Guía de Electricidad para Planta Exterior [1] PDF

Prefijos y notación científica 6 Prefijos y notación científica Al resolver problemas de este tema tenemos la opción de expresar las cantidades de distintas formas que son equivalentes unas con otras. La primera de estas que vamos a estudiar son los prefijos que van de la mano c...

Prefijos y notación científica 6 Prefijos y notación científica Al resolver problemas de este tema tenemos la opción de expresar las cantidades de distintas formas que son equivalentes unas con otras. La primera de estas que vamos a estudiar son los prefijos que van de la mano con la notación científica.  Ejemplos: 7 Se puede ir de prefijos a las unidades Quiero pasar de mm a m, la cantidad de 50 m 50 𝑚𝑚 →¿ ? 𝑚 50 × 10−3 𝑚 Tengo 25 nC y quiero tener eso en C 25 𝑛𝐶 →¿ ? 𝐶 25 × 10−9 𝐶 Tengo 36 MHz y quiero tenerlo en Hz 36 𝑀𝐻𝑧 →¿ ? 𝐻𝑧 36 × 106 𝐻𝑧 O también se ir de las unidades a los prefijos Quiero pasar de F al prefijo mas adecuado 72 × 10−12 𝐹 →¿ ? 𝐹 72 𝑝𝐹 Quiero pasar de W al prefijo mas adecuado 40.8 × 103 𝑊 →¿ ? 𝑊 40.8 𝑘𝑊 Quiero pasar de A al prefijo mas adecuado 87 × 10−6 𝐴 →¿ ? 𝐴 87 𝜇𝐴  Conversión de unidades y magnitudes 8 Otra manera de expresar estas cantidades para poder trabajar con ellas es haciendo conversiones. 5 𝑘𝑔 →¿ ? 𝑔 5 × 103 𝑔 → 5 × 10 × 10 × 10 5´000 𝑔 63.5𝜇𝑠 →¿ ? 𝑠 63.5 × 10−6 → 63.5 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 0.000635 𝑠 Esto quiere decir que al tener un exponente positivo vamos a multiplicar por diez tantas veces nos indique dicho exponente. Al ser un exponente negativo vamos a dividir entre 10 tantas veces nos indique el exponente. Dicho de otra manera vamos a poder mover el punto decimal el numero de veces que nos indique el exponente. A la derecha si hablamos de un exponente positivo, y a la izquierda si hablamos de un exponente negativo.  Operaciones con notación científica 9 Al resolver problemas vamos a tener que llevar a cabo ciertas operaciones como lo son sumas, restas, productos y divisiones, para la cual seguiremos algunas reglas. Si se multiplican cantidades con notación científica se suman los exponentes y aparte se multiplican las cantidades. 25 × 105 2 × 103 = 25 2 × 105+3 50 × 108 13 × 103 6 × 10−5 = 13 6 × 103+ −5 78 × 10−2 Si se dividen cantidades con notación científica se restan los exponentes y aparte se realiza la división de las cantidades. 30 × 106 30 = × 106−(+3) 5 × 103 5 6 × 103 Si después de estas operaciones quedan cantidades con números decimales se hará el recorrido del punto decimal. ❖ Si se mueve a la derecha se resta al exponente el numero de lugares que se movió. ❖ Si se mueve a la izquierda se suma al exponente el numero de lugares que se movió.  Ejemplos: 10 2×10−6 30×104 1. 10×109 2 30 × 10−6+4 10 × 109 60 × 10−2 10 × 109 60 × 10−2−9 10 6 × 10−11 52 2. 12×10−3 3×109 52 12 3 × 10−3+9 52 36 × 106 1.44 × 100−6 1.44 × 10−6  Ejercicios: 11 1. 2 × 102 5 × 10−6 2. 19 × 106 0.5 × 10−4 16 × 108 3. 3 × 109 2 × 10−6 4. 0.33 × 10−16 5 × 102 12 × 103 5. 20 × 109 16 × 10−7 6. 32 × 10−7 0.5 × 10−3 16 × 108 1 × 10−4 7. 12 12 6 × 106 8. 24 × 106 55 × 109 16 × 109 9. 4 × 106 2 11 × 102 2 10. 2.6 × 103 1.3 × 105  Electricidad 12 Ley de Coulomb La ley de Coulomb establece que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (separación) entre las dos cargas. 