Electrodinámica PDF - Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales - September 6, 2021

Electrodinámica Grado en Ingenierı́a de Tecnologı́as Industriales September 6, 2021 Contenido 1. Electrodinámica Ley de Faraday. Inductancia mutua, autoinducción. Circuitos magnéticos acoplados: el t...

Electrodinámica Grado en Ingenierı́a de Tecnologı́as Industriales September 6, 2021 Contenido 1. Electrodinámica Ley de Faraday. Inductancia mutua, autoinducción. Circuitos magnéticos acoplados: el transformador. Energı́a magnética en bobinas y corrientes de Foucault. Fuerzas y momentos de rotación sobre circuitos (rı́gidos). Estas notas recogen los conocimientos básicos de la teorı́a del electromagnetismo impartida en la asignatura FEM. El lector interesado en profundizar en la teorı́a del electromagnetismo puede consultar los libros: Introduction to electrodynamics, D.J. Griffiths, Fundamentos de la teorı́a elec- tromagnética, Reitz et al., o A student’s guide to Maxwell’s equations. Las ilustraciones que aparecen en estas notas han sido extraı́das en su mayorı́a de estos libros. 1 Figure 1: Ilustración de la fem originada en tres situaciones diferentes: (a) Circuito que se desplaza con velocidad v sobre un campo magnético uniforme (este puede corresponder al diagrama de un generador eléctrico simple), (b) el circuito anterior descrito desde el sistema de referencia donde el circuito está en reposo, y (c) circuito en reposo en presencia de un campo magnético que varı́a en el tiempo. Mientras que en la situación (a) la corriente inducida es debido a una fem de movimiento, las situaciones (b) y (c) están descritas por la ley de Faraday. En todas la situaciones se considera que el campo magnético B ~ es perpendicular al plano circuito y con sentido penetrando hacia la página. 1 Electrodinámica Hasta ahora hemos considerado el campo magnético constante en el tiempo generado por corrientes estacionarias (que permanecen constante en el tiempo). Aprendimos que el campo magnético debido a un circuito de corriente continua se puede determinar a partir de la ley de Biot-Savart, y en situaciones de gran simetrı́a (p. ej. en una espira o toroide) podemos emplear la ley de Ampère. En esta sección consideramos la situación más general donde el campo magnético puede variar en el tiempo. Faraday descubrió en el siglo XIX que un campo magnético cambiante en el tiempo inducı́a un campo eléctrico (no conservativo), y por tanto, una corriente eléctrica en un circuito cerrado. Esto es conocido como ley de Faraday de la inducción electromagnética, y supone el resultado más importante de este capı́tulo. 1.1 Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Veamos ahora el concepto de fuerza electromotriz (fem). Este concepto se empleó para referirse al trabajo realizado (por unidad de carga) por una fuente de alimentación para mover cargas en un circuito cerrado de corriente continua. Dado una curva cerrada o contorno C, la fem se define formalmente como I E= ~ · d~l, E C ~ un campo eléctrico. Es importante notar aquı́ que C puede describir el contorno de un siendo E hilo conductor o circuito, o simplemente una curva cerrada en el espacio. En una baterı́a la E tiene su origen en una fuerza quı́mica o en una fuerza mecánica en el caso de los generadores eléctricos estándar. Es importante darse cuenta que la fem debida a un campo electrostático ~ electrostático es nula, debido a que el campo electrostático realiza un trabajo conservativo y, por E tanto, la integral de lı́nea a lo largo de una curva cerrada es nula (ver las notas de análisis vectorial), 2  Figure 2: Ilustración de una fem inducida en una región del espacio en ausencia de conductor. i.e. I ~ electrostático · d~l = 0. E C Esto significa que solo los campo eléctricos no conservativos dan lugar a una fem no nula, precisa- mente los que genera un campo magnético variante de acuerdo con la ley de Farday. Serı́a Maxwell quién formalizarı́a la ley de inducción de Faraday: La variación de flujo magnético a través de una superficie origina una fem E tal que se cumple I E= ~ · d~l = − dφm , E (1) C dt donde φm es el flujo magnético a través de la superficie S que encierra el contorno C. Es importante notar que C es la curva que encierra la superficie por