Γραμμική Άλγεβρα-Πίνακες 3 PDF

Μαθηματικά Ι Γραμμική Άλγεβρα-p3 Γραμμικά Συστήματα Ορισμός Ένα σύνολο m εξισώσεων και n αγνωστων x1 ,x 2 ,...,x n που έχει τη μορφή α11x1  α12 x 2   α1n x1  b1 α 21x1  α 22 x 2   α 2n x n  b 2...

Μαθηματικά Ι Γραμμική Άλγεβρα-p3 Γραμμικά Συστήματα Ορισμός Ένα σύνολο m εξισώσεων και n αγνωστων x1 ,x 2 ,...,x n που έχει τη μορφή α11x1  α12 x 2   α1n x1  b1 α 21x1  α 22 x 2   α 2n x n  b 2 (S) α m1x1  α m2 x 2   α mn x n  b m ονομάζεται γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους. Ορισμός Ένα σύνολο m εξισώσεων και n αγνωστων x1 ,x 2 ,...,x n που έχει τη μορφή α11x1  α12 x 2   α1n x1  b1 α 21x1  α 22 x 2   α 2n x n  b 2 (S) α m1x1  α m2 x 2   α mn x n  b m ονομάζεται γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους. Ορισμός Μία n-άδα αριθμών x1 ,x 2 ,...,x n που επαληθεύει τις εξισώσεις του (S) ονομάζεται λύση του συστήματος. Το σύνολο όλων των λύσεων του συστήματος (S) ονομάζεται γενική λύση του συστήματος. Ορισμός Ένα γραμμικό σύστημα λέγεται συμβιβαστό αν έχει μία τουλάχιστον λύση. Όταν το σύστημα δεν έχει καμία λύση το σύστημα ονομάζεται ασυμβίβαστο ή αδύνατο. Όταν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τότε λέμε ότι το σύστημα είναι αόριστο... xy5  1 1  x  5   x  y  5           2x  3y  7   2 3 2*2 2*1  y  7   2x  3y  7  Ορισμός Ένα σύνολο m εξισώσεων και n αγνωστων x1 ,x 2 ,...,x n που έχει τη μορφή α11x1  α12 x 2   α1n x1  b1 α 21x1  α 22 x 2   α 2n x n  b 2 (S) α m1x1  α m2 x 2   α mn x n  b m ονομάζεται γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους. Ορισμός Μία n-άδα αριθμών x1 ,x 2 ,...,x n που επαληθεύει τις εξισώσεις του (S) ονομάζεται λύση του συστήματος. Το σύνολο όλων των λύσεων του συστήματος (S) ονομάζεται γενική λύση του συστήματος. Ορισμός Ένα γραμμικό σύστημα λέγεται συμβιβαστό αν έχει μία τουλάχιστον λύση. Όταν το σύστημα δεν έχει καμία λύση το σύστημα ονομάζεται ασυμβίβαστο ή αδύνατο. Όταν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τότε λέμε ότι το σύστημα είναι αόριστο. Ορισμός Αν τα b1 ,b2 ,...,bn  0 το σύστημα (S) ονομάζεται ομογενές. Αν ένα τουλάχιστον όμως είναι διαφορετικό του μηδενός τότε το σύστημα (S) ονομάζεται μη ομογενές.. Παρατήρηση Ένα ομογενές σύτημα είναι συμβιβαστό αφού μία λύση του είναι η μηδενική η οποία ονομάζεται τετριμμένη λύση Ορισμός Το σύστημα α11x1  α12 x 2   α1n x1  b1 α 21x1  α 22 x 2   α 2n x n  b 2 (S) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με τη μορφή πινάκων α m1x1  α m2 x 2   α mn x n  b m  α11 α12 α1n   x1   b1         α 21 α 22 α 2n   x 2   b 2     AX=B (S) όπου              α m1 α m2 α mn   x n   b m  Ορισμός Το σύστημα α11x1  α12 x 2   α1n x1  b1 α 21x1  α 22 x 2   α 2n x n  b 2 (S) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με τη