𝑘𝑒 𝑞1 𝑞2 𝐹Ԧ = 𝑟2 𝑁𝑚2 9 𝑘𝑒 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 9 × 10 𝐶2 𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑁 𝑞1 , 𝑞2 = 𝑆𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑟 𝐶 𝑟 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 [𝑚]  Ejemplos: 13 Dos cargas, 𝑞1 = −16 𝜇𝐶 y 𝑞2 = +18 𝜇𝐶, se colocan a 60 mm de distancia entre sí en el aire. ¿Cuál es la fuerza? ¿Es de atracción o repulsión? Respuesta: Primero debemos identificar nuestros datos del problema 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑁𝑚2 𝑘𝑒 = 9 × 109 𝐶2 𝐹 =? 𝑞1 = −16 𝜇𝐶 = 16𝜇𝐶 = 16 × 10−6 𝐶 𝑞2 = +18 𝜇𝐶 = 18 𝜇𝐶 = 18 × 10−6 𝐶 𝑟 = 60 𝑚𝑚 = 60 × 10−3 𝑚 Ahora usaremos la ecuación de fuerza entre dos cargas 𝑘𝑒 𝑞1 𝑞2 𝐹Ԧ = 𝑟2 9 × 109 16 × 10−6 18 × 10−6 60 × 10−3 2 9 16 18 × 109+ −6 + −6 60 60 × 10−3+ −3 2´592 × 10−3 3´600 × 10−6 2´592 × 10−3− −6 3´600 0.72 × 103 = 720 𝑁 Como son cargas de distinto signo, la fuerza es de atracción y su magnitud serán 720 N.  Corriente directa (CD) 14 En la corriente continua, los electrones viajan siempre en la misma dirección y la cantidad de electrones se mantiene constante en el tiempo. Es decir, la tensión y la intensidad de corriente son siempre las mismas. Intensidad de corriente La corriente eléctrica es la tasa de flujo de carga que pasa por un determinado punto de un circuito eléctrico. 𝑞 𝐼= 𝑡 𝐼 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑞 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐶 𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒[𝑠] 1 𝐶 = 6.24 × 1018 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 ¿Cuántos electrones fluyen en 30 min por un circuito donde circula una corriente de 150 mA? 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑡 = 30 𝑚𝑖𝑛 = 30 × 60 = 1,800 𝑠 𝐼 = 150 𝑚𝐴 = 150 × 10−3 𝐴 = 0.150 𝐴 𝑞 = 𝐼𝑡 = 0.150 1,800 = 270 𝐶 1 𝐶 = 6.24 × 1018 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 270 𝐶 = 270 6.24 × 1018 1,684.8 × 1018 1.6848 × 1021 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠  Diferencia de potencial 15 La diferencia de potencial o el voltaje (también se usa la expresión "tensión") es la energía potencial eléctrica por unidad de carga. Fuerza electromotriz Cuando un voltaje es generado por una batería, o por la fuerza magnética de acuerdo con la ley de Faraday, esta voltaje generado, se llama tradicionalmente "fuerza electromotriz" o fem. La fem representa energía por unidad de carga (voltaje), generada por un mecanismo y disponible para su uso. No es una "fuerza". Resistividad El factor en la resistencia que tiene en cuenta la naturaleza del material es la resistividad. Aunque es dependiente de la temperatura, se puede usar a una determinada temperatura, para calcular la resistencia de un cable de una determinada geometría. La resistencia eléctrica de un cable, se espera que sea mayor para un cable mas largo, menor para un cable de mayor sección transversal, y también se espera que dependa del material del cual está fabricado. 𝜌𝐿 𝑅= 𝐴 𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 Ω 𝜌 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 Ω ∙ 𝑚 𝐿 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑚 𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑚2  Tabla de resistividad 16 Resistividades a 20 °C Material Resistividad [Ω·m] Aluminio 2.8 × 10−8 Cobre 1.72 × 10−8 Hierro 9.5 × 10−8 Nicromo 100 × 10−8 Oro 2.4 × 10−8 Plomo 10 × 10−8 Plata 1.6 × 10−8 Tungsteno 5.5 × 10−8 Se tiene un cable de 200 m de aluminio con un diámetro de 40 mm. ¿Cuál será la resistencia de este cable? 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝜌 = 2.8 × 10−8 Ω ∙ 𝑚 𝐿 = 200 𝑚 𝐴 = 𝜋𝑟 2 ⇒ 𝐴 = 1.2566 × 10−3 𝑚2 𝜌𝐿 2.8 × 10−8 200 𝑅= = 𝐴 1.2566 × 10−3 𝑅 = 4.4565 × 10−3 Ω = 4.4565 𝑚Ω Si queremos una resistencia igual pero con un cable de nicromo con el mismo diámetro, ¿Cuál debe ser su longitud? 