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Questions and Answers

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?

  • Die Funktion muss injektiv sein. (correct)
  • Die Funktion muss konstant sein.
  • Die Funktion muss symmetrisch zur y-Achse sein.
  • Die Funktion muss stets positive Werte annehmen.

Was ist die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x + 1$?

  • $f^{-1}(x) = 2x - 1$
  • $f^{-1}(x) = 0,5x - 0,5$ (correct)
  • $f^{-1}(x) = x + 1$
  • $f^{-1}(x) = x - 2$

Welche Aussage trifft auf die Funktion $f(x) = (x + 2)^2$ zu?

  • Sie hat zwei Umkehrfunktionen. (correct)
  • Die Umkehrfunktion ist eine konstante Funktion.
  • Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x) = x^2 - 2$.
  • Sie hat eine Umkehrfunktion, die nicht definiert ist.

Was beschreibt $f'(t)$ in der Tabelle der Ableitungen?

<p>Die Geschwindigkeit einer Funktion. (A)</p> Signup and view all the answers

Was repräsentiert $ rac{1}{x_2 - x_1} extstyleigint_{x_1}^{x_2} f(t) dt$ in Bezug auf eine Funktion?

<p>Den Durchschnitt dieser Höhe oder Menge. (C)</p> Signup and view all the answers

Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion?

<p>$y = m imes x + b$ (A)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt der Grad n einer Polynomfunktion?

<p>Den höchsten Exponenten von <em>x</em> (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion?

<p>Der höchste oder niedrigste Punkt der Parabel (B)</p> Signup and view all the answers

Wie lautet die allgemeine Form einer Wurzelfunktion?

<p>$f(x) = oot[n]{x}$ (B)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt der absolute Betrag in der Mathematik?

<p>Den Abstand einer Zahl zur Null (A)</p> Signup and view all the answers

Welcher Punkt ist eine Nullstelle der Wurzelfunktion?

<p>$x = 0$ (A)</p> Signup and view all the answers

Was passiert mit dem Graphen einer Exponentialfunktion, wenn $a = e$?

<p>Der Graph steigt exponentiell an (B)</p> Signup and view all the answers

Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?

<p>$y = a imes (x - d)^2 + e$ (A)</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen über die Logarithmusfunktion ist korrekt?

<p>Logarithmusfunktionen haben einen Definitionsbereich von $(0, orall)$. (D)</p> Signup and view all the answers

Was passiert mit dem Graphen der Funktion $f(x) = x^2$, wenn man die Transformation $g(x) = f(x) + 3$ anwendet?

<p>Der Graph wird um 3 Einheiten nach oben verschoben. (B)</p> Signup and view all the answers

Welche Wirkung hat die Transformation $g(x) = f(2x)$ auf den Graphen von $f(x)$?

<p>Der Graph wird um die Hälfte gestaucht. (D)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ einer Funktion $f(x)$?

<p>Sie kehrt die Zuordnung von $x$ und $y$ um. (D)</p> Signup and view all the answers

Welches Kriterium muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?

<p>Die Funktion muss immer monoton sein. (D)</p> Signup and view all the answers

Was geschieht mit dem Wertebereich $W$ einer Funktion $f(x)$, wenn die Transformation $g(x) = -f(x)$ durchgeführt wird?

<p>Der Wertebereich wird umgekehrt. (D)</p> Signup and view all the answers

Welches ist die korrekte Darstellung der Umkehrfunktion für $f(x) = 3x + 2$?

<p>$f^{-1}(x) = rac{x - 2}{3}$ (D)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Veränderung $f(x - a)$ gegenüber der Funktion $f(x)$?

<p>Eine horizontale Verschiebung nach links. (A)</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Lineare Funktion

  • Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet y = m ⋅ x + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
  • Die Steigung m kann mit der Formel m = (y2 - y1) / (x2 - x1) berechnet werden, wobei (x1, y1) und (x2, y2) zwei Punkte auf der Geraden sind.

Quadratische Funktionen

  • Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet y = ax² + bx + c.
  • Die Normalparabel ist die einfachste quadratische Funktion mit der Gleichung y = x².
  • Der höchste oder niedrigste Punkt einer quadratischen Funktion wird Scheitelpunkt S genannt.
  • Die Scheitelpunktform lautet y = a ⋅ (x - d)² + e, wobei S(d|e) der Scheitelpunkt ist.

