch Hinzufügen einer vierten Koordinate $~$ '$~$' wird ein Punkt im Raum als $~$ vierdimensionaler Vektor dargestellt. Man verwendet oft $h = 1 $.

Die Matrixdarstellung einer Translation in 3D ist eine 4x4 Matrix, die den Vektor um eine bestimmte Distanz in x, y und z Richtung verschiebt.

Die inverse Translationsmatrix '$~$ $T^{-1}$ '$~$' führt die umgekehrte Verschiebung aus. Sie hebt die durch '$~$ $T$ '$~$' erzeugte Verschiebung auf.

Die Formel '$~$ $T^{-1} * T = T * T^{-1} = E$ '$~$' zeigt, dass die Anwendung der '$~$ $T$ '$~$' und anschließenender '$~$ $T^{-1}$ '$~$' gleich der Einheitsmatrix '$~$ E$'$~$' ist.

Man berechnet die Inverse einer beliebigen Matrix '$~$ A'$~$' durch '$~$ $A^{-1} = (A^T)^T / det(A)$ '$~$', wenn die Determinante '$~$ $det(A)$ '$~$' ungleich 0 ist.