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝜌 = 100 × 10−8 Ω ∙ 𝑚 𝑅 = 4.4565 × 10−3 Ω 𝐴 = 1.2566 × 10−3 𝑚2 𝑅𝐴 4.4565 × 10−3 1.2566 × 10−3 𝐿= = 𝜌 100 × 10−8 𝐿 = 5.6 𝑚  Ley de Ohm 17 Para muchos conductores de la electricidad, la corriente eléctrica que fluye a través de ellos, es directamente proporcional al voltaje que se le aplica. A la proporción entre el voltaje y la corriente, se le llama resistencia. 𝑉 = 𝐼𝑅 𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑉 𝐼 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 [Ω] Una manera de saber como despejar inmediatamente alguna de las variables de la ley de Ohm es con el uso del triangulo presentado anteriormente, donde se tapa la literal que se quiere conocer y las otras dos serian el despeje necesario.  Potencia eléctrica 18 Representa la tasa a la cual la energía se convierte de, energía eléctrica del movimiento de cargas en alguna otra forma, tales como calor, energía mecánica o energía almacenada en campos magnéticos o campos eléctricos. 𝒫 = 𝐼𝑉 𝒫 = 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑊 𝐼 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑉 Usando ley de Ohm podemos llegar a las siguientes expresiones de la potencia. Efecto Joule Cuando la corriente eléctrica fluye a través de un sólido o líquido con conductividad finita, la energía eléctrica se convierte en calor a través de pérdidas resistivas en el material. El calor se genera en la micro escala cuando los electrones de conducción transfieren energía a los átomos del conductor por medio de colisiones.  Leyes de Kirchhoff 19 Primera; la suma de las corrientes que entran en un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicho nodo. ෍ 𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = ෍ 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 Segunda; la suma de las caídas de potencial en una malla deben ser igual a las sumas de los voltajes que hay en dicha malla. ෍ 𝜀 𝑓𝑒𝑚 = ෍ 𝐼𝑅  Resolución de circuitos de resistencias 20 Para empezar a resolver circuitos de CD con resistencias debemos tener en claro los siguientes principios: En un circuito en serie podemos obtener la resistencia total o equivalente de la siguiente forma 𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛 𝑅𝑇 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Ω La corriente se mantiene constante en cada una de estas resistencias, lo único que cambia será el voltaje o caída de potencial en cada una de ellas. En un circuito en paralelo la obtendremos de esta otra forma 1 1 1 1 = + + ⋯+ 𝑅 𝑇 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑛 Pero esto nos da el inverso de la resistencia total o equivalente, así que para saber la resistencia total o equivalente del circuito como tal, usaremos 1 𝑅𝑇 = 1 1 1 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛 𝑅𝑇 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Ω El voltaje o caída de potencial en un circuito en paralelo se mantiene constante, lo que está cambiando es la intensidad de corriente.  