Polynomfunktion

  • Die allgemeine Form einer Polynomfunktion (auch ganzrationale Funktion genannt) vom 3. Grad lautet y = ax³ + bx² + cx + d.
  • Die allgemeine Form einer Polynomfunktion vom 4. Grad lautet y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.
  • Der Grad n einer Polynomfunktion entspricht dem höchsten Exponenten von x für a ≠ 0.
  • Eine Polynomfunktion vom Grad n hat maximal n Nullstellen.

Wurzelfunktion

  • Die allgemeine Form einer Wurzelfunktion lautet f(x) = √ⁿ(x) für x ≥ 0, wobei n der Wurzelexponent ist.
  • Die Wurzelfunktion hat eine einzige Nullstelle bei x = 0.
  • Je größer n ist, desto flacher verläuft der Graph ab x = 1.
  • Wenn n gerade ist, ist der Definitionsbereich x ∈ [0, ∞); wenn n ungerade ist, ist der Definitionsbereich x ∈ ℝ.

Betragsfunktion

  • Die Betragsfunktion ordnet einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu.
  • Der Betrag einer Zahl ist immer nichtnegativ, also größer oder gleich Null.
  • Die Betragsfunktion wird mit f(x) = |x| oder f(x) = abs(x) dargestellt.
  • Für eine beliebige reelle Zahl x gilt:

| x | = {

  • x*, falls x ≥ 0 -x*, falls x < 0

Exponentialfunktion

  • Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form f(x) = aˣ = eˣ · ln(a) für x ∈ ℝ, a > 0 aufweist.
  • a ist eine beliebige positive Konstante.
  • Wenn a = e ist, spricht man von der e-Funktion.
  • Die eulersche Zahl e ≈ 2,72 ist eine irrationale Zahl.
  • Der Graph der Exponentialfunktion verläuft oberhalb der x-Achse und hat keine Nullstelle.

Logarithmusfunktion

  • Eine Funktion heißt Logarithmusfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form f(x) = logₐ(x) für x ∈ (0, ∞) aufweist.
  • a ist eine beliebige positive Konstante.

Manipulation von Grundfunktionen

  • Die Manipulation von Grundfunktionen, auch Graphentransformation genannt, ermöglicht es, aus dem Graphen einer gegebenen Funktion f(x) den Graphen „neuer“ Funktionen g(x) durch einfache Operationen zu gewinnen.
  • Die folgenden Operationen können auf Funktionen angewendet werden:
g(x) = Dg =* Wg =* Wirkung auf den Graphen
f(x) + a, a ∈ ℝ D a + W Verschiebung vertikal um a
f(x + a), a ∈ ℝ -a + D W Verschiebung horizontal um -a
c ⋅ f(x), c > 0 D c ⋅ W c > 1: Streckung, 0 < c < 1: Stauchung
f(cx), c > 0 1/c ⋅ D W c > 1: Stauchung, 0 < c < 1: Streckung
-f(x) D -W Spiegelung an y-Achse
f(-x) Df* -Wf* Spiegelung an x-Achse

Umkehrfunktion

  • Die Umkehrfunktion einer Funktion f(x) ist f⁻¹(x), wenn für y = f(x) gilt: x = f⁻¹(y).
  • Man erhält die Umkehrfunktion, indem man die Gleichung y = f(x) nach x auflöst, x und y tauscht und die Gleichung nach y umschreibt.
  • Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert y nur an einer einzigen Stelle x ∈ Df* angenommen wird.
  • Eine umkehrbare Funktion f hat eine Umkehrfunktion f⁻¹, die durch f⁻¹(y) = x für y = f(x) definiert ist.

Beispiele

  • Lineare Funktion: Die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1 ist f⁻¹(x) = 0.5x - 0.5.
  • Quadratische Funktion: Die Umkehrfunktionen von f(x) = (x + 2)² sind f₁⁻¹(x) = √x - 2 und f₂⁻¹(x) = -√x - 2.

Was ist in der Funktion gegeben?

  • In Anwendungsaufgaben ist es wichtig zu verstehen, was die Funktion beschreibt.
  • Oft geht es um Größen wie Füllstände, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen.
  • Die folgende Tabelle fasst zusammen, was die Ableitung und das Integral der Funktion in verschiedenen Sachzusammenhängen bedeuten:
f(t) = f'(t) : f''(t) : 1/(x2 - x1) ∫x₁ˣ² f(t) dt :
Höhe/Menge Geschwindigkeit Beschleunigung Ø Höhe / Menge
Geschwindigkeit Beschleunigung Ø Beschleunigung Ø Geschwindigkeit
Beschleunigung Hinzugewonnene Geschwindigkeit zwischen a und b Ø Beschleunigung Geschwindigkeit mit C als Geschwindigkeit in t = 0

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