Finančna Matematika 1 PDF

## FINANČNA MATEMATIKA ### 1. NAVADNI OBRESTNI RAČUN - Za denar, ki ga za določeno obdobje vložimo v banko, nam banka po preteku tega obdobja obračuna obresti. - Obresti so odvisne od: - G (glavnice) - **I**, **m** ali **d** (časa obrestovanja) - **p** (obrestne mere) - Osnovni obrazec...

## FINANČNA MATEMATIKA ### 1. NAVADNI OBRESTNI RAČUN - Za denar, ki ga za določeno obdobje vložimo v banko, nam banka po preteku tega obdobja obračuna obresti. - Obresti so odvisne od: - G (glavnice) - **I**, **m** ali **d** (časa obrestovanja) - **p** (obrestne mere) - Osnovni obrazec: **G = Go + o**, kje: - **G** = znesek po obrestovanju - **Go** = začetni znesek (glavnica) - **o** = obresti - Obresti za: - eno leto: **o = Gop / 100** - mesece: **o = Gop * mst / (1200)** - dneve: **o = Gop * st / (K, 365)** - K = 360, 365 ali 366 - Velja tudi: - (K, 360): Za leto vzamemo 360 dni, za mesec pa 30 dni. - (30,360): Za leto vzamemo 360 dni, za mesec pa 30 dni. Za leto uporabimo 360 dni za izračun obresti - (K, 360) ali (30, 360): Normirana leta in meseci. - Pomembno je, da se dogovorimo, ali je osnova za izračun obresti sedanja (začetna) ali končna vrednost glavnice, ali delamo na dekurzivni ali anticipativni način. - Dekurzivno obrestovanje: Obresti obračunamo po preteku ustreznega obdobja za nazaj. Go = Goto - Anticipativno obrestovanje: Obresti obračunamo in odvzamemo od glavnice že na začetku obrestovalnega obdobja. Go - o = Go - Izhodišče za izračun obresti: - Dekurzivno obrestovanje: Začetna vrednost glavnice Go - Anticipativno obrestovanje: Končna vrednost glavnice G ### 2. OBRESTNO OBRESTNI RAČUN - Predpostavimo, da je obrestovanje dekurzivno, kapitalizacija pa letna. - Navaden obrestni račun: **Gn = Go(1+ p/100)**, kje: - **Gn** - vrednost glavnice po n letih - **Go** - začetni znesek - **p** - obrestna mera. - Za obrestno obrestni račun uporabimo obrestovalni faktor **r = 1 + p/100**. Potem velja: - Vrednost glavnice po enem letu: G1 = Go + Go * p / 100 = Go * (1 + p / 100) - Vrednost glavnice po dveh letih: G2 = G1 + G1 * p / 100 = G1 *(1 + p / 100) = Go * (1 + p / 100)² - Vrednost glavnice po **n** letih: **Gn = Go (1 + p / 100)**ⁿ = **Go * r**ⁿ - **Gn = Go * r**ⁿ - Glavnica torej narašča eksponentno. - **Diskontiranje** pomeni preračunavanje vrednosti glavnice na začetni moment. Znesek na začetku, da bi čez n let imeli Gn Zato velja Go = Gn / r**ⁿ**. - Zgled: Izračunaj vrednost postnumerandnih letnih vplačil skozi 10 let, reduciranih na konec 10. leta, če banka uporablja obrestno obrestni račun, p% letno obrestno mero in letno kapitalizacijo. - Vplačilo se dogaja ob koncu leta. - Gx = a * (r¹⁰ + r⁹ + r⁸ + ........ + r²) - To je geometrijska vsota. Geometrijska vsota: a * (1-rⁿ ) / (1-r) ### 3. PRESOJA UPRAVIČENOSTI INVESTICIJ - **Neto sedanja vrednost (NSV)** je ena od meril smiselnosti investicijskega projekta. - Dobimo jo tako, da vse bodoče donose reduciramo na začetni trenutek in od tako dobljene vrednosti odštejemo investicijski vložek. - **NSV(p) = D₁/r¹ + D₂/r² +......