هندسة ثاية ترم أول.docx

**(5) [المعطى :] ء هـ = 6سم , ب هـ = 9سم , م ء = 4سم** **[المطلوب :] أوجد محيط [ ]** [*Δ*]{.math.inline} **ب م جـ** **[البرهان :] ∵ ء منتصف أ ب , هـ منتصف أ جـ** **∴ ء هـ = ــــــ ب جـ ∴ ء هـ = 6سم ∴ ب جـ = 12سم** **∵ م نقطة تقاطع المتوسطات** **∴ م ب = ـــــ ب هـ = 9 × ـــــ = 6سم** **∵ م ء =...

**(5) [المعطى :] ء هـ = 6سم , ب هـ = 9سم , م ء = 4سم** **[المطلوب :] أوجد محيط [ ]** [*Δ*]{.math.inline} **ب م جـ** **[البرهان :] ∵ ء منتصف أ ب , هـ منتصف أ جـ** **∴ ء هـ = ــــــ ب جـ ∴ ء هـ = 6سم ∴ ب جـ = 12سم** **∵ م نقطة تقاطع المتوسطات** **∴ م ب = ـــــ ب هـ = 9 × ـــــ = 6سم** **∵ م ء = 4سم ∴ م جـ = 2 م ء = 8سم** **∴ محيط [ ]** [*Δ*]{.math.inline} **م ب جـ = 12 + 6 + 8 = 26سم** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(6) [المعطى] : ق ( \> هـ) = ^5^30** **[المطلوب :] اثبت أن أ جـ = ب هـ** [ **البرهان :**] **في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ القائم الزاوية في ب** **∵ ب ء متوسط ∴ ب ء = ـــــ أ جـ (1)** **في** [*Δ*]{.math.inline} **ب ء هـ القائم الزاوية في ء** **∵ ب ء ضلع مقابل للزاوية ^5^30** **∴ ب ء = ـــــ ب هـ (2)** **من (1) , (2)** **∴ أ جـ = ب هـ** **(7) [المعطى :] كما بالشكل** **[المطلوب :] اثبت أن : أ ب = ب س = هـ و** **[البرهان] : في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ القائم الزاوية في ب** **∵ ب س متوسط ∴ ب س = ـــــ أ جـ (1)** **∵ أ ب ضلع مقابل للزاوية ^5^30** **∴ أ ب = ـــــ أ جـ (2)** **في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ء جـ : ∵ هـ منتصف أ ء , و منتصف ء جـ** **∴ هـ و = ــــــ أ جـ (3) من (1) , (2) , (3) ∴ ب س = أ ب = هـ و** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(8) [المعطى] : ق ( \> هـ) = ^5^30** **, أ جـ = ب هـ , ب ء متوسط** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> أ ب جـ ) = ^5^90** [ **البرهان :**] **في** [*Δ*]{.math.inline} **ب ء هـ القائم الزاوية في ء** **∵ ب ء ضلع مقابل للزاوية ^5^30** **∴ ب ء = ـــــ ب هـ , ∵ ب هـ = أ جـ** **∴ ب ء = ـــــ أ جـ , ∵ ب ء متوسط في المثلث أ ب جـ** **∴ ق ( \> أ ب جـ ) = ^5^90** **(9) [المعطى :] أ جـ = 20سم** **[المطلوب :] أوجد طول ب ء** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ** **∵ س منتصف أ ب , ص منتصف ب جـ** **∴ س ص = ـــــ أ جـ = 10سم** **في** [*Δ*]{.math.inline} **س ب ص القائم الزاوية في ب** **∵ ب ء متوسط خارج من رأس القائمة** **∴ ب ء = ـــــ س ص = 5سم** **ملحوظة : ب ء = ـــــ أ جـ** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(10) [المعطى :] هـ = هـ ء = 4سم , هـ منتصف أ جـ , ق ( \> ب ) = ^5^90** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> أ ء جـ ) = ^5^90** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ القائم الزاوية في ب** **∵ ب هـ متوسط ∴ ب هـ = ـــــ أ جـ** **∵ ب هـ = ء هـ ∴ ء هـ = ـــــ أ جـ** **∵ ء هـ متوسط في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ء جـ** **∴ ق ( \> أ ء جـ ) = ^5^90** **(11) [المعطى :] ق ( \> أ ) = ق ( \> ء ) = ^5^90 , هـ منتصف ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن أ هـ = ء هـ** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ القائم الزاوية في أ** **∵ أ هـ متوسط ∴ أ هـ = ـــــ ب جـ (1)** **في** [*Δ*]{.math.inline} **ب ء هـ القائم الزاوية في ء** **∵ ء هـ متوسط ∴ ء هـ = ــــــ ب جـ (2)** **من (1) , (2) ∴ أ هـ = ء هـ** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(12) [المعطى :] أ هـ = ء هـ , هـ منتصف ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> ء ) = ^5^90** **[البرهان] : [:] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ القائم الزاوية في أ** **∵ أ هـ متوسط ∴ أ هـ = ـــــ ب جـ** **∵ ء هـ = أ هـ ∴ ء هـ = ـــــ ب جـ** **∵ ء هـ متوسط في** [*Δ*]{.math.inline} **ء ب جـ** **∴ ق ( \> ء ) = ^5^90** **(13) [المعطى :] أ ب = 5سم , ء هـ = 5سم** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> ء ) = ^5^90** [ **البرهان :** ]**∵ في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ القائم الزاوية في ب** **∵ أ ب ضلع مقابل للزاوية ^5^30** **∴ أ ب = ـــــ أ جـ ∴ أ جـ = 10سم** **في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ء جـ ∵ ء هـ = 5سم** **∴ ء هـ = ـــــ أ جـ** **∵ ء هـ متوسط في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ء جـ ∴ ق ( \> ء ) = ^5^90** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(14) [المعطى :] كما بالشكل** **[المطلوب :] أوجد ق ( \> أ ب ء )** = **^5^65** **[البرهان] : في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ ب = أ جـ** **∴ ق ( \> أ ب جـ ) = ق ( \> أ جـ ب ) = ـــــــــــــــــــــــ = ^5^65** **∵** [*Δ*]{.math.inline} **ء ب جـ متساوي الأضلاع** **∴ ق ( \> ء ب جـ ) = ^5^60** **∴ ق ( \> أ ب ء ) = 65 + 60 = ^5^125** **(15) [المعطى :] أ ب = أ جـ , ب ء ينصف (\> ب ) , ء جـ ينصف \>) جـ )** **[المطلوب :] اثبت أن ء ب = ء جـ** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ** **∵ أ ب = أ جـ ∴ ق(\> ب ) = ق(\> جـ )** **∵ ء ب ينصف (\> ب ) , ء جـ ينصف (\> جـ )** **∴ ــــــ ق(\> ب ) = ــــــ ق(\> جـ )** **∴ ق(\> ء ب جـ ) = ق(\> ء جـ ب )** **∴ ء ب = ء جـ** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(16) [المعطى :] أ ب = أ جـ , ق(\> ب أ ء ) = ق(\> جـ أ هـ )** **[المطلوب :] اثبت أ ء = أ هـ** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ ب = أ جـ** **∴ق(\> ب ) = ق(\> جـ )** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} [ ] [*Δ*]{.math.inline} [ **أ ب ء , أ جـ هـ**] **:** **1) أ ب = أ جـ** **2) ق(\> ب ) = ق(\> جـ )** **3) ق(\> ء أ ب ) = ق(\> جـ أ هـ )** **∴ يتطابق** [*Δ*]{.math.inline} [*Δ*]{.math.inline} [ **و ينتج أن :** ]**أ ء = أ هـ** **, ∴ ق(\> أ ء هـ ) = ق(\> أ ء هـ مطلوب آخر )** **(17)[المعطى :] أ ب = أ جـ , ق ( \> أ )** = **^5^70** **[المطلوب :] اثبت أن** [*Δ*]{.math.inline} **ء هـ جـ متساوي الساقين** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ ب = أ جـ** **∴ق(\> ب ) = ق(\> جـ ) = ـــــــــــــــــــ = ^5^55** **في** [*Δ*]{.math.inline} **ء هـ جـ ∵ ق ( \> هـ ء جـ ) = ^5^55** **∴ ق ( \> هـ ء جـ ) = ق ( \> جـ )** **∴ هـ ء = هـ جـ ∴** [*Δ*]{.math.inline} **ء هـ جـ متساوي الساقين** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(18[) المعطى :] أ ء = ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن أ ب = أ جـ** **[البرهان :]** **∵ ( \> أ ء جـ ) خارجة عن** [*Δ*]{.math.inline} **أ ء ب** **∴ ق ( \> أ ء جـ ) = 30 + 40 = ^5^70** **في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ء جـ ∵ أ ء = أ جـ** **∴ ق ( \> أ ء جـ ) = ق ( \> جـ ) = ^5^70** **∵ مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلة = ^5^180** **∴ ق ( \> ء أ جـ ) = 180 -- ( 70 + 70 ) = ^5^40** **∴ ق ( \> ب أ جـ ) = 30 + 40 = ^5^70** **∴ ق ( \> ب أ جـ ) = ق ( \> جـ ) = ^5^70 ∴ أ ب = ب جـ** **(19) [المعطى :] أ ب // ء جـ , هـ ء = هـ جـ , ق ( \> أ هـ ء ) = ^5^100** **[المطلوب :] أوجد ق ( \> أ )** **[البرهان :] ∵ ( \> أ هـ ء ) خارجة عن** [*Δ*]{.math.inline} **ء هـ جـ** **∴ ق ( \> ء ) + ق ( \> جـ ) = ^5^100** **∴ ء هـ = هـ جـ** **∴ ق ( \> ء ) = ق ( \> جـ ) = ^5^50** **∵ أ ب // ء جـ , أ جـ قاطع لهما** **∴ ق ( \> أ ) = 180 -- 50 = ^5^130 بالتداخل** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(20) [المعطى :] أ ب = أ جـ , ء هـ // ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن أ ء = أ هـ** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ ب = أ جـ** **∴ ق ( \> ب ) = ق ( \> جـ )** **∵ ء هـ // ب هـ** **∴ ق ( \> ب ) = ق ( \> أ ء هـ ) بالتناظر** **, ∴ ق ( \> جـ ) = ق ( \> أ هـ ء ) بالتناظر** **∴ ق ( \> أ ء هـ ) = ق ( \> أ هـ ء )** **∴ أ ء = أ هـ** **(21) [المعطى :] أ ب = أ جـ , أ ب // ء هـ , أ جـ // ء و** **[المطلوب :] اثبت أن ء هـ = ء و** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ ب = أ جـ** **∴ ق ( \> ب ) = ق ( \> جـ )** **∵ أ ب // ء هـ** **∴ ق ( \> ب ) = ق ( \> ء هـ و ) بالتناظر** **∵ أ جـ // ء و** **∴ ق ( \> جـ ) = ق ( \> ء و هـ ) بالتناظر** **∴ ق ( \> ء هـ و ) = ق ( \> ء و هـ )** **∴ ء هـ = ء و** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(22) [المعطى :] ء هـ // ب جـ , ب هـ ينصف ( \> ب )** **[المطلوب :] اثبت أن** [*Δ*]{.math.inline} **ء ب هـ متساوي الساقين** **[البرهان:] ∵ ء هـ // ب جـ , ء هـ قاطع لهما** **∴ ق ( \> ء هـ ب ) = ق ( \> هـ ب جـ ) بالتبادل (1)** **∵ ب هـ ينصف ( \> ب )** **∴ ق ( \> ء ب هـ ) = ق ( \> هـ ب جـ ) (2)** **من (1) , (2) ∴ ق ( \> ء ب هـ ) = ق ( \> ء هـ ب )** **∴ ء ب = ء هـ** **∴** [*Δ*]{.math.inline} **ء ب هـ متساوي الساقين** **(23) [المعطى :] ق ( \> أ ) = ^5^40 , ق ( \> أ ب ء ) = ^5^110** **[المطلوب :] اثبت أن أ ب = أ جـ** **[البرهان :] ∵ ( ء ب جـ ) زاوية مستقيمة** **ق ( \> أ ب جـ ) = 180 - 110 = ^5^70** **∵ مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلة = ^5^180** **∴ ق ( \> جـ ) = 180 -- ( 40 + 70 ) = ^5^70** **∴ ق ( \> أ ب جـ ) = ق ( \> جـ )** **∴ أ ب = أ جـ** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(24) [المعطى :] ء هـ ب مثلث متساوي الأضلاع , ق ( \> جـ ) = ^5^30** **[المطلوب :] اثبت أن أ ب = ب جـ** **[البرهان : ]** **∵** [*Δ*]{.math.inline} **ء هـ ب متساوي الأضلاع** **∴ ق ( \> ء ب هـ ) = ^5^60** **∵ أ ب هـ زاوية خارجة عن** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ** **∴ ق ( \> أ ) = 60 -- 30 = ^5^30** **ق ( \> أ ) = ق ( \> جـ )** **∴ أ ب = ب جـ** **(25) [المعطى :] ق ( \> ب ) = ق ( \> جـ )** **[المطلوب :] أوجد محيط المثلث أ ب جـ** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ** **∵ ق ( \> ب ) = ق ( \> جـ )** **∴ أ ب = أ جـ نكون معادلة** **∴ 2 س -- 1 = س + 3 ∴ 2 س -- س = 3 + 1** **∴ س = 4 ∴ أ ب = 2 × 4 - = 7سم , أ جـ = 4 + 3 = 7سم** **ب جـ = 9 -- 4 = 5 ∴ محيط المثلث أ ب جـ = 7 + 7 + 5 = 19سم** **ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(26) [المعطى :] أ ب = أ جـ** **[المطلوب :] أوجد قياسات زوايا المثلث أ ب جـ** **[البرهان :] ∵ أ ب = أ جـ** **ق ( \> ب ) = ق ( \> جـ )** **∴ 3 س -- 17 = 2 س + 