Statistik - Kapitel 3, Beschreibende Statistik, 30. März 2020

Statistik Kapitel 3: Beschreibende Statistik Prof. Dr. Peter Plappert Prof. Dr. Karin Melzer 30. März 2020 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben...

Statistik Kapitel 3: Beschreibende Statistik Prof. Dr. Peter Plappert Prof. Dr. Karin Melzer 30. März 2020 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Abschnitt 3 Statistische Kennzahlen für ein quantitatives Merkmal © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 35 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben 3.3 Statistische Kennzahlen für ein quantitatives Merkmal 3.3.1. Berechnung von Kennzahlen A): bei Vorliegen einer Messreihe 3.3.2. Berechnung von Kennzahlen B): bei Vorliegen von Messwerten mit Häufigkeiten 3.3.3. Berechnung von Kennzahlen C): bei Vorliegen einer Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung 3.3.4. Übungsaufgaben zu Kapitel 3.3 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 36 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Statistische Kennzahlen für quantitative Merkmale I Wir benutzen statistische Kennzahlen wie z. B. den Mittelwert, um große Datensätze durch einige wenige Zahlen zu beschreiben. I Lagemaße: I Geben an, wo die Messwerte im Mittel liegen. I (Lage: Wo liegen die Daten? æ Punkte) I Hier behandelte Lagemaße: arithmetischer Mittelwert; empirischer Median I Streuungsmaße: I Geben an, wie breit die Messwerte um den Mittelwert herum streuen. I (Streuung: Wie breit streuen die Daten? æ Abstände) I Hier behandelte Streuungsmaße: empirische Varianz, empirische Standardabweichung, Spannweite © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 37 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Unterabschnitt 1 Berechnung von Kennzahlen A): bei Vorliegen einer Messreihe © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 38 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Gegebene Daten In diesem Unterabschnitt betrachten wir folgende Situation: I Es ist eine Messreihe x1 ,... , xn gegeben, I n = Anzahl der Messwerte. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 39 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Arithmetischer Mittelwert x I Arithmetisches Mittel oder arithmetischer Mittelwert x: die Summe aller Messwerte wird durch die Anzahl der Messwerte dividiert. x1 +... + xn 1 1 ÿn x= = · (x1 +... + xn ) = · xi n n n i=1 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 40 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Empirischer Median x̃ I Empirischer Median x̃: Messwert, der bei Sortierung der Messreihe nach der Größe in der Mitte steht. I Bei gerader Anzahl von Messwerten: arithmetisches Mittel der beiden Messwerte in der Mitte. I Beispiele: Messreihe 1, 2, 5, 6, 9 1, 2, 5, 6, 9, 60 Empirischer Median x̃ 5 5,5 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 41 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Vergleich zwischen arithmetischem Mittelwert und Median I In vielen Situation benutzt man den arithmetischen Mittelwert x als Lagemaß. I Bei sehr ungleichmäßig verteilten Daten kann jedoch der Median sinnvoller sein, denn er wird viel weniger stark von extremen Daten (Ausreißern bzw. sehr großen oder sehr kleinen Werten) beeinflusst. I Beispiel: Messreihe 1, 2, 5, 6, 9 1, 2, 5, 6, 60 Empirischer Median x̃ 5 5 Arithmetischer Mittelwert x 4,6 14,8 In diesem Beispiel sieht man, dass bei einer Änderung des größten Messwertes von 9 auf 60 der Median den Wert 5 behält, der Mittelwert aber von 4,6 auf 14,8 anwächst. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 42 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Wozu benötigt man Streuungsmaße? I Um den Sinn von Streuungsmaßen zu erläutern, betrachten wir folgendes Beispiel. I Kontrolle von 20 Nageltüten mit der Aufschrift „100 Stück“ I Firma A: Inhalt 98 99 100 101 102 Häufigkeit 1 4 8 4 3 I Firma B: Inhalt 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Häufigkeit 1 2 2 2 4 3 3 1 2 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 43 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Wozu benötigt man Streuungsmaße? II 1·98+4·99+8·100+4·101+3·102 xA = 20 = 100,2 1·96+2·97+2·98+2·99+4·100+3·101+3·102+1·103+2·104 xB = 20 = 100,2 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 44 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Wozu benötigt man Streuungsmaße? III I Die beiden Stichproben haben den gleichen Mittelwert. I Stichprobe B weist jedoch eine viel größere Streuung auf als Stichprobe A. I Dieser Sachverhalt drücken Streuungsmaße aus. Für die beiden Stichproben erhalten wir (mit den Formeln, die auf Folien weiter hinten besprochen werden): I empirische Varianz bei Stichprobe A: s2A ¥ 1,22 empirische Varianz bei Stichprobe B: s2B ¥ 5,22 I empirische Standardabweichung bei Stichprobe A: sA ¥ 1,11 empirische Standardabweichung bei Stichprobe B: sB ¥ 2,28 I Spannweite bei Stichprobe A: RA = 4 Spannweite bei Stichprobe B: RB = 8 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 45 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Was sagen Standardabweichung bzw. Varianz aus? Wir sehen aus dem eben betrachteten Beispiel: I Ist die empirische Standardabweichung (bzw. empirische Varianz) klein, liegen viele Messwerte in der Nähe des Mittelwertes. I Ist sie groß, sind die Messwerte weiter vom Mittelwert entfernt. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 46 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Spannweite einer Messreihe R I Die Spannweite einer Messreihe R ist wie folgt definiert: R = xmax ≠ xmin xmax ist der größte Stichprobenwert/Messwert xmin ist der kleinste Stichprobenwert/Messwert I Sie gibt einen einfach zu berechnenden Überblick, über einen wie großen Bereich die gegebenen Daten verstreut sind. I Sie beruht aber nur auf zwei Messwerten (nämlich den größten und den kleinsten) und wird daher seltener benutzt als empirische Standardabweichung bzw. Varianz. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 47 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Empirische Varianz I Die empirische Varianz ist wie folgt definiert: Summe der quadrierten Abstände vom Mittelwert 2 s = Stichprobenumfang ≠ 1 I Die empirische Varianz gibt also die mittlere quadratische Abweichung der Messwerte von x an. CA n B D 2 1 n ÿ 2 1 ÿ s = · (xi ≠ x) = · x2i ≠ n · x2 n ≠ 1 i=1 n≠1 i=1 I Bei Berechnung von Hand ist die zweite Formel für s2 einfacher anzuwenden. Achtung: Hier muss man aber x mit sehr großer Genauigkeit berechnen! I Sinnvollerweise führt man jedoch die Berechnung nicht von Hand, sondern mit geeigneter Software (z. B. Excel) oder mit den Taschenrechner aus (Erläuterung siehe unten). © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 48 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Empirische Standardabweichung I Empirische Standardabweichung = Wurzel aus der empirischen Varianz. ı̂ ı̂ CA n B D Ô ı 1 n ÿ 2 ı 1 ÿ s= s =Ù 2 · (xi ≠ x) = Ù · x2i ≠ n · x2 n ≠ 1 i=1 n≠1 i=1 I Die empirische Standardabweichung hat dieselbe Dimension wie die gegebenen Messwerte. I Sind beispielsweise die Messwerte in der Einheit „Gramm“ angegeben, so gilt die empirische Standardabweichung auch die Einheit „Gramm“. I Die empirische Standardabweichung gibt in gewissem Sinne so etwas wie die durchschnittliche Abweichung vom arithmetischen Mittel an. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 49 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Bemerkungen zu empirischer Varianz und Standardabweichung I Varianz und Standardabweichung sind nie negativ: s Ø 0 und s2 Ø 0. I Je größer s bzw. s2 , desto breiter streuen die Daten. I Dies kann man zum Vergleich von Datensätzen benutzen, siehe das Beispiel (Nageltüten) oben. I Die Absolutwerte sind oft schwer zu interpretieren. I Um die gegenseitige Lage von n Zahlen zu charakterisieren, sind n ≠ 1 Abstände notwendig; daher die Division durch n ≠ 1. I Beispiel: Bei 4 der Größe nach geordneten Messwerten gibt es nur 3 Abstände. Abstand 1: zwischen x1 und x2 Abstand 2: zwischen x2 und x3 Abstand 3: zwischen x3 und x4 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 50 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Bemerkungen zur Berechnung von x, s2 und s I Nur in Ausnahmefällen wird man die Berechnung von x, s2 oder s tatsächlich mit den oben genannten Formeln durchführen. I Viel schneller und viel weniger fehlerträchtig ist es, die Datenreihe x1 ,... , xn nur ein einziges Mal in den Taschenrechner (TR) einzugeben und anschließend sowohl x als auch s über die eingebauten Taschenrechner-Funktionen abzurufen. I Daher ist unbedingt wichtig, dass Sie die Berechnung von Kennzahlen mit dem TR anhand der Beispiele gut üben. I Die beiden folgenden Folien zeigen, wie man eine Messreihe (ohne Häufigkeiten) eingibt und Kennzahlen abruft. I Sie finden sie auch auf Seite 5 der Datei mit den Bedienungshinweisen zum TR (in Moodle). © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 51 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Eingabe einer Messreihe ohne Häufigkeiten in den TR © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 52 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Abrufen von Kennzahlen einer Messreihe im TR © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 53 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen einer Messreihe ohne Häufigkeiten - Übung I Aufgabe 14 des Aufgabenblattes: (14) Gegeben ist die Messreihe 9, 13, 7, 5, 8. Berechnen Sie (a) den arithmetischen Mittelwert; (b) die empirische Varianz und empirische Standardabweichung. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 54 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen einer Messreihe ohne Häufigkeiten - Übung II Lösung mit dem TR: (14) Zunächst muss der STATISTIK-Modus aktiviert werden: [MODE][2:STAT][1:1-VAR]. Auf dem Display oben erscheint dann die Anzeige STAT. Ggf. muss die Spalte für die Häufigkeit deaktiviert werden: [SHIFT][SETUP][Ò][3:STAT][2:AUS] Messwerte eingeben, nach jedem Wert = eingeben. Wichtig: Die Eingabe mit [AC] beenden! 9 [=] 13 [=] 7 [=] 5 [=] 8 [=] [AC] © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 55 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen einer Messreihe ohne Häufigkeiten - Übung III I Abrufen der Kennzahlen: (a) Mittelwert: [SHIFT][1:STAT/DIST][4:Var][2:x][=] Dies ergibt: x = 8,4. (b) empirische Standardabweichung: [SHIFT][1:STAT/DIST][4:Var][4:sx][=] Dies ergibt: s ¥ 2,97. Wichtig: Der Taschenrechner berechnet die Standardabweichung, nicht die Varianz. Um die empirische Varianz zu erhalten, am besten direkt nach der Berechnung von s diesen Wert quadrieren: [ANS][x2 ][=] Dies ergibt: s2 = 8,8. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 56 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen einer Messreihe ohne Häufigkeiten - Übung I Aufgabe 15 des Aufgabenblattes: (15) Betrachten Sie die beiden Messreihen (a) 9, 13, 7, 5, 8; (b) 9, 13, 7, 5, 8, 20. Berechnen Sie jeweils den empirischen Median und die Spannweite. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 57 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen einer Messreihe ohne Häufigkeiten - Übung II Lösungsvorschlag: Hier wird kein Taschenrechner benötigt. (a) Messreihe der Größe nach geordnet: 5, 7, 8, 9, 13 ∆ x̃ = 8, R = 13 ≠ 5 = 8 (b) Messreihe der Größe nach geordnet: 5, 7, 8, 9, 13, 20 8+9 ∆ x̃ = = 8,5, R = 20 ≠ 5 = 15 2 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 58 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Unterabschnitt 2 Berechnung von Kennzahlen B): bei Vorliegen von Messwerten mit Häufigkeiten © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 59 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen bei Messwerten mit Häufigkeiten I I Es liegen Messwerte x1 ,... , xk mit zugehörigen beobachteten Häufigkeiten f1 ,... , fk vor. I Es sei n die Summe aller Häufigkeiten = Gesamtzahl aller Messungen. Merkmalsausprägung Absolute Häufigkeit x1 f1...... xk fk k q Summe n = fi i=1 I In den Formeln für x bzw. s2 müssen hier alle Summanden mit der jeweiligen Häufigkeit gewichtet (= multipliziert) werden. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 60 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen bei Messwerten mit Häufigkeiten II I Arithmetischer Mittelwert x bei Vorliegen von Messwerten mit Häufigkeiten: 1 1 ÿk x = · (f1 · x1 +... + fk · xk ) = · fi · xi n n i=1 k q I Anzahl der Messwerte: n = fi i=1 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 61 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen bei Messwerten mit Häufigkeiten III I Empirische Varianz s2 bei Vorliegen von Messwerten mit Häufigkeiten: CA k B D 2 1 k ÿ 2 1 ÿ s = · fi · (xi ≠ x) = · fi · x2i ≠ n · x2 n ≠ 1 i=1 n≠1 i=1 I Bei Berechnung von Hand ist die zweite Formel für s2 einfacher anzuwenden. Achtung: Hier muss man aber x mit sehr großer Genauigkeit berechnen! I Sinnvollerweise führt man jedoch die Berechnung nicht von Hand, sondern mit geeigneter Software (z. B. Excel) oder mit den Taschenrechner aus (Erläuterung siehe unten). © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 62 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen bei Messwerten mit Häufigkeiten IV I Die empirische Standardabweichung s ist immer definiert als die Wurzel aus der empirischen Varianz: Ô s = s2 I Bei Berechnung mit dem TR geht man jedoch umgekehrt vor. Der TR berechnet die Standardabweichung s, und die Varianz s2 erhält man dann durch Quadrieren. I Die folgenden drei Folien zeigen, wie man Messwerte mit Häufigkeiten eingibt und Kennzahlen abruft. Sie finden sie auch auf Seite 6 der Datei mit den Bedienungshinweisen zum TR (in Moodle). © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 63 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben TR-Eingabe einer Messreihe mit Häufigkeiten - Teil 1 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 64 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben TR-Eingabe einer Messreihe mit Häufigkeiten - Teil 2 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 65 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Abrufen von Kennzahlen einer Messreihe im TR © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 66 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen einer Messreihe mit Häufigkeiten - Übung I Aufgabe 18 des Aufgabenblattes: (18) Es liegt folgende Messreihe vor: 2 Werte 9,97 mm 38 Werte 10,00 mm 5 Werte 9,98 mm 21 Werte 10,01 mm 29 Werte 9,99 mm 5 Werte 10,02 mm Berechnen Sie (a) den arithmetischen Mittelwert, (b) die empirische Standardabweichung, (c) die empirische Varianz. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 67 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen einer Messreihe mit Häufigkeiten - Übung II Lösungsvorschlag zu Aufgabe 18: I Statistik-Modus aktivieren: [MODE][2:STAT][1:1-VAR]. I Spalte für die Eingabe der Häufigkeiten aktivieren: I [SHIFT][SETUP][Ò][3:STAT][1:EIN]. I Danach die Messwerte 9,97, 9,98, 9,99, 10,00, 10,01, 10,02 in die mit X überschriebene Spalte eingeben. I Die Häufigkeiten 2, 5, 29, 38, 21, 5 in die mit FREQ überschriebene Spalte eingeben. I Nach der Eingabe jeder Zahl [=] drücken. I Die Eingabe insgesamt mit [AC] beenden. I Das Abrufen der Kennzahlen erfolgt genauso wie bei Aufgabe 14 mit [SHIFT][1:STAT/DIST][4:Var] und anschließend [2:x][=] oder [4:sx][=]. Ergebnisse siehe nächste Seite. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 68 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen einer Messreihe mit Häufigkeiten - Übung III Ergebnisse von Aufgabe 18: (a) x = 9,9986 mm, (b) s ¥ 0,0103 mm und durch Quadrieren (c) s2 ¥ 0,0001071 mm2. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 69 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Unterabschnitt 3 Berechnung von Kennzahlen C): bei Vorliegen einer Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 70 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen bei Vorliegen einer Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung I Es ist eine Häufigkeitstabelle gegeben, z. B. entstanden durch Klasseneinteilung eines stetigen Merkmals. I Hier rechnet man so, als ob alle Messwerte in der Mitte der jeweiligen Klasse liegen, und verwendet dann dieselben Formeln wie im vorigen Unterabschnitt, wobei nur der i-te Messwert xi durch den Mittelpunkt mi der i-ten Klasse ersetzt werden muss. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 71 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen aus einer Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung - Übung I Aufgabe 20 des Aufgabenblattes: (20) Bei einer Maschine, die Drahtstücke schneidet, wurden bei einer Stichprobe von 30 Drahtstücken folgende Werte festgestellt: Klasse Länge im Intervall Anzahl (Nr.) [in mm] 1 (491; 495] 1 2 (495; 499] 10 3 (499; 503] 17 4 (503; 507] 2 Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, die empirische Varianz sowie die empirische Standardabweichung. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 72 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen aus einer Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung - Übung II Lösungsvorschlag: Klasse Länge im Intervall Anzahl Klassenmitte (Nr.) [in mm] 1 (491; 495] 1 493 2 (495; 499] 10 497 3 (499; 503] 17 501 4 (503; 507] 2 505 I Statistik-Modus aktivieren: [MODE][2:STAT][1:1-VAR]. I Spalte für die Eingabe der Häufigkeiten aktivieren: I [SHIFT][SETUP][Ò][3:STAT][1:EIN]. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 73 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Kennzahlen aus einer Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung - Übung III I Danach die Klassenmitten 493, 497, 501, 505 in die mit X überschriebene Spalte eingeben. I Die Häufigkeiten 1, 10, 17, 2 in die mit FREQ überschriebene Spalte eingeben. I Nach der Eingabe jeder Zahl [=] drücken. I Die Eingabe insgesamt mit [AC] beenden. I Das Abrufen der Kennzahlen erfolgt genauso wie den vorigen Aufgaben. (20) x ¥ 499,6667 mm, s ¥ 2,6436 mm sowie s2 ¥ 6,9885 mm2. © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 74 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Unterabschnitt 4 Übungsaufgaben zu Kapitel 3.3 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 75 / 165 3.1. Ziel 3.2. Darstellung 3.3. Kennzahlen für 1 Merkmal 3.4. 2 Merkmale 3.3.1 Kennzahlen A) 3.3.2 Kennzahlen B) 3.3.3 Kennzahlen C) 3.3.4 Übungsaufgaben Bitte bearbeiten Sie zur Übung selbständig die folgenden Aufgaben des Aufgabenblattes zu Kapitel 1-3. (Diese Aufgaben wurden in früheren Semestern als Hausübungen gestellt). I Aufgabe 16 I Aufgabe 17 I Aufgabe 19 I Aufgabe 21 I Aufgabe 22 © Plappert, Melzer, Helfrich-S., Ioffe 3. Kapitel 3 30. März 2020 76 / 165