Μέθοδος Gauss: Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Ποιος είναι ο στόχος της μεθόδου του Gauss στην επίλυση γραμμικών συστημάτων;

Να υπολογίζει τα ιδιοστοιχεία ενός πίνακα.

Να βρίσκει τις ρίζες πολυωνύμων.

Να αντικαθιστά τις μεταβλητές από μια εξίσωση στην άλλη.

Να αναπαριστά τις εξισώσεις σε μορφή τριγωνικού πίνακα. (correct)

Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις είναι σωστή σύμφωνα με το παράδειγμα;

$3x - 2y = 5$

$2x + 5y - z = -4$ (correct)

$5x + 2y - z = 4$

$x + 2y + z = 3$ (correct)

Ποια είναι η τελική μορφή του τριγωνικού πίνακα αφού εφαρμοστεί η μέθοδος του Gauss;

Πίνακας με δύο γραμμές μηδέν. (correct)

Πίνακας με πλήρη διαγώνιο γεμάτο μηδενικά.

Πίνακας με τις αντίστοιχες ρίζες των μεταβλητών.

Πίνακας με γραμμές που δείχνουν αντίστοιχες μεταβλητές.

Ποιο είναι ένα τυπικό βήμα κατά την εφαρμογή της μεθόδου του Gauss;

Η πρόσθεση των γραμμών για την εξάλειψη μεταβλητών. Signup and view all the answers

Ποιους τύπους συστημάτων μπορεί να επιλύσει η μέθοδος του Gauss;

Περιορισμένα σε γραμμικές εξισώσεις. Signup and view all the answers

Ποια είναι η προϋπόθεση για να έχει το γραμμικό σύστημα AX=B λύσεις;

rank(A) = rank(A B) Signup and view all the answers

Τι σημαίνει αν rank(A) = rank(A B) = n;

Το σύστημα έχει μοναδική λύση. Signup and view all the answers

Πώς χαρακτηρίζεται ένα σύστημα όταν rank(A) = rank(A B) < n;

Έχει άπειρες λύσεις. Signup and view all the answers

Ποια είναι η τάξη ενός πίνακα που έχει την εξής μορφή μετά από γραμμοπράξεις: ( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \ 0 & 4 & -5 \ 0 & 0 & -3 \ \ \end{pmatrix} )?

3 Signup and view all the answers

Ποιος είναι ο σωστός τρόπος να δηλώσουμε ότι ένα γραμμικό σύστημα δεν έχει λύσεις;

rank(A) > rank(A B) Signup and view all the answers

Αν το γραμμικό σύστημα έχει 4 εξισώσεις και 6 αγνώστους με rank(A) = 2, ποιο είναι το πλήθος των ελεύθερων αγνώστων;

4 Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι πιθανές τιμές του rank(A) αν το σύστημα έχει τρεις εξισώσεις και βρίσκουμε μια μοναδική λύση;

1, 2, 3 Signup and view all the answers

Ποια εξίσωση περιγράφει πιο σωστά το γεγονός ότι το γραμμικό σύστημα είναι αόριστο;

rank(A) = rank(A B) = k < n Signup and view all the answers

Ποια είναι η διαδικασία που χρησιμοποιείται για την εύρεση της τάξης ενός πίνακα;

Γραμμοπράξεις. Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του λ από την εξίσωση (λ + 2)(λ - 1) = 0;

λ = 1 ή λ = -2 Signup and view all the answers

Ποιο από τα παρακάτω είναι ορισμός ενός ομογενούς γραμμικού συστήματος;

Ο πίνακας των σταθερών όρων είναι ίσος με το μηδέν. Signup and view all the answers

Πώς μπορεί να εκφραστεί η γενική λύση του συστήματος αν λ = 1;

(x, y, z) = (y, z, 1 - y - z) Signup and view all the answers

Στην εξίσωση 0 * x + 0 * y + (-λ^2 - λ + 2) z = -λ^3 - λ^2 + λ + 1, τι συμβαίνει αν το λ = -2;

Παράγει την εξίσωση 0 = 3. Signup and view all the answers

Ποια είναι η μορφή ενός ομογενούς γραμμικού συστήματος;

AX = B = O, με B ίσο με το μηδέν. Signup and view all the answers

Ποιες εξισώσεις περιγράφουν τη γενική λύση του συστήματος αν λ = 1;

x + y + z = 1 και x, y, z θετικοί. Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι δυνατότητες εξίσωσης για την περίπτωση λ = -2;

0 * x + 0 * y + 0 * z = 3. Signup and view all the answers

Τι δηλώνει η εξίσωση 0 * x + (λ - 1)y + (1 - λ)z = λ(1 - λ);

