Số Phức: So Sánh và Liên Hợp

So sánh Số Phức

• Cho $z = a + bi$ và $z' = a' + b'i$, với $z, z' \in \mathbb{C}$.
• $z = z'$ khi và chỉ khi $a=a'$ và $b=b'$.
• Ví dụ: Nếu $z = (x + y) + i(x - y)$ và $z' = 1 - 3i$, và $z = z'$ thì $x = -1$ và $y = 2$.

Số Phức Liên Hợp

Định nghĩa

• Cho $z = a + bi$, $a, b \in \mathbb{R}$.
• Số phức liên hợp của $z$, ký hiệu $\overline{z}$, được định nghĩa là $\overline{z} = a - bi$.
• Ví dụ:
  • Nếu $z = 3 + 5i$ thì $\overline{z} = 3 - 5i$.
  • Nếu $z = -7 - 2i$ thì $\overline{z} = -7 + 2i$.
  • Nếu $z = 4i$ thì $\overline{z} = -4i$.
  • Nếu $z = 9$ thì $\overline{z} = 9$.

Tính Chất

• Cho $z$ và $z'$ là hai số phức.
  • $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$
  • $\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$
  • $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$, với $z' \neq 0$
  • $\overline{\overline{z}} = z$
  • Nếu $z = a + bi$ thì $z + \overline{z} = 2a$ và $z - \overline{z} = 2bi$
  • $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline{z}$
  • $z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z = -\overline{z}$

Mô-đun của Số Phức

Định nghĩa

• Cho $z = a + bi$, $a, b \in \mathbb{R}$.
• Mô-đun của $z$, ký hiệu $|z|$, là một số thực dương được định nghĩa là $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Nếu $M$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$, thì $|z| = OM$.
• Ví dụ:
  • Nếu $z = 3 + 4i$ thì $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
  • Nếu $z = -5 - 12i$ thì $|z| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$.

Tính Chất

• Cho $z$ và $z'$ là hai số phức.
  • $|z| = |\overline{z}|$
  • $|z \times z'| = |z| \times |z'|$
  • $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$, với $z' \neq 0$
  • $|z^n| = |z|^n$, với mọi số tự nhiên $n$
  • Nếu $z = a + bi$ thì $z \times \overline{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$
  • $|Re(z)| \leq |z|$ và $|Im(z)| \leq |z|$

Công Thức Al-Kashi

• Cho $A$, $B$ và $C$ là ba điểm có affixes lần lượt là $a$, $b$ và $c$.
  • $AB = |b-a|$
  • $AC = |c-a|$
  • $BC = |c-b|$
  • $\frac{|c - b|^2 - |a - b|^2 - |a - c|^2}{2|a - b||a - c|} = \cos(\widehat{BAC})$