Μέθοδος Gauss: Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων

Η μέθοδος του Gauss είναι μια τεχνική για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Βασίζεται στην μετατροπή του συστήματος σε τριγωνική μορφή, καθιστώντας την εύκολη την επίλυση για τις άγνωστες μεταβλητές.

Η τριγωνική μορφή μιας μήτρας επιτρέπει εύκολη επίλυση του συστήματος εξισώσεων. Όταν μια μήτρα είναι τριγωνική, οι άγνωστες μεταβλητές μπορούν να βρεθούν βήμα προς βήμα, ξεκινώντας από την τελευταία γραμμή.

Κατά την εφαρμογή του αλγορίθμου του Gauss, η σειρά των στοιχείων σε μια μήτρα μπορεί να παραταχθεί με στόχο την εύκολη λύση. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται Γαυσσιανή εξάλειψη.

Ο αλγόριθμος του Gauss είναι ένα αλγοριθμικό σχήμα για την επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων. Χρησιμοποιεί βασικές πράξεις γραμμικής άλγεβρας για να μετατρέψει το σύστημα σε τριγωνική μορφή και να βρει τις τιμές των άγνωστων μεταβλητών.

Ο πίνακας Α περιέχει τους συντελεστές των αγνώστων σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Ο πίνακας X περιέχει τις αγνώστους του γραμμικού συστήματος.

Ο πίνακας Β περιέχει τους σταθερούς όρους του γραμμικού συστήματος.

Ο πίνακας (Α Β) δημιουργείται συνδυάζοντας τον πίνακα Α των συντελεστών και τον πίνακα Β των σταθερών όρων.

Ένα γραμμικό σύστημα αποτελείται από εξισώσεις με πρώτου βαθμού όρους. Κάθε εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά ως ευθεία γραμμή.

Η ύπαρξη και ο αριθμός των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξαρτάται από τη σχέση μεταξύ των γραμμών που αντιστοιχούν στις εξισώσεις του.

Για ένα γραμμικό σύστημα μορφής AX=B όπου Α είναι τετραγωνικός πίνακας, η λύση βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο πίνακα Α-1 με τον πίνακα Β.

Ο αντίστροφος πίνακας Α-1 υπάρχει μόνο αν ο πίνακας Α είναι τετραγωνικός και η ορίζουσά του είναι διαφορετική από μηδέν.

Ο αντίστροφος πίνακας Α-1 είναι ο πίνακας που, όταν πολλαπλασιάζεται με τον Α, δίνει την ταυτότητα.

Η χρήση του αντίστροφου πίνακα προσφέρει μια αποτελεσματική μέθοδο για την εύρεση λύσεων σε γραμμικά συστήματα, ειδικά όταν υπάρχουν πολλές άγνωστες.

Ένα γραμμικό σύστημα είναι συμβιβαστό αν και μόνο αν η τάξη του πίνακα Α είναι ίση με την τάξη του επαυξημένου του πίνακα ΑΒ.

Η τάξη ενός πίνακα ορίζεται από τον αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών.

Ένα γραμμικό σύστημα είναι αόριστο αν έχει άπειρες λύσεις.

Ένας γραμμικός πίνακας A είναι ανηγμένος κλιμακωτός αν πληροί 3 κριτήρια: 1) Η πρώτη μη μηδενική είσοδος κάθε γραμμής είναι 1, 2) Η κάθε γραμμή έχει περισσότερους μηδενικούς όρους στην αρχή της από την προηγούμενη, 3) Η μόνο γραμμή που αποτελείται μόνο από μηδενικά είναι η τελευταία γραμμή.

Εφαρμόζονται γραμμοπράξεις σε έναν πίνακα για να μετατραπεί σε ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα.

Η τάξη ενός ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών γραμμών.

Εάν η τάξη του πίνακα Α είναι ίση με τον αριθμό των αγνώστων, το σύστημα έχει μοναδική λύση.

Εάν η τάξη του πίνακα Α είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Ο αριθμός των ελεύθερων αγνώστων ισούται με την διαφορά μεταξύ του αριθμού των αγνώστων και της τάξης του πίνακα.

Ένα γραμμικό σύστημα με άπειρες λύσεις έχει τουλάχιστον έναν ελεύθερο άγνωστο.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων όπου όλοι οι σταθεροί όροι είναι μηδενικοί.

Μια μέθοδος επίλυσης ομογενών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, όπου ορίζουμε μια μεταβλητή ως παράμετρο και λύνουμε για τις υπόλοιπες.

Η μορφή ενός ομογενούς γραμμικού συστήματος, όπου A είναι ένας πίνακας, X είναι ένας διανυσματικός άγνωστος, και B είναι ένα μηδενικό διανυσματικό όρο.

Ένα ομογενές γραμμικό σύστημα AX = 0 έχει πάντα την μηδενική λύση, x = 0.

Εάν ένα ομογενές γραμμικό σύστημα έχει περισσότερες λύσεις από την μηδενική λύση, τότε έχει άπειρες άπειρες λύσεις.

Ένα ομογενές γραμμικό σύστημα πάντα έχει at least one solution. That solution is x = 0. This is known as the trivial solution.

Εάν ένας πίνακας A δεν είναι μη-εκφυλισμένος, τότε το ομογενές γραμμικό σύστημα AX = 0 έχει μόνο τη τριβιακή λύση, x = 0.

Ένας πίνακας A είναι μη-εκφυλισμένος εάν η αντίστροφη του A υπάρχει.