+ Dn/rⁿ - I₀**. - D - donos - I₀ - investicijski vložek - r - diskontni faktor. - Višina **NSV** je odvisna od **diskontne stopnje** p oz. pripadajočega **diskontnega faktorja** **r**. - **Interna stopnja donosnosti (ISD)** je diskontna stopnja, pri kateri je **NSV** investicije enaka **0**. - Zgled: Izračunajte **NSV** pri diskontni stopnji 7% p.a. in pri 14% p.a. - Za 7% p.a., za 14% p.a. ### 4. ZVEZNO OBRESTOVAJE - **Zvezno obrestovanje** pomeni prehod od kapitalizacije obresti v končno mnogih trenutkih na neprestano oz. zvezno obrestovanje. - Z naraščanjem parametra **m**, ki meri delež kapitalizacijskega obdobja v enem letu, letni obrestovalni faktor konvergira k: **er¹⁰⁰**. - **Zvezno obrestovanje:** **Gn = Go(e¹⁰⁰)**. - **Zvezno diskontiranje:** **G_t = Go(e¹⁰⁰)**. ### 5. AMORTIZACIJA KREDITOV - Amortizacija kredita pomeni odplačevanje le-tega, amorfizacijski načrt pomeni načrt vračanja posojila. - Načrt vračanja posojila se omejuje na dekurzivno obrestovanje. - **Anuitete** so zneski, s katerimi dolžnik amortizira posojilo. - Vsaka anuiteta je sestavljena iz dveh delov, obresti in razdolžnine. - **Obresti** se obračunajo za obdobje med dvema zaporednima anuitetama in od osnove, ki jo predstavlja ostanek dolga. Ko od zneska anuitete odštejemo obresti, dobimo znesek "neto odplačila" oziroma razdolžnino. - Banke uporabljajo dva načina za izračun anuitete, ki jo kreditojemalec periodično vrača. - **Obročni način:** - Fiksna razdolžnina (toliki del začetnega dolga, kolikor je obrokov), - Na ta znesek se vsakič dodajo obresti. - Skupni znesek, ki se periodično plačuje, seveda pada, saj se dodajajo čedalje manjše obresti. - **Anuitetni način:** - Fiksna anuiteta (kreditojemalec odplača posojilo z določenim številom enakih zneskov), - Znotraj tako določenega zneska - anuitete - se potem spreminja struktura, povečuje se delež razdolžnine in zmanjšuje delež obresti, ki seveda padajo, saj se zaračunavajo od vedno manjšega ostanka dolga. - **Amortizacijski načrt** je tabela, ki prikazuje znesek posamezne anuitete, obresti in razdolžnine ter ostanek dolga. - Zgled: Izračunajte anuiteto za dolg 300.000 d.e., ki ga moramo vrniti s tremi letnimi posnumerandnimi vračili, z enakimi anuitetami. ## MATEMATIKA ZA POSLOVNE IN EKONOMSKE VEDE ### Matrike, determinante - **Sistem m linearnih enačb z n neznankami** je nabor enačb: **a11X1 + a12×2 + a13x3 + ... + a1nXn = b1**, **a21X1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nXn = b2**, **a31X1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nXn = b3**, ..., **am1X1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnXn = bm**, kjer so **aij ∈ R** koeficienti, **X1, X2 ..., Xn** so neznanke, **b1, b2..., bm** pa so desne strani. - **Matrika** velikosti **mxn** je tabela **mn** števil: - **Sestavljena** je iz **m vrstic** in **n stolpcev**. - **Elementi** so posamezna števila. - **Krajše:** - A = [aij]mxn ali A = [aij]i=1...m, j=1...n ### Računanje z matrikami: - **Seštevanje:** Matriki iste velikosti lahko seštejemo. Vsoto dobimo tako, da seštejemo istoležne elemente. **[aij]mxn+ [bij]mxn = [aij + bij]mxn**. - **Množenje s številom (skalarjem):** Matriko lahko pomnožimo s številom tako, da s številom pomnožimo vse elemente matrike. **[aij]mxn = [aaij]mxn**. - **Nasprotna matrika:** Je matrika pomnožena s številom -1. **A = [aij]mxn, -A = (−1) · A = [−aij]mxn.