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Questions and Answers
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?
- Die Funktion muss injektiv sein. (correct)
- Die Funktion muss konstant sein.
- Die Funktion muss symmetrisch zur y-Achse sein.
- Die Funktion muss stets positive Werte annehmen.
Was ist die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x + 1$?
Was ist die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x + 1$?
- $f^{-1}(x) = 2x - 1$
- $f^{-1}(x) = 0,5x - 0,5$ (correct)
- $f^{-1}(x) = x + 1$
- $f^{-1}(x) = x - 2$
Welche Aussage trifft auf die Funktion $f(x) = (x + 2)^2$ zu?
Welche Aussage trifft auf die Funktion $f(x) = (x + 2)^2$ zu?
- Sie hat zwei Umkehrfunktionen. (correct)
- Die Umkehrfunktion ist eine konstante Funktion.
- Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x) = x^2 - 2$.
- Sie hat eine Umkehrfunktion, die nicht definiert ist.
Was beschreibt $f'(t)$ in der Tabelle der Ableitungen?
Was beschreibt $f'(t)$ in der Tabelle der Ableitungen?
Was repräsentiert $ rac{1}{x_2 - x_1} extstyleigint_{x_1}^{x_2} f(t) dt$ in Bezug auf eine Funktion?
Was repräsentiert $ rac{1}{x_2 - x_1} extstyleigint_{x_1}^{x_2} f(t) dt$ in Bezug auf eine Funktion?
Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion?
Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion?
Was beschreibt der Grad n einer Polynomfunktion?
Was beschreibt der Grad n einer Polynomfunktion?
Was ist der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion?
Was ist der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion?
Wie lautet die allgemeine Form einer Wurzelfunktion?
Wie lautet die allgemeine Form einer Wurzelfunktion?
Was beschreibt der absolute Betrag in der Mathematik?
Was beschreibt der absolute Betrag in der Mathematik?
Welcher Punkt ist eine Nullstelle der Wurzelfunktion?
Welcher Punkt ist eine Nullstelle der Wurzelfunktion?
Was passiert mit dem Graphen einer Exponentialfunktion, wenn $a = e$?
Was passiert mit dem Graphen einer Exponentialfunktion, wenn $a = e$?
Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?
Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?
Welche der folgenden Aussagen über die Logarithmusfunktion ist korrekt?
Welche der folgenden Aussagen über die Logarithmusfunktion ist korrekt?
Was passiert mit dem Graphen der Funktion $f(x) = x^2$, wenn man die Transformation $g(x) = f(x) + 3$ anwendet?
Was passiert mit dem Graphen der Funktion $f(x) = x^2$, wenn man die Transformation $g(x) = f(x) + 3$ anwendet?
Welche Wirkung hat die Transformation $g(x) = f(2x)$ auf den Graphen von $f(x)$?
Welche Wirkung hat die Transformation $g(x) = f(2x)$ auf den Graphen von $f(x)$?
Was beschreibt die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ einer Funktion $f(x)$?
Was beschreibt die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ einer Funktion $f(x)$?
Welches Kriterium muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?
Welches Kriterium muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?
Was geschieht mit dem Wertebereich $W$ einer Funktion $f(x)$, wenn die Transformation $g(x) = -f(x)$ durchgeführt wird?
Was geschieht mit dem Wertebereich $W$ einer Funktion $f(x)$, wenn die Transformation $g(x) = -f(x)$ durchgeführt wird?
Welches ist die korrekte Darstellung der Umkehrfunktion für $f(x) = 3x + 2$?
Welches ist die korrekte Darstellung der Umkehrfunktion für $f(x) = 3x + 2$?
Was beschreibt die Veränderung $f(x - a)$ gegenüber der Funktion $f(x)$?
Was beschreibt die Veränderung $f(x - a)$ gegenüber der Funktion $f(x)$?
Study Notes
Lineare Funktion
- Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet y = m ⋅ x + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
- Die Steigung m kann mit der Formel m = (y2 - y1) / (x2 - x1) berechnet werden, wobei (x1, y1) und (x2, y2) zwei Punkte auf der Geraden sind.
Quadratische Funktionen
- Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet y = ax² + bx + c.
- Die Normalparabel ist die einfachste quadratische Funktion mit der Gleichung y = x².
- Der höchste oder niedrigste Punkt einer quadratischen Funktion wird Scheitelpunkt S genannt.
- Die Scheitelpunktform lautet y = a ⋅ (x - d)² + e, wobei S(d|e) der Scheitelpunkt ist.
Polynomfunktion
- Die allgemeine Form einer Polynomfunktion (auch ganzrationale Funktion genannt) vom 3. Grad lautet y = ax³ + bx² + cx + d.
