Guia BUAP 2024 Licenciatura PDF

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www.seminarioega.com 1 www.seminarioega.com 2 [Capte la atención de los lectores mediante una cita importante extraída del documento o utilice este espacio para resaltar un punto clave. Para colocar el cuadro de texto en cualquier lugar de la página, solo tiene que arrastrarlo.] www.seminarioega.com 3 www.seminarioega.com 4  FUNDAMENTOS DEL LENGUAJE EN MATEMÁTICAS En general toda área de trabajo, de acción o del conocimiento tiene un lenguaje propio. Dependiendo del área, este lenguaje puede ser muy especializado o de uso cotidiano; de esa manera tenemos un tipo de lenguaje relacionado a la medicina, otro en el área de la química, uno más en alguna especialidad deportiva, etc. El manejo correcto del lenguaje, en el área correspondiente, nos permitirá desempeñarnos en forma correcta; por el contrario, si desconocemos el significado de cierta expresión nos veremos limitados en la realización de cualquier acción que implique tal expresión. Matemáticas es un área del conocimiento muy importante y tiene su propio lenguaje. A partir de él podemos describir en forma precisa algún problema, alguna operación, alguna propiedad o algún concepto. En el lenguaje matemático encontraremos una importante diversidad de símbolos cuyo significado es trascendental en la solución de problemas; los símbolos pueden representar un concepto, una operación o una fórmula. También encontraremos palabras que representan alguna idea precisa y su desconocimiento impide la comprensión de la misma. Entre la gran diversidad de expresiones o símbolos matemáticos que se usan en esta área podemos tener, por ejemplo, los siguientes. El doble de un número: 2a 𝑎 La mitad de un número: 2 La suma de dos números cualesquiera: a+b El cuadrado de un número: a2 El cubo de la diferencia de un binomio: (a- b)3 x es menor que y: 𝑥 0 −𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0 Dentro de la definición formal podemos notar que el valor absoluto de un número siempre será positivo. www.seminarioega.com 15 Ejemplos. 1) |8| = 8 2) |−3| = −(−3) = 3 2 2 3) |− | = 3 3 ECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO. En ocasiones tenemos una incógnita dentro de un valor absoluto y debemos hallar su valor. Para hacerlo debemos igualar la expresión, dentro del valor absoluto, con el resultado tanto positivo como negativo y resolver la ecuación resultante. Ejemplos. 1) Hallar los valores de x que cumplen la expresión |𝑥 − 4| = 8 Igualamos con el valor positivo y negativo. 𝑥−4= 8 y 𝑥 − 4 = −8 Resolvemos cada ecuación. 𝑥 = 8+4 y 𝑥 = −8 + 4 𝑥 = 12 y 𝑥 = −4 2) Hallar los valores de x que cumplen la expresión |2𝑥 + 3| = 12 Igualamos con el valor positivo y negativo. 2𝑥 + 3 = −12 y 2𝑥 + 3 = 12 Resolvemos cada ecuación. 2𝑥 = −12 − 3 y 2𝑥 = 12 − 3 2𝑥 = −15 y 2𝑥 = 9 15 9 𝑥=− y 𝑥= 2 2 INECUACIONES O DESIGUALDADES. Una desigualdad o inecuación es una expresión algebraica que está formada por dos miembros separados por un símbolo de desigualdad. Este símbolo puede ser , ≤ 𝑦 ≥. Las inecuaciones, a diferencia de las ecuaciones, tienen como solución a intervalos de números que pueden, o no, incluir a los extremos del mismo. En los casos ≤ 𝑦 ≥ el valor extremo del intervalo está incluido en la solución mientras que en < 𝑦 > no lo está. Si un valor extremo es ∞ ó −∞ estrictamente usamos < 𝑜 >. www.seminarioega.com 16 Al igual que en las ecuaciones, resolver una inecuación es hallar el o los valores que la hacen cierta, solo que las inecuaciones tienen infinitas soluciones agrupadas en un conjunto. Para representar estos conjuntos solución de forma simbólica, se utilizan paréntesis ( , ) para el caso de < 𝑦 > o bien se utilizan [ , ] para el caso de ≤ 𝑦 ≥. Para resolver una inecuación se realizan los mismos pasos que en la solución de una ecuación, excepto en el caso en que se necesita multiplicar ambos miembros de la inecuación por un número negativo; en esos casos se debe cambiar el sentido de la desigualdad. Ejemplos. 1) Hallar el conjunto solución para la siguiente desigualdad 6 < 2𝑥 − 4 ≤ 12 es: 6 < 2𝑥 − 4 ≤ 12 6 + 4 < 2𝑥 ≤ 12 + 4 10 < 2𝑥 ≤ 16 10 16 8 – 4 < – 2 –8 > –9 5 = 25/5 3/8 = 9/24 2) Escribe los siguientes enteros en orden de menor a mayor: – 15, 24, – 5, 16, – 12, – 13, 14 Ordenando se tiene: – 15, – 13, – 12, – 5, 14, 16, 24 ORDEN EN NÚMEROS RACIONALES. En los racionales, que se definen como el cociente de dos enteros, también se aplica la ley de la tricotomía. Para números enteros establecemos fácilmente la relación observando qué número se encuentra a la derecha del otro, pero para los racionales esta relación no es tan evidente. Para poder aplicar la ley de la tricotomía en los números racionales realizamos el producto entre los elementos de los números a analizar y observamos sus resultados. Es muy importante respetar el orden establecido en los productos. Ejemplo. Indica el símbolo correcto para la pareja de números: 8 7 3 2 Multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador, es decir: (8) (2) = 16 Multiplicamos el primer denominador por el segundo numerador, es decir: (3) (7) = 21 Obtuvimos 16 y 21 en ese orden. Establecemos la relación entre ellos 16 < 21 Por lo tanto 8 7 < 3 2 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES. Para realizar la suma y resta de racionales consideramos dos diferentes casos. El primer de ellos es la suma o resta con igual denominador. En ese caso debemos mantener el valor del denominador y realizar la operación entre los numeradores. Significa esto que solo realizamos operaciones con los numeradores, pero utilizando las reglas de signos para suma y resta. www.seminarioega.com 21 El segundo caso de suma y resta con racionales es aquel en el que los denominadores son diferentes. Para resolver este tipo de operaciones es necesario transformar las fracciones en sus equivalentes y que tengan, todas, el mismo denominador. Para hallar el número adecuado del denominador utilizamos el llamado mínimo común denominador, que es el múltiplo común y más pequeño de todos los denominadores. Si los números racionales se presentan en forma mixta, es decir, una parte entera y una parte racional, podemos considerar su forma impropia. Ejemplos. 1) Realiza la siguiente operación: 6 9 3 5 15 6 − 9 + 3 + 5 − 15 −10 − + + − = = = −2 5 5 5 5 5 5 5 2) Realiza la siguiente operación: 3 7 9 + − = 4 3 6 El mínimo común de 4, 3 y 6 será 12, entonces tenemos: 3 7 9 9 28 18 9 + 28 − 18 19 + − = + − = = 4 3 6 12 12 12 12 12 2 3 3) Determine la suma de los números mixtos 5 𝑦 4 4 5 Expresamos los números de tal manera que no existan enteros. 2 22 3 23 5 = 𝑦 4 = 4 4 5 5 Entonces realizamos la siguiente operación. 22 23 + = 4 5 El mínimo común de 4 y 5 será 20, entonces tenemos: 22 23 110 92 110 + 92 202 + = + = = 4 5 20 20 20 20 www.seminarioega.com 22 PRODUCTO Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. El producto y la división de números racionales se llevan a cabo de una forma muy sencilla, en realidad solo serán una aplicación de las tablas de multiplicar respetando las leyes de los signos para producto y división. Las definiciones correspondientes son las siguientes: 𝑃 𝑅 𝑃𝑅 Producto.- sean 𝑦 dos números racionales, su producto es 𝑄 𝑆 𝑄𝑆 𝑃 𝑅 𝑃𝑆 División.- sean 𝑦 dos números racionales, su división es 𝑄 𝑆 𝑄𝑅 Ejemplos. Realiza las siguientes operaciones: 6 8 48 − × =− 5 4 20 5 7 15 ÷ = 4 3 28 MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Entendemos por múltiplo de un número A a otro número B tal que A = CB donde C es un número entero. 𝐵 Decimos que un número A es divisor de un número B si = 𝐶 donde C es un número entero. 𝐴 Ejemplos. 1) Hallar 5 múltiplos de 4: Basta multiplicar el número 4 por 5 números enteros, es decir: 4 × 3 = 12 4 × 7 = 28 4 × 9 = 36 4 × 11 = 44 4 × 15 = 60 Existe una infinidad de múltiplos. 2) Hallar todos los divisores positivos del número 24: Debemos hallar todos los números naturales que dividan al 24, es decir: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 La cantidad de divisores en finita. www.seminarioega.com 23 NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS. Un número es primo si solo se puede dividir entre el mismo número y el número 1, es decir, solo tiene dos divisores. Cuando un número tiene tres o más divisores decimos que es compuesto. Ejemplo. Encuentra los divisores de cada número. Indica si es primo o compuesto: 1) 100 Sus divisores son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. Es compuesto 2) 35 Sus divisores son: 1,7, 5 y 35. Es compuesto. 