Estructuras Algebraicas PDF

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Apuntes tomados por: Roberto Tomé Grasa Hecho por: Óscar Carballal Sobrido Madrid, 2019 Las palabras en color magenta contienen enlaces dentro del propio documento. El funcionamiento de estas referencias cruzadas es correcto en lecto...

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Apuntes tomados por: Roberto Tomé Grasa Hecho por: Óscar Carballal Sobrido Madrid, 2019 Las palabras en color magenta contienen enlaces dentro del propio documento. El funcionamiento de estas referencias cruzadas es correcto en lectores.pdf como Adobe Reader. Sin embargo, puede no serlo en lectores de navegadores web. La clasificación de grupos finitos se desenvuelve a través de un progresivo razonamiento que termina en un “resumen” en el APÉNDICE A. La principal clasificación llevada a cabo en el Capítulo 2 es la de polinomios irreductibles, estando esta centrada especialmente en el anillo de polinomios Z2 [x]. Ambos capítulos incluyen, a posteriori, una compilación de ejercicios resueltos, procedentes en su I II mayoría de exámenes de cursos pasados. Este documento ha sido elaborado con LATEX.  Índice general I Grupos V 1. Nociones básicas de grupos. Clasificación de grupos finitos 1 1.1. Nociones básicas de grupos................................ 1 1.2. Clasificación de grupos abelianos finitos......................... 6 2. Subgrupos normales. Homomorfismos de grupos 11 2.1. Grupo diedral. Subgrupos normales............................ 11 2.2. Homomorfismos de grupos................................ 17 APÉNDICE A. Clasificación de grupos finitos 28 Ejercicios de grupos 30 2. Anillos 39 Ejercicios de anillos 69 Índice de definiciones 80 III This page intentionally left blank Parte I Grupos V  CAPÍTULO 1 Nociones básicas de grupos. Clasificación de grupos finitos 1.1. Nociones básicas de grupos Comenzamos dando las definiciones básicas relativas a grupos, así como representaciones de grupos de orden bajo a través de sudokus. Cabe destacar que los grupos con los que trabajaremos siempre se pueden representar, generalmente, a través de sudokus, pero dado un sudoku, éste no tiene por qué ser la tabla de un grupo. def_grupo Definición 1.1.1 (Grupo). Sea G un conjunto no vacío y * una operación binaria, cumpliendo: i) Ley interna: ∀ a, b ∈ G : a ∗ b ∈ G. ii) P. Asociativa: ∀ a, b, c ∈ G : (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). iii) El. Neutro: ∃ e ∈ G : a ∗ e = e ∗ a = a, ∀ a ∈ G. iv) El. Inverso: ∀ a ∈ G, ∃ b ∈ G : a ∗ b = b ∗ a = e. (Habitualmente se denota b = a−1 ) Si se cumplen las propiedades i) - iv) se dice que G es un grupo con la operación ∗. Adicio- nalmente, se dice que G es un grupo abeliano si se cumple: v) P. Conmutativa: ∀ a, b ∈ G : a ∗ b = b ∗ a. Observación 1.1.1. El elemento neutro y el inverso en un grupo son únicos. Ejemplos 1.1.1. (i) Todos los anillos son grupos (tal y como se verá más adelante en la parte de Anillos). Para cada anillo (R, +, ·) se obtienen dos grupos: (R, +) grupo aditivo (siempre es abeliano) 1 (U(R), ·) grupo multiplicativo Como ejemplo  veamos el del anillo de los número enteros con la suma y producto usuales. (Z, +) grupo aditivo infinito (Z, +, ·) : (U(Z) = {−1, 1}, ·) grupo mutiplicativo finito (ii) A continuación damos algunos ejemplos básicos, posiblemente ya conocidos, de grupos infi- nitos. 1 Donde U (R) := R∗ denota las unidades del anillo R (¡los elementos que tienen inverso para la operación · !) 1  1.1. Nociones básicas de grupos - Las unidades del grupo de matrices de tamaño n × n (i.e. las matrices con determinante no nulo) con coeficientes sobre un cuerpo K, (U(Mnxn (K)), ·) := GL(n, K), lo que se conoce como el grupo general lineal de orden n sobre un cuerpo K, es un grupo no abeliano. Si K = Zp es muy importante. Galois utilizó el grupo GL(n, Zp ) para estudiar el grupo de Galois de la ecuación general de grado pn. - Los números reales o los números complejos con la suma usual: (R, +) o (C, +). Como los grupos infinitos suelen ser, en general, muy difíciles, trabajaremos fundamentalmente con grupos finitos de n elementos, con n ∈ [1, 15]2. Por tabla de un grupo entenderemos la represen- tación de éste a través de un sudoku. A continuación veremos las tablas de cada uno, (si existen), cuántas son y cómo son. n = 1. G = {e} grupo trivial n = 2. G = {e, a} e a e e a a a ¿? = e y aa 6= a, pues si aa = a, multiplicando por a−1 se tiene que (aa)a−1 = aa−1 , esto es, ae = a = e, es decir, que a sería el elemento neutro de G, pero por la Observación 1 el elemento neutro de un grupo es único, de lo que se concluye que aa = a. Regla del Sudoku : Por cada fila y columna sólo puede haber una, y sólo una vez, cada elemento, por lo tanto rellenar la tabla de un grupo es como hacer un sudoku. n = 3. G = {e, a, b} e a b e e a b a a b e b b e a Antes de seguir con estos dos últimos ejemplos es preciso ver las siguientes definiciones: ord_G Definición 1.1.2 (Orden de un grupo ). Sea G un grupo, se define el orden de G como el número de elementos que tiene y se puede denotar indistinguidamente como sigue: ord(G) = |G| = #G ord_el Definición 1.1.3 (Orden de un elemento ). Sea G un grupo y a ∈ G, se define el orden de a como el mínimo número de veces que hay que operar a consigo mismo para obtener el elemento neutro de G, esto es: ord(a) := o(a) := mínk∈N {ak = e} Observación 1.1.2. Está claro que el único elemento de G que tiene orden 1 es el neutro. También cabe destacar que ord(a−1 ) = ord(a). sub_ger Definición 1.1.4 (Subgrupo generado por un elemento ). Sea G un grupo y a ∈ G, tal que ord(a) := k, se define el subgrupo generado por a como el grupo formado por las k primeras potencias de a, esto es: hai := {a1 , a2 , · · · , ak−1 , ak = e} 2 Ver APÉNDICE A 2  1.1. Nociones básicas de grupos Observación 1.1.3. Si a ∈ G y ord(a) := k, entonces ak−1 = a−1 , pues aak−1 = ak−1 a = ak = e. Además, por la definición anterior, |hai| = ord(a). Veamos qué resulta al aplicar estas definiciones a los ejemplos anteriores: n = 2. Se tiene que G = hai = {a1 , a2 = e}, con |G| = 2, ord(e) = 1 y ord(a) = 2.   ae = a b1 = b ord(e) = 1 n = 3. Se tiene que G = hai : aa = b b2 = a ord(a) = 3 ab = e b3 = e ord(b) = 3  |G| = 3 b = a−1 ⇒ ord(a) = ord(a−1 ) = ord(b) = 3 ciclic_group Definición 1.1.5 (Grupo cíclico ). Sea G un grupo, se dice cíclico si está generado por un único elemento, esto es, si existe a ∈ G tal que hai = G. O bien, equivalentemente, si existe a ∈ G tal que ord(a) = ord(G). Observación 1.1.4. Que G sea cíclico y esté generado por un único elemento a no implica la unicidad de a como generador, es decir, puede existir perfectamente b ∈ G, con b 6= a tal que hbi = G. Group_Abel Definición 1.1.6. Se definen: Group(n) = {G grupos / |G| = n} Abel(n) = {G grupos / |G| = n, G abeliano} Nos preguntamos, ¿se puede construir un grupo Cn := hai cíclico con n elementos, tal que Cn = ha / an = ei? La respuesta es afirmativa, y estos grupos coincidirán con los ejemplos anteriores para n = 1, 2, 3. De momento, en los ejemplos de grupos finitos con n = 1, 2, 3 tendríamos que: Group(2) = C2 Group(3) = C3 Abel(2) = C2 Abel(3) = C3 Por lo que existe un único grupo de n elementos, y además Group(n) = Abel(n) para n = 1, 2, 3. 