13** **3 س -- 2 س = 13 + 17** **س = 30** **ق ( \> ب ) = 2 × 30 + 13 = ^5^73** **ق ( \> جـ ) = 3 × 30 -- 17 = ^5^73** **ق ( \> أ ) = 180 -- ( 73 + 73 ) = ^5^34** **(27) [المعطى :] ب هـ ⊥ أ جـ , أ هـ = 4سم , ق ( \> جـ ) = ^5^30** **[المطلوب :] أوجد محيط المثلث أ ب ء** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب ء** **∵ هـ منتصف أ ء , ب هـ ⊥ أ ء** **∴ المثلث أ ب ء متساوي الساقين** **∴ أ ب = ب ء** **في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ القائم الزاوية في ب , ق ( \> جـ ) = ^5^30** **∴ ق ( \> أ ) = 180 -- ( 90 + 30 )= ^5^60 ∴ المثلث أ ب ء متساوي الأضلاع** **∴ أ ب = ب ء = أ ء = 8سم ∴ محيط المثلث أ ب ء = 3× 8 = 24سم ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(28) [المعطى :] س ص = س ع , س هـ ⊥ ص ع** **[المطلوب :] اثبت أن 1) ص هـ = ـــــ ص ع 2) ص ء = ع ء** **[البرهان :] ∵ س ص = س ع , س هـ ⊥ ص ع** **∴ س هـ محور تماثل المثلث س ص ع** **∴ هـ منتصف ص ع ∴ ص هـ = ــــــــ ص ع (أولا)** **∵ ء هـ ⊥ ص ع , ص هـ = هـ ع** **∴ ء هـ محور تماثل ص ع** **∴ ء ص = ء ع** **(29) [المعطى :] أ ب // ء هـ , أ ب = ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن جـ ء = جـ هـ** **[البرهان :] ∵ أ جـ = ب جـ** **∴ ق ( \> أ ) = ق ( \> ب )** **∵ أ ب // ء هـ** **∴ ق ( \> أ ) = ق ( \> جـ ) بالتبادل** **, ق ( \> ب ) = ق ( \> ء ) بالتبادل** **∴ ق ( \> ء ) = ق ( \> هـ ) ∴ جـ ء = جـ هـ** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(30) [المعطى :] أ ب جـ ء متوازي أضلاع , و هـ = و ء** **[المطلوب :] اثبت أن المثلث أ ب هـ متساوي الساقين** **[البرهان :] ∵ و هـ = و ء** **∴ ق ( \> و ء هـ ) = ق ( \> و هـ ء )** **∵ أ ب // و جـ** **∴ ق ( \> ب أ هـ ) = ق ( \> و ء هـ, ) بالتبادل** **, ق ( \> أ هـ ب ) = ق ( \> و هـ ء ) بالتقابل بالر أس** **∴ ق ( \> ب أ هـ ) = ق ( \> أ هـ ب )** **∴ أ ب = هـ ب** **∴ المثلث أ ب هـ متساوي الساقين** **(31) [المعطى :] أ ء // ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن ب جـ** [**\ ب ) = 180 -- ( 50 + 70 ) = ^5^60 بالتداخل** **∴ ق ( \> ب أ جـ ) = ^5^70** **في المثلث أ ب جـ** **ق ( \> ب أ جـ ) \< ق ( \> ب )** **∴ ب جـ \< أ جـ** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(32) [المعطى :] أ ب \< أ جـ** **[المطلوب :] اثبت أن أ س \< أ ص** **[البرهان :] ∵ أ ب \< أ جـ** **∴ ق ( \> جـ ) \< ق ( \> ب )** **∵ س ص // ب جـ** **∴ ق ( \> ب ) = ق ( \> أ س ص ) بالتناظر** **, ق ( \> جـ ) = ق ( \> أ ص س ) بالتناظر** **∴ ق ( \> أ ص س ) \< ق ( \> أ س ص )** **∴ أ س \< أ ص** **(33) [المعطى :] كما بالشكل** **[المطلوب :] اثبت أن أ جـ \< أ ب** **[البرهان :] ∵ أ ء // ب جـ** **∴ ق ( \> جـ ) = ق ( \> ء أ جـ ) = ^5^30بالتبادل** **∴ ق ( \> ب ) = 180 -- ( 70 + 30 ) = ^5^80 بالتداخل** **ق ( \> ب ) \< ق ( \> جـ)** **∴ أ جـ \< أ ب** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(34) [المعطى :] كما بالشكل** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> ب أ س ) \< ق ( \> ء )** **[البرهان : في]** [*Δ*]{.math.inline} [ ] [*Δ*]{.math.inline} [ **م أ ب , م جـ ء**] **:** **1) م أ = م جـ** **2) م ب = م ء** **3) ق(\> أ م ب ) = ق(\> ء م جـ )** **∴ يتطابق** [*Δ*]{.math.inline} [*Δ*]{.math.inline} [ **و ينتج أن :** ] **بالتقابل بالرأس** **ق(\> ب ) = ق(\> ء )** **∵ الزاوية ( س أ ب ) خارجة عن المثلث أ ب م** **∴ ق ( \> س أ ب ) \< ق ( \> ب )** **∴ ق ( \> ب أ س ) \< ق ( \> ء )** **(35) [المعطى :] أ ب \> أ ء , ب جـ \> جـ ء** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> أ ب جـ ) \< ق ( \> أ ء جـ )** **[البرهان :] [في ]**[*Δ*]{.math.inline} **أ ب ء** **∵ أ ء \< أ ب** **∴ ق ( \> أ ب ء ) \< ق ( \> أ ء ب ) (1)** **في المثلث ب ء جـ ∵ ء جـ \< ب جـ** **∴ ق ( \> ء ب جـ ) \< ق ( \> ب ء جـ ) (2)** **بجمع (1) , (2) ∴ ق ( \> أ ب جـ ) \< ق ( \> أ ء جـ )** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(36) [المعطى :] أ ء = ء هـ = ء ب , ق ( \> ب أ ء ) = ^5^40** **[المطلوب :] اثبت أن 1) أ ء \> أ ب 2) ب جـ \< أ جـ** **[البرهان : في]** [*Δ*]{.math.inline} **أ ء ب** **∵ أ ء = ء ب** **∴ ق ( \> ء أ ب ) = ق ( \> ء ب أ ) =^5^40** **∴ ق ( \> أ ء ب ) = 180 -- ( 40 + 40 ) = ^5^100** **∴ ق ( \> أ ء ب ) \< ق ( \> أ ب ء ) ∴ أ ب \< أ ء (أولا)** **∵ أ ء = ــــــ هـ ب , ∵ أ ء متوسط في المثلث أ هـ ب** **∴ ق ( \> هـ أ ب ) =^5^90** **∴ ب جـ ( وتر في المثلث ) ∴ ب جـ \< أ جـ ( ثانيا)** **(37) [المعطى :] ق ( \> ب ) =^5^90 , ق ( \> أ هـ ء ) =^5^90 , أ ء ينصف زاوية (أ)** **[المطلوب :] اثبت أن 1) ب ء = ء جـ 2) ء جـ \< ب ء** **[البرهان : في]** [*Δ*]{.math.inline} [ ] [*Δ*]{.math.inline} [ **أ ب ء , أ هـ ء**] **:** **1) أ ء ضلع مشترك** **2) ق(\> ب ) = ق(\> هـ ) = ^5^90** **3) ق(\> ب أ ء ) = ق(\> هـ أ ء )** **∴ يتطابق** [*Δ*]{.math.inline} [*Δ*]{.math.inline} [ **و ينتج أن :** ] **ب ء = ء هـ** **في المثلث ء هـ جـ القائم الزاوية في هـ , ∵ ء جـ و تر ∴ ء جـ \< ء هـ ∴ ء جـ \< ب ء** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(38) [المعطى :] أ ب = أ جـ , ب جـ \< ء جـ** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> أ جـ ء ) \< ق ( \> أ ب ء )** **[البرهان : في]** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ ب = أ جـ** **∴ ق ( \> 1 ) = ق ( \> 2 )** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} **ب ء جـ ∵ ب ء \< ء جـ** **∴ ق ( \> 4 ) \< ق ( \> 2 )** **بالجمع ق ( \> 3 ) + ق ق ( \> 4 ) \< ق ( \> 1 ) + ق ( \> 2 )** **∴ ق ( \> أ جـ ء ) \< ق ( \> أ ب ء )** **(39) [المعطى :] كما بالشكل** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> أ ء جـ ) \< ق ( \> أ ب جـ )** **[العمل :] نصل ء ب** **[البرهان :] [في ]**[*Δ*]{.math.inline} **أ ب ء ∵ أ ب \< أ ء** **∴ ق ( \> ب أ ء ) \< ق ( \> أ ب ء)(1) [ ]** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} **ء ب جـ ∵ ب جـ \< ء جـ** **∴ ق ( \> ب ء جـ ) \< ق ( \> ء ب جـ )(2)** **بجمع (1) , (2) ∴ ق ( \> أ ء جـ ) \< ق ( \> أ ب جـ )** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(40) [المعطى :] أ ب \< أ ء , ء ب = ء جـ [ ]** **[المطلوب :] ق ( \> أ ب ء ) \< ق ( \> أ جـ ء )** **[البرهان :] [في ]**[*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ جـ \< أ ب** **∴ ق ( \> ب ) \< ق ( \> جـ )(1)** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} **ء ب جـ ∵ ء ب = ء جـ** **∴ ق ( \> ء ب جـ) = ق ( ء جـ ب )(2)** **من (1) , (2) بالطرح** **∴ ق ( \> أ ب ء ) \< ق ( \> أ جـ ء )** **(41) [المعطى :] أ جـ \< أ ب , أ ء ينصف زاوية (أ)** **[المطلوب :] اثبت أن زاوية ( أ ء جـ ) منفرجة** **[البرهان : في]** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ جـ \< أ ب** **∴ ق ( \> ب ) \< ق ( \> جـ )(1)** **∵ الزاوية( أ ء جـ ) خارجة عن المثلث أ ب ء** **∴ ق ( \> أ ء جـ) = ق ( ب ) + ق ( \> ب أ ء ) (2)** **∵ أ ء ينصف زاوية (أ) ∴ ق ( \> ب أ ء ) = ق ( جـ أ ء )(3)** **من (1) , (2) , (3) ∴ ق ( \> أ ء جـ ) \< ق ( \> ء أ جـ ) + ق ( \> أ جـ ء )** **∴ زاوية ( أ ء جـ ) منفرجة** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(42) ا[لمعطى :] أ ء // ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن أ جـ \< أ ب** **[البرهان :] ∵ أ ء // ب جـ** **∴ ق ( \> هـ أ ء ) = ق ( \>ب ) = ^5^70 بالتناظر** **, ق ( \> ء أ جـ ) = ق (\> جـ ) = ^5^50 بالتبادل** **∴ ق ( \> ب ) \< ق ( \> جـ )** **∴ أ جـ \< أ ب** **[(43) المعطى :] أ ب \< أ جـ , هـ منتصف أ ب , ء منتصف ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن ق ( \> 1 ) \< ق ( \> 2 )** **[البرهان :] ∵ أ ب \< أ جـ** **∴ ق ( \> جـ ) \< ق ( \> ب )** **∵ هـ منتصف أ ب , ء منتصف ب جـ** **∴ هـ ء // أ جـ ∴ ق ( \> 3) = ق ( جـ ) بالتناظر** **∴ ق ( \> 3 ) \< ق ( \> ب )** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} **هـ ء ب ∵ ب هـ \< هـ ء** **∵ ب هـ = أ هـ ∴ أ هـ \< هـ ء** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} **أ هـ ء ق ( \> 4 ) \< ق ( \> 2 )** **∵ ق ( \> 4 ) = ق ( \> 1 ) بالتبادل ∴ ق ( \> 1 ) \< ق ( \> 2 )** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **[(44) المعطى :] أ ء ⊥ ب جـ** **[المطلوب :] اثبت أن أ جـ + أ ب \< 2 أ ء** **[البرهان : في]** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب ء القائم الزاوية في ء , أ ب وتر** **∴ أ ب \< أ ء (1)** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} **أ ء جـ القائم الزاوية في ء , أ جـ وتر** **∴ أ جـ \< أ ء (2)** **[بجمع (1) , (2)] ∴ أ جـ + أ ب \< 2 أ ء** **(45) [المعطى :] أ ب = أ ء = ب ء = ء جـ** **[المطلوب :] اثبت أن ب أ ⊥ أ جـ أي ق ( \> ب أ جـ ) = ^5^90** [ **البرهان :** ] **∵ المثلث أ ب ء متساوي الأضلاع** **∴ ق ( \> ب أ ء ) = ^5^60 , ق ( \> أ ء ب ) = ^5^60** **∴ ق ( \> أ ء ب ) = 180 -- 60 = ^5^120** **∵ أ ء = ء جـ** **∴ ق ( \> ء أ جـ ) = ق \> ( جـ ) = ــــــــــــــــــــــــــ = ^5^30** **∴ ق ( \> ب أ جـ ) = 60 + 30 = ^5^90 ∴ ب أ ⊥ أ جـ** **[حل آخر :] في المثلث أ ب جـ ∵ أ ء متوسط , أ ء = ب ء = ء جـ** **∴ أ ء = ــــــ ب جـ ∴ ق ( \> ب أ جـ ) = ^5^90 ∴ ب أ ⊥ أ جـ** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(46[) المعطى :] كما بالشكل** **[المطلوب :] اثبت أن أ ء \< ب جـ** **[البرهان :] في المثلث أ ب جـ القائم الزاوية في ب** **∵ أ جـ وتر ∴ أ جـ \< ب جـ (1) [ ]** **في المثلث أ جـ ء القائم الزاوية في جـ** **∵ أ ء وتر ∴ أ ء \< أ جـ (2)** **[من (1) , (2) ]** **أ ء \< ب جـ** **(47) [المعطى :] ق ( \> ب ) = ^5^90 , ء هـ ⊥ ب جـ , ء منتصف أ جـ , أ ب = 7سم ,** **ق ( \> جـ ) = ^5^30** **[المطلوب :] أوجد 1) طول ب ء 2) مساحة المثلث ب ء جـ** **[البرهان :]** **∵ ق ( \> ب ) = ^5^90 , أ ب ضلع مقابل للزاوية ^5^30** **∴ أ جـ = 2 أ ب = 14سم** **∵ ب ء متوسط ∴ ب ء = ــــــ أ جـ** **∵ ب ء متوسط ∴ ب ء = ـــــ أ جـ** **∴ ب ء = 7سم (أولا)** **[في المثلث أ ب جـ : ]** **( ب جـ )^2^= ( أ جـ )^2^- ( أ ب )^2^** **= 196 - 49 = 147** **∴ ب جـ = 147 = 7 3** **ء هـ ضلع مقابل للزاوية ^5^30 في المثلث ء هـ جـ [ ]** **∴ ء هـ = ــــــ ء جـ = 3,5سم** **مساة المثلث ء ب جـ = ـــــ ب جـ × ء هـ** **= ـــــ × 7 3 × 3,5 = ـــــــــ 3 = 21,2سم^2^** **(48) المعطى : أ ب = ب جـ , ب هـ ينصف (\> ء ب جـ )** **المطلوب : اثبت أن ب هـ // أ جـ** **البرهان : في المثلث أ ب جـ** **∵ أ ب = ب جـ ∴ ق(\> أ ) = ق(\> جـ )** **∵(\> ق(\> أ ) = ق(\> جـ )** **∵ (ء ب جـ ) خارجة عن المثلث أ ب جـ** **∴ ق(\> ء ب جـ ) = ق(\> أ ) + ق(\> جـ )** **∵ ب هـ ينصف ق(\> ء ب جـ )** **∴ ق(\> هـ ب جـ ) = ق(\> جـ ) و هما في وضع تبادل ∴ ب هـ // أ جـ** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **[(49) المعطى : ]** **أ ء // ب جـ , ب ء = ب جـ , ق ( \> أ ) = ^5^100 , ق (\> ب ء جـ ) = ^5^70** **[المطلوب :] اثبت أن المثلث أ ب ء متساوي الساقين** **[البرهان :] في المثلث ب ء جـ ∵ ب ء = ب جـ** **∴ ق ( \> جـ ) = ق (\> ب ء جـ ) = ^5^70** **∴ ق (\> ء ب جـ ) = 180 -- ( 70 + 70 ) = ^5^40** **∵ أ ء // ب جـ , ب ء قاطع لهما ∴ ق ( \> أ ء ب ) = ق (\> ء ب جـ ) = ^5^40 بالتبادل** **في المثلث أ ب ء : ق (\> أ ب ء ) = 180 -- ( 100 + 40 ) = ^5^40** **∴ق (\> أ ب ء ) = ق (\> أ ء ب ) ∴أ ب = أ ء ∴ المثلث أ ب ء متساوي الساقين** **(50) [المعطى :] أ ب = أ جـ , أ ء ⊥ ب جـ , ب ء = 2سم , ق (\> ب أ ء ) = ^5^30** **[المطلوب :] أوجد طول ب جـ , طول أ ء** **[البرهان :] في المثلث أ ب جـ** **∵ أ ب = أ جـ , أ ء ⊥ ب جـ** **∴ أ ء محور تماثل المثلث** **∴ ء منتصف ب جـ ∴ ب جـ = 4سم** **∵ ب ء ضلع مقابل للزاوية ^5^30 ∴ أ ب = 2 ب ء = 4سم** **∴ ( أ ء )^2^= ( أ ب )^2^ -- ( ب ء )^2^= 16 -- 4 = 8سم ∴ أ ء = 8 = 2 2سم** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(51) [المعطى :] ء هـ // ب جـ , ق ( \> ء أ ب ) = ^5^100 , ق (\> ء ) = ^5^50** **[المطلوب :] اثبت أن أ ب = أ جـ** **[البرهان :] ∵ ء هـ // ب جـ , ء جـ قاطع لهما** **∴ ق ( \> جـ ) = ق (\> ء ) = ^5^50 بالتبادل** **∵ زاوية ء أ ب خارجة عن المثلث** **∴ ق ( \> ب ) = 100 - 50 = ^5^50** **∴ ق ( \> ب ) = ق (\> جـ )** **∴ أ ب = أ جـ** **(52) [المعطى :] أ ب // س ص , أ ب ينصف (\> ص أ ع )** **[المطلوب :] اثبت أن س ع \< ص ع** **[البرهان :] أ ب // س ص , أ ص قاطع لهما** **∴ ق ( \> ب أ ص ) = ق (\> أ ص س ) بالتبادل (1) [ ]** **∵ أ ب // س ص , أ س قاطع لهما** **∴ ق ( \> ب أ ع ) = ق (\> س ) بالتناظر (1) [ ]** **, ∵ أ ب ينصف (\> ص أ ع )** **∴ ق ( \> ب أ ص ) = ق (\> ب أ ع ) (3)** **من (1) , (2) , (3) ∴ ق ( \> أ ص س ) = ق (\> س )** **∴ ق ( \> أ ص س ) + ق (\> أ ص ع ) \< ق (\> س )** **∴ ق (\> س ص ع ) \< ق (\> س ) ∴ س ع \< ص ع** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(53) [المعطى] : أ ب جـ ء مستطيل , أ س \< س ء** **[المطلوب :] اثبت أن ق (\> س أ ب ) \< ق (\> س ء جـ )** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ س ء** **∵ أ س \< س ء ∴ ق (\> 1 ) \< ق (\> 2 )** **∵ ق (\> أ ) = ق (\> ء ) = ^5^90 بالطرح** **∴ ق ( \> أ ) - ق (\> 2 ) \< ق (\> ء ) - ق (\> 1 )** **∴ ق (\> س أ ب ) \< ق (\> س ء جـ )** **(54) [المعطى :] أ ء // ب جـ , ق (\> ب أ جـ ) = ^5^80 , ق (\> ء أ جـ ) = ^5^30** **[المطلوب :] اثبت أن ب جـ \< أ ب** **[البرهان :] ∵ أ ء // ب جـ , أ جـ قاطع لهما** **∴ ق ( \> أ جـ ب ) = ق (\> ء أ جـ ) = ^5^30 بالتبادل** **في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ , ق (\> ب أ جـ ) = ^5^80** **∴ ق (\> ب أ جـ ) \< ق (\> أ جـ ب )** **∴ ب جـ \< أ ب** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(55) [المعطى :] ص م ينصف زاوية ص , ص م = ع م , ق (\> ع ) = ^5^25** **[المطلوب :] اثبت أن ص م \< س ص** **[البرهان : في]** [*Δ*]{.math.inline} **[م ص ع] ∵ م ص = م ع** **∴ ق (\> ص ع م ) \< ق (\> ع ص م ) = ^5^25** **∵ ص م ينصف (\> ص ) ∴ ق (\> ص ) = ^5^25** **∴ ق (\> س ) = 180 -- ( 50 + 25) = ^5^105** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} **[س ص م ]** **∴ ق (\> س م ص ) = 180 -- ( 25 + 105) = ^5^50** **∴ ق (\> س ) \< ق (\> س م ص )** **∴ ص م \< س ص** **(56) [المعطى :]أ ب = أ جـ , ق (\> ب ) = ^5^65 , ق (\> أ جـ ء ) = ^5^20** **[المطلوب :] اثبت أن أ ب \< أ ء** **[الفكرة :] نثبت أولا أن أ جـ \< أ ء , ∵ أ ب = أ جـ ∴ أ ب \< أ ء** [ **البرهان :** ]**في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ ب = أ جـ** **∴ ق (\> أ جـ ب ) = ق (\> أ ب جـ ) = ^5^65** **∴ ق (\> جـ ) = 20 + 65 = ^5^85** **∴ ق (\> ء ) = 180 -- ( 65 + 85 ) = ^5^30** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} [ **أ ء جـ**] **∵ ق (\> ء ) \< ق (\> أ جـ ء ) ∴ أ جـ \< أ ء ∵ أ ب = أ جـ ∴ أ ب \< أ ء** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(57) [المعطى :] ق (\> جـ ) = ق (\> ء ) = ^5^90** **[المطلوب :] اثبت أن أ ب \< جـ ء** **[البرهان :]** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} [ **أ جـ م** ]**∵ أ م وتر ∴ أ م \< جـ م** **[في]** [*Δ*]{.math.inline} [ **ء م ب**] **م ب وتر ∴ م ب \< م ء** **بالجمع** **∴ أ م + م ب \< جـ م + م ء** **∴ أ ب \< جـ ء** **(58) [المعطى :] أ ء = ب هـ , ق (\> ب ) = ^5^90** **[المطلوب :] اثبت أن ق (\> جـ هـ ء ) \< ق (\> جـ ء هـ )** **[البرهان : في]** [*Δ*]{.math.inline} [ **أ جـ ب** ]**∵ أ جـ وتر ∴ أ جـ \< ب جـ** **∵ أ ء = ب هـ بالطرح** **∴ ء جـ \< هـ جـ** **∴ ق (\> جـ هـ ء ) \< ق (\> جـ ء هـ )** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(59) [المعطى :] أ ب = أ جـ** **[المطلوب :] اثبت أن أ ب \< أ ء** **[البرهان :] في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ أ ب = أ جـ** **∴ ق (\> ب ) = ق (\> جـ ) (1)** **∵ (\> أ ء ب ) خارجة عن المثلث أ ء جـ** **∴ ق (\> أ ء ب ) \< ق (\> جـ )(2)** **من (1) , (2)** **∴ ق (\> أ ء ب ) \< ق (\> ب )** **∴ أ ب \< أ ء** **[(60) المعطى :] ق (\> ب ) = ^5^90** **[المطلوب :] اثبت أن أ جـ \< ء جـ** **[البرهان :]** **∵ (\> أ ء جـ ) خارجة عن المثلث ء ب جـ** **∴ ق (\> أ ء جـ ) \< ق (\> ب )** **∵ ق (\> ب ) = ^5^90** **∴ ق (\> أ ء جـ ) \< ^5^90** **∴ ق (\> أ ء جـ ) منفرجة** **∴ أ جـ \< ء جـ** **ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ** **(61) [المعطى :] ق (\> ب ) = ق (\> هـ ) , أ ب = و هـ , ب ء = جـ هـ** **[المطلوب :] اثبت أن المثلث س ء جـ متساوي الساقين** **[البرهان :] ∵ ب ء = هـ جـ بإضافة ء جـ لكل منهما ∴ ب جـ = ء هـ** **في** [*ΔΔ*]{.math.inline} **أ ب جـ , و ء هـ** **فيهما : 1) أ ب = و هـ** **2) ق (\> ب ) = ق (\> هـ )** **3) ب جـ = ء هـ** **∴ يتطابق** [*ΔΔ*]{.math.inline} **و ينتج أن : ق (\> س ء جـ ) = ق (\> س جـ ء )** **∴ المثلث س ء جـ متساوي الساقين** **(62) [المعطى :] ب ء = جـ هـ , ق (\> أ ب جـ ) = ق (\> أ جـ ب ) ,** **ق (\> ء ) = ق (\> هـ ) = ^5^90** **[المطلوب :] اثبت أن ق (\> ء أ ب ) = ق (\> هـ أ جـ )** **[البرهان : ]** **في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ ∵ في** [*Δ*]{.math.inline} **أ ب جـ** **∵ ق (\> أ ب جـ ) = ق (\> أ جـ ب )** **∴ أ ب = أ جـ** **في** [*ΔΔ*]{.math.inline} **أ وب , أ جـ هـ** **فيهما : 1) ء ب هـ جـ** **2) ق (\> ء ) = ق (\> هـ )** **3) أ ب = أ جـ** **∴ يتطابق** [*ΔΔ*]{.math.inline} **و ينتج أن :** **ق (\> ب أ ء ) = ق (\> جـ أ ء )**