3) 47 Sus divisores son: 1 y 47. Es primo. 4) 19 Sus divisores son: 1 y 19. Es primo. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA. Este importante teorema nos dice lo siguiente: Todo número natural mayor que 1 puede expresarse en forma única como el producto de números primos. Dicha expresión, de cada número, se conoce como descomposición canónica del número. Ejemplo. Encuentra la descomposición canónica de cada número. Indica si es primo o compuesto: 1320 2 660 2 330 2 165 3 1320 = (23)(3)(5)(11) El número es compuesto. 55 5 11 11 1 87 87 87 = (1)(87) El número es primo. 1 Con este teorema podemos encontrar los divisores de un número. Ejemplo. Con la descomposición canónica, hallar los divisores de 72: www.seminarioega.com 24 La descomposición canónica es: 72 = 23 32 Los divisores serán: 2332 = (8)(9) = 72 2331 = (8)(3) = 24 2330 = (8)(1) = 8 2232 = (4)(9) = 36 2231 = (4)(3) = 12 2230 = (4)(1) = 4 2132 = (2)(9) = 18 2131 = (2)(3) = 6 2130 = (2)(1) = 2 2032 = (1)(9) = 9 2031 = (1)(3) = 3 2030 = (1)(1) = 1 Con la descomposición canónica podemos, también, encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números. www.seminarioega.com 25  OPERADORES NUMÉRICOS EN ÁLGEBRA MÁXIMO COMUN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MULTIPLO. Dos importantes valores en un conjunto de números son el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. El primero de ellos se refiere al mayor divisor común del conjunto mientras que el segundo es el menor de todos los múltiplos. Ambos elementos se pueden calcular con la descomposición canónica o bien por simple inspección. Ejemplos. 1) Con la descomposición canónica, hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 12 y 28: La descomposición canónica del 12 es: 12 = 22 3 La descomposición canónica del 28 es: 28 = 22 7 El máximo común divisor será: 22 = 4 ya que es el factor común de las descomposiciones canónicas. El mínimo común múltiplo será: 22 3 7 = 84 ya que tomamos todos los factores primos al menor exponente. 2) Hallar el máximo común divisor de los números 40 y 48. El máximo común divisor de dos números se obtiene hallando la descomposición en factores primos. 48 = 24 ∙ 3 40 = 23 ∙ 5 Para hallar el máximo común divisor se considera el producto de los factores comunes al menor exponente, es decir 23 = 8 3) Hallar el mínimo común múltiplo entre 12 y 90. El mínimo común múltiplo de dos números se obtiene hallando la descomposición en factores primos. 12 = 22 ∙ 3 90 = 2 ∙ 32 ∙ 5 Para hallar el mínimo común múltiplo se considera el producto de todos los factores considerando al mayor exponente en el caso de los comunes: 22 ∙ 32 ∙ 5 = 180 www.seminarioega.com 26 SUCESIONES NUMÉRICAS. Una sucesión es un conjunto ordenado de números que cumple cierta regla de correspondencia. Cada elemento de la sucesión corresponde o está relacionado con un número natural. Posición (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…) Elemento (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49…) En este ejemplo entendemos que el elemento que está en la posición sexta (6) es el 36. Al trabajar sucesiones se presentan dos problemas básicos: Hallar la regla de correspondencia, o los números siguientes, a partir de algunos elementos conocidos. Hallar elementos a partir de la regla de correspondencia. Aunque las sucesiones suelen tener relaciones para su comportamiento, en ocasiones la relación no sea tan evidente y hallarla no es tan fácil. Cuando la regla de correspondencia es conocida, podemos hallar cualquier elemento de la sucesión. Ejemplos. 1) ¿Cuál será el elemento 7 de la siguiente sucesión? Sn = (2, 4, 8, 16, 32…) ¿Cuál es la regla de correspondencia? Al observar los elementos de la sucesión podemos pensar en la forma en la que van aumentando, es decir, de 2 a 4 habrá un aumento de 2 valores; de 4 a 8 un aumento de 4 valores; de 8 a 16 un aumento de 8 valores, etc. Si mantenemos esos aumentos ordenados llegaremos al elemento buscado que es el 128. Otra forma de resolver esta sucesión es tratar de hallar la regla de correspondencia. Esta forma es adecuada ya que con ella podemos encontrar el elemento de cualquier posición. Podemos observar que el primer elemento es 21, el segundo es 22, el tercero es 23 y así sucesivamente, por lo que el elemento siete será 27 = 128. La regla de correspondencia se representa de la siguiente manera: Sn = (2n) donde n representa a los números naturales. 2) Si el primer número de una sucesión es 0, el segundo es 2 y el tercero es 6, ¿cuál es el quinto término? El quinto elemento es: 20 Ya que podemos observar que www.seminarioega.com 27 0 0+2=2 2+4=6 6 + 6 = 12 12 + 8 = 20 y la sucesión es: 0, 2, 4, 6, 12, 20… 3) Indica los primeros 5 elementos de la sucesión: Sn = (4n + 2) donde n representa a los números naturales Para hallar los elementos pedidos sustituimos el valor de n en la regla indicada. Si n = 1 entonces el elemento es 4(1) + 2 = 6 Si n = 2 entonces el elemento es 4(2) + 2 = 10 Si n = 3 entonces el elemento es 4(3) + 2 = 14 Si n = 4 entonces el elemento es 4(4) + 2 = 18 Si n = 5 entonces el elemento es 4(5) + 2 = 22 La sucesión quedará: (6, 10, 14, 18, 22…) ¿Cuál será el elemento 20? Simplemente sustituimos n = 20 en la regla indicada. Si n = 20 entonces el elemento es 4(20) + 2 = 82 𝑛2 4) Indica los primeros 5 elementos de la sucesión 2𝑛 Sustituimos los números naturales indicados. 𝑛2 La fórmula es 2𝑛 12 1 Si 𝑛 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 = 2(1) 2 22 4 Si 𝑛 = 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 = =1 2(2) 4 32 9 3 Si 𝑛 = 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 = = 2(3) 6 2 42 16 Si 𝑛 = 4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 = =2 2(4) 8 52 25 5 Si 𝑛 = 5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 = = 2(5) 10 2 1 3 5 Los elementos son: , 1, , 2, 2 2 2 www.seminarioega.com 28 PRODUCTOS NOTABLES. El producto de polinomios tiene diversos casos muy frecuentes que se conocen como productos notables. En la siguiente tabla se muestran los más comunes: Productos notables Ejemplos (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (5𝑥 + 3𝑦)2 = 25𝑥 2 + 30𝑥𝑦 + 9𝑦 2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (2𝑠 − 3𝑡)2 = 4𝑠2 − 12𝑠𝑡 + 9𝑡 2 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 (4 + 𝑥)(4 − 𝑥) = 16 − 𝑥 2 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 (𝑥 + 3)3 = 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 27𝑥 + 27 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 (2𝑎 − 2𝑏)3 = 8𝑎3 − 24𝑎2 𝑏 + 24𝑎𝑏 2 − 8𝑏 3 (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3 (𝑚 + 1)(𝑚2 − 𝑚 + 1) = 𝑚3 + 1 (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 − 𝑏 3 (𝑥 − 2𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 4𝑦 2 ) = 𝑥 3 − 8𝑦 3 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑛) = 𝑎2 + (𝑚 + 𝑛)𝑎 + 𝑚𝑛 (5 + 𝑠)(5 + 𝑡) = 25 + 5(𝑠 + 𝑡) + 𝑠𝑡 FACTORIZACIÓN. Entendemos por factorización al proceso de descomposición de una expresión en sus factores, es decir, en aquellos términos que al multiplicarse generan la expresión original. Existen varios casos de factorización, entre los que mencionamos: Factor común. Diferencia de cuadrados. Trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Suma y diferencia de cubos. Cada uno de estos casos presenta procesos de solución totalmente diferentes. Diferencia de cuadrados. Llamamos así a este caso de factorización porque efectivamente tenemos una diferencia y de dos términos que están elevados al cuadrado (o que admiten raíz cuadrada exacta). Su expresión general es: 𝑎2 − 𝑏 2 www.seminarioega.com 29 Y su factorización se representa como un producto de binomios conjugados. 