la que varı́a el campo magnético en el tiempo, independientemente si describe o no el contorno de un hilo conductor o de un circuito. Por ejemplo, consideremos la situación ilustrada por la figura (2), donde se aprecia una región del espacio (en ausencia de conductores) por la que varı́a temporalmente un flujo magnético. De acuerdo con la ley de Faraday se induce una fem E alrededor de cualquier curva cerrada de radio s que incluya el flujo y, por tanto, un campo eléctrico (no conservativo) que es tangencial a la curva debido a la simetrı́a del problema, i.e. E~ = |E| ~ φ̂. Aplicando la expresión (1) podemos determinar el campo eléctrico inducido a lo largo de la curva de radio s: I ~ · d~l = dφm E − C dt ~ d(πs2 |B(t)|) ~ = 2πs|E| − dt ~ s d|B(t)| ~ = |E| −. 2 dt Recordando que el vector unitario φ̂ tiene sentido opuesto a las agujas del reloj (ver las notas en análisis vectorial), de este resultado se observa que el campo eléctrico inducido tiene sentido de las agujas del reloj cuando el campo magnético crece. La expresión (1) es la ley de Faraday en forma integral. De igual manera, se puede expresar 3 en forma diferencial haciendo uso del teorema de Stokes (ver las notas en análisis vectorial) para convertir la integral de lı́nea en una integral de superficie: ! Z Z Z ~ E= ~ · d~s = − d ∇×E ~ · d~s B =− ∂B · d~s, S dt S S ∂t ~ ∂B ~ ∇×E = − , ∂t donde hemos supuesto que el contorno C es rı́gido y la orientación de S no varı́a. Esta expresión es conocida como la tercera ecuación de Maxwell. Importante, para una correcta aplicación de la ley de Faraday hay que escoger el sentido de recorrido del campo eléctrico en la integral de lı́nea sobre C el que marca el vector superficie d~s de acuerdo con la regla de la mano derecha: el pulgar indica el sentido de d~s y el resto de los dedos del puño indican el sentido de circulación del campo eléctrico. Importante, veremos en la sección (1.1.2) que un flujo magnético puede cambiar debido a la variación u orientación de la superficie S como consecuencia del movimiento de los elementos de un circuito. Esta situación también genera una fem y un campo eléctrico (no conservativo) que satisface la expresión (1). Por ejemplo, esta es la situación (a) en la ilustración (1): el origen de la fem es debido al desplazamiento del circuito hacia la derecha en el seno de un campo magnético constante en cierta región del espacio (este diagrama podrı́a representar un generador eléctrico básico). Sin embargo, el origen de la fem producida por movimiento es distinto formalmente al que determina la ley de Faraday. Con el fin de evitar confusión, nos referiremos a la ley de Faraday siempre y cuando se genera un campo eléctrico debido a la variación de un campo magnético: por ejemplo, esto corresponderı́a con las situaciones (b) y (c) de la ilustración (1). Como aplicación de la ley de Faraday para determinar la corriente inducida en un circuito, vamos a estudiar la situación (b) de la figura (1) con más detenimiento. En este caso el circuito permanece en reposo mientras que el campo magnético se desplaza hacia la izquierda con una velocidad v. Consideramos que el circuito tiene lado l y está sumergido una profundidad L − vt en un instante t en la región que el campo magnético es no nulo. Entonces la superficie del circuito que solapa ~ = l(L − vt), y el flujo magnético a través del circuito con la región de campo magnético es |S| ~ ~ ~ es φm = B · n̂|S| = |B|l(L − vt). Aquı́ es importante notar que n̂ se ha escogido con el sentido penetrando en la página, esto significa que al calcular la circulación del campo eléctrico a través del circuito hemos escogido el sentido de las agujas del reloj de acuerdo con la regla de la mano derecha. Aplicando la ley de Faraday (1) obtenemos la fem inducida, ~ d(|B|l(L − vt)) E =− ~ = |B|lv, dt que al ser positiva indica que la corriente inducida tiene el mismo sentido que hemos tomado para calcular la circulación del campo eléctrico inducido, en este caso el sentido de las agujas del reloj. Si suponemos que el circuito contiene una resistencia R, la corriente inducida se deduce de aplicar la ley de Ohm, E ~ |B|lv I= = , R R 4 y tendrá sentido de las agujas del reloj como determina la fem. Es importante notar que la elección de n̂ cuando calculamos el flujo magnético define el sentido de circulación del campo eléctrico inducido en la integral de lı́nea de la expresión (1) a través de la regla de la mano derecha. Si E resulta positiva de aplicar la ley de Faraday, la corriente inducida tendrá el mismo sentido. En caso contrario, la corriente inducida tendrá sentido contrario al que determina la regla de la mano derecha cuando escogemos el vector normal n̂. En la práctica, determinar el sentido de la corriente inducida puede conducir a confusión, para evitar esto podemos utilizar la ley de Lenz que introducimos en la siguiente sección. 