Ejemplos: 21 Tengo las tres resistencias; R1=16 Ω, R2=12 Ω y R3=10 Ω, y están conectadas a una batería de 12 V. ¿Cuáles serán la corriente y potencia totales si las conectamos primero en serie y después en paralelo? ¿Cuáles serán las caídas de tensión, corriente y potencia de cada resistencia en ambos casos? Primero. – Resuelvo el circuito en serie 𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 𝑅𝑇 = 16 + 12 + 10 ⇒ 𝑅𝑇 = 38Ω 𝑉𝑇 12 𝐼𝑇 = = = 0.31578 𝐴 𝑅𝑇 38 𝐼𝑇 = 315.78 𝑚𝐴 𝒫 = 𝐼𝑇 𝑉𝑇 = 0.31578 12 𝒫 = 3.7894 𝑊 Resistencia [Ω] Corriente [mA] Caídas de tensión Potencia [W] [V] 1 16 315.78 5.0525 1.5955 2 12 315.78 3.7894 1.1966 3 10 315.78 3.1578 0.9972 Total 38 315.78 11.9997 3.7893 Para calcular caídas de tensión, potencia y corriente en cada resistencia solo usaremos las ecuaciones que ya conocemos y los conceptos antes descritos. También podemos hacer uso de una tabla para que sea mas sencillo identificar, como la mostrada aquí. Vemos en esta tabla que las corrientes son las mismas porque están en serie las resistencia. Además la suma de las caídas de tensión es un valor aproximado al de la fem, y lo mismo pasa con la potencia en cada resistencia, que la suma es aproximada a la total que hemos calculado.  Segundo. – Resuelvo el circuito en paralelo 22 1 1 1 1 = + + 𝑅𝑇 𝑅1 𝑅2 𝑅3 1 1 1 1 59 = + + = 𝑅𝑇 16 12 10 240 1 240 𝑅𝑇 = = 59 59 240 𝑅𝑇 = 4.0678 Ω 𝑉𝑇 12 𝐼𝑇 = = 𝑅𝑇 4.0678 𝐼𝑇 = 2.95 𝐴 𝒫 = 𝐼𝑇 𝑉𝑇 = 2.95 12 𝒫 = 35.4 𝑊 Resistencia [Ω] Corriente [A] Caídas de tensión Potencia [W] [V] 1 16 0.75 12 9 2 12 1.00 12 12 3 10 1.2 12 14.4 Total 4.0678 2.95 12 35.4 En esta tabla vemos algo similar a la anterior en la cual por ser un circuito en paralelo, las caídas de tensión son las mismas en cada resistencia, y la corriente es la que cambia. Usando las ecuaciones calculamos la corriente y potencia en cada resistencia, y la suma de estas nos arroja de nuevo los valores totales, que son los mismos que los que habíamos calculado antes.  Resistencia interna 23 Para este momento, ya hemos trabajo con circuitos en serie y paralelo, incluso se pueden combinar y resolver un circuito mixto siguiendo las mismas reglas que se han planteado, pero todo eso lo hemos hecho pensando que dentro de la batería no había nada que interfiriera con el flujo de la corriente cosa que no sucede pues estas deben tener una resistencia interna que en ciertas ocasiones no puede ser despreciable. La corriente del circuito la calcularemos de la siguiente forma 𝜀 𝐼= 𝑅𝑇 + 𝑟 𝜖 = 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑓𝑒𝑚 𝑉 𝐼 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑅𝑇 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 Ω 𝑟 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 Ω Y el voltaje en las terminales afuera de la batería será con 𝑉𝑇 = 𝜀 − 𝐼𝑟 𝑉𝑇 = 𝐸𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑎 𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑉 𝜀 = 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑓𝑒𝑚 𝑉 𝐼 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑟 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 Ω  Capacitancia 24 Vamos a estudiar los condensadores en circuitos, los cuales en su forma mas básica podemos decir que están formados por dos placas paralelas conductoras, muy cercanas entre si, que transportan cargas iguales y opuestas, estas estarán conectadas en serie a una batería. La capacitancia entre dos conductores que tienen cargas iguales y opuestas es la razón de la magnitud de la carga sobre cualquier conductor a la diferencia de potencial resultante entre los dos conductores. La unidad en que se miden son los farad [F]. 𝑄 𝐶= 𝑉 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐹 𝑄 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝐶 𝑉 = 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑉 Esta es una de las dos formas en que se puede calcular la capacitancia de un capacitor.  Otra manera de calcular la capacitancia seria el fijarnos lo que 25 sucede entre las placas. Tendremos que considerar la superficie de las placas, la distancia que hay entre ellas y el material que hay entre las mismas placas. 