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# Analisi Matematica 1 - Ing. Edile-Architettura ## 12 Febbraio 2024 - Tema 1 ### Esercizio 1 Sia $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da $$ f(x) = \begin{cases} \alpha x^2 + \beta, & \text{se } x \le 1 \\ \log(x), & \text{se } x > 1 \end{cases} $$ Determinare per quali valori di...

# Analisi Matematica 1 - Ing. Edile-Architettura ## 12 Febbraio 2024 - Tema 1 ### Esercizio 1 Sia $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da $$ f(x) = \begin{cases} \alpha x^2 + \beta, & \text{se } x \le 1 \\ \log(x), & \text{se } x > 1 \end{cases} $$ Determinare per quali valori di $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ la funzione $f$ risulta continua e derivabile nel punto $x = 1$. ### Esercizio 2 Calcolare il seguente limite: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x) \log(1 + x^2)}{1 - \cos(x^2)} $$ ### Esercizio 3 Studiare la funzione $$ f(x) = \frac{x}{1 + \log(x)} $$ determinandone il dominio, eventuali simmetrie, segno, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti, derivata prima, crescenza e decrescenza, eventuali punti di massimo e minimo, derivata seconda, concavità e convessità, eventuali punti di flesso e grafico qualitativo. ### Esercizio 4 Calcolare l'integrale $$ \int_2^3 \frac{1}{x \sqrt{x + 1}} dx $$ ### Esercizio 5 Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie: $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n^2 + 1}{n^3 + 3} $$