3 e, a, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 Ejemplos 1.1.2. (i) C18 := ha/ a18 = ei =DNI del grupo { 1, 18, 9, 6, 9, 18, 3, 18 a8 , a9 , a10 , a11 , a12 , a13 , a14 , a15 , a16 , a17 } 9, 2, 9, 18, 3, 18, 9, 6, 9, 18 Siendo los números en azul que se encuentran debajo de cada elemento sus respectivos órdenes. n (ii) Si ai ∈ Cn y mcd(i, n) = d, entonces ord(ai ) = d. Esto es muy útil para calcular órdenes de elementos. (iii) Para cada d tal que d | n existe a ∈ Cn tal que ord(a) = d. (¡OJO! Esto no tiene por qué cumplirse en cualquier grupo arbitrario. Pero sí que se cumple en los grupos cíclicos de n elementos) (iv) Cn siempre es cíclico de n elementos. Para un grupo G arbitrario la propiedad de Ejemplos 1.1.2(ii) también se da, cambiando n por ord(G). A raíz del Ejemplos 1.1.2(iii) surge una útil caracterización de los grupos cíclicos, pero antes es necesario introducir el concepto de subgrupo, así como también el importante Th. de Lagrange. Ahora seguimos construyendo tablas para grupos de 4 elementos, destacando los casos en los que el grupo resulta abeliano. 3A esto lo llamaremos la presentación de un grupo mediante sus relaciones y generadores (DNI). 3  1.1. Nociones básicas de grupos Veamos ahora qué ocurre para n = 4 construyendo las siguientes tablas: i). G1 := ha / a4 = ei = C4. Decidimos a ∗ a = b y rellenamos la tabla. e a b c e e a b c a a b c e ord(b) = 2, ord(a) = 4 b b c e a c c e a b Abeliano ii). G2 := ha / a4 = ei. Decidimos a ∗ a = c y rellenamos la tabla. e a b c e e a b c a a c e b ord(c) = 2, ord(a) = 4 b b e c a c c b a e Abeliano iii). G3 := ha / a4 = ei = hb / b4 = ei. Decidimos a ∗ a = e y b ∗ b = a y rellenamos. e a b c e e a b c a a e c b ord(a) = 2, ord(b) = 4 b b c a e c c b e a Abeliano iv). G4 := ha, b / a2 = b2 = e, ab = bai. G4 6= C4 (ya no está generado por un único elemento). e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Abeliano Como se puede notas, estas tablas de grupos inducen la siguiente proposición: Proposición 1.1.1. Un grupo G es abeliano, si y sólo si, su tabla es simétrica. La tabla de este último grupo nos sirve para introducir la siguiente definición. dir_prod Definición 1.1.7 (Producto directo). Sean G y H dos grupos tales que: G = h g1 , · · · , gr / relaciones de G i. H = hh1 , · · · , hr / relaciones de H i. | {z } | {z } generadores generadores se define elproducto directo de G y H como:  g1 ,... , gr relaciones de G G × H := / / gi hj = hj gi con i ∈ {1,..., r}, j ∈ {1,..., s} h1 ,... , hr relaciones de H Observación 1.1.5. Si un grupo G es cíclico entonces es abeliano, pues si G := hai, todos los elementos de G serán de la forma ak , para 1 ≤ k ≤ ord(G), así ai aj = ai+j = aj ai para cualequiera 1 ≤ i, j ≤ ord(G). ¡OJO!, el recíproco no se da, es decir, que G sea abeliano no implica que G sea cíclico. Buscar un contraejemplo de esta última observación es bastante sencillo, pero para entender cómo encontrarlo es necesario conocer los conceptos que introduciremos a continuación. 4  1.1. Nociones básicas de grupos Ya hemos clasificado los grupos de hasta orden 4 a través de tablas de sudoku. A partir de ahora, para la clasificación, utilizaremos nuevos argumentos que no requerirán realizar las tablas de cada grupo. Esto se debe a que no siempre un sudoku es la tabla de un grupo. Véase el siguiente contraejemplo para un grupo de 5 elementos: a b c d e a a b c d e b b a e c d c c d a e b d d e b a c e e c d b a subgroups Definición 1.1.8 (Subgrupos ). Sea (G, ·) un grupo y ∅ =6 H ⊂ G, se dice que H es un subgrupo de G si (H, ·) es un grupo. Damos ahora algunos “apellidos” para los subgrupos: Si H = {e} se dice que H es el subgrupo trivial. Si H = G se dice que H es el subgrupo total. Si H no es ni el subgrupo trivial ni el subgrupo total se dice que H es un subgrupo propio de G y se denota por H < G. En el caso de que H pueda ser cualquiera de los tipos anteriores de dice que H es un subgrupo impropio de G y se denota por H ≤ G. Observación 1.1.6. Si un grupo es cíclico entonces todos sus subgrupos son cíclicos. 1768 ). Sea G un grupo finito. Si H ≤ G entonces el orden de H divide Teorema 1.1.1 (Lagrange, lagrange_th al orden de G. ACLARACIONES: - El Th. de Lagrange NO DICE: para cada p tal que p | ord(G) existe H < G tal que |H| = p. En el caso particular de que ocurra esto se dice que G invierte el Th. de Lagrange (CLT). Si se pregunta si se invierte el Th. de Lagrange, se sacan los divisores del orden del grupo y se van buscando, uno a uno, posibles subgrupos de tal número de elementos. - El Th. de Lagrange SÍ DICE: si se tiene un subgrupo, entonces el número de elementos del subgrupo divide al número de elementos del grupo. Observación 1.1.7. (i) Si H y G son grupos, se define el conjunto producto HG := {hg : k ∈ H, g ∈ G}. Nótese que no siempre este conjunto tiene estructura de grupo. En el capítulo siguiente introduciremos el concepto de normalidad, que sí nos permitirá determinar con mayor facilidad cuando HG es grupo o no. ord(H)ord(K) (ii) Si K y H son dos subgrupos de un grupo G entonces se verifica que ord(H ∩K) = Card(HK) Como en todas las ramas de la Matemática, un pregunta fundamental es cuándo dos objetos son iguales o “idénticamente” el mismo. En Topología se les dice homeomorfos y en Teoría de Grupos, al igual que en Álgebra Lineal, se les dice isomorfos. Iso Definición 1.1.9 (Grupos isomorfos ). Dos grupos G y H se dicen isomorfos si y sólo si, existe un isomorfismo entre ellos. En tal caso, se denota por G ' H. Una forma natural de ver si dos grupos son isomorfos es buscar un isomorfismo entre ellos, es decir, un homomorfismo de grupos biyectivo, pero dado que no introduciremos este concepto hasta el siguiente capítulo, usaremos este Teorema: Teorema 1.1.2 (Isomorfismo de grupos). Sean G y H dos grupos con presentaciones G := hg1 , · · · , gr / relaciones de G i y H := hh1 , · · · , hr / relaciones de H i. 5  1.2. Clasificación de grupos abelianos finitos H ' G si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: relaciones de H → G i). |H| = |G| y ó relaciones de G → H relaciones de G → H ii). y relaciones de H → G donde → quiere decir si las relaciones de un grupo se cumplen en el otro. primos Teorema 1.1.3. Si p es un número primo entero, entonces existe un único grupo G tal que |G| = p. Corolario 1.1.1. Para cada primo entero p no existe ningún subgrupo H tal que H < Cp. Es decir, los Cp con p primo no tienen subgrupos propios. Damos ahora un ejemplo de un grupo abeliano que no es cíclico. Para ello es necesario tener en cuenta que si ζ ∈ G ' Ca × Cb , entonces ζ = (x, y), con x ∈ Ca , y ∈ Cb. Así, ord(ζ) = mcm(ord(x), ord(y)). Ilustrándonos en el comentario anterior, sea G := C6 × C2 , que es abeliano por ser producto directo de grupos abelianos, y sea ζ := (x, y) ∈ G, luego ord(ζ) = mcm(ord(x), ord(y)). Por el Th. de Lagrange, ord(x) | 6 = ord(C6 ) y ord(y) | 2 = ord(C2 ). Por lo que, como mucho, ord(ζ) = 6 6= 12, de lo que se concluye que G no es cíclico. El concepto de isomorfía nos servirá para “ver qué grupo es cada uno”. Utilicemos esto para seguir con nuestra clasificación de los grupos finitos. 