μορφή πινάκων α m1x1  α m2 x 2   α mn x n  b m  α11 α12 α1n   x1   b1         α 21 α 22 α 2n   x 2   b 2     AX=B (S) όπου              α m1 α m2 α mn   x n   b m   α11 α12 α 1n    α α 22 α 2n  Ο m  n πίνακας A   21 ονομάζεται πίνακας των συντελεστών του      α m1 α m2 α mn  συστήματος,  x1    x Ο n  1 πίνακας-στήλη X   2  ονομάζεται πίνακας των αγνώστων του συστήματος,      xn   b1    b Ο m  1 πίνακας-στήλη B   2  ονομάζεται πίνακας των σταθερών όρων του συστήματος,      bm    α11 α12 α1n .  α Ο m  n πίνακας A   21  α 22  α 2n   ονομάζεται πίνακας των συντελεστών του    α m1 α m2 α mn . συστήματος,  x1    x Ο n  1 πίνακας-στήλη X   2  ονομάζεται πίνακας των αγνώστων του συστήματος,      xn   b1    b Ο m  1 πίνακας-στήλη B   2  ονομάζεται πίνακας των σταθερών όρων του συστήματος,      bm   α11 α12 α1n b1    α α 22 α 2n b 2  Ο m  (n  1) πίνακας  A B    21 ονομάζεται επαυξημένος πίνακας του      α m1 α m2 α mn b n  Γεωμετρική ερμηνεία γραμμικού συστήματος  X=0. ax  by  γ ax  by  γz  d Γεωμετρική ερμηνεία γραμμικού συστήματος. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε η λύση του συστήματος (S) δίνεται από τη σχέση X=A1  B 1 1 1 1 AX  B  A AX  A B  IX  A B  X  A B ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε η λύση του συστήματος (S) δίνεται από τη σχέση X=A1  B x  y  z 1  1 1 1  x  1   x  2y  z  0   AX  B, A  1 2 1  , X   y  , B  0  3x  y  z  6  3 1 1  z  6  1 AX  B  X  A * B ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ x  y  z 1  1 1 1 x  1  ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ  x  2y  z  0   AX  B, A  1  2 1  , X   y  , B  0  3x  y  z  6  3 1 1  z  6  1. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε η λύση του συστήματος (S) δίνεται από τη σχέση X=A1  B 1 AX  B  X  A * B 1 1 1 1 0 0  1 1 1 1 0 0  1 2 1 0 1 0  Γ2   Γ2  Γ1 0 1 0 1 1 0    Γ   Γ  3Γ   3 1 1 0 0 1  3 3 1 0 2 4 3 0 1  Υπολογισμός ορίζουσας του Α 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 0 A  1 2 1  0 1 0  0 1 0  ( 1)1  4  0  A 1 0 4 3 1 1 0 2 4 0 0 4  1 1 1 1 0 0  1 1 1 1 0 0. 1 2 1 0 1 0  Γ2   Γ2  Γ1 0 1 0 1 1 0    Γ   Γ  3Γ  3 1 1 0 0 1  3 3 1 0 2 4 3 0 1 .   1 0 1 2 1 0  1 0 1 2 1 0 Γ1   Γ1  Γ2      0 1 0 1 1 0  1 0 1 0 1 1 0 Γ3   Γ3  2Γ2 Γ3    Γ3  0 0 4 5 2 1  4 5 1 1  0 0 1   4 2 4  3 1 1   3 1 1  1 0 0 4 2 4 4 2 4   1   Γ1   Γ1  Γ3 0 1 0 1 1 0   Α   1 1 0  5 1 1   5 1 1  0 0 1     4 2 4 4 2 4 Διαφάνειες από το ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ βιβλίο «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ" Συγγραφέας Μ.Φιλιππακης, εκδόσεις Τσότρας, Αθηνα 2017,.  3 1 1 4 2 4. 1   Α   1 1 0  5 1 1    4 2 4 3 1 1  9 x   4 2 4  1   4          9 1 Χ   y    1 1 0   0    1   x  , y  1, z  4 4  z   5  1 1 6     1      4 2 4 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ x  y  z 1  1 1 1 x  1  ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ x  2y  z  0     AX  B, A  1  2 1  , X   y  , B  0  3x  y  z  6  3 1 1  z  6  1. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου συστήματος (S) δίνεται από τη σχέση X=A1  B 1 AX  B  X  A * B ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ x  y  z 1  1 1 1 x  1  ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ x  2y  z  0     AX  B, A  1  2 1  , X   y  , B  0  3x  y  z  6  3 1 1  z  6  1. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε η λύση του συστήματος (S) δίνεται από τη σχέση X=A1  B 1 AX  B  X  A * B ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1. Επίλυση γραμμικού συστήματος με τον κανόνα του Cramer. Ο κανόνας του Cramer εφαρμόζεται μόνο σε τετραγωνικά γραμμικά συστήματα δηλαδή σε αυτά που ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων ή με άλλα λόγια για συστήματα της μορφής AX=B (S) Τότε έχουμε το ακόλουθο συμπερασμα. Πρόταση Θεωρούμε το n  n σύστημα AX=B (S) Αν η ορίζουσα του πίνακα Α των συντελεστών είναι διάφορη του μηδενός  det(A)  0  τότε το A1 A2 An σύστημα (S) έχει μοναδική λύση την x1  , x2  , xn  όπου A1 , A 2 ,..., A n οι A A A ορίζουσες που προκύπτουν αν στην ορίζουσα του Α αντικαταστήσουμε την πρώτη στήλη, δεύτερη,....,n-oστή στήλη αντίστοιχα και βάλουμε στη θέση της τη στήλη των σταθερών όρων. Αν det(A)  0 τότε το σύστημα είναι είτε αδύνατο είτε αόριστο. Πρόταση Θεωρούμε το 2  2 σύστημα AX=B (S) Αν η ορίζουσα του πίνακα Α των συντελεστών είναι διάφορη του μηδενός  det(A)  0  τότε το A1 A2 σύστημα (S) έχει μοναδική λύση την x1  , x2  , όπου A1 , A 2 οι ορίζουσες που A A προκύπτουν αν στην ορίζουσα του Α αντικαταστήσουμε την πρώτη στήλη, δεύτερη στήλη αντίστοιχα και βάλουμε στη θέση της τη στήλη των σταθερών όρων. Αν det(A)  0 τότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i) Aν κάποια από τις ορίζουσες A1 , A 2 είναι μη μηδενική τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις και το σύστημα είναι αδύνατο. ii) Αν A1  A 2  0 τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Διαφάνειες από το ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ βιβλίο «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ" Συγγραφέας Μ.Φιλιππακης, εκδόσεις Τσότρας, Αθηνα 2017,  x  2y  3z  7 Να λυθεί το σύστημα 2x  y  2z  2 3x  4y  z  1.  x  2y  3z  7 Να λυθεί το σύστημα 2x  y  2z  2 3x  4y  z  1. x  2y  3z  7  1 2 3  x 7       2x  y  2z  2.  AX  B, A   2 1 2  , X   y  , B   2  3x  4y  z  1  3 4 1  z  1        Να λυθεί το σύστημα x  2y  3z  7  1 2 3  x 7      . 2x  y  2z  2.  AX  B, A   2 1 2  , X   y  , B   2  3x  4y  z  1  3 4 1  z  1        1 2 3 1 2 2 2 2 1 A  2 1 2  (1)  1  (1)2  (1)(3)  30  0 4 1 3 1 3 4 3 4 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A  2 1 2  0 5 8  0 5 8  30 3 4 1 0 10 10 0 0 6 A1 A2 A3 x y z (1) A A A  x  2y  3z  7  1 2 3  x 7       2x  y  2z  2.  