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) Para efectos prácticos debemos obtener la raíz cuadrada del primer término y la raíz cuadrada del segundo; con ellas formamos los binomios conjugados. Ejemplo. Factorizar 9𝑥 8 − 16𝑦 4 Obtenemos √9𝑥 8 = 3𝑥 4 Obtenemos √16𝑦 4 = 4𝑦 2 Los escribimos como binomios conjugados: 9𝑥 8 − 16𝑦 4 = (3𝑥 4 − 4𝑦 2 )(3𝑥 4 + 4𝑦 2 ) Importante: al coeficiente se le busca la raíz; al exponente se le divide entre 2. Factor común. Este caso de factorización se presenta cuando en una expresión algebraica existe un término común. Para factorizar bajo este caso, debemos buscar en toda la expresión algebraica a aquel término que, de manera implícita, o explicita, se encuentre en todos los términos de esta. Para hallar el factor común consideramos las reglas siguientes: 1. Buscamos el máximo común divisor de los coeficientes numéricos. 2. De las literales que aparezcan en todos los términos tomamos la de menor exponente. Para factorizar la expresión, la dividimos entre el factor común e indicamos el resultado de la división por este último. Ejemplos. 1) Factorizar la expresión: 8𝑥 4 𝑦 6 + 24𝑥 6 𝑦 2 − 16𝑥 3 𝑦 4 El factor común es: 4𝑥 3 𝑦 2 La división será: 2𝑥𝑦 4 + 6𝑥 3 − 4𝑦 2 La factorización es: 8𝑥 4 𝑦 6 + 24𝑥 6 𝑦 2 − 16𝑥 3 𝑦 4 = (4𝑥 3 𝑦 2 )(2𝑥𝑦 4 + 6𝑥 3 − 4𝑦 2 ) 𝑚2 − 9 2) Simplifica la expresión: 𝑚2 −3𝑚 Factorizamos en el numerador y en el denominador de acuerdo con el caso que corresponde. Después simplificamos. 𝑚2 − 9 (𝑚−3)(𝑚+3) 𝑚+3 = = 𝑚2 −3𝑚 (𝑚)(𝑚−3) 𝑚 www.seminarioega.com 30 Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Factorizar este tipo de trinomios es un proceso muy simple. El proceso a seguir consiste en buscar dos números que multiplicados den el término independiente y sumados o restados den el término lineal. El signo del primer paréntesis deberá coincidir con primer signo del trinomio. El signo del segundo paréntesis será el producto de los dos signos del trinomio. Si los dos signos (en los paréntesis) son iguales, los números se suman; si los signos son diferentes, los números se restan. Ejemplos. 1) Factorizar el trinomio: 𝑥 2 + 8𝑥 + 12 Debemos buscar dos números que multiplicados den 12 y sumados den 8. Tales números son 6 y 2. La factorización es: 𝑥 2 + 8𝑥 + 12 = (𝑥 + 6)(𝑥 + 2) 2) Factorizar el trinomio: 𝑥 2 − 2𝑥 − 24 Debemos buscar dos números que multiplicados den 24 y restados den 2. Tales números son 6 y 4. La factorización es: 𝑥 2 − 2𝑥 − 24 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 4) Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Este tipo de factorización es el menos simple de todos. El proceso a seguir consiste en transformar el trinomio en uno del tipo anterior. Para llevar a cabo la transformación debemos multiplicar por el coeficiente del término cuadrado. Durante el proceso debemos observar que el producto mencionado tiene diversos desarrollos en cada término del trinomio: - Para el primer término se indica el cuadrado. - Para el segundo término se indica el producto. - Para el tercer término se realiza el producto. Se realiza la transformación y se resuelve como en el caso anterior. Es importante recordar que al final de la factorización se deberá dividir entre el término con el que se multiplicó inicialmente, para así regresar al trinomio original y que en consecuencia el resultado sea correcto. Ejemplo. Factorizar el trinomio: 2𝑥 2 + 9𝑥 + 4 Multiplicamos por 2. (2)(2𝑥 2 + 9𝑥 + 4) “Indicamos” el producto. 22 𝑥 2 + (2)(9𝑥) + 8 Reordenamos. (2𝑥)2 + (9)(2𝑥) + 8 www.seminarioega.com 31 Factorizamos. (2𝑥 + 8)(2𝑥 + 1) Dividimos entre 2. (2𝑥+8)(2𝑥+1) 2 1 Simplificamos. (𝑥 + 4)(2𝑥 + 1) La factorización es: 2𝑥 2 + 9𝑥 + 4 = (𝑥 + 4)(2𝑥 + 1) Suma y diferencia de cubos. Este tipo de factorización considera dos casos: la suma y la diferencia. Ambos casos tienen un desarrollo similar y el único cambio es en dos signos. Las formas generales de este producto notable serán: 𝑎3 + 𝑏 3 Para la suma. 𝑎3 − 𝑏 3 Para la diferencia. Podemos simplificar la fórmula general de ambos en una sola, que es la siguiente: 𝑎3 ± 𝑏 3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) La redacción de la fórmula es de la siguiente manera: “Raíz cúbica del primer término más (menos) raíz cúbica del segundo término por el producto del primer término cuadrado menos (más) el producto de las raíces cúbicas más el segundo término al cuadrado” Ejemplos. 1) Factoriza la siguiente expresión: 27𝑥 3 + 8 En este caso, la raíz cúbica del primer término es: 3𝑥 La raíz cúbica del segundo término es: 2 Aplicando la formula tenemos: 27𝑥 3 + 8 = (3𝑥 + 2)(9𝑥 2 − 6𝑥 + 4) 2) Factoriza la siguiente expresión: 64𝑥 6 − 125𝑦 3 En este caso, la raíz cúbica del primer término es: 4𝑥 2 La raíz cúbica del segundo término es: 5𝑦 Aplicando la formula tenemos: 64𝑥 6 − 125𝑦 3 = (4𝑥 2 − 5𝑦)(16𝑥 4 + 20𝑥 2 𝑦 + 25𝑦 2 ) www.seminarioega.com 32  FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS RAZONES Y PROPORCIONES. Una razón es el cociente de dos cantidades. Una proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene la forma: 𝐴 𝐶 = 𝐵 𝐷 Donde A y D son los extremos B y C son los medios. Para resolver una proporción, en caso de existir una incógnita, utilizamos la propiedad que dice: “el producto de medios es igual al producto de extremos” 𝐴 𝐶 𝐵 =𝐷 Es decir: 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 Las proporciones pueden ser directas e inversas y tienen múltiples aplicaciones. Cuando tenemos una proporción directa debemos multiplicar los valores tal y como lo marca la regla. Si la proporción es inversa, primero modificamos el orden en alguna de las dos razones y después aplicamos la regla. Ejemplos. 1) Resolver la proporción directa: 3 8 = 𝑥 7 Por ley tendremos: 3∙7= 8∙𝑥 21 = 8𝑥 21 =𝑥 8 2) Resolver la proporción inversa. 9 𝑥 = 6 2 Primero invertimos alguna de las dos razones. 6 𝑥 = 9 2 Aplicamos ahora la ley y tendremos: 6∙2 =9∙𝑥 12 = 9𝑥 12 =𝑥 9 www.seminarioega.com 33  𝑎 5 3) Si = 3 y 𝑎 + 𝑏 = 24 , entonces ¿cuáles serán los valores de a y b? 𝑏 𝑎 5 Como sabemos que = 3 tenemos infinidad de valores para a y b, es decir: 𝑏 5 10 15 20 25 = = = 12 = 15 etc. 3 6 9 Elegimos la pareja que cumpla con la segunda condición. 𝑎 = 15 𝑦 𝑏 = 9 REGLA DE TRES. Algunas de las aplicaciones de las proporciones son la regla de tres y los porcentajes. Aplicamos una regla de tres en aquellos problemas donde existen tres datos y una incógnita, donde además existe una relación de proporcionalidad. Una relación es directamente proporcional cuando al aumentar una cantidad, aumenta la otra. Una relación es inversamente proporcional cuando al aumentar una cantidad, la otra disminuye. El porcentaje es una regla de tres directa. Entendemos por porcentaje a las partes consideradas por cada cien. El porcentaje se puede representar en forma entera, por ejemplo: 15%. El porcentaje se puede representar en forma decimal, por ejemplo: 0.15 15 El porcentaje se puede representar en forma racional, por ejemplo: 100 Los problemas sobre porcentaje se resolverán como proporciones directas. Ejemplos. 1) Para llevar a cabo una obra en construcción, 13 personas requieren de 28 días. ¿Cuántos días necesitarán 6 personas? En este caso la regla es inversa y la relación es: P D 13 28 = 𝑥 6 Resolvemos bajo el proceso marcado para relaciones inversas. 13 ∙ 28 = 6 ∙ 𝑥 364 = 6𝑥 364 =𝑥 6 Es decir, se requieren: 60.66 días. www.seminarioega.com 34 2) El costo de dos aparatos electrodomésticos es de $ 374. ¿Cuál será el costo de 7 aparatos? En este caso la regla es directa y la relación es: A $ 2 374 = 7 𝑥 Resolvemos bajo el proceso marcado para relaciones directas. 