1.2. Clasificación de grupos abelianos finitos Hemos estudiado los grupos Ci de 2, 3 y 4 elementos, estudiemos ahora los de 5 y 6 elementos. n = 5. Por el anterior Th. todo grupo de 5 elementos es isomorfo a C5. n = 6. Basándonse en el caso de n = 4 es lógico que pensar que se podrían obtener C6 ó C2 × C3. C6 = ha / a6 = ei = {e, a, a2 , a3 , a4 , a5 } C2 × C3 ' C3 × C2 = ha, b / a3 = e, b2 = e, ab = bai Para obtener este grupo hay que realizar todas las potencias de a y de b y la combinación ab con todas las potencias de a y de b. NOTA: Si ord(a) = x, ord(b) = y, generalmente: ord(ab) = xy ó ord(ba) = xy en los grupos cíclicos, en el resto no tiene por qué ocurrir. C2 × C3 = {e, a, b, b2 , ab, ab2 } y ord(a) = 2, ord(b) = 3. (ab)1 = ab (ab)2 = abab = a2 b2 = b2 6= e (ab)3 = ababab = a (ab)4 = b (ab)5 = ab2 (ab)6 = e 6  1.2. Clasificación de grupos abelianos finitos Luego ord(ab) = ord(a) · ord(b) = 2 · 3 = 6 y habi = C6 CGAF_1 Teorema 1.2.1 (Clasificación de grupos abelianos finitos, CGAF; Vol.1 ). Sea Cn un grupo abe- liano finito tal que ord(Cn ) = n. Si existen números enteros a y b tales que n = ab y mcd(a, b) = 1, entonces Cn ' Ca × Cb. Por lo que en el ejemplo anterior podemos concluir que C6 ' C2 × C3. Ahora damos una tabla que resume la clasificación de los grupos abelianos finitos que hemos estudiado. RESUMEN DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS n = 2 : C2 = ha / a2 = ei. n = 3 : C3 = ha / a3 = ei. n=4: ¿CÍCLICO? - SÍ : C4 = ha / a4 = ei. - NO : C2 × C2 = ha, b / a2 = e = b2 , ab = bai. n = 5 : C5 = ha / a5 = ei. n = 6 : C6 =' C2 × C3 = ha / a6 = ei. n = 7 : C7 = ha / a7 = ei. n=8: ¿CÍCLICO? - SÍ : C8 = ha / a8 = ei. - NO : ¿∃ a ∈ G / ord(a) = 4? - SÍ : C4 × C2 = ha, b / a4 = b2 = e, ab = bai. - NO : C2 × C2 × C2 = ha, b, c / a2 = b2 = c2 = e, ac = ca, ab = ba, bc = cbi. n=9: ¿CÍCLICO? - SÍ : C9 = ha / a9 = ei. - NO : C3 × C3 = ha, b / a3 = b3 = e, ab = bai. n = 10 : C10 ' C2 × C5 = ha / a10 = ei. n = 11 : C11 = ha / a11 = ei. n = 12 : ¿CÍCLICO? - SÍ : C12 ' C3 × C4 = ha / a12 = ei. - NO : C2 × C6 ' C2 × C2 × C3 = ha, b / a2 = b6 = e, ab = bai. n = 13 : C13 = ha / a13 = ei. n = 14 : C14 ' C2 × C7 = ha / a14 = ei. n = 15 : C15 ' C3 × C5 = ha / a15 = ei. Para n = 1,... , 8 la clasificación de grupos abelianos finitos es relativamente sencilla, ¿pero qué ocurre si el orden del grupo es mucho mayor? Para ello introducimos este Vol.2 del Teorema de clasificación de grupos abelianos finitos acompa- ñado de la definición de serie de descomposición. CGAF_2 Teorema 1.2.2 (Clasificación de grupos abelianos finitos, CGAF; Vol.2 ). Sea n ∈ N, se define la serie de descomposición de n, SD(n) := {a1 , · · · , ak }, verificándose: 7  1.2. Clasificación de grupos abelianos finitos (i) ai |ai+1 para cada i ∈ {1,... , k − 1} Qk (ii) i=1 ai = n (iii) ai ∈ N, ai > 1 para cada i ∈ {1,... , k − 1} VOL.2: Sea G un grupo abeliano finito tal que ord(G) = n y se tiene una serie de descomposición de la forma SD(n) := (a1 ,... , ak ). Entonces G ' Ca1 × Ca2 × · · · × Cak. partic Observación 1.2.1. (i) Sean G un grupo abeliano tal que ord(G) = n y SD(n) = {a1 ,... , ak } una serie de descomposición de n. Se dice que {a1 ,... , ak } son unos coeficientes de torsión (o factores invariantes de G). De esta manera un ejercicio muy común en exámenes es el de hallar los coeficientes de torsión de todos los grupos de un orden dado. También hay una variante de este tipo de ejercicios, que es hallar, no sólo los grupos abelianos de un orden dado, sino todos los grupos posibles de ese orden salvo isomorfía. Para ello necesitaremos utilizar los Teoremas de Sylow, que veremos más adelante. (ii) Dado n un entero positivo, lo factorizamos como n = pα αr 1 · · · pr i producto de primos. Se define una función π : N → N, αi 7→ π(αi ) := Card(partición de αi ), es decir, que al exponente de cada primo le hace corresponder el cardinal de su partición, esto es, de cuántas formas Qr distintas podemos obtener αi a través de sumas de enteros positivos. Entonces, hay i=1 π(α i ) series de descomposición asociadas a n. Corolario 1.2.1. Para cada SD hay un grupo abeliano distinto. Damos un procedimiento general para resolver el ejercicio de calcular todas las clases de iso- morfía de grupos abelianos de un orden dado. PROCEDIMIENTO. (1) Factorizamos n como producto de primos, n = pα αr 1 · · · pr. Utilizando la función π : N → i N definida en Observación 1.2.1.(ii) obtenemos el número de series de descomposición de hay. (2) Si π(αi ) = #{αi , (αi −1)+1,...., 1 + · · · + 1} para cada 1 ≤ i ≤ r, en la r-upla (α1 ,...., αr ) | {z } αi realizamos todas las posibles combinaciones, de tal manera que en cada entrada se pone una forma de sumar el αi en concreto. (3) Formadas todas las posibles combinaciones, cada elemento de una r-upla indica a qué exponente hay que elevar el pi. Si es suma de varios elementos quiere decir que será un producto directo de Cpλ1 × · · · × Cpλs con λ1 + · · · + λs = αi. i i (4) Simplificamos los productos directos que sean posibles recordando que si ab = n y mcd(a, b) = 1, entonces Ca × Cb ' Cn. Para aclarar el proceso lo mejor es leer los dos siguientes ejemplos. Ejemplos 1.2.1. (i) Sea n = 2700, ¿cuántas series de descomposición hay? Calcular sus clases de isomorfía. Solución. (1). Factorizamos 2700 = 22 · 33 · 52. (2). Para cada uno de los exponentes de los factores buscamos de cuántas formas se pueden expresar como suma de naturales y utilizamos la función π. π(2) = #{2, 1 + 1} = 2 π(3) = #{3, 2 + 1, 1 + 1 + 1} = 3 8  1.2. Clasificación de grupos abelianos finitos π(2) = #{2, 1 + 1} = 2 Realizando el producto de π(exponente) de todos los exponentes se obtiene el número de clases de isomorfía distintas (una asociada a cada serie). Por lo tanto habrá 2 · 3 · 2 = 12 clases de isomorfía, luego 12 series de descomposición. Las posibles combinaciones son (en el primer lugar el 2, en el segundo el 3 y en el tercero el 2) : (2, 3, 2) (2, 3, 1 + 1) (2, 2 + 1, 2) (2, 2 + 1, 1 + 1) (1, 1 + 1 + 1, 2) (2, 1 + 1 + 1, 1 + 1) (1 + 1, 3, 2) (1 + 1, 3, 1 + 1) (1 + 1, 2 + 1, 2) (1 + 1, 2 + 1, 1 + 1) (1 + 1, 1 + 1 + 1, 2) (1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1) (3). Para calcular las diferentes clases de isomorfía vamos realizando las posibles combina- ciones de cada serie, utilizando el 2o Vol. de CGAF. Cabe destacar que si los números de descomposición son primos entre sí los grupos "se juntan". C22 × C33 × C52 (2, 3, 2) (C22 × C3 × C52 ) × (C3 ) × (C3 ) (2, 1+1+1,2) (C22 × C33 × C5 ) × (C5 ) (2, 3, 1+1) (C22 × C3 × C5 ) × (C3 × C5 ) × (C3 )(2, 1+1+1,1+1) (C22 × C32 × C52 ) × (C3 ) (2, 2+1, 2) (C2 × C33 × C52 ) × (C2 ) (1+1, 3,2) (C22 × C32 × C5 ) × (C3 × C5 ) (2, 2+1, 1+1) (C2 × C33 × C5 ) × (C2 × C5 ) (1+1, 3,1+1) (C2 × C32 × C52 ) × (C2 × C3 ) (1+1, 2+1, 2) (C2 × C32 × C5 ) × (C2 × C3 × C5 ) (1+1, 2+1, 1+1) (C2 × C3 × C52 ) × (C2 × C3 ) × (C3 ) (1+1, 1+1+1, 2) (C2 × C3 × C5 ) × (C2 × C3 × C5 ) × (C3 ) (1+1, 1+1+1, 1+1) (4). Simplificando, las 12 clases y sus correspondientes coeficientes de torsión son: C2700 (2700) C300 × C3 × C3 (3, 3, 300) C540 × C5 (5, 540) C60 × C15 × C3 (3, 15, 60) C900 × C3 (3, 900) C1350 × C2 (2, 1350) C180 × C15 (15, 180) C270 × C10 (10, 270) C450 × C6 (6, 450) C90 × C30 (30, 90) C150 × C6 × C3 (3, 6, 150) C30 × C30 × C3 (3, 30, 30) (ii) ¿Cuántos grupos abelianos finitos hay de orden 1800? Solución. (1). Factorizando: 1800 = 23 32 52. (2). Al igual que en el ejemplo anterior: π(3) = 3 π(2) = 2 π(2) = 2 Habrá 12 clases de isomorfía distintas, ie., 12 series de descomposición. 3). Realizando las posibles combinaciones calculamos las clases de isomorfía: (2, 3, 5) (3, 2, 2) : (23 · 32 · 52 ) = (1800) C1800 (3, 2, 1 + 1) : (23 · 32 · 5, 5) = (360, 5) C5 × C360 (3, 1 + 1, 2) : (23 · 3 · 52 , 3) = (600, 3) C3 × (C8 × C3 × C25 ) ' C3 × C600 (3, 1 + 1, 1 + 1) : (23 · 3 · 5, 3 · 5) = (120, 15) C15 × C120 (2 + 1, 2, 2) : (22 · 32 · 52 , 2) = (900, 2) C2 × C900 (2 + 1, 2, 1 + 1) : (22 · 32 · 5, 2 · 5) = (180, 10) C10 × C180 (2 + 1, 1 + 1, 2) : (22 · 3 · 52 , 2 · 3) = (300, 6) C6 × C300 (2 + 1, 1 + 1, 1 + 1) : (22 · 3 · 5, 2 · 3 · 5) = (60, 30) C30 × C60 (1 + 1 + 1, 2, 2) : (2 · 32 · 52 , 2, 2) = (450, 2, 2) C2 × C2 × C450 (1 + 1 + 1, 2, 1 + 1) : (2 · 32 · 5, 2 · 5, 2) = (90, 10, 2) C2 × C10 × C90 (1 + 1 + 1, 1 + 1, 2) : (2 · 3 · 52 , 2 · 3, 2) = (150, 6, 2) C2 × C6 × C150 (1 + 1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) : (2 · 3 · 5, 2 · 3 · 5, 2) = (30, 30, 2) C2 × C30 × C30 Por lo tanto hay 12 clases de isomorfía en los grupos abelianos de orden 1800 y, como entre ellos no son isomorfos, se concluye que hay 12 grupos abelianos de orden 1800. Ahora proponemos dos ejercicios que tratan de averiguar a qué grupo “conocido” es isomorfo un grupo dado a través de su presentación 9  1.2. Clasificación de grupos abelianos finitos ejercicio_1 Ejercicio. Sea G = ha, b, c, d / ab = c, bc = d, cd = a, da = bi. ¿A qué grupo es isomorfo G? ¿Qué grupo es? Solución. Se puede proceder de tres maneras : 1a ). Buscar los órdenes de cada elemento. 