1.1.1 Ley de Lenz El signo negativo de la ley de Faraday (1) nos dice que la corriente eléctrica inducida fluye en la dirección que genera un flujo que tiende a contrarrestar el cambio, esto es conocido como ley de Lenz. En palabras podemos expresar la ley de Lenz como: La fem y la corriente inducidas poseen una dirección tal que tienden a oponerse a la variación que las produce. También se puede enunciar la ley de Lenz en términos del flujo magnético: Cuando se produce una variación del flujo magnético que atraviesa una superficie, el campo magnético debido a la corriente inducida genera un flujo magnético sobre la misma que se opone a dicha variación. La aplicación de la ley de Lenz se reduce a determinar el sentido de la corriente inducida. Por ejemplo, supongamos el montaje ilustrado en la figura (3), donde se aprecia una espira y una barra cilı́ndrica que representa un imán. Cuando el imán se mueve hacia la espira (significa que la velocidad v tiene sentido hacia la izquierda) hace crecer el flujo magnético por ella. La ley de Lenz determina que la corriente inducida en la espira será en sentido de las agujas del reloj para que se genere un flujo magnético opuesto que contrarreste el aumento inicial en el flujo magnético. De igual manera, cuando el imán se aleja de la espira (significa que la velocidad v tiene sentido hacia la derecha), el flujo disminuye y la ley de Lenz dictamina que la corriente eléctrica inducida debe ser en sentido contrario a las agujas del reloj para contrarrestar la disminución en el flujo. De manera similar ocurre en el ejemplo ilustrado por la figura (2) en ausencia de conductores: el campo eléctrico inducido tiene sentido de las agujas del reloj cuando el campo magnético aumenta, y viceversa. Finalmente analicemos con la ley de Lenz la situación (b) de la figura (1) estudiada en la sección anterior. Claramente el desplazamiento hacia izquierdas del campo magnético origina que el flujo magnético que atraviesa el circuito disminuya. De acuerdo con la ley de Lenz, la corriente inducida debe generar un campo magnético que aumente el flujo a través del circuito para contrarrestar esta disminución. De acuerdo con la regla de la mano derecha para determinar el sentido del campo magnético generado por las corrientes inducidas, la corriente debe tener el sentido horario. Este resultado es consistente con nuestro anterior análisis. 1.1.2 Fuerza electromotriz de movimiento Supongamos el montaje experimental de la figura (4): un circuito conductor compuesto por una parte rı́gida en forma de U y una varilla conductora de longitud l que se mueve con una velocidad v hacia la derecha en el seno de un campo magnético B ~ constante perpendicular al plano del circuito 5 Figure 3: Ilustración de la ley de Lenz. Se aprecia una espira y una barra cilı́ndrica que representa un imán. y que penetra hacia la página. Este diagrama podrı́a representar un generador eléctrico primitivo. A primera vista podemos observar que, como resultado del movimiento de la varilla, aparece una fuerza magnética |F~L | = qv|B| ~ sobre los portadores de carga de la varilla que hace que se desplacen hacia arriba dando lugar a una corriente I sobre el circuito con sentido antihorario. Por otro lado, la superficie del circuito varı́a con el tiempo t y, por tanto, el flujo magnético a través de ella también: φm = B ~ ·S ~ = |B|lvt, ~ ~ es la superficie encerrada por el circuito y su sentido es hacia dentro de la donde la magnitud de S página. Como anticipamos en la Sec.1.1, esto genera una fem y una corriente a través del circuito cuyo origen es formalmente diferente al de la ley de Faraday. Sin embargo, la