AX  B, A   2 1 2  , X   y  , B   2  3x  4y  z  1  3 4 1  z  1  A1 A A     . x y  2 z  3 (1) A A A 1 2 3 1 2 2 2 2 1 A  2 1 2  (1)  1  (1)  (1)(3)  30  0 4 1 3 1 3 4 3 4 1 7 2 3 A1  2 1 2  1 4 1  x  2y  3z  1  1 2 3  x 7       2x  y  2z  2.  AX  B, A   2 1 2  , X   y  , B   2  3x  4y  z  1  3 4 1  z  1  A1 A A     . x y  2 z  3 (1) A A A 1 2 3 1 2 2 2 2 1 A  2 1 2  (1)  1  (1)  (1)(3)  30  0 4 1 3 1 3 4 3 4 1 7 2 3 1 2 2 2 2 1 A1  2 1 2  (1)  7  (2)  (1)(3)  30 4 1 1 1 1 4 1 4 1 7 2 3 0 30 10 30 10 A1  2 1 2  0 9 4  (1)(1)  30 9 4 1 4 1 1 4 1  x  2y  3z  1 1 2 3  x 7       2x  y  2z  2.  AX  B, A   2 1 2  , X   y  , B   2  3x  4y  z  1  3 1  z  1  A1 30  A 4 A3    . x  1 y  2 0 z = - 2 (1) A 30 A A 1 2 3 1 2 2 2 2 1 A  2 1 2  (1)  1  (1)  (1)(3)  30  0 4 1 3 1 3 4 3 4 1 7 2 3 1 2 2 2 2 1 A1  2 1 2  (1)  7  (2)  (1)(3)  30 4 1 1 1 1 4 1 4 1 1 2 7 1 7 3 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 A 3  2 1 2  (1)  1  (2)  (1)(7)  60 A 2  2 2 2  (1)  1  (7)  ( 1)( 3) 0 4 1 3 1 3 4 1 1 3 1 3 1 3 4 1 3 1 1  λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ  λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2         λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        λ 1 1 λ2 λ2 λ2 Γ1 Γ1  Γ2  Γ3 A 1 λ 1  1 λ 1  1 1 λ 1 1 λ 1 1 1 Γ2 Γ2  Γ1 1 1 1 Γ3 Γ3  Γ1  (λ  2) 1 λ 1  (λ  2) 0 λ  1 0  (λ  2)  λ  1 2 1 1 λ 0 0 λ 1  λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        Διακρίνουμε περιπτώσεις A1 A2 A3 A  (λ  2)  λ  1  0  λ  1 και λ  2.  x  y z 2 (1) A A A A1 ...... A 2 ...... A 3 ......  λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        Διακρίνουμε περιπτώσεις A1 A2 A3 A  (λ  2)  λ  1  0  λ  1 και λ  2.  x  y z 2 (1) A A A 1 1 1 Γ2 Γ2  λΓ1 1 1 1 Γ3 Γ3  λ2 Γ1 1 1 A1  A1  λ λ 1  0 0 1  λ  (1  λ)   (λ  1) 2 (λ  1) 0 1 λ2 λ2 1 λ 0 1  λ2 λ  λ2  λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        Διακρίνουμε περιπτώσεις λ 1 1 1 λ2 λ Γ2 Γ2  Γ1 1 λ2 λ Γ3 Γ1 Γ3 Γ3  λΓ1 λ  λ2 1  λ A2  1 λ 1  1 λ 1   0 λ  λ 1 λ   2  1 λ 1 λ 3 2 1 λ2 λ λ 1 1 0 1  λ3 1  λ2 λ 1  λ  1 λ λ 1   (1  λ) 2 2  (1  λ) 2  λ2  λ  (λ2  λ  1)   (λ  1) 2 1  λ  (λ  λ  1) 1  λ 2 2 (λ  λ  1) 1  λ  λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        Διακρίνουμε περιπτώσεις λ 1 1 1 1 λ2 Γ2 Γ2  Γ1 1 1 λ2 Γ3 Γ1 Γ3 Γ3  λΓ1 λ  1 λ  λ2 A3  1 λ λ  1 λ λ   0 λ  1 λ  λ2    1 λ 1 λ 3 1 1 λ2 λ 1 1 0 1  λ 1  λ3 (1  λ) λ 1  λ  1 λ   (1  λ) 2  (1  λ) 2    λ2  λ  1  λ   (λ  1) 2 (1  λ) 2 1 λ 1  λ   λ 2  λ  1 1 λ2  λ  1  λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        Διακρίνουμε περιπτώσεις A  (λ  2)  λ  1  0  λ  1 και λ  2.  x  2 A1 A y A2 A z A3 A (1) A1  (λ  1) 2 (λ  1) A1 A2 A3 A 2  (λ  1) 2 x y z (1) A A A A 3  (λ  1) 2 (1  λ) 2  λx  y  z  1 Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 με τον κανόνα του Cramer για τις διάφορες τιμές του λ λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        Διακρίνουμε περιπτώσεις A  (λ  2)  λ  1  0  λ  1 ή λ  2 2 λ  2  A  0, A1  0  αδυνατο A1  (λ  1) 2 (λ  1) A 2  (λ  1) 2 λ  1  A  A1  A 2  A 3  0  αοριστο x  y  z 1 A 3  (λ  1) 2 (1  λ) 2 x  y  z  1  x  y  z  1.  (x, y, z)  (1  y  z, y, z), y, z . x  y  z 1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Πρόταση Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα AX=B (S). Το σύστημα (S) είναι συμβιβαστό δηλαδή έχει λύσεις αν και μόνο αν rank(A)  rank(A B), δηλαδή αν και μόνο αν η τάξη του πίνακα Α είναι ίση με την τάξη του επαυξημένου του. Παρατήρηση Αν λοιπόν rank(A)  rank(A B), το σύστημα (S) δεν έχει λύσεις. Πρόταση Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα AX=B (S) με A  Mmn (K) δηλαδή το σύστημα έχει m εξισώσεις και n αγνώστους. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: Αν rank(A)  rank(A B)  n τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. Αν rank(A)  rank(A B)  k  n τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και το σύστημα είναι αόριστο με n-k ελεύθερους άγνωστους που σημαίνει ότι βρίσκουμε τους k αγνώστους συναρτήσει των άλλων n-k αγνώστων ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Παράδειγμα  1 1 2    Θεωρούμε τον πίνακα Α με A= 2 2 1. Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Α.   3 3 3    ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Παράδειγμα  1 1 2    Θεωρούμε τον πίνακα Α με A= 2 2 1. Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Α.   3 3 3    Λύση 1 1 2    Θεωρούμε τον πίνακα Α με A= 2  2 1. Εκτελούμε γραμμοπράξεις ώστε να γίνει ανηγμένος 3 3 3    1 1 2  Γ Γ  2Γ  1 1 2    Γ32 Γ32 3Γ11   κλιμακωτός και έχουμε A=  2 2 1   0 4 5   Επομένως η τάξη του πίνακα 3 3 3   0 0 3     είναι ίση με 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Παράδειγμα  1 1 2    Θεωρούμε τον πίνακα Α με A= 2 2 1. Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Α.    3 3 6    ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Παράδειγμα  1 1 2    Θεωρούμε τον πίνακα Α με A= 2 2 1. Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Α.    3 3 6    Λύση 1 1 2    Θεωρούμε τον πίνακα Α με A= 2  2 1 . Εκτελούμε γραμμοπράξεις ώστε να γίνει ανηγμένος 3 3 6    1 1 2  Γ Γ 2Γ  1 1 2    Γ32 Γ32 3Γ11   κλομακωτός και έχουμε A=  2 2 1    0 4 5  . Επομένως η τάξη του πίνακα  3 3 6  0 0 0     είναι ίση με 2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3. Επίλυση συστήματος με τη μέθοδο του Gauss Βρίσκουμε την πρώτη στήλη του πίνακα που περιέχει μη μηδενικό στοιχείο έστω π.