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# Funktionen Grundlagen ## Inhaltsverzeichnis - Lineare Funktion - Quadratische Funktionen - Polynomfunktion - Wurzelfunktion - Betragsfunktion - Exponentialfunktion - Logarithmusfunktion - Manipulation von Grundfunktionen - Umkehrfunktion - Was ist in der Funktion gegeben? ## Lineare Funktion D...

# Funktionen Grundlagen ## Inhaltsverzeichnis - Lineare Funktion - Quadratische Funktionen - Polynomfunktion - Wurzelfunktion - Betragsfunktion - Exponentialfunktion - Logarithmusfunktion - Manipulation von Grundfunktionen - Umkehrfunktion - Was ist in der Funktion gegeben? ## Lineare Funktion Die allgemeine Form für eine lineare Funktion lautet: $y = m \cdot x + b$ mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ Um die Steigung *m* zu bestimmen brauchen wir zwei Punkte $P_1 (x_1 | y_1)$ und $P_2 (x_2 | y_2)$. ## Quadratische Funktionen Die allgemeine Form für eine quadratische Funktion lautet: $y = ax^2 + bx + c$ Die einfachste quadratische Funktion ist die Normalparabel mit $y = x^2$. Der höchste oder niedrigste Punkt einer quadratischen Funktion wird auch Scheitelpunkt *S* genannt. Die Scheitelpunktform lautet: $y = a \cdot (x - d)^2 + e$ mit $S(d|e)$ ## Polynomfunktion Die allgemeine Form für eine Polynomfunktion (auch ganzrationale Funktion genannt) 3. Grades lautet: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 4. Grades lautet: $y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ Grad *n* beschreibt den höchsten Exponent für *x* für $a \neq 0$. Es gibt maximal so viele Nullstellen, wie der Grad *n* der Funktion ist. ## Wurzelfunktion Die allgemeine Form einer Wurzelfunktion lautet: $f(x) = \sqrt[n]{x}$ für $x\geq 0$ mit *n* als Wurzelexponent. Sie besitzt die einzige Nullstelle bei $x = 0$. Je größer *n* ist, desto flacher verläuft der Graph ab $x = 1$. Wenn *n* gerade bzw. ungerade, ist $x \in [0,\infty)$ bzw. $x \in \mathbb{R}$. ## Betragsfunktion In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Der sog. absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag, ist immer eine nichtnegative Zahl, also größer oder gleich Null. Schreibweisen: $f(x) = |x|$ oder $f(x) = abs(x)$. Für eine beliebige reelle Zahl *x* gilt: $|x| = \begin{cases} x, & x\geq 0 \\ -x, & x<0 \end{cases}$. ## Exponentialfunktion Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis *a*), wenn sie die Form $f(x) = a^x = e^{x \cdot ln(a)}$ mit $x \in \mathbb{R}, a > 0$ aufweist, wobei *a* eine beliebige positive Konstante bezeichnet. Falls $a = e$ ist, spricht man im Allgemeinen von der *e*-Funktion. Es handelt sich hierbei um die eulersche Zahl $e \approx 2,72$ – eine irrationale Zahl wie z. B. die Kreiszahl $\pi$. Sie verläuft oberhalb der *x*-Achse und besitzt keine Nullstelle. ## Logarithmusfunktion Eine Funktion heißt Logarithmusfunktion (zur Basis *a*), wenn sie allgemein die Form $f(x) = log_a(x), x \in (0,\infty)$ aufweist, wobei *a* eine beliebige positive Konstante bezeichnet. ## Manipulation von Grundfunktionen Auch Graphentransformation genannt. Idee: Aus dem Graphen einer gegebenen Funktion $f(x)$ mit dem Definitionsbereich $D$ und dem Wertebereich $W$ sollen die Graphen „neuer“ Funktionen $g(x)$ mit dem Definitionsbereich $D_g$ und dem Wertebereich $W_g$ durch einfache Operationen gewonnen werden. Hier ist eine Übersichtstabelle, die die Manipulationen an Funktionen und die Wirkung auf den Graphen, den Definitionsbereich und den Wertebereich beschreibt. „Wirkung“ soll heißen: Bildet man den Term $g(x)$ wie beschrieben, so entsteht der Graph von *g* aus dem Graphen von *f* durch... | $g(x) =$ | $D_g =$ | $W_g =$ | Wirkung auf den Graphen | | ----------- | ----------- | ----------- | ----------- | | $f(x) + a$, $a \in \mathbb{R}$ | $D$ | $a + W$ | Verschiebung vertikal um *a* | | $f(x + a)$, $a \in \mathbb{R}$ | $-a + D$ | $W$ | Verschiebung horizontal um $-a$ | | $c \cdot f(x)$, $c > 0$ | $D$ | $c \cdot W$ | $c > 1$: Streckung, $0 < c < 1$: Stauchung | | $f(cx)$, $c > 0$ | $\frac{1}{c} \cdot D$ | $W$ | $c > 1$: Stauchung, $0 < c < 1$: Streckung | | $-f(x)$ | $D$ | $-W$ | Spiegelung an *y*-Achse | | $f(-x)$ | $D_f$ | $-W_f$ | Spiegelung an *x*-Achse | Anhand dieser Übersicht lassen sich einige Regelmäßigkeiten erkennen: - **Änderung innerhalb der Funktion, z. B. $f(x - a)$** - **Änderung außerhalb der Funktion, z.B. $f(x) + a$** Im Folgenden werden wir die am häufigsten vorkommenden Manipulationen bzw. Transformationen anhand eines Beispiels vorstellen. Als Ausgangsfunktion dient die Normalparabel $f(x) = x^2, x\in\mathbb{R}$. ## Umkehrfunktion Für eine Funktion $f(x)$ ist $f^{-1}(x)$ eine Umkehrfunktion, wenn für $y = f(x)$ gilt: $x = f^{-1}(y)$. Also wenn man in die Umkehrfunktion einen Funktionswert *y* der Ausgangsfunktion einsetzt, so erhält man den dazugehörigen *x*-Wert. **Vorgehen:** 1. Funktion als $y = f(x)$ umschreiben und schrittweise nach *x* lösen. 2. Variablen *x* und *y* tauschen. 3. Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ oder $f(x)$ aufschreiben. Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert *y* nur an einer einzigen Stelle $x \in D_f$ angenommen wird: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$. Eine solche Funktion *f* hat eine Umkehrfunktion $f^{-1}$, definiert durch $f^{-1}(y) = x$ für $y = f(x)$, also $f^{-1}(f(x)) = x$. In manchen Fällen muss man den Definitionsbereich einer Funktion einschränken, damit die so eingeschränkte Funktion umkehrbar ist. ### Beispiele **a) Lineare Funktion:** Bestimme die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x + 1$. Wir arbeiten das obige Vorgehen ab und lösen die Gleichung nach *x* auf. $2x + 1 = y$ $2x = y - 1$ $x = \frac{y - 1}{2}$ Das Tauschen von *x* und *y* zu $y = 0,5x - 0,5$ liefert die Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = 0,5x - 0,5$. **b) Quadratische Funktion:** Bestimme die Umkehrfunktion von $f(x) = (x + 2)^2$. Wir arbeiten das obige Vorgehen ab und lösen die Gleichung nach *x* auf. $(x + 2)^2 = y$ $\sqrt{(x + 2)^2} = \sqrt{y}$ $|x + 2| = \sqrt{y}$ $x + 2 = \pm \sqrt{y}$ $x = \pm \sqrt{y} - 2$ Das Tauschen von *x* und *y* zu $y = \pm \sqrt{x} - 2$ liefert die Umkehrfunktionen $f_1^{-1}(x) = \sqrt{x} - 2$ und $f_2^{-1}(x) = -\sqrt{x} - 2$. ### Was ist in der Funktion gegeben? In Anwendungsaufgaben müssen wir verstehen, was die Funktion überhaupt beschreibt. Oft geht es dabei um Füllbestände irgendwelcher Stauseen oder Geschwindigkeiten von Flugzeugen. Daher ist es sehr wichtig zu wissen, was z.B. die Ableitung der Geschwindigkeit im Sachzusammenhang bedeutet. Die folgende Übersicht soll euch als Zusammenfassung dienen. Wenn in unserer Funktion für $f(t)$ folgendes angegeben ist, dann ist: | $f(t) =$ | f'(t) : | f''(t) : | $\frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} f(t) dt$ : | |-----------|-----------|-----------|-----------| | Höhe/Menge | Geschwindigkeit | Beschleunigung | Ø Höhe / Menge | | Geschwindigkeit | Beschleunigung | Ø Beschleunigung | Ø Geschwindigkeit | | Beschleunigung | Hinzugewonnene Geschwindigkeit zwischen *a* und *b* | Ø Beschleunigung | Geschwindigkeit mit *C* als Geschwindigkeit in $t = 0$ |