2a ). Buscar conmutatividad (ie., orden inverso). 3a ). Buscar elementos inversos. Se sabe que ab = c, operando con c a ambos lados: abc = c2 y como bc = d ⇒ ad = c2. Análoga- mente con el resto de elementos: bc = d ⇒ b |{z}bc = c2 ⇒ ba = d2 d cd = a da = a2 ⇒ c |{z} ⇒ cb = a2 b da = b ab = b2 ⇒ d |{z} ⇒ dc = b2 c Se prosigue con las relaciones obtenidas: ad = c2 ⇒ a |{z} dc = c3 ⇒ ab2 = c3 ⇒ |{z} ab b = c3 ⇒ cb = c3 ⇒ b = c2 b2 c dc = b2 cb = b3 ⇒ d |{z} ⇒ da2 = b3 ⇒ daa = b3 ⇒ ba = b3 ⇒ a = b2 a2 ba = d2 ⇒ bad = d3 ⇒ c = d2 2 3 cb = a ⇒ cba = a ⇒ d = a2  Sustituyendo:    b = c2 a = c4   d = c8   c = c (necesario especificarlo)  Obtenemos así que todos los elementos se forman a partir de c, por lo que el grupo es cíclico. Hallemos el orden de c: ab = c ⇒ c4 c2 = c ⇒ c5 = e, luego G ' C5. ej_2 Ejercicio. Sea G = hu, v, x, y, x / uv = x, vx = y, xy = z, yz = u, zu = vi. ¿A qué grupo es isomorfo G? En algunos cursos se realiza una introducción a los grupos finitamente generados. Damos aquí el resultado más básico acompañado de una previa definición del concepto de torsión. torsion Definición 1.2.1 (Torsión). Sean G un grupo y x ∈ G. Se dice que x es de torsión si su orden es finito. Se denota por T (G) al subconjunto de G formado por todos sus elementos de torsión, y se dice que G no tiene torsión si T (G) = eG. betti Teorema 1.2.3 (Teorema de Estructura). Sea G un grupo abeliano finitamente generado. Enton- ces, existen enteros m1 ,... mr ≥ 2 un entero s ≥ 0 tales que G ' Zm1 × · · · × Zmr × Zs y cada mi | mi−1 para cada 2 ≤ i ≤ r. Los enteros m1 ,... , mr son los únicos cumpliendo las condiciones anteriores. Se dice que β(G) := s es el número de Betti de G y que m1 ,... mr son sus coeficientes de torsión. Se utilizan estos conceptos en el Ejercicio 12. 10  CAPÍTULO 2 Subgrupos normales. Homomorfismos de grupos 2.1. Grupo diedral. Subgrupos normales died_group Definición 2.1.1 (Grupo diedral ). Sean r una rotación y s una simetría de un espacio vectorial V sobre R o C y de dimensión n, se define el grupo diedral (o diédrico) de orden 2n, denotado por Dn , como el subgrupo del grupo ortonormal formado por las isometrías de un n-ágono regular, esto es: Dn := { isometrías de n-ágono regular } = hr, s / rn = e, s2 = e, rsr = si. Dn no es abeliano, pero cumple: rk s = srn−k con 1 < k < n y que srs = rn−1. Observación 2.1.1. (1) Las relaciones de Dn son muy importantes. Que ord(r) = n y que ord(s) = 2 son resultados conocidos de Álgebra Lineal. Ahora, la relación rsr = s se puede recordar facilmente a través de la siguiente copla: “Rober siempre ríe. (¿cuándo?) Siempre”. (2) Que Dn se defina como el grupo de isometrías de cierto espacio vectorial que “actúan” sobre un n-ágono regular está claramente relacionado con el grupo Un formado por las raíces n- ésimas de la unidad, pues recordemos que la representación de las raíces n-ésimas de la unidad en el plano R2 se trata de un n-ágono regular. Introducimos ahora uno de los conceptos más importantes de la Teoría de Grupos, el de subgrupo normal. sub_normal Definición 2.1.2 (Subgrupo normal ). Sea G un grupo y H < G se dice que H es un subgrupo normal de G si ∀ g ∈ G, g ∈ / H : gH = Hg y se denota H C G. La condición anterior para que H sea un subgrupo normal es equivalente a que g −1 Hg = H ∀ g ∈ G Observación 2.1.2. (1) Es importante darse cuenta de que la igualdad gH = Hg es una igual- dad de conjuntos, donde multiplicamos cada elemento de H por g, luego lo importante es que los conjuntos gH y Hg sean iguales, así que el orden en el que aparecen los elementos no es relevante. De hecho, se tienen tantos conjuntos como elementos hay de G que no estén en H. (2) Es obvio que hH = Hh para cada h ∈ H, así que lo que pedimos para que H sea normal es que se cumpla que gH = Hg con los elementos de G que están “fuera” de H. (3) Probar que H es normal en G por la definición requiere coger cada elemento g de G que no esté en H, multiplicarlo por la izquierda a cada elemento de H, obteniendo así un conjunto 11  2.1. Grupo diedral. Subgrupos normales gH; luego multiplicarle g por la derecha a cada elemento de H y obtener así otro conjunto Hg y luego verificar si se da la igualdad gH = Hg, y así para cada g. (4) Se dice que conjugamos H por un elemento x de G cuando efectuamos el producto x−1 Hx. Por lo tanto, se dice que H es normal en G cuando al conjugar H por cualquier elemento de G resulta H. (5) ¡OJO! La normalidad de un subgrupo es una propiedad local, es decir, si H1 y H2 son subgrupos de G tales que H1 C H2 y H2 C G eso no implica que H1 C G. Comprobar que un subgrupo es normal por la definición puede llegar a ser muy largo y tedioso, así que introducimos algunas formas alternativas de comprobar que un subgrupo es normal, pero antes es necesario conocer algunas definiciones más. group_cent Definición 2.1.3 (Centro de un grupo ). Sea G un grupo, se define el centro de G como el sub- grupo Z(G) = {x ∈ G / xy = yx, ∀ y ∈ G}. Observación 2.1.3. (1) El centro de un grupo es, claramente, no vacío, pues siempre está el elemento neutro. Además, siempre Z(G) C G. (2) Z(G) = G si y solo si G es abeliano. (3) Se define el centralizador de x ∈ G como C(x) := Cx G := {y ∈ G / xy = yx} (los elementos de G que conmutan con x). T Además, x∈G C(x) = Z(G). (4) Sea H < G se define el normalizador de H en G como el subgrupo definido por NG (H) := {g −1 xg / x ∈ H, g ∈ G}. Además, H C G, si y sólo si, NG (H) = G. Esta proposición también es muy útil a la hora de encontrar subgrupos normales. abel_norm Proposición 2.1.1. Todo subgrupo de un grupo abeliano es un subgrupo normal. Uno de los usos más importantes de los subgrupos normales es el de realizar cocientes, introducimos ahora los conceptos relativos al cociente de grupos. clas_conj Definición 2.1.4 (Clase de conjugación ). Sea G un grupo y x ∈ G, se define la clase de con- jugación de x en G como [x]G := {gxg −1 / g ∈ G}. Observación 2.1.4. Cabe destacar que [x]G = {x} ⇔ x ∈ Z(G) (i.e. ese elemento conmuta). co_group Definición 2.1.5 (Cocientado). Sean G un grupo, H < G y las relaciones ∼/H y ∼\H , tales que: x ∼/H y ⇔ xy −1 ∈ H x ∼\H ⇔ y −1 x ∈ H se define el cociente de G con H “por la derecha” como G/H := {[x]∼/H : x ∈ G} y el cociente de G con H “por la izquierda” como H\G := {[x]∼\H : x ∈ G} Observación 2.1.5. Se dice que el cociente G/H existe si los cocientes laterales G/H y G\H existen y son iguales. Así, H C G, si y solo si, el cociente G/H existe. ind Definición 2.1.6 (Índice de G sobre H ). Sea G un grupo y H < G, se define el índice de G |G| sobre H como [G : H] := |G/H| := |H|. Esta proposición es, posiblemente, uno de los métodos más utilizados para saber si un subgrupo es normal o no Proposición 2.1.2. Si el índice [G : H] = 2, entonces H C G. Introducimos ahora el concepto de producto semidirecto de dos grupos y acabamos dando ejemplos de todos los nuevos conceptos vistos hasta ahora. 12  2.1. Grupo diedral. Subgrupos normales sem_prod Definición 2.1.7 (Producto semidirecto). Sean G y H dos grupos, se define el producto semi- directo de G y H como   g1 , · · · , gr relaciones de G G o H := / , H C (G × H) h1 , · · · , hr relaciones de H Ejemplos 2.1.1. Grupo diedral D3. Consideremos un triángulo de vértices C, B y A. Sea r0 la rotación de ángulo 0 (elemento neutro), luego r0 = e; y r la rotación de ángulo 2π 3. Sean sA , sB , sC las simetrías respecto a los vértices A, B y C, respectivamente. Figura 2.1: Rotaciones de D3 contexto:rot Figura 2.2: Simetrías de D3 contexto:rot Se tiene, por lo tanto, que D3 = {r0 , r, r2 , sA , sB , sC } = {e, r, r2 , s, rs, r2 s} siendo s una simetría. La tabla de D3 será: r0 r r2 sA sB sC r0 r0 r r2 sA sB sC r r r2 r0 sB sC sA r2 r2 r0 r sC sA sB sA sA sC sB r0 r r2 sB sB sA sC r2 r0 r sC sC sB sA r r2 r0 Claramente la tabla de D3 no es simétrica, luego D3 no es un grupo abeliano. A su vez, D3 ' C2 × C3 porque no es conmutativo, pero D3 ' C2 o C3 (es como añadir lo que le falta para que el grupo sea conmutativo). Es importante fijarse en la idea de la tabla de D3 , pues se observa que el bloque formado por las tres primeras filas y columnas se repite después. Veamos cómo son algunos subgrupos de D3. 