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Questions and Answers

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?

Die Funktion muss injektiv sein. (correct)

Die Funktion muss konstant sein.

Die Funktion muss symmetrisch zur y-Achse sein.

Die Funktion muss stets positive Werte annehmen.

Was ist die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x + 1$?

$f^{-1}(x) = 2x - 1$

$f^{-1}(x) = 0,5x - 0,5$ (correct)

$f^{-1}(x) = x + 1$

$f^{-1}(x) = x - 2$

Welche Aussage trifft auf die Funktion $f(x) = (x + 2)^2$ zu?

Sie hat zwei Umkehrfunktionen. (correct)

Die Umkehrfunktion ist eine konstante Funktion.

Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x) = x^2 - 2$.

Sie hat eine Umkehrfunktion, die nicht definiert ist.

Was beschreibt $f'(t)$ in der Tabelle der Ableitungen?

Die Geschwindigkeit einer Funktion. Signup and view all the answers

Was repräsentiert $rac{1}{x_2 - x_1} extstyleigint_{x_1}^{x_2} f(t) dt$ in Bezug auf eine Funktion?

Den Durchschnitt dieser Höhe oder Menge. Signup and view all the answers

Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion?

$y = m imes x + b$ Signup and view all the answers

Was beschreibt der Grad n einer Polynomfunktion?

Den höchsten Exponenten von x Signup and view all the answers

Was ist der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion?

Der höchste oder niedrigste Punkt der Parabel Signup and view all the answers

Wie lautet die allgemeine Form einer Wurzelfunktion?

$f(x) = oot[n]{x}$ Signup and view all the answers

Was beschreibt der absolute Betrag in der Mathematik?

Den Abstand einer Zahl zur Null Signup and view all the answers

Welcher Punkt ist eine Nullstelle der Wurzelfunktion?

$x = 0$ Signup and view all the answers

Was passiert mit dem Graphen einer Exponentialfunktion, wenn $a = e$?

Der Graph steigt exponentiell an Signup and view all the answers

Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?

$y = a imes (x - d)^2 + e$ Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen über die Logarithmusfunktion ist korrekt?

Logarithmusfunktionen haben einen Definitionsbereich von $(0, orall)$. Signup and view all the answers

Was passiert mit dem Graphen der Funktion $f(x) = x^2$, wenn man die Transformation $g(x) = f(x) + 3$ anwendet?

Der Graph wird um 3 Einheiten nach oben verschoben. Signup and view all the answers

Welche Wirkung hat die Transformation $g(x) = f(2x)$ auf den Graphen von $f(x)$?

Der Graph wird um die Hälfte gestaucht. Signup and view all the answers

Was beschreibt die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ einer Funktion $f(x)$?

Sie kehrt die Zuordnung von $x$ und $y$ um. Signup and view all the answers

Welches Kriterium muss erfüllt sein, damit eine Funktion umkehrbar ist?

Die Funktion muss immer monoton sein. Signup and view all the answers

Was geschieht mit dem Wertebereich $W$ einer Funktion $f(x)$, wenn die Transformation $g(x) = -f(x)$ durchgeführt wird?

Der Wertebereich wird umgekehrt. Signup and view all the answers

Welches ist die korrekte Darstellung der Umkehrfunktion für $f(x) = 3x + 2$?

$f^{-1}(x) = rac{x - 2}{3}$ Signup and view all the answers

Was beschreibt die Veränderung $f(x - a)$ gegenüber der Funktion $f(x)$?

Eine horizontale Verschiebung nach links. Signup and view all the answers

Study Notes

Lineare Funktion

Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet y = m ⋅ x + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
Die Steigung m kann mit der Formel m = (y2 - y1) / (x2 - x1) berechnet werden, wobei (x1, y1) und (x2, y2) zwei Punkte auf der Geraden sind.

Quadratische Funktionen

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet y = ax² + bx + c.
Die Normalparabel ist die einfachste quadratische Funktion mit der Gleichung y = x².
Der höchste oder niedrigste Punkt einer quadratischen Funktion wird Scheitelpunkt S genannt.
Die Scheitelpunktform lautet y = a ⋅ (x - d)² + e, wobei S(d|e) der Scheitelpunkt ist.