χ. το στοιχειο α, Την γραμμή που περιέχει το α την μεταφέρουμε στην πρώτη θέση, Μετατρέπουμε τα υπόλοιπα στοιχεία της στήλης αυτής σε μηδενικά εφαρμόζοντας τις κατάλληλες γραμμοπράξεις, Συνεχίζουμε τα ίδια βήματα για την επόμενη γραμμή έχοντας σαν οδηγό το μηδενικό στοιχείο που βρίσκεται στη δεύτερη στήλη και δεύτερη γραμμή. Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία φτάνουμε σε ένα ισοδύναμο ανηγμένο κλιμακωτό και έτσι το σύστημα που προκύπτει είναι ισοδύναμο με το αρχικό μας σύστημα. Παρατήρηση Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους μίας εξίσωσης του συτήματος με τον ίδιο αιρθμό. Τότε το σύστημα που προκύπτει είναι ισοδύναμο. Επίσης αν αλλάξουμε αμοιβαία δύο εξισώσεις του συστήματος (ισοδύναμα δύο γραμμές του επαυξημένου πίνακα) παίρνουμε ισοδύναμο σύστημα. Επιπλέον μπορούμε να αντικαταστήσουμε μία γραμμή με τη γραμμή που προκύπτει προθέτοντας σε αυτή μία άλλη γραμμή του πολλαπλασιασμένη επί ένα αριθμό. Τότε πάλι προκύπτει σύστημα ισοδύναμο. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3. Επίλυση συστήματος με τη μέθοδο του Gauss Παράδειγμα Να λυθεί με τον αλγόριθμο του Gauss το σύστημα x  2y  z  3, 2x  5y  z  4, 3x  2y  z  5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3. Επίλυση συστήματος με τη μέθοδο του Gauss Παράδειγμα Να λυθεί με τον αλγόριθμο του Gauss το σύστημα x  2y  z  3, 2x  5y  z  4, 3x  2y  z  5. Λύση x  2y  z  3 Θεωρούμε το σύστημα 2x  5y  z  4 (S). Τότε αυτό γράφεται ισοδύναμα με τη μορφή πινάκων ως 3x  2y  z  5 1 2 1  x  3       εξής, AX  B (S) με A  2 5 1 , X  y , B  4. Ο επαυξημένος του συστήματος είναι ο        3 2 1 z 5       1 2 1 3     2 5 1 4  Η πρώτη στήλη έχει πρώτο μη μηδενικό στοιχείο το 1.  3 2 1 5    ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3. Επίλυση συστήματος με τη μέθοδο του Gauss Παράδειγμα Να λυθεί με τον αλγόριθμο του Gauss το σύστημα x  2y  z  3, 2x  5y  z  4, 3x  2y  z  5.  1 2 1 3  Γ Γ  2Γ  1 2 1 3    Γ32 Γ32 3Γ11    2 5 1 4    0 1 3 10    3 2 1 5   0 8 4 4       1 2 1 3  Γ Γ 8Γ  1 0 7 23    Γ13 Γ13 2Γ22     0 1 3 10    0 1 3 10    0 8 4 4   0 0 28 84      ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ 1 2 1 3  1 2 1 3  ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ   2 5 1 4     0 Γ2 Γ2  2Γ1 Γ3 Γ3  3Γ1  1 3 10    3 2 1 5   0 8 4 4      3. Επίλυση συστήματος με τη μέθοδο του Gauss Παράδειγμα Να λυθεί με τον αλγόριθμο του Gauss το σύστημα x  2y  z  3, 2x  5y  z  4, 3x  2y  z  5.  1 2 1 3  Γ Γ 8Γ  1 0 7 23  Γ3 1 Γ3  1 0 7 23    Γ13 Γ13 2Γ22   28     0 1 3 10    0 1 3 10    0 1 3 10    0 8 4 4   0 0 28 84  0 0 1 3        1 0 0 2  Γ2 Γ2  3Γ3  Γ1 Γ1  7Γ3   0 1 0 1 0 0 1 3    ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1 2 1 3  1 2 1 3  Γ2 Γ2  2Γ1    Γ3 Γ3  3Γ1  3. Επίλυση 2 5 1  συστήματος με τη μέθοδο 4   του Gauss 0 1 3 10    3 2 1 5   0 8 4 4      Παράδειγμα Να λυθεί με τον αλγόριθμο του Gauss το σύστημα x  2y  z  3, 2x  5y  z  4, 3x  2y  z  5.  