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Questions and Answers
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?
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Was ist die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x + 1$?
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Welche Aussage trifft auf die Funktion $f(x) = (x + 2)^2$ zu?
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Was beschreibt $f'(t)$ in der Tabelle der Ableitungen?
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Was repräsentiert $ rac{1}{x_2 - x_1} extstyleigint_{x_1}^{x_2} f(t) dt$ in Bezug auf eine Funktion?
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Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion?
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Was beschreibt der Grad n einer Polynomfunktion?
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Was ist der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion?
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Wie lautet die allgemeine Form einer Wurzelfunktion?
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Was beschreibt der absolute Betrag in der Mathematik?
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Welcher Punkt ist eine Nullstelle der Wurzelfunktion?
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Was passiert mit dem Graphen einer Exponentialfunktion, wenn $a = e$?
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Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?
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Welche der folgenden Aussagen über die Logarithmusfunktion ist korrekt?
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Was passiert mit dem Graphen der Funktion $f(x) = x^2$, wenn man die Transformation $g(x) = f(x) + 3$ anwendet?
Was passiert mit dem Graphen der Funktion $f(x) = x^2$, wenn man die Transformation $g(x) = f(x) + 3$ anwendet?
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Welche Wirkung hat die Transformation $g(x) = f(2x)$ auf den Graphen von $f(x)$?
Welche Wirkung hat die Transformation $g(x) = f(2x)$ auf den Graphen von $f(x)$?
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Was beschreibt die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ einer Funktion $f(x)$?
Was beschreibt die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ einer Funktion $f(x)$?
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Welches Kriterium muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?
Welches Kriterium muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?
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Was geschieht mit dem Wertebereich $W$ einer Funktion $f(x)$, wenn die Transformation $g(x) = -f(x)$ durchgeführt wird?
Was geschieht mit dem Wertebereich $W$ einer Funktion $f(x)$, wenn die Transformation $g(x) = -f(x)$ durchgeführt wird?
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Welches ist die korrekte Darstellung der Umkehrfunktion für $f(x) = 3x + 2$?
Welches ist die korrekte Darstellung der Umkehrfunktion für $f(x) = 3x + 2$?
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Was beschreibt die Veränderung $f(x - a)$ gegenüber der Funktion $f(x)$?
Was beschreibt die Veränderung $f(x - a)$ gegenüber der Funktion $f(x)$?
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Study Notes
Lineare Funktion
- Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet y = m ⋅ x + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
- Die Steigung m kann mit der Formel m = (y2 - y1) / (x2 - x1) berechnet werden, wobei (x1, y1) und (x2, y2) zwei Punkte auf der Geraden sind.
Quadratische Funktionen
- Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet y = ax² + bx + c.
- Die Normalparabel ist die einfachste quadratische Funktion mit der Gleichung y = x².
- Der höchste oder niedrigste Punkt einer quadratischen Funktion wird Scheitelpunkt S genannt.
- Die Scheitelpunktform lautet y = a ⋅ (x - d)² + e, wobei S(d|e) der Scheitelpunkt ist.
Polynomfunktion
- Die allgemeine Form einer Polynomfunktion (auch ganzrationale Funktion genannt) vom 3. Grad lautet y = ax³ + bx² + cx + d.
- Die allgemeine Form einer Polynomfunktion vom 4. Grad lautet y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.
- Der Grad n einer Polynomfunktion entspricht dem höchsten Exponenten von x für a ≠ 0.
- Eine Polynomfunktion vom Grad n hat maximal n Nullstellen.
Wurzelfunktion
- Die allgemeine Form einer Wurzelfunktion lautet f(x) = √ⁿ(x) für x ≥ 0, wobei n der Wurzelexponent ist.
- Die Wurzelfunktion hat eine einzige Nullstelle bei x = 0.
- Je größer n ist, desto flacher verläuft der Graph ab x = 1.
- Wenn n gerade ist, ist der Definitionsbereich x ∈ [0, ∞); wenn n ungerade ist, ist der Definitionsbereich x ∈ ℝ.