Polynomfunktion

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion (auch ganzrationale Funktion genannt) vom 3. Grad lautet y = ax³ + bx² + cx + d.
Die allgemeine Form einer Polynomfunktion vom 4. Grad lautet y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.
Der Grad n einer Polynomfunktion entspricht dem höchsten Exponenten von x für a ≠ 0.
Eine Polynomfunktion vom Grad n hat maximal n Nullstellen.

Wurzelfunktion

Die allgemeine Form einer Wurzelfunktion lautet f(x) = √ⁿ(x) für x ≥ 0, wobei n der Wurzelexponent ist.
Die Wurzelfunktion hat eine einzige Nullstelle bei x = 0.
Je größer n ist, desto flacher verläuft der Graph ab x = 1.
Wenn n gerade ist, ist der Definitionsbereich x ∈ [0, ∞); wenn n ungerade ist, ist der Definitionsbereich x ∈ ℝ.

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ordnet einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu.
Der Betrag einer Zahl ist immer nichtnegativ, also größer oder gleich Null.
Die Betragsfunktion wird mit f(x) = |x| oder f(x) = abs(x) dargestellt.
Für eine beliebige reelle Zahl x gilt:

| x | = {

x*, falls x ≥ 0 -x*, falls x < 0

Exponentialfunktion

Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form f(x) = aˣ = eˣ · ln(a) für x ∈ ℝ, a > 0 aufweist.
a ist eine beliebige positive Konstante.
Wenn a = e ist, spricht man von der e-Funktion.
Die eulersche Zahl e ≈ 2,72 ist eine irrationale Zahl.
Der Graph der Exponentialfunktion verläuft oberhalb der x-Achse und hat keine Nullstelle.

Logarithmusfunktion

Eine Funktion heißt Logarithmusfunktion (zur Basis a), wenn sie die Form f(x) = logₐ(x) für x ∈ (0, ∞) aufweist.
a ist eine beliebige positive Konstante.

Manipulation von Grundfunktionen

Die Manipulation von Grundfunktionen, auch Graphentransformation genannt, ermöglicht es, aus dem Graphen einer gegebenen Funktion f(x) den Graphen „neuer“ Funktionen g(x) durch einfache Operationen zu gewinnen.
Die folgenden Operationen können auf Funktionen angewendet werden:

g(x) =	Dg =*	Wg =*	Wirkung auf den Graphen
f(x) + a, a ∈ ℝ	D	a + W	Verschiebung vertikal um a
f(x + a), a ∈ ℝ	-a + D	W	Verschiebung horizontal um -a
c ⋅ f(x), c > 0	D	c ⋅ W	c > 1: Streckung, 0 < c < 1: Stauchung
f(cx), c > 0	1/c ⋅ D	W	c > 1: Stauchung, 0 < c < 1: Streckung
-f(x)	D	-W	Spiegelung an y-Achse
f(-x)	Df*	-Wf*	Spiegelung an x-Achse

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Funktion f(x) ist f⁻¹(x), wenn für y = f(x) gilt: x = f⁻¹(y).
Man erhält die Umkehrfunktion, indem man die Gleichung y = f(x) nach x auflöst, x und y tauscht und die Gleichung nach y umschreibt.
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert y nur an einer einzigen Stelle x ∈ Df* angenommen wird.
Eine umkehrbare Funktion f hat eine Umkehrfunktion f⁻¹, die durch f⁻¹(y) = x für y = f(x) definiert ist.

Beispiele

Lineare Funktion: Die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1 ist f⁻¹(x) = 0.5x - 0.5.
Quadratische Funktion: Die Umkehrfunktionen von f(x) = (x + 2)² sind f₁⁻¹(x) = √x - 2 und f₂⁻¹(x) = -√x - 2.

Was ist in der Funktion gegeben?

In Anwendungsaufgaben ist es wichtig zu verstehen, was die Funktion beschreibt.
Oft geht es um Größen wie Füllstände, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen.
Die folgende Tabelle fasst zusammen, was die Ableitung und das Integral der Funktion in verschiedenen Sachzusammenhängen bedeuten:

f(t) =	f'(t) :	f''(t) :	1/(x2 - x1) ∫x₁ˣ² f(t) dt :
Höhe/Menge	Geschwindigkeit	Beschleunigung	Ø Höhe / Menge
Geschwindigkeit	Beschleunigung	Ø Beschleunigung	Ø Geschwindigkeit
Beschleunigung	Hinzugewonnene Geschwindigkeit zwischen a und b	Ø Beschleunigung	Geschwindigkeit mit C als Geschwindigkeit in t = 0