2 ∙ 𝑥 = 7 ∙ 374 2𝑥 = 2618 2618 𝑥= 2 Es decir, el costo es de $ 1,309.00 3) Un atleta recorre 500 m en n minutos. ¿Qué distancia, en metros, recorrerá en 3 minutos? Utilizamos una regla de tres directa en la que tenemos metros en la primera columna y minutos en la segunda. La incógnita la representamos con x. 500 𝑛 = 𝑥 3 Desarrollando tenemos: (500)(3) = 𝑛𝑥 1500 = 𝑛𝑥 1500 =𝑥 𝑛 4) El valor de un teléfono es de $ 12,350.00, si se ofrece con un 15 % de descuento, ¿cuál será el costo de venta? En este caso hablamos de un problema de porcentaje. La relación es: $ % 12350 100 = 𝑥 15 Resolvemos bajo el proceso de regla de tres directa 12350 ∙ 15 = 100 ∙ 𝑥 185250 = 100𝑥 185250 𝑥= 100 𝑥 = 1852.50 Para obtener el precio de venta, restamos el valor del descuento ($ 1,852.50) al precio real del teléfono ($ 12,350). Es decir, el costo es de $ 10,497.50 www.seminarioega.com 35 BASES ALGEBRAICAS EN DECISIONES FINANCIERAS. De la necesidad de calcular los intereses surgieron las matemáticas financieras. La forma más sencilla de calcularlos se denomina interés simple; para su cálculo, se consideran los meses como si tuvieran 30 días y los años, 360 días; a esto se le denomina: “tiempo comercial”. En una operación matemática financiera intervienen básicamente tres elementos fundamentales: el capital, la tasa de interés y el tiempo o plazo. Los intereses es el dinero que se pagará por el uso del dinero ajeno. Tasa de interés es la razón de los intereses devengados entre el capital en un lapso. Se expresa en tanto por uno o en tanto por ciento. Tiempo es el número de unidades de tiempo que transcurren entre la fecha inicial y final en una operación financiera. Se conoce también como plazo. El capital es una cantidad o masa de dinero localizada en una fecha o punto inicial de una operación financiera, igual se le puede llamar principal, valor actual, valor presente, es el valor del dinero en este momento. Monto es el valor del dinero en el futuro, es el capital más los intereses generados, igual se le puede llamar capital futuro o valor acumulado. Inversión de dinero a interés simple. El interés simple es aquel que se calcula sobre un capital inicial que permanece invariable en el tiempo; los intereses se manejan por separado y se retiran de la operación financiera. En consecuencia, el interés que se obtiene en cada intervalo unitario de tiempo es siempre el mismo. La fórmula que nos permite calcular el interés simple es la siguiente: 𝐼 = 𝑐𝑖𝑡 Dónde: I es el interés. C es el capital. i es la tasa de interés. T es el tiempo. De la fórmula principal podemos utilizar propiedades de la igualdad para despejar fórmulas adicionales que nos permitirán obtener, dependiendo de los datos, el capital, el tiempo y la tasa de interés. Las fórmulas serán las siguientes: 𝐼 Para la tasa de interés 𝑖= 𝑐𝑡 𝐼 Para el capital 𝑐= 𝑖𝑡 𝐼 Para el tiempo 𝑡= 𝑐𝑖 www.seminarioega.com 36 Se conoce por monto a la suma del capital (C) más el interés (I). También se le denomina valor futuro, valor acumulado o valor nominal y se obtiene de la siguiente manera: 𝑀 =𝐶+𝐼 Inversión de dinero a interés compuesto. Al invertir un dinero o capital a una tasa de interés durante cierto tiempo, nos devuelven ese capital más los beneficios o intereses, que entonces se llama monto. Cuando los intereses no se retiran y se acumulan al capital inicial para volver a generar intereses, se dice que la inversión es a interés compuesto. El interés compuesto se da, entonces, cuando al vencimiento de una inversión a plazo fijo no se retiran los intereses, así se presenta un incremento sobre el incremento ya obtenido y se tiene interés sobre interés. El interés simple produce un crecimiento lineal del capital; por el contrario, un capital a interés compuesto crece de manera exponencial. Cuando el interés es compuesto o capitalizable debemos usar la fórmula: 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Dónde: M es el monto. P es el capital inicial. i es la tasa de interés del periodo. n es el número de periodos en el total del tiempo. Ejemplos. 1. Deposite $22,000 en una caja de ahorro por medio año y me pagarán un rendimiento del 1.2 % mensual no capitalizable. ¿Cuánto dinero ganaré en el periodo? Como los intereses no son capitalizables usamos la fórmula: 𝐼 = 𝑐𝑖𝑡 Tenemos 𝐼 = (22000)(1.2%)(6) 𝐼 = (22000)(0.012)(6) 𝐼 = 1584 Los intereses son $1,584.00 Es importante representar correctamente la tasa de interés en forma decimal. 2. ¿Cuál es el interés que produce un capital de $15,000 en 3 años al 4% mensual? Como los intereses no son capitalizables usamos la fórmula: www.seminarioega.com 37  𝐼 = 𝑐𝑖𝑡 Sustituyendo 𝐼 = (15000)(4%)(36) 𝐼 = (15000)(0.04)(36) 𝐼 = 21600 Los intereses son $21,600 3. Lucia paga $2,295 de interés por un préstamo de $25,500 en tres años. ¿Cuál fue la tasa de interés anual que pago por dicho préstamo? Debemos despejar el valor de i en la fórmula: 𝐼 = 𝑐𝑖𝑡 𝐼 Y tenemos 𝑖= 𝑐𝑡 2295 Sustituyendo 𝑖= (25500)(3) 2295 𝑖= 76500 𝑖 = 0.03 Es decir, la tasa de interés fue del 3 % 4. Manuel pidió un préstamo de $10,000 al 7%, al liquidar su deuda pagó por concepto de intereses $1400. ¿En qué tiempo pagó el préstamo? Debemos despejar el valor de t en la fórmula: 𝐼 = 𝑐𝑖𝑡 𝐼 Tenemos 𝑡= 𝑐𝑖 1400 Sustituyendo 𝑡= (10000)(0.07) 1400 𝑡= 700 𝑡=2 Es decir 2 años 5. ¿Cuál es el monto a pagar por un crédito de $50,000, a una tasa de interés del 12% anual capitalizable en tres años? www.seminarioega.com 38 Como el interés es capitalizable debemos usar la fórmula: 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Sustituyendo 𝑀 = 50000(1 + 0.12)3 𝑀 = 50000(1.12)3 𝑀 = 50000(1.4049) 𝑀 = 70245 6. Jaime realiza una inversión de $35,000 con una tasa de interés capitalizable de 10% anual. ¿Qué cantidad tendrá en 4 años? Como el interés es capitalizable debemos usar la fórmula: 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Sustituyendo 𝑀 = 35000(1 + 0.10)4 𝑀 = 35000(1.10)4 𝑀 = 35000(1.4641) 𝑀 = 51243.50 7. Un capital de $12,000 se invierte a una tasa de interés del 12% anual. ¿Cuál será la cantidad obtenida después de 2 años, si el interés se genera semestralmente? Como el interés es capitalizable debemos usar la fórmula: 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Sustituyendo 𝑀 = 12000(1 + 0.06)4 𝑀 = 12000(1.06)4 𝑀 = 12000(1.2624) 𝑀 = 15148.80 En este caso el periodo es semestral y tenemos 4 semestres. El interés anual de 12% por lo que se debe considerar de 6 % semestral. www.seminarioega.com 39  GEOMETRÍA Y CALCULO DE ÁREAS GEOMETRÍA PLANA. La geometría plana es la rama de las matemáticas que estudia las figuras y sus relaciones. Uno de los conceptos básicos de la geometría es el ángulo. Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto. Las rectas son los lados del ángulo y el punto donde se cortan es su vértice. La medida de un ángulo está relacionada con su abertura. Aunque existen diversas medidas se acostumbra a utilizar el grado sexagesimal. Un grado en el sistema sexagesimal corresponde a una de las 360 partes en que se divide a una circunferencia. Los ángulos los podemos clasificar por su medida de la siguiente manera: Ángulos agudos.- Son aquellos que miden menos de 90º Ángulos rectos.- Son aquellos que miden exactamente 90º Ángulos obtusos.- Son los que miden más de 90º Ángulo llano.- Es aquel que mide exactamente 180° Ángulo perigonal.- Es aquel que mide 360º (exactamente una vuelta) Otra clasificación importante es la que se refiere a los ángulos que se presentan en parejas, en esta clasificación es importante la suma de los ángulos considerados. Ángulos complementarios.- Son aquellos que suman 90º Ángulos suplementarios.- Son aquellos que miden 180º Ángulos conjugados.- Son los que suman 360º Ángulos opuestos por el vértice.- son aquellos en los que los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Ejemplo: ¿Qué ángulo es igual al doble de su suplemento? Sea A el ángulo indicado y B el suplemento, entonces los ángulos cumplirán: 𝐴 + 𝐵 = 180° Además 𝐴 = 2𝐵 Sustituyendo 2𝐵 + 𝐵 = 180° 3𝐵 = 180° 180° 𝐵= 3 Es decir 𝐵 = 60° por lo que el ángulo buscado es 𝐴 = 120° que es el doble de su suplemento. www.seminarioega.com 40 TRIÁNGULOS. Llamamos triángulo a la figura geométrica que se forma con la unión de los segmentos de recta entre tres puntos no colineales. Por construcción, un triángulo está formado por tres lados y, en consecuencia, por tres ángulos. Los puntos donde se unen los lados reciben el nombre de vértices. Los triángulos se clasifican por lados y por ángulos. Si clasificamos a los triángulos por sus lados tendremos: Triángulo Equilátero.- Es el que tiene sus tres lados iguales. Triángulo Isósceles.- Es el que tiene dos lados iguales. Triángulo Escaleno.- Es el que tiene lados desiguales. Si clasificamos a los triángulos por sus ángulos tendremos: Triángulo Acutángulo.- Es el que tiene sus ángulos agudos Triángulo Rectángulo.- Es el que tiene un ángulo recto Triángulo Obtusángulo.- Es el que tiene un ángulo obtuso Independientemente de su forma, todos los triángulos cumplen con las siguientes propiedades o teoremas: Teorema. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º Teorema. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90º Teorema. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360º Teorema. Un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Otras importantes propiedades de triángulos son las siguientes: En todo triángulo, a ángulos iguales se oponen lados iguales. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. En todo triángulo, un lado es menor a la suma de los otros dos. En todo triángulo, un lado es mayor a la diferencia de los otros dos. Ejemplos. 1) Hallar el valor de cada ángulo en la figura. A=2x 90º B=4x www.seminarioega.com 41 Sabemos que los dos ángulos agudos suman 90° por lo que debemos resolver la ecuación 2𝑥 + 4𝑥 = 90° 6𝑥 = 90° 90° 𝑥= 6 Tenemos que 𝑥 = 15° por lo que sustituimos en cada ángulo agudo para obtener: 𝐴 = 30° y 𝐵 = 60° 2) Uno de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es la cuarta parte del otro. ¿Cuánto mide cada ángulo? Sean A y B los dos ángulos agudos, entonces 𝐵 𝐴 + 𝐵 = 90° Además 𝐴 = 4 Sustituyendo 𝐵 + 𝐵 = 90° 4 5𝐵 = 90° 4 5𝐵 = 360° Al despejar tenemos que 𝐵 = 72° y entonces 𝐴 = 18° 3) Hallar el valor del ángulo A en el triángulo siguiente si sabemos que MN = MP M A 75° B N P Al tener dos lados iguales, los ángulos opuestos serán iguales, es decir, B = 75° Entonces 𝐴 = 180° − 2(75°) 𝐴 = 180° − 150° 𝐴 = 30° www.seminarioega.com 42 TEOREMA DE PITÁGORAS. Posiblemente el teorema más conocido en la geometría plana es el teorema de Pitágoras. Dicho teorema se refiere al área de tres cuadrados construidos en base, o alrededor, de un triángulo rectángulo. c a b En la figura anterior, el teorema nos dice que “el área del cuadrado c es igual al área del cuadrado a más el área del cuadrado b” Si interpretamos la figura anterior y apoyándonos en el valor del área de un cuadrado tendremos: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” Interpretando el teorema a partir de las literales en la figura tendremos: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 Con el teorema de Pitágoras podremos calcular el valor de uno de los lados del triángulo rectángulo si conocemos el valor de los otros dos. En base al teorema tendremos: 𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 = √𝑐 2 − 𝑏 2 𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎 2 Ejemplos. 1) Hallar el valor de la hipotenusa en el triángulo rectángulo siguiente: 8 c 6 www.seminarioega.com 43 Como debemos calcular el valor de la hipotenusa consideramos la fórmula: 𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2 𝑐 = √82 + 62 𝑐 = √64 + 36 𝑐 = √100 Es decir, la hipotenusa mide10 unidades. 2) ¿Cuál será la altura de un muro si una escalera de 10 mts de largo alcanza su máximo y se apoya a 3 mts de la base? a 10 m 3m En este caso deberemos calcular el valor de un cateto por lo que la fórmula adecuada es: 𝑎 = √𝑐 2 − 𝑏 2 𝑎 = √(10 𝑚)2 − (3 𝑚)2 𝑎 = √100 𝑚2 − 9𝑚2 𝑎 = √91𝑚2 Es decir, la altura del muro es de 9.53 mts ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO. Entendemos por perímetro de un triángulo a la suma de los valores de sus tres lados mientras que el área será el espacio que contienen dichos lados. Para calcular el área y el perímetro, respectivamente, utilizamos las siguientes fórmulas: 𝑏𝑎 𝐴= y 𝑃 = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 2 Ejemplos. 1) Hallar el área y el perímetro del siguiente triángulo donde u es la unidad de medida: 5 5 6 www.seminarioega.com 44 Para el área. En este caso la base es 6 y la altura la obtenemos con el teorema de Pitágoras trazando la bisectriz del ángulo formado por los lados iguales. ℎ = √52 − 32 ℎ = √25 − 9 ℎ = √16 ℎ=4 Entonces tenemos: (6)(4) 𝐴= 2 24 𝐴= 2 𝐴 = 12𝑢2 El perímetro de un triángulo es la suma de los lados. 𝑝 = 5 + 5 + 6 = 16𝑢 2) Calcular el área y el perímetro del siguiente triángulo si x = 2, y = 1 y u es la unidad de medida. 5x + 2y 4x + 5y 2x + y En este caso la base y la altura son los catetos del triángulo rectángulo. Como x= 2 y = 1 sustituimos y los catetos son 5 y 12 mientras que la hipotenusa es 13. Entonces tenemos: (5)(12) 𝐴= 2 60 𝐴= 2 𝐴 = 30𝑢2 El perímetro de un triángulo es la suma de los lados. 𝑝 = 5 + 12 + 13 = 30𝑢 www.seminarioega.com 45 POLÍGONOS. Un polígono es la figura cerrada formada por n segmentos P1P2, P2P3, P3P4… PnP1 (𝑛 ≥ 3), llamados lados. A los puntos P1, P2 ,……. Pn se les llama vértices. P1 P5 P2 P4 P3 Los polígonos se pueden clasificar en regulares e irregulares. Son polígonos regulares aquellos en los que tanto los ángulos como los lados del mismo son iguales entre sí, por ejemplo, un cuadrado o un triángulo equilátero. Son polígonos irregulares aquellos que no cumplen con esa condición, por ejemplo: un rectángulo o un trapecio. Los polígonos regulares tienen diversas propiedades como son: Centro.- Llamamos centro de un polígono regular al centro de la circunferencia que se construye en la parte externa del polígono (circunscrita). Radio.- Llamamos radio de un polígono regular al segmento de recta que une el centro con un vértice. Ángulo central.- Es el formado por dos radios consecutivos. Apotema.- En un polígono regular, es el segmento de recta que une al centro con uno de sus lados y que además es perpendicular. Ángulo interno.- Todos aquellos formados por dos lados consecutivos. Ángulo externo.- Se obtienen prolongando uno de los lados; son adyacentes a un ángulo interno. Diagonal.- Es el segmento de recta que une a dos vértices no consecutivos del polígono. Para calcular el perímetro de cualquier polígono regular solo multiplicamos el valor de un lado por la cantidad de lados, es decir: 𝑃 = 𝑛𝑙 𝑝𝑎 Para calcular el área de cualquier polígono regular utilizamos la fórmula: 𝐴 = donde p es el 2 perímetro y a es la apotema. Ejemplos. 1) Calcular el área y el perímetro de un cuadrado de lado 6 cm. www.seminarioega.com 46 Para calcular el perímetro basta multiplicar el valor del lado por 4 que es la cantidad de lados de un cuadrado. 𝑃 = 𝑛𝑙 𝑃 = (4)(6 𝑐𝑚) 𝑃 = 24 𝑐𝑚 Para calcular el área multiplicamos lado por lado, es decir: 𝐴=𝑙∙𝑙 𝐴 = (6 𝑐𝑚)(6 𝑐𝑚) 𝐴 = 36 𝑐𝑚2 2) Calcular el área y el perímetro del siguiente hexágono regular si el valor de la diagonal es de 4 unidades. Por construcción, los triángulos obtenidos son equiláteros y la mitad del valor de la diagonal corresponde a un lado de cada triángulo equilátero, esto implica que los tres lados del triángulo miden 2 unidades. La altura de cada triángulo es la bisectriz de un ángulo y se forma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide 2, un cateto 1. Deberemos calcular el valor de un cateto por lo que fórmula adecuada es: 𝑎 = √𝑐 2 − 𝑏 2 𝑎 = √(2)2 − (1)2 𝑎 = √4 − 3 𝑎 = √3 Es decir, la altura del triángulo o el apotema del hexágono serán √3 El perímetro del hexágono es 𝑃 = 6 ∙ 2 Es decir: 12 unidades. 𝑝𝑎 12√3 El área del hexágono es 𝐴 = 𝐴= 𝐴 = 6√3 unidades al cuadrado. 2 2 CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA. Llamamos circunferencia al conjunto de todos los puntos que equidistan de uno fijo llamado centro. La distancia referida se conoce como radio. En base a la definición tendremos también puntos cuya distancia al centro sea menor al radio; estos son los puntos interiores. A la circunferencia y el conjunto de puntos interiores se le denomina círculo. www.seminarioega.com 47.c En la circunferencia podemos definir algunos puntos, rectas y ángulos importantes. Radio.- Además de ser la distancia de la definición, se considera como el segmento de recta que une al centro con cualquier punto. Cuerda.- Segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia. Diámetro.- Es la cuerda que pasa por el centro. Secante.- Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Tangente.- Es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto. Ángulo central.- es el formado por dos radios. Semicircunferencia.- Es la mitad de la circunferencia. Semicírculo.- Es la mitad del círculo. Para calcular el área y el perímetro de una circunferencia (círculo) consideramos el valor de 𝜋 = 3.14159 que es un número irracional que representa la cantidad de veces que el diámetro cabe en la circunferencia. Para calcular tanto el área como el perímetro de un círculo tenemos las siguientes formulas: 𝑃 = 𝜋𝑑 𝐴 = 𝜋𝑟 2 Donde d es el valor del diámetro y r es el valor del radio. Ejemplos. 