1 2 1 3  Γ Γ 8Γ  1 0 7 23  Γ3 1 Γ3  1 0 7 23    Γ13 Γ13 2Γ22   28     0 1 3 10    0 1 3 10    0 1 3 10    0 8 4 4   0 0 28 84  0 0 1 3        1 0 0 2  Γ2 Γ2  3Γ3  Γ1 Γ1  7Γ3 x  2y  z  3 x  0 y  0z  2 x2   0 1 0 1 0 0 1 3  2x  5y  z  4  0  x  y  0  z  1  y  1   3x  2y  z  5 0x  0 y  z  3 z3  λx  y  z  1. Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2. με τη μέθοδο του Gauss για τις διάφορες τιμές του λ.  λx  y  z  1. Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2. με τη μέθοδο του Gauss για τις διάφορες τιμές του λ. λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        λ 1 1 1  1 1 λ λ2  Γ Γ  Γ   Γ1 Γ3   Γ32 Γ32  λΓ11 C   1 λ 1 λ    1 λ 1 λ    1 1 λ λ2  λ 1 1 1     1 1 λ λ2  1 1 λ λ2    Γ3 Γ3  Γ2    0 λ 1 1  λ λ  λ2    0 λ 1 1 λ λ  λ2  0 1 λ 3   2  1 λ 1 λ  0 0 λ  λ  2 1  λ  λ  λ  2 2 3  λx  y  z  1. Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2. με τη μέθοδο του Gauss για τις διάφορες τιμές του λ. λ 1 1 x 1       AX  B, A   1 λ 1  , X   y  , B   λ  1 1 λ z  λ2        1 1 λ λ2  1 1 λ λ2    Γ3 Γ3  Γ2     0 λ 1 1  λ λ  λ2    0 λ 1 1 λ λ  λ2   0 1  λ 1  λ2 3   2  1 λ  0 0 λ  λ  2 1  λ  λ  λ  2 3 x  y  λz  λ2 x  y  λz  λ2 0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ  λ2  0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ 1  λ  0  x  0  y    λ2  λ  2  z   λ3  λ2  λ  1 0  x  0  y   λ  2  λ  1 z   λ  1 1  λ  2  λx  y  z  1. Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2. με τη μέθοδο του Gauss για τις διάφορες τιμές του λ. x  y  λz  λ2 x  y  λz  λ2 0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ  λ2  0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ 1  λ  0  x  0  y    λ2  λ  2  z   λ3  λ2  λ  1 0  x  0  y   λ  2  λ  1 z   λ  1 1  λ  2 Από την τελευταία εξίσωση διακρίνουμε τις περιπτώσεις (λ  2)  λ  1  0  λ  1 και λ  2  λx  y  z  1. Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2. με τη μέθοδο του Gauss για τις διάφορες τιμές του λ. x  y  λz  λ2 x  y  λz  λ2 0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ  λ2  0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ 1  λ  0  x  0  y    λ2  λ  2  z   λ3  λ2  λ  1 0  x  0  y   λ  2  λ  1 z   λ  1 1  λ  2 Από την τελευταία εξίσωση διακρίνουμε τις περιπτώσεις (λ  2)  λ  1  0  λ  1 και λ  2 2  λ  1 2 1 λ 1   λ  2  λ  1 z   λ  1 1  λ   z . y  x 2. λ2 (λ  2) λ2  λx  y  z  1. Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2. με τη μέθοδο του Gauss για τις διάφορες τιμές του λ. x  y  λz  λ2 x  y  λz  λ2 0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ  λ2  0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ 1  λ  0  x  0  y    λ2  λ  2  z   λ3  λ2  λ  1 0  x  0  y   λ  2  λ  1 z   λ  1 1  λ  2 Από την τελευταία εξίσωση διακρίνουμε τις περιπτώσεις (λ  2)  λ  1  0  λ  1 ή λ  2  λx  y  z  1. Να λυθεί το σύστημα x  λy  z  λ x  y  λz  λ2 x  y  λz  λ2 x  y  λz  λ2. 0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ  λ2  0  x  (λ  1)y  (1  λ)z  λ 1  λ  0  x  0  y    λ2  λ  2  z   λ3  λ2  λ  1 0  x  0  y   λ  2  λ  1 z   λ  1 1  λ  2 Από την τελευταία εξίσωση διακρίνουμε τις περιπτώσεις (λ  2)  λ  1  0  λ  1 ή λ  2 2 1 1 λ λ2  1 1 2 4      λ  2   0 λ  1 1 λ λ  λ2    0 3 3 6   0x  0y  0z  3 0 λ2  λ  2 1  λ3  λ  λ2   0 0 0 3   0 1 1 1 1   λ  1    0 0 0 0   x  y  z  1  (x, y, z)  (1  y  z, y, z), y, z . 0 0 0 0   ΟΜΟΓΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ορισμός Ένα σύστημα ονομάζεται ομογενές αν οπίνακας των σταθερών όρων είναι μηδέν, δηλαδή έχει 0   0 τη μορφή AX  B  O (S0 ) με B   .     0 ΟΜΟΓΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ορισμός Ένα σύστημα ονομάζεται ομογενές αν οπίνακας των σταθερών όρων είναι μηδέν, δηλαδή έχει 0   0 τη μορφή AX  B  O (S0 ) με B   .     0 Πρόταση Θεωρούμε το ομογενές γραμμικό σύστημα AX  B  O (S0 ) Τότε έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν det  A   0 τότε το σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση (0, 0,...,0). Αν det  A   0 τότε το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες λύσεις. ΟΜΟΓΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ορισμός Ένα σύστημα ονομάζεται ομογενές αν οπίνακας των σταθερών όρων είναι μηδέν, δηλαδή έχει 0   0 τη μορφή AX  B  O (S0 ) με B   .     0 Πρόταση Θεωρούμε το ομογενές γραμμικό σύστημα AX  B  O (S0 ) Τότε έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν det  A   0 τότε το σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση (0, 0,...,0). Αν det  A   0 τότε το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες λύσεις. Παρατήρηση Ισχύει η μέθοδος επίλυσης του Gauss απλά τώρα εφαρμόζουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα Α αφού ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ίσος με τον πίνακα Α. Παράδειγμα x  y  0z  w  0 x+2y  z  2w  0. Να λυθεί το σύστημα  x  2y  2z  3w  0. Παράδειγμα x  y  0z  w  0 x+2y  z  2w  0. Να λυθεί το σύστημα  x  2y  2z  3w  0. x  1 1 0 1       y AX  O, A   1 2 1 2  , X   1 2 2 3  z     w Παράδειγμα x  y  0z  w  0 x+2y  z  2w  0. Να λυθεί το σύστημα  x  2y  2z  3w  0 x.  1 1 0 1       y AX  O, A   1 2 1 2  , X   1 2 2 3  z     w  1 1 0 1  Γ3 Γ3  Γ1  1 1 0 1  Γ1 Γ1  Γ2  1 0 1 4  Γ1 Γ1  Γ3   Γ2 Γ2  Γ1   Γ3 Γ3  Γ2   Γ2 Γ3  Γ2  1 2 1 2    0 1 1 3    0 1 1 3    1 2 2 3   0 1 2 4   0 0 1 1         1 0 0 3  x  3w  0     0 1 0 2   y  2w  0.  (x, y, z, w)  (3w, 2w, w, w)  w(3, 2,1,1), w .  0 0 1 1  zw 0  .