13 2.1. Grupo diedral. Subgrupos normales (a) ¿Es H = hri un subgrupo normal de D3 ? Solución. En primer lugar, H = hri = {e, r, r2 }. Comprobemos que podemos cocientar D3 con H por ambos lados. Si ambos cocientes son iguales (i.e. existe el cociente) y el índice de D sobre H es 2, entonces H es normal; en cualquier otro caso no. En D3 /H a ∼/H b ⇔ ab−1 ∈ H. En H\D3 a ∼H\ b ⇔ b−1 a ∈ H. Se tiene: D3 /H = {[e], [s]} = {{e, r, r2 }, {s, rs, r2 s}} H\D3 = {[e], [s]} = {{e, r, r2 }, {s, rs, r2 s}} Luego H\D3 = D3 /H. Como [D3 : H] = 63 = 2 ⇒ H C D3. Además, por la definición: aH = Ha ∀ a ∈ D3 , pues: aH = {a, ar, ar2 } = {a, ra, r2 a} = Ha ∀ a ∈ D3. (b) ¿Es K = hsi un subgrupo normal de D3 ? Solución. Se tiene que K = {e, s}, cocientando por ambos lados: D3 /K = {[e], [r], [r2 ]} = {{e, s}, {r, r2 s}, {r2 , rs}} K\D3 = {[e], [r], [r2 ]} = {{e, s}, {r, rs}, {r2 , r2 s}} Como D3 /K 6= K\D3 entonces K no es un subgrupo normal de D3 y el cociente no existe. Damos ahora una serie de proposiciones para saber si un grupo es isomorfo a algún grupo diedral. Proposición 2.1.3. Sean G un grupo y n ≥ 3 un entero positivo. Entonces G ' Dn , si y sólo si, G está generado por dos elementos a, b de órdenes n y 2, respectivamente, tales que ba tiene orden 2. Proposición 2.1.4. Sea Dn el grupo diedral de orden 2n, se tiene que Dn ' C2 o Cn. Proposición 2.1.5. Si p es un primo impar, entonces todo grupo de orden 2p es isomorfo, o bien a C2p , o bien a Dp. Construyamos los retículos de D3 y de C6 , esto es, a partir del elemento neutro de cada grupo vamos añadiendo el resto de elementos y explicitando los índices sobre los nuevos subgrupos hasta obtener el grupo deseado. [D3 :hsi] = 3 D3 = {e, r, r2 , s, sr, sr2 } o hsi = {e, s} O O [D3 :hri] = 2 [hsi:hei] = 2 hri = {e, r, r2 } o hei [hri:hei] = 3 Donde la línea ondulada indica que no se puede realizar el cociente de D3 con el subgrupo generado por el neutro, pues así obtendríamos un elemento de orden 6 en D3 , que no tiene elementos de orden 6. Sin embargo, sí que podemos “trazar” esa línea en el caso de C6 , puesto que C6 sí posee un elemento de orden 6. Sean a de orden 3 y b de orden 2 en C6. 14  2.1. Grupo diedral. Subgrupos normales Al comparar los retículos de D3 y C6 : D3 = {e, r, r2 , s, sr, sr2 } o CO 6 ` o 3 3 hsi = {e, s} hbi O O O 6 2 2 2 2 hri = {e, r, r2 } o hei hai o hei 3 3 Se ve claramente que no son iguales, luego los grupos no son isomorfos. Pregunta: ¿Se cumple el recíproco de la Proposición 2.1.1? Es decir, que si dado un grupo con todos sus subgrupos normales, ¿es este grupo abeliano? Respuesta. No. Contraejemplo: Sea G := ha, b, c / ab = c, bc = a, ca = bi. Buscando nuevas relaciones: abc = c2 ⇒ aa = c2 ⇒ a2 = c2 bca = a2 ⇒ b2 = a2 cab = b2 ⇒ c2 = b2 Veamos los productos al revés: ba = cabc = c3 cb = abca = a3 ac = bcab = b3 Así se obtiene: c2 c2 = c4 = a2 a2 = a4 = b2 b2 = b4 c4 = cc3 = abba = aa2 a = a4 aa−1 = e, ¿quién es a−1 ? Se coge una ecuación cualquiera, a = bc: aa−1 = bca−1 , e = bca−1 Luego b−1 = (ca−1 ), b = ca, bb−1 = cab−1 , e = cab−1 c−1 = ab−1 , c = ab a−1 = (bc−1 ) Se tiene que cc−1 = e, (ab)(ab−1 ) = e abaca−1 = e abb3 a−1 = e ab4 a−1 = e aa4 a−1 = e a4 = e Se llega así a que a4 = e, luego a puede ser de orden 1, 2 o 4. Si ord(a) = 1 ó 2 se llegan a absurdos, luego ord(a) = 4. G = ha, b, c / ab = c, bc = a, ca = bi = {1, a, b, c, −1, −a, −b, −c}. G no es abeliano ⇒ G ' C8 , C4 × C2 , C2 × C2 × C2. ¿G ' D4 ? Habría que ver si rsr = s se cumple o no. En G el único elemento de orden 2 es −1 y de orden 4 a, b, c, −a, −b, −c. Pero en Dn como mínimo está Cn y un grupo de n elementos de orden 2. 15 2.1. Grupo diedral. Subgrupos normales Por lo que G es un nuevo grupo y G ' Q8 , siendo Q8 el grupo de los cuaterniones. Q8 no es abeliano.. Q8 := {±1, ±i, ±j, ±k} se dice que es hamiltoniano (si todos sus subgrupos son normales pero no es abeliano). 1 -1 i −i j −j k −k 1 1 -1 i −i j −j k −k −1 -1 1 −i i −j j −k k i i −i -1 1 k −k −j j −i −i i 1 -1 −k k j −j j j −j −k k -1 1 i −i −j −j j k −k 1 -1 −i i k k −k j −j −i i -1 1 −k −k k −j j i −i 1 -1 Por último, antes de introducir los homomorfismos de grupos, damos un par de ejemplos más de subgrupos normales. Ejemplos 2.1.2. (1) ¿Es hri = {e, r, r2 , r3 } un subgrupo normal de D4 ? Solución. D4 = hr, s / r4 = s2 = e, rsr = si = {e, r, r2 , r3 , s, rs, r2 s, r3 s}. Cocientando por ambos lados: D4 /hri = {[e], [s]}. Siendo las clases de conjugación: e(e−1 ) = e s(s−1 ) = e e(r−1 ) = r s(r3 s)−1 = r e(r2 )−1 = r2 s(r2 s)−1 = r2 e(r3 )−1 s(rs)−1 = r3 Luego, D4 /hri = {[e], [s]} = {{e, r, r2 , r3 }, {s, rs, r2 s, r3 s}} hri\D4 = {[e], [s]}. Siendo las clases de conjugación: (e−1 )e = e (s−1 )s = e (r)−1 e = r (rs)−1 s = r (r2 )−1 e = r2 (r2 s)−1 s = r2 (r3 )−1 e = r3 (r3 s)−1 s = r3 Tal que hri\D4 = {[e], [s]} = {{e, r, r2 , r3 }, {s, rs, r2 s, r3 s}} Como D4 /hri = hri\D4 entonces existe el cociente y, como [D4 : hri] = 2 ⇒ hri C D4. (2) ¿Es hsi = {e, s} un subgrupo normal de D4 ? Solución. Se tiene que D4 /hsi = {[e], [r], [r2 ], [rs]}, Calculando las clases de conjugación: e(e)−1 = e r(r3 )−1 = e r2 (r2 )−1 = e rs(rs)−1 = e e(s)−1 = s r(r3 s)−1 = s r2 (r2 s)−1 = s rs(r)−1 = s Luego, D4 /hsi = {[e], [r], [r2 ], [rs]} = {{e, s}, {r3 , r3 s}, {r2 , r2 s}, {rs, r}} A su vez, hsi\D4 = {[e], [r], [r2 ], [r3 s]}. (e)−1 e = e (r3 )−1 r = e (r2 )−1 r2 = e (r3 s)−1 r3 s = e (s)−1 e (rs)−1 r = e (r2 s)−1 r2 (r)−1 r3 s Por lo que hsi\D4 = {[e], [r], [r2 ], [r3 s]} = {{e, s}, {r3 , rs}, {r2 , r2 s}, {r3 s, r}} y no existe el C D4 cociente ⇒ hsi 16  2.2. Homomorfismos de grupos 2.2. Homomorfismos de grupos En esta sección introducimos el concepto de homomorfismo de grupos, que se puede pensar como una aplicación entre grupos que preserva la estructura de grupo. Podremos caracterizar los isomorfismos de grupos como un tipo de homomorfismos en concreto. En cuanto a la isomorfía, daremos los tres Teoremas de Isomorfía, que resultan de especial utilidad en múltiples situaciones de la Teoría de Grupos. Definición 2.2.1 (Homomorfismo de grupos). Dados dos grupos (G, ·) y (H, ∗) se dice que la aplicación f : G → H es un homomorfismo de grupos si se cumple que f (a · b) = f (a) ∗ f (b) para cualesquiera a, b ∈ G. También cumple que f (eG ) = eH. Damos ahora unos cuantos “apellidos” para los homomorfismos: El homomorfismo f : G → H se dice inyectivo si para cualesquiera a, b ∈ G tales que a 6= b se tiene que f (a) 6= f (b). El homomorfismo f : G → H se dice sobreyectivo si para cada b ∈ H se verifica que existe a ∈ G tala que f (a) = b. Si el homomorfismo f : G → H es tanto inyectivo como sobreyectivo se dice que f es un isomorfismo de grupos. Definición 2.2.2 (Núcleo e imagen de un homomorfismo ). Sean G y H dos grupos y f : G → H un homomorfismo de grupos. Se definen: (i) El núcleo de f como el subgrupo normal de G, Ker(f ) := {a ∈ G / f (a) = eH } = f −1 ({eH }). (ii) La imagen de f como el subgrupo de H, Im(f ) := {b ∈ H / ∃ a ∈ G, f (a) = b}. Observación 2.2.1. (1) El hecho de que Ker(f ) C G es de gran importancia, pues sí tenemos la intuición de que cierto subgrupo es normal, basta construir un homomorfismo que tenga a dicho subgrupo