** - **Ničelna matrika:** Je matrika sestavljena iz samih ničel. **0 = [0]mxn**. - **Množenje matrik:** - Matriki se lahko zmnožita, če ima prva matrika toliko stolpcev, kot ima druga vrstic. - Elementi produkta so skalarni produkti vrstic prvega faktorja in stolpcev drugega faktorja. - Produkt ima liko vrstic, kot ima prvi faktor vrstic, in toliko stolpcev, kot ima drugi faktor stolpcev. - **Množenje NI komutativno:** **AB ≠ BA** - **Množenje matrike z enim samim elementom:** Med matriko z enim samim elementom in tem elementom ne razlikuemo **[a] = a**. ### Sistem m linearnih enačb z n neznankami: - Lahko napišemo v matrični obliki: **Ax = b**, kjer je **A** matrika sistema, **x** stolpec neznank, **b** pa stolpec desnih strani. - **Lastnosti množenja matrik:** - **Asociativnost:** **(AB)C = A(BC)** - **Distirbutivnost:** **A(B + C) = AB + AC** - **Še ena distributivnost:** **(A + B)C = AC + BC** - **Homogenost:** **α(ΑΒ) = (αΑ)Β = A(aB)** ### Determinante - **Determinanta** je preslikava, ki vsaki kvadratni matriki velikosti n x n priredi število. - **Determinanta velikonoti 2 x 2:** **a11a22 - a12a21** - **Determinanta velikosti 3 × 3:** - a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31 - **Determinanto velikosti 3 × 3** najlaže izračunamo tako, da dopišemo prva dva stolpca in pomnožimo po diagonalah (4+8 + 9 - 3 - 0 - 24 = 6). - **Determinanta velikosti 4 × 4:** 24 členov (12+, 12-). - **Determinanta sistema** n linearnih enačb z n neznankami: - **Izrek (Cramerjevo pravilo):** - Sistem n linearnih enačb z n neznankami je enolično rešljiv natanko takrat, ko je determinanta sistema D ≠ 0. - Rešitev sistema je: **xk = Dk/D**, k = 1, 2, ..., n, kjer je **Dk** determinanta, ki jo dobimo iz D tako, da k-ti stolpec zamenjamo s stolpcem desnih strani. - **Rang matrike A** je velikost njene največje neničelne poddeterminante. - Rang matrike se ne spremeni, če: - Zamenjamo dve vrstici, - Vrstico pomnožimo z neničelnim številom, - Prištejemo (ali odštejemo) večkratnik ene vrstice k drugi vrstici. - To so **elementarne transformacije.** - Matriki A in B sta ekvivalentni, A ~ B, če lahko dobimo eno iz druge s pomočjo elementarnih transformacij. - Ekvivalentni matriki imata enak rang. - **Vsako matriko A lahko s pomočjo elementarnih tranformacij preoblikujemo tako, da za preoblikovano matriko velja:** - V vsaki neničelni vrstici je prvi neničelni element z leve enak 1, ta element se imenuje pivot. - Če je v matriki kaka vrstica ničelna, potem so vse naslednje vrstice tudi ničelne. - Če je v matriki kaka vrstica neničelna, potem je leži njen pivot bolj desno kot pivot v prejšnji vrstici. - Če j e v kakem stolpcu pivot, potem je to v tem stolpcu edini neničelni element. - Tako preoblikovana matrika je ekvivalentna prvotni matriki A in se imenuje **vrstična kanonična forma** matrike A. - Rang matrike je enak številu pivotov v njena vrstični kanonični formi. - **Kofaktor** elementa **aij** je **Aij = (−1)i+j ∆ij**. - **Razvoj determinante po vrstici** pomeni, da je determinanta enaka vsoti produktov elementa in njegovega kofaktorja, seštetih po poljubni vrstici. - Razvoj determinante je možno narediti tudi po stoplcu. ### Kombinatorika - Tipične kombinatorične naloge sprašujejo po številu različnih razporeditev oziroma po tem, koliko odločitev imamo pri odločanju v več fazah. - **Osnovn izrek kombinatorike:** - Kadar je kakšna odločitev sestavljena iz več faz (denimo, da jih je k) in so možnosti izbiranja v posameznih fazah neodvisne od sprejetih dločitev v prejšnjih fazah, je število vseh možnosti enako produktu števil možnih odločitev v posameznih fazah: **n = n₁N2... Nk** - **Permutacije:** - Upoštevamo vse elemente množice, zanima nas vrstni red, razlikujemo permutacije brez ponavljanja in s ponavljanjem. - **Permutacije brez ponavljanja:** **Pn = n(n-1) (n − 2) ……… 1 = n!** - **Permutacije s ponavljanjem:** **P(k1,k2....kr)n = n! / (k₁! k2!... kr!)** - **Variacije:** - Upoštevamo le nekatere elemente množice, zanima nas vrstni red, razlikujemo variacije brez ponavljanja in s ponavljanjem. - **Variacije brez ponavljanja:** **V(r)n = n(n-1)………… (n -r + 1) = n! / (n-r)!** - **Variacije s ponavljanjem:** **(p)V(r)n = n * n * ... * n = nr** - **Kombinacije:** - Upoštevamo le nekatere elemente množice, vrstni red ni važen, razlikujemo kombinacije brez ponavljanja in s ponavljanjem. - **Kombinacije brez ponavljanja:** **C(r)n = n! / (r! (n-r)!)** - **Kombinacije s ponavljanjem:** **(p)C(r)n = Cn+r-1 = (n+r-1)! / (r! (n-1)!)** - **Vezane kombinacije:** - Pogosto izbiramo vzorce iz množice, razdeljene na več med seboj tujih (disjunktnih) podmnožic. - Na primer, iz množice z M elementi izberemo m elementov, iz množice z N elementi izberemo n elementov, - Tedaj število vseh načinov izračunamo po obrazcu: **(m,n,....p)/(M,N,...,P) = (M/m) * (N/n) * ... * (P/p)** ### Rang matrike - Rang matrike A je velikost njene največje neničelne poddeterminante. - Rang matrike se ne spremeni, če: - Zamenjamo dve vrstici, - Vrstico pomnožimo z neničelnim številom, - Prištejemo (ali odštejemo) večkratnik ene vrstice k drugi vrstici. - Te transformacije se imenujejo elementarne transformacije. - Matriki A in B sta ekvivalenti, A ~ B, če lahko dobimo eno iz druge s pomočjo elementarnih transformacij. - Ekvivalentni matriki imata enak rang. - Vsako matriko A lahko s pomočjo elementarnih transformacij preoblikujemo tako, da za preoblikovano matriko velja: - V vsaki neničelni vrstici je prvi neničelni element z leve enak 1, ta element se imenuje pivot. - Če je v matriki kaka vrstica ničelna, potem so vse naslednje vrstice tudi ničelne. - Če je v matriki kaka vrstica neničelna, potem je leži njen pivot bolj desno kot pivot v prejšnji vrstici. - Če je v kakem stolpcu pivot, potem je to v tem stolpcu edini neničelni element. - Tako preoblikovana matrika je ekvivalentna prvotni matriki A in se imenuje **vrstična kanonična forma** matrike A. - Rang matrike je enak številu pivotov v njeni vrstični kanonični formi. Scanned with CamScanner ==End of OCR for page 37==