misma expresión (1) en términos del flujo es válida para determinar la fem inducida en este caso: dφm E =− , (2) dt ~ que para el circuito ilustrado en la figura (4) devuelve E = |B|lv. La expresión (2) es conocido como la regla del flujo de la fuerza electromotriz de movimiento y es válida en general (p. ej. el circuito puede tener cualquier geometrı́a y rotar en vez de desplazarse). El sentido de la fem se puede determinar utilizando la ley de Lenz: La corriente I inducida en la varilla tendrá un sentido tal que la fuerza magnética F~m = I~l × B ~ (no confundir con la fuerza anterior F~L ) sufrida por la varilla se opondrá a la dirección de su movimiento inicial. Es decir, si la varilla se desplaza hacia derechas, la fuerza magnética F~m que sufre la varilla debido a la corriente inducida será hacia la izquierda con el fin de disminuir la velocidad v y terminar frenando la varilla. Aplicando la regla de la mano derecha a la fuerza magnética F~m , deducimos que la corriente inducida debe ser en sentido antihorario. Esto es consistente con nuestra primera observación sobre el sentido de la corriente producida por el desplazamiento de los portadores de carga en la varilla debido a la fuerza magnética F~L. Si queremos mantener la corriente I en el circuito, la velocidad v debe permanecer constante. Esto significa que debe existir un agente externo que aplique sobre la varilla una fuerza F~ext de igual magnitud y en sentido opuesto a F~m para contrarrestar el arrastre magnético que sufre la varilla. Importante, a pesar de que la fuerza magnética es la responsable del movimiento de los portadores de carga, no produce ningún trabajo sobre ellos (recordar que las fuerzas magnéticas no realizan 6 Figure 4: Ilustración de la fem originada por una fuerza electromotriz de movimiento. Aunque el campo magnético no está ilustrado, se considera perpendicular al plano del circuito y con el sentido hacia dentro de la página. trabajo). El trabajo es realizado por el agente externo que aplica la fuerza qu permite mantener la velocidad constante de la varilla. Por conservación de la energı́a, el trabajo realizado por el agente externo Wext por unidad de carga es igual a la fem inducida, i.e. Wext = qE. Esto resultado es consistente con la definición de fem introducida en el bloque de electricidad. Aunque la fem inducida está determinada por la misma ecuación (1), en este caso el origen de la fem no es debido a un cambio del campo magnético como ocurre en la ley de Faraday introducida en la Sec.1.1, sino por un movimiento de los elementos del circuito. Para diferenciar estas dos situaciones, definimos la fem de movimiento como toda fem inducida por el movimiento de un conductor en el seno de un campo magnético. El ejemplo más prominente es el generador eléctrico que convierte energı́a mecánica (p. ej. del movimiento de elementos del circuito) en energı́a eléctrica. 7 Ejercicio 2 de la hoja 4.1 de problemas: Un hilo recto largo es paralelo al eje y pasando por el punto z = h sobre el eje z. Una corriente I circula por este hilo, regresando por un conductor remoto cuyo campo puede despreciarse. En el plano xy hay una espira cuadrada con dos de sus lados, de longitud b, paralelos al hilo largo. Esta espira se desplaza a celeridad constante en la dirección y sentido ~i. Determinar el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira en el instante en que el centro de tal espira cruza el eje y. Solución: Primero debemos calcular el campo magnético generado por el hilo de corriente paralelo al eje y. Nuestra experiencia previa sugiere que el campo magnético generado es √ circular con respecto al hilo y uniforme para un distancia s = x2 + h2. Esta simetrı́a cilı́ndrica nos permite utilizar la ley de Ampère para una superficie circular de radio r: I ~ · d~l = B µ0 I, Z 2π ~ sdφ = |B| µ0 I 0 ~ = µ0 I |B|. 2πs Además, utilizando trigonometrı́a podemos determinar la dirección del campo magnético en un punto P (x, y) del plano XY conociendo el ángulo φ con respecto al eje Z y centro en el hilo conductor, h x cos φ = √ , sin φ = √ , h2 + x2 h2 + x2 además sabemos que el conductor tiene la dirección del eje y negativa, entonces el campo magnético es, ~ = µ0 I ĵ × (sin φ î − cos φ k̂) = µ0 I (− cos φ î − sin φ k̂).