como núcleo para demostrar que es normal. (2) Si f : G → H es un homomorfismo de grupos y b := f (a), entonces ord(b) | ord(a) para cada a ∈ G. Si es inyectivo son iguales. (3) Si f : G → H es un homomorfismo de grupos y L ≤ H, entonces L : f −1 (L) ≤ G. Además, las preimágenes conservan la normalidad, es decir, que si con la notación anterior se tiene que L C H, entonces L C G. (4) Un homomorfismo de grupos f : G → H es inyectivo si y sólo si Ker(f ) = {eG }. Y es sobreyectivo si y sólo si Im(f ) = H. (5) Claramente, la composición de homomorfismos de grupos es un homomorfismo de grupos. (6) Si f : G → H es un homomorfismo de grupos tal que G y H son finitamente genera- dos, entonces, si Gen(G) := {a1 ,... , an } es un sistema de generadores de G se tiene que f (Gen(G)) := {f (a1 ),... , f (an )} es un sistema de generadores de H. NÚMERO DE HOMOMORFISMOS DE GRUPOS ENTRE Zm y Zn. Dados los grupos de res- tos módulo−m y restos módulo−n, Zm y Zn , es frecuente preguntarse cuántos homomorfismos de grupos hay entre Zm y Zn. No es difícil probar que hay, exactamente, mcd(m, n) homomorfismos de grupos entre Zm y Zn. 17 2.2. Homomorfismos de grupos Damos ahora los resultados conocidos como Teoremas de Isomorfía. Teorema 2.2.1 (Primer Teorema de Isomorfía ). Sea f : G → G0 un homomorfismo de grupos. Entonces existe un único isomorfismo f¯ : G/Ker(f ) → Im(f ) tal que el diagrama G f / G0 O π i  f¯ G/Ker(f ) Im(f ) es conmutativo, es decir, que f = i ◦ f¯ ◦ π Donde: π : G → G/Ker(f ), g 7→ π(g) := g Ker(f ) es una proyección, que es un homomorfismo sobreyectivo. i : Im(f ) ,→ G0 , g 0 7→ i(g 0 ) := g 0 es el homomorfismo inclusión. Teorema 2.2.2 (Segundo Teorema de Isomorfía ). Sean K, H subgrupos normales de G tales que K C H. Entonces H/K es subgrupo normal de G/K y  (G/K) (H/K) ' G/H Teorema 2.2.3 (Tercer Teorema de Isomorfía). Sean G un grupo y H < G, K C G. Entonces K C HK, H ∩ K C H y   (H) (H ∩ K) ' (HK) (K) Por último, introducimos el Teorema de la Correspondencia, que caracteriza a los subgrupos de los cocientes de grupos con subgrupos normales. Teorema 2.2.4 (Teorema de la Correspondencia). Sean G un grupo y N C G. Consideremos las familias FN formada por los subgrupos de G que contienen a N y FG/N formada por los subgrupos del cociente G/N. Entonces, la aplicación H ⊂ FN 7→ H/N ⊂ FG/N es una biyección. Es decir, los subgrupos normales de G que contienen a N corresponden a los subgrupos normales de G/N. 18  2.2. Homomorfismos de grupos perm Definición 2.2.3 (Permutación). Sea X un conjunto de n elementos, se define Sn = {f : X 7→ X biyección}, tal que (Sn , ◦) es un grupo (siendo ◦ la composición de funciones) y |Sn | = n!. Se dice que σ ∈ Sn es una permutación. A Sn se le denomina n-ésimo grupo simétrico. Sea σ ∈ Sn una permutación, normalmente se representará de la siguiente manera:   1 2 ··· n σ(1) σ(2) · · · σ(n) 19  2.2. Homomorfismos de grupos Veamos ahora un ejemplo de cómo se operan permutaciones:    U = (1234)(5678) E = (123)  Ejemplos 2.2.1. Sean las permutaciones   V = (568) J = (23)(67)  U E = (1234)(5678)(123) (con notación real debería de ser (U ◦ E)(x), pero operamos como (E ◦ U )(x)). El proceso es el siguiente: x 7→ (U (x)) 7→ E(U (x)) = U E(x) y operamos siempre en → este sentido. * U E 2 V JU EV J = (1234)(5678)(123)(123)(568)(23)(67)(1234)(5678) · · · · · · (123)(568)(23)(67) = (124)(3)(578)(6) = (124)(578) Si “nos falta” un número una vez que hemos cerrado el ciclo, empezamos el próximo ciclo por ese número, de tal manera que si ese número no es “fijo” (si no va a sí mismo) algo habremos hecho mal. Los números fijos se pueden eliminar como notación, indicando siempre en qué Sn estamos. * EJU 2 V = (123)(23)(67)(1234)(5678)(1234)(5678)(568) = = (1)(24)(3)(57)(6)(8) = (24)(57) * EV U J = (123)(568)(1234)(5678)(23)(67) = (124)(3)(56)(78) * U EV J = (1234)(5678)(123)(568)(23)(67) = (12) Fix Definición 2.2.4 (Puntos fijos). Sea σ una permutación, se define el conjunto de puntos fijos de σ como F ix(σ) = {i / σ(i) = i}. supp Definición 2.2.5 (Soporte de σ). Dada una permutación σ ∈ Sn se denomina soporte de σ al conjunto supp(σ) = {i / σ(i) 6= i}. conm_perm Proposición 2.2.1. Sean σ, z dos permutaciones, entonces: σ ◦ z = z ◦ σ ⇔ supp(z) ∩ supp(σ) = ∅. ciclo Definición 2.2.6 (Ciclo). Una permutación σ ∈ Sn se denomina ciclo de longitud k si existen índices i1 , · · · , ik tales que supp(σ) = {i1 , · · · , ik } y σ(ii ) = i + 1 ∀ i ∈ {1, · · · , k − 1} y σ(ik ) = i1. En este caso se utiliza la notación abreviada σ := (i1 , · · · , ik ). transp Definición 2.2.7 (Transposiciones). Los 2−ciclos se denominan transposiciones. Ejemplos 2.2.2. σ = (123) (589) (1011) (12131415) (1617) = 3 · 3 · 2 · 4 · 2 − ciclo | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } 3−ciclo 3−ciclo transposición 4−ciclo transposición Proposición 2.2.2. Toda permutación se descompone en ciclos disjuntos. Esto es: ∀ σ ∈ Sn : ∃ σ1 , · · · , σr ∈ Sn , tal que supp(σi ) ∩ supp(σj ) = ∅ y σ = σ1 · · · σr , con i 6= j ∀ i, j ∈ {1, · · · , r}. Definición 2.2.8 (Par e impar). Sea σ ∈ Sn se define r como el no de descomposiciones en las que se descompone σ. Si r es par ⇒ σ par Si r es impar ⇒ σ impar alter_group Definición 2.2.9 (Grupo alternado). Sea n ∈ N se define el n-ésimo grupo alternado, An , como el subgrupo de Sn tal que sus permutaciones son pares, esto es: An := {σ ∈ Sn / σ es par }, An ⊂ Sn , An < Sn. n! n! Además |An | = 2 , por lo que [Sn : An ] = n!/2 = 2 ⇒ An C Sn 20  2.2. Homomorfismos de grupos Ejemplos 2.2.3. Si n = 3 ⇒ S3 = {(1)(2)(3), (12), (13), (23), (123), (132)}. Como |S3 | = 3! = 6, puede ser C6 o D3. En concreto será D3 , ya que no es abeliano (C6 sí es abeliano). Veamos que D3 ' S3. D3 = hr, s / r3 = e, s2 = e, rsr = si y |D3 | = |S3 |. Viendo las relaciones: r = (123) → r3 = e s = (23) → s2 = e rsr = s = (123)(23)(123) = (1)(23) = (23) Como se cumplen las relaciones y tienen el mismo no de elementos, entonces D3 ' S3. 4! Si n = 4 ⇒ S4 = 4! elementos ⇒ A4 = 2 = 12 elementos. A4 = {(1)(2)(3)(4), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } 1 3 3 3 3 3 3 3 3 2 (13)(24), (14)(23)} | {z } | {z } 2 2 Siendo los números que están debajo de cada elemento sus respectivos órdenes. Un grupo que tenga 12 elementos es: D6 = hr, s / r6 = e, s2 = e, rsr = si. Pero como en A4 no hay ningún elemento que tenga orden 6 ⇒ D6  ' A4. Teorema 2.2.5 (Cayley, 1854). Todo grupo finito es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones, esto es: ∀ n ∈ N si G es un grupo tal que |G| = n ⇒ G < Sn. Ejemplos 2.2.4. ¿∃ σ ∈ S9 / σ 7 = (123)? σ 7 = (123) es un 3−ciclo, tal que (σ 7 )3 = σ 21 = Id.    1