1) Calcular el valor del radio y el área de una circunferencia cuyo perímetro es de 36 π unidades. Para el radio: Sabemos que el perímetro es 𝑃 = 𝜋𝑑 Entonces 36𝜋 = 𝜋𝑑 Al despejar tenemos 36 = 𝑑 Entonces el radio es 𝑟 = 18 unidades. Para el área: Sabemos que el área es 𝐴 = 𝜋𝑟 2 Entonces 𝐴 = 𝜋182 Es decir 𝐴 = 324𝜋 unidades al cuadrado. 2) Calcular el valor del radio y el perímetro de una circunferencia cuya área es de 169 π unidades al cuadrado. www.seminarioega.com 48 Para el radio: Sabemos que el área es 𝐴 = 𝜋𝑟 2 Entonces 169 𝜋 = 𝜋𝑟 2 Al despejar tenemos 𝑟 2 = 169 Entonces el radio es 𝑟 = 13 unidades. Para el perímetro: Sabemos que el perímetro es 𝑃 = 𝜋𝑑 Entonces 𝑃 = 26𝜋 unidades. 3) La siguiente figura muestra una plataforma circular de área total 8𝜋 donde el radio del círculo interior mide 2 unidades. Si se realiza un disparo a dicha plataforma, ¿cuál es la probabilidad de que impacte en el área sombreada? El área de un círculo se obtiene con la fórmula: 𝐴 = 𝜋𝑟 2 En este caso sabemos el área del círculo exterior que es 𝐴2 = 8𝜋 El área de un círculo interior es: 𝐴1 = 𝜋(2)2 es decir: 𝐴1 = 4𝜋 Por lo tanto, el área del sector sombreado es la resta de las dos áreas: 8𝜋 − 4𝜋 = 4𝜋 La probabilidad de impactar en el área sombreada es: 4𝜋 𝑃(𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜) = 8𝜋 4 1 Es decir: = 8 2 4) En la figura, el círculo está inscrito en el cuadrado de área 16 𝑐𝑚2. ¿Cuál es, en 𝑐𝑚2 , el área del círculo? www.seminarioega.com 49 Como el círculo está inscrito en el cuadrado, la mitad del lado del cuadrado corresponde al radio del círculo. Si el lado del cuadrado es 4 entonces el radio del círculo es 2. El área de un círculo se obtiene con la fórmula: 𝐴 = 𝜋𝑟 2 En este caso 𝐴 = 𝜋(2)2 𝐴 = 4𝜋 𝑐𝑚2 5) Calcula el valor del área, en unidades cuadradas, de la parte NO sombreada en la figura. 5u Calculamos el área del cuadrado y del círculo a partir del valor del lado-diámetro 5 y restamos: El área del círculo es: 𝐴2 = 𝜋(2.5)2 es decir: 𝐴2 = 6.25𝜋 El área del cuadrado es: 𝐴1 = 5 ∙ 5 es decir: 𝐴1 = 25 Por lo tanto, el área del sector NO sombreado es la resta de las dos áreas: 25 − 6.25𝜋 unidades cuadradas. 6) La figura muestra un ángulo central de 140° y un ángulo sobre la circunferencia cuyo valor es 2x. ¿Cuál será el valor de x? 140° 1 2x El ángulo menor es igual a la mitad del ángulo mayor, es decir: 140° 2𝑥 = 2 2𝑥 = 70 𝑥 = 35 www.seminarioega.com 50 www.seminarioega.com 51  PROFUNDIZACIÓN EN GEOMETRÍA FIGURAS TRIDIMENSIONALES. Una figura geométrica tridimensional es la representación gráfica de que un objeto en sus tres dimensiones, es decir, representa los valores del largo, ancho y alto de la figura. Tenemos distintas figuras tridimensionales entre las que se encuentran: prismas, pirámides, cilindros y conos. Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos iguales, siendo caras laterales paralelogramos. La base de un prisma siempre es un polígono y, en consecuencia, tenemos diversos prismas: prisma pentagonal, prisma hexagonal, etc. Cuando el prisma tiene como base un cuadrado tendremos un prisma cuadrangular. Si las tres dimensiones coinciden tendremos un prisma conocido como cubo. Para este tipo de figuras, el volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. La unidad principal es el 𝑚3 , aunque podemos pensar en cm3 o dm3. En general, el volumen de un prisma será el producto del área de la base por la altura, es decir: 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ 𝑎 Donde 𝐴𝑏 = área de la base y 𝑎 = altura. Ejemplo. ¿Cuál es el área de la base y el volumen de un prisma que tiene 6 cm de largo por 12 de ancho y tiene por altura 25 cm? 25 cm 12 cm 6 cm Para al área de la base: 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = ( 6 𝑐𝑚)(12 𝑐𝑚) = 72 𝑐𝑚2 Para el volumen: 𝑉 = (72𝑐𝑚2 )(25 𝑐𝑚) = 1800 𝑐𝑚3 www.seminarioega.com 52 Existen diversas aplicaciones para prismas relacionadas a volumen y capacidad. Sabemos que para calcular la capacidad, en litros, de un prisma debemos calcular el volumen y recordar que 1 dm3 = 1 litro. Ejemplos. 1) Un prisma tiene 2 dm de ancho, de largo tiene el doble del ancho y de alto tiene el triple del ancho. ¿Cuántos litros tiene de capacidad? Debemos calcular el valor del volumen. 6 dm 4 dm 2 dm Para al área de la base: 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = ( 4 𝑑𝑚)(2 𝑑𝑚) = 8 𝑑𝑚2 Para el volumen: 𝑉 = (8 𝑑𝑚2 )(6 𝑑𝑚) = 48 𝑑𝑚3 El prisma indicado tiene una capacidad de 48 litros 2) Un almacén tiene 8 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de alto. Queremos guardar cajas sabiendo que caben 4 por cada 𝑚3. ¿Cuántas cajas podrá contener el almacén? 2m 4m 8m www.seminarioega.com 53 Debemos calcular el valor del volumen en m3 y multiplicar dicho volumen por 4. Para al área de la base: 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = ( 8 𝑑𝑚)(4 𝑑𝑚) = 32 𝑑𝑚2 Para el volumen 𝑉 = (32 𝑑𝑚2 )(2 𝑑𝑚) = 64 𝑑𝑚3 El almacén indicado tiene capacidad para guardar 256 cajas. 1 3) La figura representa un contenedor que se utiliza para almacenar cajas cúbicas de metro de 4 arista. ¿Cuál es el número MÁXIMO de cajas que se pueden almacenar en el contenedor? 3m 4m 5m El volumen del cubo es: 𝑣1 = (3𝑚)(4𝑚)(5𝑚) = 60𝑚3 El volumen de las cajas es: 𝑣2 = (0.25𝑚)(0.25𝑚)(0.25𝑚) = 0.0156𝑚3 Dividimos: 𝑣1 60𝑚3 = = 3840 𝑣2 0.0156𝑚3 1 Otra manera de resolver es multiplicar cada arista por 4 (debido a metro de arista) y 4 multiplicarlas entre sí: 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 = (12)(16)(20) = 3840 www.seminarioega.com 54  GEOMETRÍA ANALÍTICA Y FUNCIONES PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano es está formado por la intersección de dos rectas perpendiculares y toda la región que ellas abarcan. En el plano podemos representar puntos, distintas figuras y gráficas de funciones. El plano cartesiano permite un enlace entre el álgebra y la geometría. Recordamos que en el plano tendremos dos ejes; el eje horizontal lo llamamos eje de las abscisas mientras que el eje vertical será el eje de las ordenadas. Asimismo, tendremos cuatro regiones donde ubicamos puntos de acuerdo a sus coordenadas. Algunos conceptos básicos de los puntos, y las rectas formadas entre ellos, son la distancia, la pendiente y el punto medio. Para calcular la distancia entre dos diferentes puntos de un plano cartesiano utilizamos la siguiente fórmula: 𝑃1 𝑃2 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 La pendiente de un segmento de recta, o de una recta, lo podemos describir como el número asociado al ángulo de inclinación que se forma con el eje X. Definimos la pendiente como: 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 El punto medio del segmento formado por dos puntos será (𝑥3 , 𝑦3 ) donde las coordenadas se calculan con las fórmulas: 𝑥1 + 𝑥2 𝑥3 = 2 𝑦1 + 𝑦2 𝑦3 = 2 En los tres casos siempre que P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) Ejemplo. Para los siguientes puntos calcula la distancia, el punto medio y la pendiente. 𝑃1 = (6, −2) y 𝑃2 = (4,7) www.seminarioega.com 55 En este caso 𝑥1 = 6 𝑥2 = 4 𝑦1 = −2 𝑦2 = 7 Sustituimos los valores en las fórmulas respectivas. Para la distancia. 2 𝑃1 𝑃2 = √(4 − 6)2 + (7 − (−2)) 𝑃1 𝑃2 = √(−2)2 + (9)2 𝑃1 𝑃2 = √4 + 81 𝑃1 𝑃2 = √85 Para la pendiente. 7 − (−2) 𝑚= 4−6 9 𝑚=− 2 Para el punto medio. 