Betragsfunktion
- Die Betragsfunktion ordnet einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu.
- Der Betrag einer Zahl ist immer nichtnegativ, also größer oder gleich Null.
- Die Betragsfunktion wird mit f(x) = |x| oder f(x) = abs(x) dargestellt.
- Für eine beliebige reelle Zahl x gilt:
| x | = {
- x*, falls x ≥ 0 -x*, falls x < 0
Exponentialfunktion
- Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form f(x) = aˣ = eˣ · ln(a) für x ∈ ℝ, a > 0 aufweist.
- a ist eine beliebige positive Konstante.
- Wenn a = e ist, spricht man von der e-Funktion.
- Die eulersche Zahl e ≈ 2,72 ist eine irrationale Zahl.
- Der Graph der Exponentialfunktion verläuft oberhalb der x-Achse und hat keine Nullstelle.
Logarithmusfunktion
- Eine Funktion heißt Logarithmusfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form f(x) = logₐ(x) für x ∈ (0, ∞) aufweist.
- a ist eine beliebige positive Konstante.
Manipulation von Grundfunktionen
- Die Manipulation von Grundfunktionen, auch Graphentransformation genannt, ermöglicht es, aus dem Graphen einer gegebenen Funktion f(x) den Graphen „neuer“ Funktionen g(x) durch einfache Operationen zu gewinnen.
- Die folgenden Operationen können auf Funktionen angewendet werden:
| g(x) = | Dg =* | Wg =* | Wirkung auf den Graphen |
|---|---|---|---|
| f(x) + a, a ∈ ℝ | D | a + W | Verschiebung vertikal um a |
| f(x + a), a ∈ ℝ | -a + D | W | Verschiebung horizontal um -a |
| c ⋅ f(x), c > 0 | D | c ⋅ W | c > 1: Streckung, 0 < c < 1: Stauchung |
| f(cx), c > 0 | 1/c ⋅ D | W | c > 1: Stauchung, 0 < c < 1: Streckung |
| -f(x) | D | -W | Spiegelung an y-Achse |
| f(-x) | Df* | -Wf* | Spiegelung an x-Achse |
Umkehrfunktion
- Die Umkehrfunktion einer Funktion f(x) ist f⁻¹(x), wenn für y = f(x) gilt: x = f⁻¹(y).
- Man erhält die Umkehrfunktion, indem man die Gleichung y = f(x) nach x auflöst, x und y tauscht und die Gleichung nach y umschreibt.
- Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert y nur an einer einzigen Stelle x ∈ Df* angenommen wird.
- Eine umkehrbare Funktion f hat eine Umkehrfunktion f⁻¹, die durch f⁻¹(y) = x für y = f(x) definiert ist.
Beispiele
- Lineare Funktion: Die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1 ist f⁻¹(x) = 0.5x - 0.5.
- Quadratische Funktion: Die Umkehrfunktionen von f(x) = (x + 2)² sind f₁⁻¹(x) = √x - 2 und f₂⁻¹(x) = -√x - 2.
Was ist in der Funktion gegeben?
- In Anwendungsaufgaben ist es wichtig zu verstehen, was die Funktion beschreibt.
- Oft geht es um Größen wie Füllstände, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen.
- Die folgende Tabelle fasst zusammen, was die Ableitung und das Integral der Funktion in verschiedenen Sachzusammenhängen bedeuten:
| f(t) = | f'(t) : | f''(t) : | 1/(x2 - x1) ∫x₁ˣ² f(t) dt : |
|---|---|---|---|
| Höhe/Menge | Geschwindigkeit | Beschleunigung | Ø Höhe / Menge |
| Geschwindigkeit | Beschleunigung | Ø Beschleunigung | Ø Geschwindigkeit |
| Beschleunigung | Hinzugewonnene Geschwindigkeit zwischen a und b | Ø Beschleunigung | Geschwindigkeit mit C als Geschwindigkeit in t = 0 |
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