 3   Por lo que los posibles órdenes de σ son los divisores de 21 : ¿7?  21 − ciclo   21=   3x7 − ciclo   Si ord(σ) = 7 ⇒ σ 7 = Id = (123), no nos vale, porque queremos que sea distinto a la Id. Si ord(σ) = 3 ⇒ σ 3 σ 3 σ = σ = (123). Por lo que sí existe y es σ = (123). ¿Qué tipo de elementos hay en S8 ? ≤8 + ≤8 + + ≤8 + + + ≤8 8−c 6x2 − c 3x3x2 − c 2x2x2x2 − c 7−c 5x3 − c 4x2x2 − c 6−c 4x4 − c 3x2x2 − c 5−c 5x2 − c 2x2x2 − c 4−c 4x3 − c 3−c 4x2 − c 2−c 3x3 − c Id 3x2 − c 2x2 − c diciclic_group Definición 2.2.10 (Grupo dicíclico). Se define el grupo dicíclico Dyc como Dyc = C2 o S3 , tal que ∃ a, b : ord(a) = 6, ord(b) = 4. Ejercicio. Sean σ = (1234), τ = (12)(34) y γ = (56). a) ¿Quién es G = hσ, τ i ? b) ¿Quién es H = hσ, τ, γi ? 21  2.2. Homomorfismos de grupos Solución. a) Calculando los órdenes de cada elemento de G: e , (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (24) , (14)(23) , (13)(24)} G = {|{z} | {z } | {z } | {z } | {z } |{z} | {z } | {z } 1 σ,4 σ 2 ,2 σ 3 ,4 τ,2 στ =2σ 3 ,2 σ 2 τ =τ σ 2 ,2 σ 3 τ =τ σ,2 Por lo que |G| = 8 y no es abeliano. Puede ser isomorfo a D4 o a Q8 , pero Q8 no puede ser, ya que G tiene más de un elemento de orden 2. Demostremos que G ' D4. σ = (1234) = r, σ 4 = e, στ σ = e τ = (12)(34) = s, τ2 = e Por lo que G ' D4. b) Como hσ, τ i y hγi son disjuntos entonces conmutan, por lo que H es un producto directo, esto es: H = hσ, τ, γi = hσ, τ i × hγi ' D4 × C2 con D4 × C2 = hr, s, a / r4 = e, s2 = 2, rsr = s, a2 = e, ra = ar, sa = asi Cauchy_th Teorema 2.2.6 (Cauchy, 1845). Sea n ∈ N, tal que n = pα αr 1 · · · pr con pi ∈ P, αi ∈ N ∀ i ∈ 1 {1, · · · , r}. Entonces, ∀ pi ∈ P, ∃ ai ∈ G / |hai i| = pi ⇒ ord(ai ) = pi. pi_sub Definición 2.2.11 (pi -subgrupo). Un H < G tal que |H| = pki con 1 ≤ k ≤ αi , se dice que es un pi -subgrupo de Sylow, y se denota por pi − ss, si |H| = pαi i. Ejemplos 2.2.5. Sea G un grupo finito tal que |G| = 23 · 32 · 54. Busquemos sus pi -subgrupos (también los de Sylow).  1  1 5  2    2 5 2−s 22 5−s  3 53 2 : 2 − ss    4 5 : 5 − ss  1 3 3−s 32 : 3 − ss n Definición 2.2.12. Para los pi -ss se define el número mi ∈ N como [G : Hi ] = α pi i = mi. first_sy Teorema 2.2.7 (Primer Th. de Sylow). ∀ k, 1 ≤ k ≤ αi , ∃ H < G, H pi -subgrupo tal que |H| = pki. k = 1 : Utilizar Th. de Cauchy. k = αi : Existen pi -ss. Se define el número ni := número de pi -ss en G. ni ≥ 1. sd_sy Teorema 2.2.8 (Segundo Th. de Sylow). ∀ H pi -subgrupo, ∃ a ∈ G, ord(a) = pli (1 ≤ l ≤ αi ) tal que H a = {aHa−1 / h ∈ H} es un pi -ss. Los pi -subgrupos están relacionados vía la conjugación, son como cajas, siendo las de Sylow las más grandes. ntexto:pi_sub La idea trata en pensar que los primos n = pα αr 1 · · · pr crearan una partición. 1 tr_sy Teorema 2.2.9 (Tercer Th. de Sylow). ∀ i se debe cumplir: 22  2.2. Homomorfismos de grupos i) ni |mi ii) ni ≡ 1(mod pi ) Observación: Si ni = 1, entonces el grupo pi -ss es normal en G. sylow_conf Definición 2.2.13 (Configuración de Sylow). Es una r-upla (n1 , n2 , · · · , nr ) característica de ca- da grupo de Sylow. Una configuración de Sylow no es válida cuando se pasa del número de elementos del grupo (en caso diferente, es válida). Cada configuración de Sylow válida nos da un grupo diferente. La configuración de Sylow no es única. generalization Teorema 2.2.10 (Generalización). Si n = p · q, con p, q ∈ P, p < q, p 6= q − 1 ⇒ ⇒ ∃! G grupo tal que |G| = n = p · q. Observaciones: Si n = p2 , (p ∈ P) ⇒ sólo hay Cp2 y Cp × Cp y no hay grupos no abelianos. Además, |{z} (p6=2) Cp2 6= Cp × Cp. Si H < G y K < G ⇒ HK = {hk / h ∈ H, k ∈ K}, HK  < G. Pero: Si H C G ó K C G ⇒ HK < G. Adicional: Si H C G y K C G ⇒ HK C G. Ejemplos 2.2.6. Sea n = 440 = 23 · 5 · 11, busquemos los subgrupos de Sylow. Empezamos por el primo más grande. n11 =no de 11-ss con 11 elementos. n11 | 440 3 11 = 40 = 2 · 5. Buscamos los divisores de 40, que son: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}. (Truco: Restamos 1 a cada divisor y vemos si son múltiplos de 11). Como n11 ≡ 1(mod 11), luego n11 = 1 ⇒ H11 = 11-ss, tal que H11 C G. n5 = no de 5-ss con 5 elementos. n5 | 440 3 5 = 88 = 2 · 11. Con divisores {1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88}. Análogamente al caso anterior: n5 ≡ 1(mod 5), por lo que n5 ∈ {1, 11}. (Por ahora no podemos concluir nada más). n2 = no de 2 − ss con 23 = 8 elementos. n2 | 440 8 = 55 = 5 · 11. Con divisores {1, 5, 11, 55}. En este caso, n2 ≡ 1(mod 2), por lo que n2 ∈ {1, 5, 11, 55}. n11 → {1} Tenemos: n5 → {1, 11} procedemos a empaquetar n = 440 n2 → {1, 5, 11, 55} n11 → {1} ⇒ n11 = 1 ⇒ ∃! 11-ss. H11 C G (11 elementos con la identidad), 440 − 11 = 429 quedan. n5 → {1, 11} ⇒ n5 = 11 ⇒ ∃ K51 , · · · , K511 5-ss distintos entre sí con 5 elementos cada uno y K5 ∩ K5j = id ∀ i 6= j. Además Card(∪11 i i i j i=11 K5 ) = 11(5 − 1) + (|K5 ∩ K5 | − 1) = 44. Restando el 23  2.2. Homomorfismos de grupos primero 1 porque ya contamos la identidad y el segundo por ser la identidad común a todos. Ahora quedan 429 − 44 = 385 elementos. n2 → {1, 5, 11, 55}. Sea n2 = 55 (se coge el más grande) ⇒ ∃ L12 , · · · , L55 2 2-ss distintos con 23 = 8 elementos. Los posibles resultados de la intersección (Li2 ∩Lj2 ) son {1, 2, 4}. Card(∪55 j j=1 L2 ) = 55(8 − {1, 2, 4}) + ({1, 2, 4} − 1) = {385, 331, 223}. Siendo {385, 331, 223} los posibles resultados validos, pues ninguno se pasa de 385. Tenemos la colección K51 , · · · , K511 < G de 5-ss de 5 elementos cada uno y distintos entre sí. Como H11 C G, H11 K51 , · · · , H11 K511 son subgrupos de G con 55 elementos. Nos preguntamos, ¿son todos ellos iguales? Calculamos |H11 K5i ∩ H11 K5j | = {1
, 5
,  1 1, 55} = 55. (1 y 5 no dividen a 11 y 11 siempre se repite). i Ahora podemos calcular Card(∪11 i=1 H11 K5 ) = 11(55 − 11) + 11 = 495 > 440, que no es válido, ie., no puede haber 11 subgrupos diferentes, como habíamos supuesto, esto es, que no son son distintos. Por tanto, hay un único subgrupo de 55 elementos. simple_group Definición 2.2.14 (Grupo simple). Sea G un grupo tal que @ H C G no trivial (H 6= e, H 6= G), entonces se dice que G es simple. LISTA DE GRUPOS NO SIMPLES: Sean p, q, r ∈ P, n ≥ 1 y G un grupo finito. G no es simple si |G| es alguna de las siguientes opciones: pn q pqr p2 q 2 4pn p3 q 2 12p (p 6= 5) 2n (n impar) NOTA: Como Cp con p ∈ P no tiene subgrupos, entonces no puede tener subgrupos normales, luego Cp , p ∈ P es simple. Es bastante común que nos pidan demostrar, utilizando Sylow, que un grupo NO es simple buscando un normal. 24  2.2. Homomorfismos de grupos Ejemplos 2.2.7. Sea G un grupo infinito tal que |G| = 105 = 3 · 5 · 7, probar que G no es simple. Utilizando Sylow: n7 | 105 7 = 5, con divisores {1, 3, 5, 15}. n7 ≡ 1(mod 7), luego n7 ∈ {1, 15}. n5 | 105 5 = 2, con divisores {1, 3, 7, 21}. n5 ≡ 1(mod 5), luego n5 ∈ {1, 21}. n3 | 105 3 = 35, con divisores {1, 5, 7, 35}. n3 ≡ 1(mod 3), luego n5 ∈ {1, 7}. i Suponemos que n7 = 15, Card(∪15 i=1 K7 ) = 15(7 − 1) + 1 = 91. Quedan 105 − 91 = 14. Si n5 = 21 nos pasamos, luego n5 = 1 → Card(∪1i=1 Li5 ) = 5 − 1 = 4. Quedan 14 − 4 = 10. Eligiendo n3 = 1 se tiene que Card(∪1i=1 H3i ) = 3 − 1 = 2 y quedan 10 − 2 = 8, por lo que no nos pasamos. Luego, (15, 1, 1) es una configuración de Sylow válida, con la que se encuentra un subgrupo normal no trivial, por lo que G no es simple. Diremos que una configuración de Sylow cierra, si no quedan huecos por llenar. Veamos ahora si podemos obtener los 105. Si n7 = 1, Card(∪1i=1 K7i ) = (7 − 1) + 1 = 7. i n5 = 21, Card(∪25 i=1 L5 ) = 21(5 − 1) = 84. n3 = 7, Card(∪7i=1 H3i ) = 7(3 − 1) = 14. Se tiene que 7 + 84 + 14 = 105. Calculando el resto de posibles configuraciones: (1, 21, 7) cierra (1, 21, 1) no cierra pero vale (1, 1, 7) es válida (1, 1, 1) es válida Sea G un grupo tal que |G| = 30, demostrar: a) ∃! 3-ss b) ∃! 