6 + 4 10 𝑥3 = = =5 2 2 −2 + 7 5 𝑦3 = = 2 2 5 El punto medio es: 𝑃3 = (5, ) 2 www.seminarioega.com 56 CIRCUNFERENCIA Puede definirse como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan a otro punto llamado centro. Está pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas ya que, de igual forma, una circunferencia puede ser la intersección de una superficie cónica con un plano perpendicular a su eje. La forma más fácil de expresar una circunferencia es x2 + y2 = r2, donde r es el radio, y el centro de la circunferencia se encuentra en el origen. Cuando el centro se encuentra fuera del origen en el punto C (h, k), la ecuación de la circunferencia se representa como (x – h)2 + (y – k)2 = r2. Asimismo, también podemos escribir esta fórmula general, igualada a cero: x2 + y2 + r2 = 0, cuando el centro está en el origen. x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, cuando el centro está en C = (h, k). Tipos de rectas Existen también tres tipos de recta que pueden estar en una circunferencia: la exterior, que no se intersecta con la circunferencia; la secante, la cual toca dos puntos de la circunferencia y la tangente la cual sólo hace intersección con un punto en la circunferencia. www.seminarioega.com 57 Por ejemplo, si tenemos una recta tangente y en lugar de la intersección trazamos una recta perpendicular, va a ser una recta secante con la característica que cruzará por el centro de la circunferencia. Ejemplo: 1. Dada la ecuación x2 + y2 + 4x – 8y – 25 = 0, encuentra el centro y el radio de la circunferencia. Primero, convertiremos la ecuación de una forma general a su forma simplificada. Para ello, pasaremos el término independiente al segundo miembro y agruparemos las letras iguales: x2 + 4x +y2 – 8y = 25 Cómo pudiste observar, dejamos unos espacios en blanco después de 4x y 8y, esto es porque completaremos los trinomios cuadrados perfectos para poder factorizar las expresiones. Para esto, tomaremos el 4 del terminó 4x lo dividiremos entre 2, el resultado obtenido se elevará al cuadrado. Lo mismo haremos con el 8 de 8y. 4 2 8 2 ( ) =4 ( ) = 16 2 2 Agregaremos estos números en ambos lados de la ecuación: x2 + 4x + 4 + y2 - 8y + 16 = 25 + 4 + 16 Ahora, tenemos dos trinomios cuadros perfectos, los podemos factorizar y sumar los términos independientes del segundo miembro: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 45 De la ecuación factorizada, podemos deducir los componentes de la circunferencia, pues: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 45 h = -2; k= 4; r2=45 A partir de la información anterior, descubriremos que el centro se encuentra en las coordenadas C (-2, 4) y que el radio será 𝑟 = √45 www.seminarioega.com 58 PARÁBOLA La parábola se puede definir como el lugar geométrico donde todos los puntos se encuentran a la misma distancia de un lugar llamado foco y una recta llamada directriz. Componentes de la parábola d= directriz Es una línea de referencia, que siempre estará a la misma distancia del vértice al foco. V= vértice Es el punto donde abre la parábola, esto quiere decir que, si trazamos una recta de forma vertical, para las parábolas horizontales, sólo va a cruzar por un punto de manera tangencial con la parábola. F= foco Es un punto fijo en el cual, la distancia de éste a un punto P(x, y) sobre la parábola, siempre será igual a la distancia de dicho punto a la directriz. P= parámetro Es la distancia del foco al vértice. LR= Lado Recto Es el segmento de recta que corta al eje de simetría pasando por el foco. Mide 4p Existen dos tipos de parábolas: horizontales y verticales, y cada una de éstas puede ser de dos tipos, con vértice en el origen y con vértice fuera del origen. www.seminarioega.com 59 La parábola horizontal con vértice en el origen se expresa de la siguiente manera: La parábola horizontal con vértice fuera del origen se expresa de la siguiente manera: (y-k)2 = ±4p (x-h). También tenemos la parábola vertical con vértice en el origen. La parábola vertical con vértice fuera del origen se expresa de la siguiente manera: (x-h)2 = ±4p (y-k). Resolvamos el siguiente ejercicio. Dada la siguiente parábola: (y-4)2 = 12(x+4) encuentra el vértice, el foco y la directriz. Primero tenemos que analizar que la y está al cuadrado por lo tanto es una parábola horizontal. Esto quiere decir que todos los desplazamientos van a ser sobre el eje x y no sobre el eje y. Para encontrar el vértice podemos observar que se encuentra fuera del origen en el punto V (h, k). Siguiendo la fórmula simplificada: 4p = 12. 12 Por lo tanto: 𝑝 = =3 4 El vértice se encuentra en el punto: V (-4, 4). (El primer valor corresponde a “h” en la fórmula y el segundo a “k”). Como se trata de una parábola horizontal, el desplazamiento sólo se lleva a cabo en el eje X. por lo tanto el foco se encuentra en: f (-4 + p,4) Sustituiremos el parámetro y nos queda que: f (-4 + 3,4) que es f (-1,4) www.seminarioega.com 60  Para calcular la directriz recordaremos que la distancia del vértice al foco es la misma distancia del vértice a la directriz, sólo que en sentido opuesto. En este caso la parábola es horizontal por lo que la directriz se representará con la letra x. Resolvamos otro ejercicio. Dada la ecuación: x2 - 6x - 8y + 25 = 0, encuentra el vértice, el foco y la directriz. Si nos damos cuenta la ecuación está en su forma general, la pasaremos a su forma simplificada. Adicionalmente tenemos una X cuadrada por lo tanto sabemos que es una parábola vertical. Lo primero que haremos será completar el trinomio cuadrado perfecto. Agrupamos las x en el primer miembro, y el resto en el segundo miembro: x 2 - 6x = 8y - 25 Completamos el trinomio cuadrado perfecto, dividiendo el 6 de 6x entre dos y elevado al cuadrado, el resultado se agrega en ambos lados de la ecuación: 6 2 ( ) =9 −2 x2 - 6x + 9 = 8y - 25 + 9 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto y reduciendo los términos semejantes, nos queda la ecuación: (x – 3)2 = 8y – 16 Para que la ecuación quede en su forma simplificada, necesitamos factorizar el segundo miembro: (x – 3)2 = 8(y – 2). De la ecuación en su forma simplificada, podemos deducir los componentes de la parábola: h = 3; k = 2; 4p =8. Por lo tanto, el vértice se encuentra en V = (3, 2), el parámetro p =2. De aquí, podemos obtener la coordenada del foco: F = (3, 2+2) F = (3, 4). La directriz es la recta horizontal de la ecuación: y = 2-2, y = 0. Vértice en: v = (3, 2) Directriz: y = 0 www.seminarioega.com 61 ELIPSE La elipse es el lugar geométrico en el que todos los puntos se mantienen a una misma distancia de dos puntos llamados focos. En la elipse siempre vamos a contar con los siguientes elementos: Podemos notar que se forma un triángulo rectángulo por lo tanto podemos aplicar el teorema de Pitágoras que dice que: a2 = b2 + c2 La excentricidad es la relación constante que existe entre las distancias de un punto a una recta fijos. Se representa con la letra e. Si e = 0, la ecuación es de una circunferencia. Si 0 𝟏𝟔 16 36 www.seminarioega.com 64 Lo primero que hay que analizar es que se trata de una elipse vertical, debido a que el segundo dividendo es mayor al primero, y que es con centro en C = (h, k) ya que si fuera centro en el origen sería x2 + y2 = 1. El centro lo sacamos de manera inmediata, está en C = (h, k) con signos opuestos, es: C (-4, 6) Ahora, para los focos necesitamos sacar A, B y C. Recordamos que A es el semejante mayor, B es la raíz de 16 y con la relación pitagórica C es igual a raíz de 20. 𝑎 = √36 𝑎=6 𝑏 = √16 𝑏=4 Definimos c con la relación pitagórica: a2 = b2 + c2 c2 = 62 - 42 𝑐 = √36 − 16 𝑐 = √20 Calculemos la excentricidad: 𝑐 𝑐 𝑒= 𝑒= 𝑎 √20 Para los focos tenemos que aplicarle el recorrido con c, pero al eje Y, debido a que es una elipse vertical, si fuera una elipse horizontal, aplicaríamos el recorrido al eje X, por lo tanto, nos queda: 𝐹1 = (−4, 6 + √20 ) 𝐹2 = (−4, 6 − √20) Para el eje A que es el eje mayor, como también es vertical, nos vamos a basar en el eje Y. Calcular eje A y A´. Lo podemos identificar con un cero: A = (-4, 6+6) A = (-4, 12) A´= (-4, 6-6) A´ = (-4, 0) Calcular eje B y B´: B = (-4, +4, 6) B = (0, 6) B´= (-4, -4, 6) B´= (-8, 6) Visualmente queda de la siguiente manera: www.seminarioega.com 65 HIPÉRBOLA La hipérbola se define como el lugar geométrico donde la diferencia de distancia a dos puntos, llamados focos, siempre será la misma. Se puede relacionar con dos parábolas que son simétricas, en donde contamos con C centro, V vértice, F focos, A asíntotas, * semi eje mayor y * semi eje menor. Las hipérbolas tienen la siguiente relación: a2 = b2 + c2, donde C es la distancia del centro al foco y A es la distancia entre el centro y el vértice. Adicionalmente tenemos las asíntotas, que son dos líneas rectas que se aproximan a la hipérbola, pero nunca la tocan. Para calcular estas rectas podemos decir que y 1 y y2 se define como: 𝑏 𝑏 𝑦1 = 𝑦2 = − 𝑥 𝑎 𝑎 Las hipérbolas también cuentan con una excentricidad. 𝑐 e= >1 𝑎 Existen dos tipos de hipérbola, la horizontal y la vertical. Veamos sus características. Horizontal: Tiene la siguiente ecuación simplificada. Centro en el origen, es decir en (0,0). 𝑥2 𝑦2 Si tiene centro en C = (h,k) aplicamos (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − =1 el desplazamiento y nos queda: − =1 𝑎2 𝑏 2 𝑎2 𝑏2 www.seminarioega.com 66 Vertical: Tiene la siguiente ecuación simplificada. Centro en el origen. 