Επαληθεύει τις τιμές του λ. Signup and view all the answers

Ποιος από τους παρακάτω πίνακες αναφέρεται ως πίνακας συντελεστών ενός συστήματος;

Ο m × n πίνακας A Signup and view all the answers

Ποια είναι η σωστή σχέση για την επίλυση του γραμμικού συστήματος AX = B;

X = A^-1 * B Signup and view all the answers

Πώς ονομάζεται ο πίνακας που περιλαμβάνει τους σταθερούς όρους ενός συστήματος;

Πίνακας B Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι διαστάσεις του επαυξημένου πίνακα (A B);

m × (n + 1) Signup and view all the answers

Ποια είναι η προϋπόθεση για να είναι εφικτή η επίλυση του γραμμικού συστήματος AX = B;

Ο πίνακας A να είναι αντιστρέψιμος Signup and view all the answers

Στην εξίσωση AX = B, ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό;

Το X είναι πίνακας-στήλη Signup and view all the answers

Τι σημαίνει η εξίσωση I X = A B;

Ο I είναι ο πίνακας ταυτοτήτων Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι συνθήκες για να θεωρείται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ως τετραγωνικό;

Ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων Signup and view all the answers

Ποιος είναι ο ρόλος του πίνακα A στην εξίσωση AX = B;

Είναι ο πίνακας των συντελεστών Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για να είναι η εξίσωση A ≠ 0;

λ ≠ 1 και λ ≠ -2 Signup and view all the answers

Ποιος είναι ο κανόνας που χρησιμοποιείται για την επίλυση του συστήματος εξισώσεων;

Κανόνας του Cramer Signup and view all the answers

Ποια είναι η μορφή του πίνακα A στην εξίσωση AX = B;

A = (λ 1 1; 1 λ 1; 1 1 λ) Signup and view all the answers

Ποιο από τα παρακάτω δεν είναι μέρος των εξισώσεων που πρέπει να λυθούν;

x + y + z = λ^2 Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι τιμές του λ που καθορίζουν διαφορετικές περιπτώσεις στο σύστημα;

λ = 1, -2 Signup and view all the answers

Ποια είναι η τιμή του A1 για λ = 1;

0 Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι τιμές της λύσης x, y, z όταν λ > 0 σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer;

x, y, z εξαρτώνται από την τιμή του λ Signup and view all the answers

Ποια από τις εξής σχέσεις εκφράζει την σημαντικότητα των περιπτώσεων διακρίσεως;

(λ + 2)(λ - 1) Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι εξισώσεις που προκύπτουν από τον κανόνα του Cramer;

x = (1-λ)/(λ + 2) Signup and view all the answers

Ποιες είναι οι απαραίτητες συνθήκες για το σύστημα να είναι συνεπές;

A δεν είναι μηδέν Signup and view all the answers

Ποιο από τα παρακάτω μπορεί να θεωρηθεί λανθασμένο για την επίλυση του συστήματος;

Η τιμή λ μπορεί να είναι αυθαίρετη Signup and view all the answers

Πώς επηρεάζει την λύση του συστήματος η αύξηση του λ;

Η λύση μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί ανάλογα με την περίπτωση Signup and view all the answers

Ποιες πιθανές τιμές του λ δίνουν μερικές λύσεις για x, y, z;

λ = 1 και λ = 0 Signup and view all the answers

Ποιο είναι το αποτέλεσμα της εξίσωσης $x + 2y + z = 3$ όταν $x = 2$ και $y = -1$;

2 Signup and view all the answers

Ποια είναι η σωστή μορφή του συστήματος εξισώσεων που προκύπτει από την ανάλυση $AX = B$;

$egin{pmatrix} λ & 1 & 1 \ 1 & λ & 1 \ 1 & 1 & λ \ \ \ \ \ \ \ \ λ^2 ext{ } ext{ }λ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}.$ Signup and view all the answers

Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση του συστήματος $λx + y + z = 1$;

Μέθοδος του Gauss Signup and view all the answers

Ποιο είναι το αποτέλεσμα της εξίσωσης $x + y + λz = λ^2$ όταν $z = 3$;

$x + y = λ^2 - 3$ Signup and view all the answers

Ποια είναι η τιμή του y αν $x = 2$ και $λ = 1$ στην εξίσωση $2x + 5y - z = -4$;

$-1$ Signup and view all the answers

Ποιοι είναι οι συντελεστές της τελευταίας γραμμής του πίνακα μετά την εφαρμογή της μεθόδου του Gauss;