𝜖𝐴 𝐶= 𝑑 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐹 𝐴 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠 𝑚2 𝑑 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠 𝑚 𝜖 = 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐹/𝑚 Cabe resaltar que la permitividad eléctrica, que es la que habla del material, también debemos calcularla con la ecuación 𝜖 = 𝜀0 𝜀𝑟 = 𝜀0 𝐾 𝜀0 = 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑐í𝑜 [8.85 × 10−12 𝐹/𝑚] La permitividad relativa (𝜀𝑟 ) o constante dieléctrica (𝐾) hablan del material.  Para saber los valores de otras constantes dieléctricas( 𝐾 ), en 26 muchos textos aparecen tablas, las cuales pueden venir también representadas como la permitividad eléctrica relativa (𝜀𝑟 ). Aquí se presentan cada una de estas tablas. Constante dieléctrica (K) Material Valor de K Aceite de un transformador 4.0 Aire seco a 1 atm 1.006 Baquelita 7.0 Mica 5.0 Papel parafinado 2.0 Plástico 3.0 Plásticos de nitrocelulosa 9.0 Teflón 2.0 Vidrio 7.5 Permitividad relativa de algunos medios Medio aislador Permitividad relativa (𝜀𝑟 ) Vacío 1.0000 Aire 1.0005 Gasolina 2.35 Aceite 2.8 Vidrio 4.7 Mica 5.6 Glicerina 45 Agua 80.5 Hay que recalcar que en cualquiera de los dos casos este valor, constante dieléctrica o permitividad relativa, será un valor adimensional (Que no tiene dimensiones físicas), solo será un número. Además, si hablamos que entre las placas no hay nada (vacío), entonces se tendrá que omitir este valor, o visto de otra manera, tomara el valor de uno como se presenta en la segunda tabla, y este mismo valor tomara el aire.  Ejemplos: 27 Se conecta en serie un capacitor de placas paralelas y una batería de 12 V. Si las placas del capacitor tiene una superficie de 45 cm2 y están separadas entre si 8 mm, ¿Cuál será la carga del este capacitor si entre las placas solo hay aires? ¿Cuál será la carga si en lugar de aire se coloca mica(K=5)? Respuesta: Primero debemos identificar nuestros datos del problema 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑉 = 12 𝑉 𝐴 = 45 𝑐𝑚2 = 45 × 10−4 𝑚2 𝑑 = 8 𝑚𝑚 = 8 × 10−3 𝑚 𝜀0 = 8.85 × 10−12 𝐹/𝑚 𝐾𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1 𝐾𝑚𝑖𝑐𝑎 = 5 Obtenemos primero las capacitancias de estas placas. 𝐾𝑎𝑖𝑟𝑒 𝜀0 𝐴 1 8.85 × 10−12 45 × 10−4 𝐶𝑎𝑖𝑟𝑒 = = 𝑑 8 × 10−3 𝐶𝑎𝑖𝑟𝑒 = 4.98 × 10−12 𝐹 𝐾𝑚𝑖𝑐𝑎 𝜀0 𝐴 5 8.85 × 10−12 45 × 10−4 𝐶𝑚𝑖𝑐𝑎 = = 𝑑 8 × 10−3 𝐶𝑚𝑖𝑐𝑎 = 24.89 × 10−12 𝐹 Con estos resultados obtenemos la carga para ambos casos. 𝑄𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝐶𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑉 = 59.76 × 10−12 𝐶 𝑄𝑚𝑖𝑐𝑎 = 𝐶𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑉 = 298.68 × 10−12 𝐶 Vemos que la mica almacena una carga de 𝟐𝟗𝟖. 𝟔𝟖 𝒑𝑪 que es cinco veces mayor que la del aire que es de 𝟓𝟗. 𝟕𝟔 𝒑𝑪, esto debido a que la constante dieléctrica de la mica es cinco veces mayor que la del aire.  Resolución de circuitos de capacitores 28 Ahora tendremos circuitos de capacitores en CD que se calculan de manera similar, solo que hay una pequeña diferencia y se deben tomar en cuenta los siguientes principios: En esta ocasión en el calculo de la capacitancia para un circuito en serie la obtendremos con la siguiente ecuación 1 1 1 1 = + + ⋯+ 𝐶 𝑇 𝐶1 𝐶2 𝐶𝑛 Para encontrar la capacitancia total tendremos finalmente 1 𝐶𝑇 = 1 1 1 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝐶𝑇 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Ω En este arreglo de capacitores en serie la carga se mantiene constante en cada uno, lo único que cambia será el voltaje o diferencia de potencial en cada una de los capacitores. Por otro lado en un circuito en paralelo de capacitores podemos obtener la capacitancia total o equivalente de la siguiente forma 𝐶𝑇 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝐶𝑇 = 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Ω El voltaje o diferencia de potencial dentro de los capacitores conectados en paralelo se mantiene constante, y lo que estaría cambiando es la carga que almacenan.  