B 2πs 2πs Ahora calculamos el flujo magnético a través de la espira en un instante dado. Para ello suponemos que la espira cuadrada ha recorrido una distancia vt con respecto al eje Y y escogemos el vector unitario superficie n̂ = k̂, entonces el flujo viene dado por, Z −(b−vt) Z b Z −(b−vt) bµ I Φ = ~ · (dxdy k̂) = − B √ 0 sin φ dx vt 0 −vt 2π h2 + x2 −(b−vt) (vt)2 + h2 Z   bµ0 I x bµ0 I = dx = − log. 2π −vt h2 + x2 4π h2 + (b − vt)2 Entonces la fem inducida es,   bµ0 Iv vt b − vt E= +. 2π (vt)2 + h2 h2 + (b − vt)2 En el instante en que el eje central de la espira se encuentra en el eje Y se cumple vt = b/2, sustituyendo este valor en la expresión para la fem se obtiene, 2µ0 b2 Iv E= 8. π(4h2 + b2 ) Podemos apreciar que para h = 0 recuperamos el resultado esperado para flujo magnético debido a un conductor en el mismo plano de la espira. Ejercicio 7 de la hoja 4.1 de problemas: Una cuerda de guitarra tensa pasa a través del entrehierro de un pequeño imán, donde la intensidad del campo es de 0.5T. La longitud del hilo dentro del entrehierro es de 1.8 cm. Calcular la amplitud del voltaje de corriente alterna inducido cuando el hilo vibra a su frecuencia fundamental de 2000 Hz con una amplitud de 0.03 cm. Solución: Suponemos que las cuerda describe un movimiento armónico simple, x(t) = A sin(ωt). En su movimiento el hilo describe una superficie cuya área es x(t)l. En presencia del campo magnético, dicha superficie genera un flujo magnético variable debido al fenómeno de fem de movimiento, que da lugar a una corriente eléctrica. Suponiendo el campo magnético uniforme, un elemento infinitesimal del flujo magnético que atraviesa la superficie descrita por el hilo (en su movimiento oscilatorio) viene dado por ~ dΦ = |B|ldx ~ = |B|l(−A)ω sin(ωt)dt, por tanto, la variación de flujo es, dΦ |E| = | | = 0.5 0.018 0.0003 2π 2000 sin(2π 2000t) = 34 mV. dt De aquı́ se deduce que la amplitud de la fem es 34 mV. 9 Ejercicio 3 de la hoja 4.1 de problemas: Calcúlese la fuerza electromotriz en la espira móvil de la figura en el instante en que su posición es la indicada. Supóngase que la resistencia de la espira es tan grande que el efecto de la corriente en la propia espira es despreciable. Calcúlese aproximadamente cuánto deberı́a valer esta resistencia, para que ocurriera lo dicho. Indı́quese el sentido de la corriente en la espira en el instante considerado. v = 15m/s, I = 100A. Solución: Aplicando la ley de Ampère podemos deducir el campo magnético debido al hilo conductor rectilı́neo a una distancia s, ~ = µ0 I |B|. 2πs Por tanto el flujo a través de la superficie que contiene la espira es, Z s Z vt+a ~ µ0 Ib ds µ0 Ib  vt + a  Φ=l 2 |B|ds = = ln , s1 2π vt s 2π vt donde b = 8cm y a = 10cm. Aplicando la ley de Faraday obtenemos la fem, dΦ µ0 Ib  1 1 E =− =v − V. dt 2π vt + a a Sustituyendo para t = 0.15/vs obtenemos el valor de la fem en el instante de interés. Apli- cando la ley de Lenz podemos ver que el sentido de la corriente inducida serı́a en contra de las agujas del reloj. Además, para que la fem no produjera ningún efecto, la resistencia de la espira debe ser siguiendo la ley de Ohm, µ0 b  1 1 v −