$(0, 0, -λ - λ^2)$ Signup and view all the answers

Ποια είναι η τιμή του $z$ αν $x = 2$ και $y = -1$ στην εξίσωση $3x - 2y - z = 5$;

$3$ Signup and view all the answers

Ποια είναι η μορφή του πίνακα C για τις συντεταγμένες $(1, λ, 1, λ^2)$;

$egin{pmatrix} 1 & λ & 1 \ 1 & 1 & λ \ 1 & 1 & λ^2 \ \ \ \ λ \end{pmatrix}$ Signup and view all the answers

Ποια είναι η επίλυση του $x + λy + z = λ$ για $λ=0$;

$x + z = 1$ Signup and view all the answers

Study Notes

Γραμμικά Συστήματα

Τα γραμμικά συστήματα αποτελούνται από m εξισώσεις και n αγνώστους.
Η γενική μορφή ενός γραμμικού συστήματος είναι: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂ ... a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m
Οι συντελεστές a_ij και οι σταθερές b_i είναι αριθμοί.
Μια λύση του συστήματος είναι μια συνδυασμός τιμών για τις μεταβλητές x₁, x₂, ..., x_n που ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις ταυτόχρονα.
Σύστημα συμβιβαστό: Έχει τουλάχιστον μια λύση.
Ασύμβατο (ή αδύνατο) σύστημα: Δεν έχει καμία λύση.
Αόριστο σύστημα: Έχει άπειρες λύσεις.
Ομογενές σύστημα: Όλες οι σταθερές b_i είναι μηδέν.
- Η μηδενική λύση (όπου όλες οι x_i είναι μηδέν) είναι πάντα λύση ενός ομογενούς συστήματος.

Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων

Μέθοδος της Αντίστροφης: Χρησιμοποιείται για τετραγωνικά συστήματα (όπου ο αριθμός των εξισώσεων ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) με αντιστρέψιμο πίνακα συντελεστών (Α). Η λύση είναι x = A^-1B
Κανόνας του Cramer: Υπολογίζεται η λύση ενός τετραγωνικού συστήματος με ορίζουσες.
Μέθοδος Gauss: Μια μέθοδος για την επίλυση γραμμικών συστημάτων κάθε μορφής, με σκοπό να μετατρέψει το σύστημα σε κλιμακωτή μορφή.
**Μέθοδος Gauss-Jordan: **Μία παραλλαγή της μεθόδου Gauss, που φτάνει σε διαγώνια μορφή.
Γραμμικά συστήματα με τη μέθοδο του Gauss Η μέθοδος Gauss επιτρέπει την επίλυση γραμμικών συστημάτων μετατρέποντάς τες σε ισοδύναμα συστήματα, σε πιο απλή μορφή.
**Επαυξημένος πίνακας: **Ο πίνακας που προκύπτει από τον πίνακα συντελεστών, προσθέτοντας μια στήλη με τις σταθερές (b_i)
Τάξη ενός πίνακα: Αναφέρεται στον αριθμό των γραμμών (m) και τον αριθμό των στηλών (n).
Γραμμική εξάρτηση: Μεταβλητές που μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικό συνδυασμό άλλων μεταβλητών.
Μηδενικοί στόχοι Για ένα ομογενές σύστημα, η λύση με όλες τις μεταβλητές ίσες με το μηδέν.
Αόριστο σύστημα Για ένα ομογενές σύστημα, υπάρχει τότε μία ή περισσότερες μη μηδενικές λύσεις.

Γεωμετρική ερμηνεία ενός γραμμικού συστήματος

Γεωμετρικά, οι γραμμικές εξισώσεις αντιπροσωπεύονται από ευθείες γραμμές στο επίπεδο ή επίπεδα στο χώρο.
Η λύση του συστήματος αντιστοιχεί στο σημείο τομής των γραμμών (ή επιπέδων).
Τα συμβιβαστά συστήματα αντιστοιχούν στις περιπτώσεις όπου οι γραμμές (ή επίπεδα) τέμνονται σε ένα σημείο.
Το ασύμβατο σύστημα αντιπροσωπεύεται από παράλληλες γραμμές (ή επίπεδα).
Το αόριστο σύστημα αντιπροσωπεύεται από ταυτισμένες γραμμές (ή επίπεδα).

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Αυτή η δοκιμασία εστιάζει στη μέθοδο του Gauss για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Πολλές ερωτήσεις αφορούν τα βήματα της μεθόδου και τις σωστές μορφές των εξισώσεων. Δοκιμάστε τις γνώσεις σας και δείτε πόσο καλά κατανοείτε αυτή τη σημαντική μαθηματική μέθοδο.