Ejemplo: 29 Tenemos tres capacitores de 20, 40 y 60 µF conectados a una batería de 24 V. Queremos calcular la capacitancia total, además de la carga y diferencia de potencial de cada uno. - Serie Usando la ecuación de la capacitancia total en serie 1 𝐶𝑇 = 1 1 1 𝐶20𝜇𝐹 + 𝐶40𝜇𝐹 + 𝐶60𝜇𝐹 𝐶𝑇 = 10.91 𝜇𝐹 Ahora calculamos la carga total 𝑄𝑇 = 𝐶𝑇 𝑉𝑇 = 10.91 × 10−6 24 = 261.84 𝜇𝐶 Recordando los principios, decimos que la carga en serie será la misma para los tres capacitores y que es la de todo el circuito. 𝑄𝑇 = 𝑄20𝜇𝐹 = 𝑄40𝜇𝐹 = 𝑄60𝜇𝐹 = 261.84 𝜇𝐶 Finalmente calculamos la diferencia de potencial en cada una 𝑄20𝜇𝐹 261.84 × 10−6 𝑉20𝜇𝐹 = = = 13.09 𝑉 𝐶20𝜇𝐹 20 × 10−6 𝑄40𝜇𝐹 261.84 × 10−6 𝑉40𝜇𝐹 = = = 6.55 𝑉 𝐶40𝜇𝐹 40 × 10−6 𝑄60𝜇𝐹 261.84 × 10−6 𝑉60𝜇𝐹 = = = 4.36 𝑉 𝐶60𝜇𝐹 60 × 10−6 De esto ultimo, podemos ver que la suma de las diferencias de potencial de los tres capacitores es igual al voltaje de la batería, tal como se esperaba.  - Paralelo 30 Ahora pasamos al calculo de la capacitancia total en paralelo 𝐶𝑇 = 𝐶20𝜇𝐹 + 𝐶40𝜇𝐹 + 𝐶60𝜇𝐹 𝐶𝑇 = 120 𝜇𝐹 Con esto calculamos la carga total 𝑄𝑇 = 𝐶𝑇 𝑉𝑇 = 120 × 10−6 24 = 2´880 𝜇𝐶 El principio de un arreglo en paralelo de capacitores nos dice que la diferencia de potencial será la misma para los tres capacitores y que es la de todo el circuito. 𝑉𝑇 = 𝑉20𝜇𝐹 = 𝑉40𝜇𝐹 = 𝑉60𝜇𝐹 = 12 𝑉 Finalmente calculamos la carga en cada uno 𝑄20𝜇𝐹 = 𝐶20𝜇𝐹 𝑉20𝜇𝐹 = 20 × 10−6 24 = 480 𝜇𝐶 𝑄40𝜇𝐹 = 𝐶40𝜇𝐹 𝑉40𝜇𝐹 = 40 × 10−6 24 = 960 𝜇𝐶 𝑄60𝜇𝐹 = 𝐶60𝜇𝐹 𝑉60𝜇𝐹 = 60 × 10−6 24 = 1´440 𝜇𝐶 En esta ocasión podemos ver algo distinto en el cual si sumamos las cargas de los tres capacitores obtendremos la carga total.  Corriente alterna (CA) 31 Intensidad de corriente La corriente alterna es aquel tipo de corriente eléctrica que se caracteriza porque la magnitud y la dirección presentan una variación de tipo cíclico. En tanto, la manera en la cual este tipo de corriente oscilará es en forma senoidal, es decir, una curva que va subiendo y bajando continuamente. Gracias a esta forma de oscilación la corriente alterna logra transmitir la energía de manera más eficiente. Resistor El comportamiento de una resistencia para las frecuencias y corrientes ordinarias, es la de un elemento disipador, que convierte la energía eléctrica en calor. Es independiente de la dirección del flujo de corriente e independiente de la frecuencia. De modo que decimos que la impedancia a la CA de una resistencia, es la misma que su resistencia a la CD. Esto asume sin embargo, que en el caso de CA, se están usando los valores rms o valores efectivos para la corriente y el voltaje.  Para encontrar la corriente efectiva en este arreglo usaremos la siguiente ecuación 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 = 𝑅 32 𝐼𝑒𝑓 = 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴 𝑉𝑒𝑓 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 V 𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 Ω La cual es similar a ley de Ohm que se conoce ya de CD. Reactancia La reactancia de un circuito es la oposición no resistiva al flujo de corriente alterna. Condensador El condensador es un dispositivo electrostático capaz de almacenar carga. El proceso de cargar y descargar condensadores en circuitos de CA proporciona un medio eficaz para regular y controlar el flujo de la carga. Se sabe que el voltaje a través de un condensador está retrasado respecto de la corriente, porque ésta debe ir cargando el condensador y el voltaje es proporcional a la carga generada entre las placas del condensador.  