𝑦2 𝑥2 Si tiene centro en 𝑏 = √9 = 3 (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 − =1 − =1 𝑎2 𝑏 2 Aplicamos el desplazamiento y nos 𝑎2 𝑏2 queda: Resolvamos un ejercicio. 1. Encuentra los focos, vértices, excentricidad y asíntotas de la hipérbola 18x2 - 32y2 = 288 La X es positiva y la Y negativa, por lo tanto, ésta es una hipérbola horizontal. No hay un desplazamiento en la X y la Y. Por lo tanto, la hipérbola se encuentra en el origen. Para encontrar la excentricidad comenzamos dividiendo entre 288 para que la ecuación sea igual a 1. 18𝑥 2 32𝑦 2 288 Simplificamos y 𝑥2 𝑦2 − = obtenemos: − =1 288 288 288 16 9 Ahora podemos sacar A, B y C 𝑎 = √16 = 4 𝑏 = √9 = 3 c2 = a2 + b2 𝑐 2 = 16 + 9 = 25 𝑐 = √25 = 5 La excentricidad es: c 5 𝑒= = a 4 El vértice es la distancia del centro al punto, por lo tanto, son: v = (4,0) v´= (-4,0). Los focos son la distancia del centro a c. c es igual a 5 y el centro es el origen por lo tanto los focos quedan en f = (5, 0) y f´ = (5,0). Para calcular las asíntotas recordamos que: b 𝑦= x a Por lo tanto: 3 3 𝑦= 𝑥 𝑦´ = − 𝑥 4 4 Resolvamos ahora otro ejercicio. En la ecuación de la hipérbola F = (7,2), V = (5,2), C = (3,2). Encuentra la excentricidad y las asíntotas. www.seminarioega.com 67 Lo primero que podemos observar es que la y no cambia, por lo tanto, es una hipérbola horizontal. Recordemos que a es la distancia del vértice al centro. a=5–3 a=2 c es la distancia del foco al centro, esto es: c=5–3 c=4 b es igual a: 𝑏 = √𝑐 2 −𝑎2 = √16 − 2 𝑏 = √12 Recordemos la fórmula de la hipérbola. (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Ya tenemos el centro que es C = (3,2), tenemos a y b. Lo único que necesitamos hacer es sustituir. Obtenemos: (𝑥 − 3)2 (𝑦 − 2)2 − =1 4 12 La excentricidad es: c 4 𝑒= = 𝑒=2 a 2 Las asíntotas: b √12 √12 𝑦= x y= 𝑥 𝑦´ = − 𝑥 a 2 2 www.seminarioega.com 68 FUNCIONES. Una función es una relación entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto corresponde un elemento del segundo. Dentro de la definición se establece de manera directa la existencia de dos conjuntos. Al primer conjunto se le llama dominio y al segundo se la llama rango o contra dominio. Las funciones se pueden representar de distintas maneras como puede ser tabular, analítica o gráfica. Una función está en forma tabular cuando existe una tabla con los valores respectivos del dominio y del rango. Una función está en forma analítica cuando existe una regla de correspondencia entre los dos conjuntos. La función está en forma gráfica cuando ubicamos sus puntos en el plano cartesiano donde el eje X corresponde al dominio y el eje Y corresponde al rango. Para construir la forma gráfica nos apoyamos en la forma analítica. Una forma de la representación analítica es la siguiente: 𝑥 → 𝑓(𝑥) = Regla de correspondencia. Donde la regla de correspondencia se indica a partir de expresiones matemáticas. Ejemplos. 1) Obtén los valores faltantes en la tabla e indica la regla de correspondencia en la función. x 1 2 3 4 5 f(x) 3 8 15 a b De acuerdo con la tabla anterior, la expresión que representa la función f(x) es: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 Así que el valor de a será: 𝑓(4) = 42 + 2(4) = 16 + 8 = 24 Mientras que el de b será: 𝑓(5) = 52 + 2(5) = 25 + 10 = 35 Solo sustituimos el valor del dominio en la regla de correspondencia. www.seminarioega.com 69 2) Hallar las imágenes de 4, 2 y – 1 del dominio en la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 Sustituimos los valores del dominio en la regla de correspondencia. 𝑓(4) = (4)3 − (4) = 64 − 4 = 60 𝑓(2) = (2)3 − (2) = 8 − 2 = 6 𝑓(−1) = (−1)3 − (−1) = −1 + 1 = 0 3) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 indica el valor de 𝑓(𝑥 + 3) − 𝑓(−3). Sustituimos los valores indicados para el dominio en la regla de correspondencia. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 entonces 𝑓(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)2 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 entonces 𝑓(−3) = (−3)2 = 9 Así que 𝑓(𝑥 + 3) − 𝑓(−3) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 9 𝑓(𝑥 + 3) − 𝑓(−3) = 𝑥 2 + 6𝑥 4) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 − 1 indica el valor de 𝑓(1) − 𝑓(−1). Sustituimos los valores indicados para el dominio en la regla de correspondencia. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 − 1 entonces 𝑓(1) = (1)2 + 5(1) − 1 = 1 + 5 − 1 = 5 Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 − 1 entonces 𝑓(−1) = (−1)2 + 5(−1) − 1 = 1 − 5 − 1 = −5 Así que 𝑓(1) − 𝑓(−1) = 5 − (−5) = 10 5) ¿Cuáles son las coordenadas de intersección con el eje de las ordenadas de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4)2 − 25? Debemos sustituir el valor 0 del dominio en la regla de correspondencia. 𝑓(0) = (0 + 4)2 − 25 = 42 − 25 = 16 − 25 = 9 Las coordenadas de intersección serán: (0.9) www.seminarioega.com 70  RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES Los sistemas de ecuaciones tienen una representación gráfica en un plano cartesiano ya que cada ecuación será, gráficamente, una línea recta y en consecuencia las dos ecuaciones deberán ser dos líneas rectas. Si el sistema tiene una solución, las rectas se cortan en un punto que corresponde a las coordenadas de la solución. Y X Si el sistema no tiene solución las rectas no se cortan, es decir, son paralelas. Y X Si el sistema tiene infinitas soluciones las rectas son superpuestas y gráficamente solo se podrá ver una de ellas. Y X www.seminarioega.com 71 SISTEMAS DE ECUACIONES. Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen iguales valores de las incógnitas. Por ejemplo, las ecuaciones: 𝑥+𝑦=5 { 𝑥−𝑦=1 Son simultáneas porque x= 3 y y=2 hacen verdaderas a ambas ecuaciones. Existen muchas formas de resolver un sistema de ecuaciones, a continuación, estudiaremos los métodos de igualación, sustitución, reducción y determinantes. Método de eliminación por igualación. Resolver el sistema: 7𝑥 + 4𝑦 = 13 { 5𝑥 − 2𝑦 = 19 Antes de iniciar, ponemos una marca que nos permita identificar cada una de las ecuaciones: 7𝑥 + 4𝑦 = 13 (1) { 5𝑥 − 2𝑦 = 19 (2) Paso 1: Despejar la variable elegida en ambas ecuaciones: 7𝑥 + 4𝑦 = 13 (1) { 5𝑥 − 2𝑦 = 19 (2) (1) 7𝑥 + 4𝑦 = 13 (2) 5𝑥 − 2𝑦 = 19 (1) 7𝑥 = 13 − 4𝑦 (2) 5𝑥 = 19 + 2y 13 − 4𝑦 19 + 2𝑦 (1) 𝑥 = (2) 𝑥 = 7 5 Paso 2: Igualar. Sabemos que en un sistema de ecuaciones el valor de x es el mismo en ambas ecuaciones, por lo tanto, podemos igualar las ecuaciones y nos queda la ecuación en términos de y. 13 − 4𝑦 19 + 2𝑦 (1) x = ( ) (2) x = ( ) 7 5 www.seminarioega.com 72  13 − 4𝑦 19 + 2𝑦 = 7 5 Paso 3: Encontrar el valor de y. Ahora que tenemos una sola ecuación, podemos encontrar el valor de y despejándola. 13 − 4𝑦 19 + 2𝑦 = 7 5 5(13 − 4𝑦) = 7(19 + 2𝑦) 65𝑦 − 20𝑦 = 113 − 64𝑦 −20𝑦 − 14𝑦 = 113 − 65 −34𝑦 = 68 68 𝑦= −34 𝑦 = −2 Paso 4: Sustituir y=-2 en la ecuación (1). Ahora que conocemos el valor de y, busquemos el valor de la x, para ello, sustituyamos el valor de y=-2 en cualquiera de las ecuaciones. Puedes aprovechar que las ecuaciones ya fueron despejadas. 13 − 4𝑦 (1) 𝑥 = 7 13 − 4(−2) (1) 𝑥 = 7 13 + 8 (1) 𝑥 = 7 21 (1) 𝑥 = 7 (1) 𝑥 = 3 Por lo tanto, los valores que satisfacen a las ecuaciones simultáneas son: 𝑥=3 { 𝑦 = −2 www.seminarioega.com 73 Eliminación por sustitución. Resolvamos el sistema: 2𝑥 + 5𝑦 = −24 (1) { 8𝑥 − 3𝑦 = 19 (2) Paso 1: Despejar una variable en cualquiera de las ecuaciones. Iniciamos despejando una incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones. (1) 2𝑥 + 5𝑦 = −24 2𝑥 = −24 − 5y −24 − 5𝑦 𝑥= 2 Paso 2: Sustituir en la otra ecuación. Sustituimos la x en la otra ecuación. (2) 8𝑥 − 3𝑦 = 19 −24 − 5𝑦 8( ) − 3𝑦 = 19 2 Paso 3: Encontrar el valor de y. Ahora tenemos una ecuación en términos de y, al resolverla, obtendremos el primer valor. 4(−24 − 5𝑦) − 3𝑦 = 19 −96 − 20𝑦 − 3𝑦 = 19 −96 − 23𝑦 = 19 + 96 −23𝑦 = 115 115 𝑦= −23 𝑦 = −5 Paso 4: Sustituir y=-5 en cualquiera de las ecuaciones. ¡Ya hemos hecho la parte difícil! Ahora, sustituyamos el valor encontrado, y=-5 en cualquiera de las dos ecuaciones. Toma en cuenta que ya tienes despejada la ecuación (1). www.seminarioega.com 74  −24 − 5𝑦 (1) 𝑥 = 2 −24 − 5(−5) 𝑥= 2 −24 + 25 𝑥= 2 1 𝑥= 2 Por lo tanto, los valores que satisfacen al sistema de ecuaciones son: 1 𝑥= { 2 𝑦 = −5 Método de reducción. Resolvamos el sistema: