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# Comparaison de nombres complexes ## Définition Soient $z = a + bi$ et $z' = a' + b'i$ , $z, z' \in \mathbb{C}$. On dit que $z = z'$ si et seulement si $a=a'$ et $b=b'$. **Exemple:** $z = (x + y) + i(x - y)$ et $z' = 1 - 3i$ Si $z = z'$ alors: $\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = -3 \end{case...

# Comparaison de nombres complexes ## Définition Soient $z = a + bi$ et $z' = a' + b'i$ , $z, z' \in \mathbb{C}$. On dit que $z = z'$ si et seulement si $a=a'$ et $b=b'$. **Exemple:** $z = (x + y) + i(x - y)$ et $z' = 1 - 3i$ Si $z = z'$ alors: $\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = -3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x = -1$ et $y = 2$ ## Conjugué d'un nombre complexe ### Définition Soit $z = a + bi$ , $a, b \in \mathbb{R}$. On appelle conjugué de $z$ le nombre, noté $\overline{z}$, défini par: $\overline{z} = a - bi$ **Exemples:** * Si $z = 3 + 5i$ alors $\overline{z} = 3 - 5i$ * Si $z = -7 - 2i$ alors $\overline{z} = -7 + 2i$ * Si $z = 4i$ alors $\overline{z} = -4i$ * Si $z = 9$ alors $\overline{z} = 9$ ### Propriétés Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes. * $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ * $\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$ * $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ , avec $z' \neq 0$ * $\overline{\overline{z}} = z$ * Si $z = a + bi$ alors $z + \overline{z} = 2a$ et $z - \overline{z} = 2bi$ * $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline{z}$ * $z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z = -\overline{z}$ ## Module d'un nombre complexe ### Définition Soit $z = a + bi$ , $a, b \in \mathbb{R}$. On appelle module de $z$ le nombre réel positif, noté $|z|$, défini par: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ Si $M$ est le point d'affixe $z$, alors $|z| = OM$ **Exemples:** * Si $z = 3 + 4i$ alors $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ * Si $z = -5 - 12i$ alors $|z| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$ ### Propriétés Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes. * $|z| = |\overline{z}|$ * $|z \times z'| = |z| \times |z'|$ * $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ , avec $z' \neq 0$ * $|z^n| = |z|^n$ , pour tout entier naturel $n$ * Si $z = a + bi$ alors $z \times \overline{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$ * $|Re(z)| \leq |z|$ et $|Im(z)| \leq |z|$ ### Formule d'Al-Kashi Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. $AB = |b-a|$ $AC = |c-a|$ $BC = |c-b|$ $\frac{|c - b|^2 - |a - b|^2 - |a - c|^2}{2|a - b||a - c|} = \cos(\widehat{BAC})$