En este caso la corriente efectiva se obtiene con la ecuación 𝑉𝑒𝑓 33 𝐼𝑒𝑓 = 𝑋𝐶 𝐼𝑒𝑓 = 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴 𝑉𝑒𝑓 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 V 𝑋𝐶 = 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 Ω La oposición a la CA debido al capacitor la calcularemos con 1 𝑋𝐶 = 2𝜋𝑓𝐶 𝑋𝐶 = 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 Ω 𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐻𝑧 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝐹 Inductor El inductor consta de una bobina continua de alambre. Cuando la corriente que circula por el inductor aumenta o disminuye aparece una fem autoinducida en el circuito que se opone al cambio. El voltaje a través de un inductor adelanta a la corriente, porque el comportamiento del inductor sigue la ley de Lenz, resistiéndose a la acumulación de la corriente y tomándole un tiempo finito a ese voltaje impuesto para que la corriente alcance su valor máximo.  Por otro lado la corriente efectiva se obtiene con la ecuación 34 𝐼𝑒𝑓 = 𝑉𝑒𝑓 𝑋𝐿 𝐼𝑒𝑓 = 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴 𝑉𝑒𝑓 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 V 𝑋𝐿 = 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 Ω Aquí la oposición a la CA debido al capacitor la calcularemos con 𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 𝑋𝐶 = 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 Ω 𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐻𝑧 L = Inductor 𝐻 Hay que considerar que en los casos anteriores solo estamos hablando de un elemento en el circuito, además de la fuente de energía, así que el calculo de la corriente efectiva es similar a la ley de Ohm que ya conocíamos. Ya solo debemos considerar que si el circuito es; Puramente resistivo la corriente y el voltaje estarán en fase. Puramente capacitivo la fem se atrasa con respecto de la corriente 90° exactamente. Puramente inductivo la fem se adelanta con respecto de la corriente 90° exactamente.  Circuitos RLC 35 Ya hemos visto algunas configuraciones de circuitos de CA, cada uno con elementos independientes, pero que pasa si conectamos mas de uno de estos elementos en serie, incluso podríamos conectar los tres y tendríamos que resolver primero el circuito para encontrar la resistencia total, o como la llamaremos a partir de ahora, la impedancia. Primero debemos obtener la reactancia total 𝑋 = 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 𝑋 = 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Ω Algo importante a considerar son los siguientes puntos Si 𝑋𝐶 > 𝑋𝐿 el voltaje se atrasa de la corriente Si 𝑋𝐿 > 𝑋𝐶 el voltaje se adelanta a la corriente Con esto podemos calcular la impedancia antes mencionada 𝑍 = 𝑅2 + 𝑋 2 𝑍 = 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 [Ω]  Obteniendo la impedancia en el circuito podremos calcular la corriente efectiva por medio de la ley de Ohm en circuitos RLC 36 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 = 𝑍 Cabe señalar que esta corriente efectiva también podemos considerarla como la corriente promedio (𝐼𝑟𝑚𝑠 ). Además de eso también podremos calcular lo que es la corriente máxima con la siguiente relación. 𝐼𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐼𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 0.707 De igual manera el voltaje efectivo y voltaje máximo tienen esta relación. 𝑉𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑉𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 0.707 Algo mas que podemos calcular es la potencia del circuito, al igual que hicimos anteriormente en CD, solo que esta vez, como la corriente y el voltaje están oscilando, vamos a tener que calcularlo con los valores promedio o efectivos y por consecuencia saldrá a la luz otra cantidad que será el factor potencia, que se podrá calcular de la siguiente manera. 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜙 = 𝑍 𝑐𝑜𝑠 𝜙 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜙 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 ° Aquí podemos ver que hay dos posibles formas de calcular el factor potencia, la primera es conociendo el ángulo de fase y con esto usar la función trigonométrica de coseno. La otra manera, igualmente valida, es haciendo un cociente entre resistencia e impedancia. Conociendo esto finalmente podremos calcular la potencia como 𝒫 = 𝐼𝐸𝑓 𝑉𝐸𝑓 𝑐𝑜𝑠 𝜙  Por ultimo debemos de considerar un elemento mas para calcular, que será el ángulo de fase. 37 Si bien pudimos resolver el no tener que calcularlo previamente para obtener el factor potencia, nos podrían llegar a pedir dicho valor y para eso necesitaríamos estrictamente el uso de calculadora científica debido a que usaremos las funciones inversas de las funciones trigonométricas. Para darnos una idea de los valores que necesitamos usaremos el diagrama que muestra como se encuentran relacionadas resistor, reactancias y la impedancia. De aquí, podemos obtener nuevamente el calculo de la impedancia y del factor potencia previamente descritos, pero además otra ecuación que nos ayudara a encontrar dicho ángulo de fase. 𝑋 tan 𝜙 = 𝑅 Pero como antes se menciono, de esta ecuación se debe obtener su función inversa que sería 𝑋 𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑅 Esta función se conoce como el arco tangente, y nos arroja directamente el ángulo de fase que buscamos. Hay que señalar que esta operación también se puede realizar con el factor potencia, el obtener el arco coseno y nos daría el mismo resultado. 𝑅 𝜙 = 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑍  Ejemplo: 38 Una bobina cuya inductancia es de 250 mH, un capacitor de 20 µF y una resistor de 90 Ω están conectadas a una línea de CA de 90 V, a 50 Hz. ¿Cuál es la corriente efectiva en el circuito? ¿Cuánta potencia se pierde en el circuito? ¿Cuál es el ángulo de fase? 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑉 = 90 𝑉 𝑓 = 50 𝐻𝑧 𝐿 = 250 𝑚𝐻 = 0. 250 𝐻 = 250 × 10−3 𝐻 𝐶 = 20 𝜇𝐹 = 20 × 10−6 𝐹 𝑅 = 90 Ω 𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 2 3.1416 50 0.250 = 78.54 Ω 1 1 𝑋𝐶 = = = 159.15 Ω 2𝜋𝑓𝐶 2 3.1416 50 20 × 10−6 𝑋 = 78.54 − 159.15 = −80.61 Ω 𝑍= 𝑅2 + 𝑋 2 = 90 2 + −80.61 2 = 120.82 Ω 𝑉 90 𝐼= = = 0.7449 𝐴 𝑍 120.82 𝑅 90 cos 𝜙 = = = 0.7449 𝑍 120.82 𝒫 = 𝐼𝑉𝑐𝑜𝑠 𝜙 = 120.82 90 0.7449 = 8,099.89 𝑊 𝑋 −80.61 𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1 = 𝑡𝑎𝑛−1 = −41.85 ° 𝑅 90 Aquí podemos decir que los valores aproximados de la corriente efectiva del circuito es de 745 mA, la perdida de potencia es de 8.1 kW y finalmente es desfase entre la corriente y el voltaje de 42 °, siendo este ultimo el que va atrasado, eso se puede ver por el hecho de que sale un valor negativo en el calculo del ángulo, o como habíamos visto antes, considerando que la reactancia capacitiva es mayor que la inductiva.