- Die allgemeine Form einer Polynomfunktion vom 4. Grad lautet y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.
- Der Grad n einer Polynomfunktion entspricht dem höchsten Exponenten von x für a ≠ 0.
- Eine Polynomfunktion vom Grad n hat maximal n Nullstellen.
Wurzelfunktion
- Die allgemeine Form einer Wurzelfunktion lautet f(x) = √ⁿ(x) für x ≥ 0, wobei n der Wurzelexponent ist.
- Die Wurzelfunktion hat eine einzige Nullstelle bei x = 0.
- Je größer n ist, desto flacher verläuft der Graph ab x = 1.
- Wenn n gerade ist, ist der Definitionsbereich x ∈ [0, ∞); wenn n ungerade ist, ist der Definitionsbereich x ∈ ℝ.
Betragsfunktion
- Die Betragsfunktion ordnet einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu.
- Der Betrag einer Zahl ist immer nichtnegativ, also größer oder gleich Null.
- Die Betragsfunktion wird mit f(x) = |x| oder f(x) = abs(x) dargestellt.
- Für eine beliebige reelle Zahl x gilt:
| x | = {
- x*, falls x ≥ 0 -x*, falls x < 0
Exponentialfunktion
- Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form f(x) = aˣ = eˣ · ln(a) für x ∈ ℝ, a > 0 aufweist.
- a ist eine beliebige positive Konstante.
- Wenn a = e ist, spricht man von der e-Funktion.
- Die eulersche Zahl e ≈ 2,72 ist eine irrationale Zahl.
- Der Graph der Exponentialfunktion verläuft oberhalb der x-Achse und hat keine Nullstelle.
Logarithmusfunktion
- Eine Funktion heißt Logarithmusfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form f(x) = logₐ(x) für x ∈ (0, ∞) aufweist.
- a ist eine beliebige positive Konstante.
Manipulation von Grundfunktionen
- Die Manipulation von Grundfunktionen, auch Graphentransformation genannt, ermöglicht es, aus dem Graphen einer gegebenen Funktion f(x) den Graphen „neuer“ Funktionen g(x) durch einfache Operationen zu gewinnen.
- Die folgenden Operationen können auf Funktionen angewendet werden:
| g(x) = | Dg =* | Wg =* | Wirkung auf den Graphen |
|---|---|---|---|
| f(x) + a, a ∈ ℝ | D | a + W | Verschiebung vertikal um a |
| f(x + a), a ∈ ℝ | -a + D | W | Verschiebung horizontal um -a |
| c ⋅ f(x), c > 0 | D | c ⋅ W | c > 1: Streckung, 0 < c < 1: Stauchung |
| f(cx), c > 0 | 1/c ⋅ D | W | c > 1: Stauchung, 0 < c < 1: Streckung |
| -f(x) | D | -W | Spiegelung an y-Achse |
| f(-x) | Df* | -Wf* | Spiegelung an x-Achse |
Umkehrfunktion
- Die Umkehrfunktion einer Funktion f(x) ist f⁻¹(x), wenn für y = f(x) gilt: x = f⁻¹(y).
- Man erhält die Umkehrfunktion, indem man die Gleichung y = f(x) nach x auflöst, x und y tauscht und die Gleichung nach y umschreibt.
- Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert y nur an einer einzigen Stelle x ∈ Df* angenommen wird.
- Eine umkehrbare Funktion f hat eine Umkehrfunktion f⁻¹, die durch f⁻¹(y) = x für y = f(x) definiert ist.
Beispiele
- Lineare Funktion: Die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1 ist f⁻¹(x) = 0.5x - 0.5.
- Quadratische Funktion: Die Umkehrfunktionen von f(x) = (x + 2)² sind f₁⁻¹(x) = √x - 2 und f₂⁻¹(x) = -√x - 2.
Was ist in der Funktion gegeben?
- In Anwendungsaufgaben ist es wichtig zu verstehen, was die Funktion beschreibt.
- Oft geht es um Größen wie Füllstände, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen.
- Die folgende Tabelle fasst zusammen, was die Ableitung und das Integral der Funktion in verschiedenen Sachzusammenhängen bedeuten:
| f(t) = | f'(t) : | f''(t) : | 1/(x2 - x1) ∫x₁ˣ² f(t) dt : |
|---|---|---|---|
| Höhe/Menge | Geschwindigkeit | Beschleunigung | Ø Höhe / Menge |
| Geschwindigkeit | Beschleunigung | Ø Beschleunigung | Ø Geschwindigkeit |
| Beschleunigung | Hinzugewonnene Geschwindigkeit zwischen a und b | Ø Beschleunigung | Geschwindigkeit mit C als Geschwindigkeit in t = 0 |
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