O kanonas tou Cramer einai mia methodos gia na lythei ena sistema epiteletou mathimatikou, opou o arithmos twn agnostiwn iparxei isos me ton arithmo twn epiteletou. O kanonas tou Cramer xrisimopoiei determinants.

O Determinant einai mia arithmetiki ekfrasi pou upologizetai gia mia tetrangh ki eksagoni matrice. Gia mia 2x2 matrice, o determinant upologizetai a-b*c.

To A einai o Determinant tou systimatos epiteletou mathimatikou. O Determinant einai mia arithmetiki ekfrasi pou upologizetai gia mia tetrangh ki eksagoni matrice. Gia mia 2x2 matrice, o Determinant upologizetai a-b*c.

H metrixi A einai mia matrice pou periexei tis syntelestes twn agnostiwn tou systimatos. H metrixi A einai 3x3 giati to systimata exei 3 agnostes.

H metrixi X einai mia matrice pou periexei tis agnosties tou systimatos. H metrixi X einai 3x1 giati to systimata exei 3 agnosties x, y kai z.

H metrixi B einai mia matrice pou periexei tis statheres tou systimatos. H metrixi B einai 3x1 giati to systimata exei 3 statheres.

H A1 einai o determinant tou systimatos epiteletou mathimatikou. O Determinant einai mia arithmetiki ekfrasi pou upologizetai gia mia tetrangh ki eksagoni matrice. O Determinant A1 einai mia noumia tou metrixi A, opou h proti stilh anτικαθίσταται με tis statheres tou systimatos.

H A2 einai o determinant tou systimatos epiteletou mathimatikou. O Determinant einai mia arithmetiki ekfrasi pou upologizetai gia mia tetrangh ki eksagoni matrice. O Determinant A2 einai mia noumia tou metrixi A, opou h deyteri stilh anτικαθίσταται με tis statheres tou systimatos.

H A3 einai o determinant tou systimatos epiteletou mathimatikou. O Determinant einai mia arithmetiki ekfrasi pou upologizetai gia mia tetrangh ki eksagoni matrice. O Determinant A3 einai mia noumia tou metrixi A, opou h trit stilh anτικαθίσταται me tis statheres tou systimatos.

O kanonas tou Cramer mpore na xrisimopoiithei gia na lythei ena systimata epiteletou mathimatikou

An o determinant A einai isws me 0, tote to systimata den einai lysimo.

Gia na lyseis to systimata epiteletou mathimatikou me ton kanona tou Cramer, prepei na upologiseis tous determinants A, A1, A2 and A3. Meta upologiseis ta x, y and z. .

Gia na lyseis to systimata epiteletou mathimatikou me ton kanona tou Cramer, prepei na upologiseis tous determinants A, A1, A2 and A3. Meta upologiseis ta x, y and z. .

O kanonas tou Cramer einai mia methodos gia na lythei ena systimata epiteletou mathimatikou, opou o arithmos twn agnostiwn iparxei isos me ton arithmos twn epiteletou. O kanonas tou Cramer xrisimopoiei determinants.

O kanonas tou Cramer einai mia methodos gia na lythei ena systimata epiteletou mathimatikou, opou o arithmos twn agnostiwn iparxei isos me ton arithmos twn epiteletou. O kanonas tou Cramer xrisimopoiei determinants.

Ο πίνακας Α ονομάζεται πίνακας συντελεστών, ο πίνακας Χ πίνακας μεταβλητών και ο πίνακας Β πίνακας σταθερών. Η γραμμική εξίσωση ΑΧ = Β μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του Gauss.

Η μέθοδος του Gauss είναι μια αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος βασίζεται στη μετατροπή της μορφής του πίνακα συντελεστών σε τριγωνική μορφή μέσω στοιχειωδών πράξεων.

Οι γραμμές του πίνακα με 2 ή περισσότερες διαδοχικές σειρές με μηδενικά στοιχεία με εξαίρεση το πρώτο στοιχείο της τελευταίας γραμμής, έχουν μορφή τριγωνικού πίνακα.

Για να μετατρέψουμε τον πίνακα σε τριγωνική μορφή, πραγματοποιούμε στοιχειώδεις πράξεις γραμμών, όπως προσθήκη, αφαιρεση, πολλαπλασιαμός και διαίρεση γραμμών με αριθμό διαφορετικό από 0.

Η πρώτη γραμμή Γ1 παίsνει τιμή εξίσου με τον εαυτό της μειον το λ-πλάσιο της τρίτης γραμμής. Μετά γίνεται η αντικατάσταση για τη Γ1.

Στη δεύτερη γραμμή με στοιχειώδεις πράξεις, γίνεται αντικατάσταση με τιμή ίση με την δεύτερη γραμμή μείον το 1/λ-πλάσιο της πρώτης γραμμής.

Στην τρίτη γραμμή γίνεται αντικατάσταση με τιμή ίση με την ίδια αυτή μείον λ-πλάσιο της πρώτης γραμμής.

Στην τέταρτη στοιχειώδης εργασία, γίνεται αντικατάσταση σε τάξη Γ4, με τιμή ίση με την τέταρτη γραμμή μείον (1/λ)-πλάσιο της δεύτερης γραμμής Γ2.

Για λ=0 η τέταρτη στοιχειώδης εργασία δεν έχει νοημα. Αυτό σημαίνει ότι για αυτή την περίπτωση λ=0 δεν μπορούμε να διενεργήσουμε στοιχειώδεις εργασίες για να μετατρέψουμε τον πίνακα σε τριγωνική μορφή.