5-ss c) ∃! H < G / |H| = 15 n5 |6 → {1, 2, 3, 6} ⇒ n5 ∈ {1, 6}. n3 |10 → {1, 2, 5, 10} ⇒ n3 ∈ {1, 10}. n2 |15 → {1, 3, 5, 15} ⇒ n2 ∈ {1, 3, 5, 15}. a) y b) son equivalentes al demostrar que n3 = 1 y n5 = 1. n5 = 6 → 6(5 − 1) + 1 = 25 n3 = 1 → 1(3 − 1) = 2 n2 = 3 → 3(2 − 1) = 3 La suma resultante de esta configuración es 26 + 2 + 3 = 300, que sí cierra. n5 = 1 → 1(3 − 1) + 1 = 5 n3 = 10 → 10(3 − 1) = 20 n2 = 5 → 5(2 − 1) = 5 Siendo la suma resultante 30, por lo que esta configuración también cierra. Probando las diferentes configuraciones se obtiene que las configuraciones válidas son: (6, 1, 3) (1, 10, 5) (6, 1, 1) (1, 10, 3) (1, 1, 3) (1, 10, 1) (1, 1, 1) (1, 1, 5) (1, 1, 3) (1, 1, 1) 25  2.2. Homomorfismos de grupos En un orden superior: (6, 1, 3) Se tiene que los grupos con 15 elementos son: K3 H51 , · · · , K3 H56 , tal que Card(∪6i=1 K3 H5i ) = 6(15 − {1, 3, 5, 15}) + {1, 3, 5, 15} > 30, por lo que es único, ie., ∃! H < G con |H| = 15. |G| A su vez, |H| = [G : H] = 2 ⇒ H C G, por lo que G no es simple. Proposición 2.2.3. Todo grupo de orden 30 tiene un subgrupo normal de orden 15. (unico normal) abel_galois Teorema 2.2.11 (Abel - Galois). ∀ n ≥ 5 se cumple que el grupo An es simple. Observaciones: Si n < 120, si G grupo es simple es porque : - O bien G es simple por definición. - O bien G es isomorfo a A5. - O bien n ∈ P. Si n ≤ 24, entonces todos los subgrupos de orden n invierten el Th. de Lagrange, excepto A4. Más precisamente, ∀ n ≤ 24, G es CLT, salvo G ' A4. action Definición 2.2.15 (Acción de un grupo sobre un conjunto). Sea (G, ·) un grupo y X un conjunto, ϕ: G×X →X se dice que es una acción de G en X (donde g ∈ G son aplicaciones de X en (g, x) 7→ g(x) X) si cumple: i. (g, x)(h, x) = (gh, x) ∀ h, g ∈ G, ∀ x ∈ X ii. (1, x) = x ∀ x ∈ X orbita Definición 2.2.16 (Órbita de un elemento). Sea x ∈ G, se define la órbita de x como el conjunto Orb(x) = {y ∈ X / g(x) = y}. (Se puede pensar como por donde se ha movido x, habiendo pasado por él todos los elementos). stab Definición 2.2.17 (Estabilizador de un elemento). Sea x ∈ X, se define el estabilizador de x como el subgrupo de G Stab(x) = {g ∈ G / g(x) = x} (Los elementos que lo dejan quieto). Sean x, y ∈ X : Orb(x) ∩ Orb(y) = {∅, Orb(x)}. Se dice que una acción es de conjugación si el grupo actúa sobre sí mismo (GHG−1 ). P |X| = x∈Clase de representación |Orb(x)| Si Gx = G ⇒ x es punto fijo de ϕ. Si ϕ no tiene puntos fijos se dice que es fiel. ϕ : S4 × R4 → R4 Sea σ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (xσ(1) , xσ(2) , xσ(3) , xσ(4) ) √ √ Ejemplos 2.2.8. Sea x = (π, e, 7, 0) ∈ R4 y σ = (1234) ∈ S4. Por lo que σ(x) = (0, π, e, 7). Sea π = h(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)i. | {z } | {z } u u2 1  σ(1) = σ(3) Stab(u1 ) = = {id, (13), (24), (13)(24)} σ(2) = σ(4) Stab(x) < G = S4 F ix(ϕ) = {x ∈ X / Orb(x) = {x}} = h(1, 1, 1, 1)i 26  2.2. Homomorfismos de grupos orb_ec Definición 2.2.18 (Ecuación de órbitas). Sea G un grupo, se verifica: P O(G) = O(Z(G)) + x∈Y,x∈Z(G) / [G : Ox ], donde Y es un sistema de representación de clases. elemento del conjunto X = a+ b + ··· + z. Los círculos son los divisores de ord(G) y a, b, · · · , z son los números de órbitas de elementos, siendo el correspondiente número que multiplica a cada letra. - Si a = 0 ⇒ F ix(ϕ) = ∅. Ejemplos 2.2.9. (No abeliano). Sea D3 = {e, r, r2 , s, rs, r2 s}, calculemos su ecuación de órbitas: Y (sist. de representantes de D3 ) = {[e], [r], [s]}. calculando los órdenes de sus órbitas: |Or | = 2 ⇒ [D3 : Or ] = = 3 |0s | = 3 ⇒ [D3 : Os ] = 36 = 2 6 2 P O(D3 ) = O(Z(D3 )) + x∈X, x∈Z(G) / [D3 : Ox ] ⇒ 6 = 1 + (3 + 2) Sea X un conjunto de 19 elementos, G un grupo tal que |G| = 35 y ϕ : G × X → X una acción sin puntos fijos. Calculemos la ecuación de órbitas de G. 19 = 1a + 5b + 7c + 35d. a = 0, pues no hay puntos fijos y d = 0, pues no se puede tener un elemento que se mueva por 35 sitios si X tiene 19 elementos. Se obtiene: 19 = 5b + 7c ⇒ b = 1, c = 2. Sean G un grupo, |G| = 143 y X un conjunto, |X| = 108 y ϕ la acción de G sobre X, probemos que existen puntos fijos. 108 = 1a + 11b + 13c + 143d. Como 143 > 108 ⇒ d = 0. Si a = 0 no existen puntos fijos. Veamos si 108 = 11b + 13c tiene solución en N × N. b = 6, c = −5, tal que 1 = 11 · 6 + 13 · −5, luego 108 = 11(648) + 13(−540). b = 648 − 13λ x0 = 648, y0 = −540 ⇒ ∀ λ ∈ Z ⇒ ∀ ∈ Z : b, c < 0 ⇒ c = −540 + 11λ @ solución en N × N. Por ende, a 6= 0 y F ix(ϕ) 6= ∅. 27  APÉNDICE A. Clasificación de grupos finitos APÉNDICE A. Clasificación de grupos finitos Se procede a la clasificación de grupos finitos de orden n, tal que n ∈ {2, · · · , 15}. n = 2 : C2 = ha / a2 = ei. n = 3 : C3 = ha / a3 = ei. n=4: ¿CÍCLICO? - SÍ : C4 = ha / a4 = ei. - NO : C2 × C2 = ha, b / a2 = e = b2 , ab = bai. n = 5 : C5 = ha / a5 = ei. n=6: ¿ABELIANO? - SÍ : C6 =' C2 × C3 = ha / a6 = ei. - NO : D3 ' S3 = hr, s / r3 = e, s2 = e, rsr = si. n = 7 : C7 = ha / a7 = ei. n=8: ¿ABELIANO? - SÍ : ¿CÍCLICO? - SÍ : C8 = ha / a7 = ei. - NO : ¿∃ a ∈ G / ord(a) = 4? - SÍ : C4 × C2 = ha, b / a4 = b2 = e, ab = bai. - NO : C2 × C2 × C2 = ha, b, c / a2 = b2 = c2 = e, ac = ca, ab = ba, bc = cbi. - NO : ¿∃ a, b ∈ G / ord(a) = ord(b) = 2? - SÍ : D4 = hr, s / r4 = s2 = e, rsr = si. - NO : Q8 = ha, b, c / ab = c, bc = a, ca = bi. n=9: ¿CÍCLICO? - SÍ : C9 = ha / a9 = ei. - NO : C3 × C3 = ha, b / a3 = b3 = e, ab = bai. n = 10 : ¿ABELIANO? - SÍ : C10 ' C2 × C5 = ha / a10 = ei. - NO : D5 = hr, s / r5 = s2 = e, rsr = si. n = 11 : C11 = ha / a11 = ei. 28  APÉNDICE A. Clasificación de grupos finitos n = 12 : ¿ABELIANO? - SÍ : ¿CÍCLICO? - SÍ : C12 ' C3 × C4 = ha / a12 = ei. - NO : C2 × C6 ' C2 × C2 × C3 = ha, b / a2 = b6 = e, ab = bai. - NO : ¿∃ a ∈ G / ord(a) = 6? - NO : A4 = ha, b, c / a2 = b3 = c3 = ei. - SÍ : ¿∃ b ∈ G / ord(b) = 4? - NO : D6. - SÍ : Dyc (6) = S3 o C2 (dicíclico de 12 elementos). n = 13 : C13 = ha a13 = ei. n = 14 : ¿ABELIANO? - SÍ : C14 ' C2 × C7 = ha a14 = ei. - NO : D7 = hr, s r7 = s2 = e, rsr = si. n = 15 : C15 ' C3 × C5 = ha / a15 = ei. 29 Ejercicios de grupos Ejercicios de grupos Ejercicio 1. [Examen] Sean GL(2; R) = {A ∈ M2x2 (R) / det(A) 6= 0} con la multiplicación de matrices usual y SL(2; R) = {A ∈ M2x2 (R) / det(A) = 1} con la multiplicación de matrices usual. a) Definir φ : GL(2; R) → (R \ {0}, ·) homomorfismo sobreyectivo. b) ¿SL(2; R) C GL(2; R)? c) ¿∃ G1 < GL(2; R) tal que |G1 | = 6 y G1 es abeliano? c) ¿∃ G1 < GL(2; R) tal que |G1 | = 6 y G1 no es abeliano? Solución. a) Una aplicación entre matrices que devuelve un número es el determinante. φ : GL(2; R) → (R \ {0}, ·) A 7→ φ(A) = det(A) · Para que φ sea un homomorfismo tiene que verificar que φ(AB) = φ(A)φ(B) y que φ(I) = 1.   1 0 φ(AB) = det(AB) = det(A) det(B) = φ(A)φ(B) y det = 1, luego φ es un homomor- 0 1 fismo. · φ es sobreyectiva si ∀ a ∈ R \ {0} : ∃ A ∈ GL(2; R) / det(A) = a.     a 0 0 1 0 Basta considerar las matrices A = oA =. 0 1 0 a b) Sean H = SL(2; R), G = GL(2; R). En primer lugar se tiene que H < G (toda matriz con determinante 1 es distinto de 0 en R). Probemos que H es normal, esto es: ∀ A ∈ G : AH = HA. Pero no podemos verificar esta igualdad, pues los grupos no son finitos. Utilicemos otra definición de subgrupo normal: A · H1 = H2 · A ∀ A ∈ G, ∀ H1 ∈ H : ∃ H2 ∈ H tal que A · H1 · A−1 ∈H det(A · H1 · A−1 ) = det(A) · det(H1 ) · det(A−1 ) = 1 ⇒ A · H1 · A−1 ∈ H, luego H C G. Otra forma de probarlo sería hacer Jordan con las matrices para conseguir la igualdad ante- rior. c) Sí ∃ tal G1 < G. Sea G1 ' C6 = hA / A6 = Idi = Giros.   cos(2π/6) − sen(2π/6) Si A = se tiene que A6 = Id. sen(2π/6) cos(2π/6) d) Sí ∃ tal G2 < G con G2 no abeliano. Sea G2 ' D3 = hR, S / R3 = Id, S 2 = Id, RSR = Si     cos(2π/3) − sen(2π/3) 0 ±1 con R = yS= sen(2π/3) cos(2π/3) 1 0     1 a b  Ejercicio 2. [Examen] Sea G ⊂ M3x3 (Z3 ) con G = 0 1 c  /a, b, c ∈ Z3. 0 0 1   a) Probar que todo elemento de G tiene orden 3. b) Calcular el centro de G. Solución. En primer lugar, |G| = 33 = 27 y G no es abeliano, porque el producto de matrices no conmuta. 30  Ejercicios de grupos        1 a b 1 a b 1 a b 1 2a 2b + ac a) A = 0 1 c  ; A2 = 0 1 c  0 1 c  = 0 1 2c  0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1     1 3a 3b + 3ac 1 0 0 A3 = 0 1 3c  = 0 1 0 = Id ⇒ todo elemento de G tiene orden 3. 0 0 1 0 0 1   1 a b b) A = 0 1 c  ∈ Z(G) ⇔ ∀ X ∈ G : AX = XA. Esto es: 0 0 1       1 a b 1 x y 1 x y 1 a b 0 1 c  0 1 z  = 0 1 z  0 1 c  0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1    1 x + a y + az + b 1 x + a y + xc + b 0 1 z + c  0 1 z + c  ⇒ az = xc ⇔ 0 0 1 0 0 1 ⇔ a = c = 0 ∀ (x, y, z). Por lo que el centro de G será:     1 0 b  Z(G) = 0 1 0 /b ∈ Z3 0 0 1   Ejercicio 3. Sea G un grupo tal que |G| = 35, ¿qué información nos da Sylow sobre G? Solución. 35 = 7 · 5. n7 |5 y n7 ≡ 1 (mod 7). A su vez, n5 |7 y n5 ≡ 1 (mod 5), luego n7 ∈ {1, 5} y n5 ∈ {1, 7}. Por tanto, n5 = n7 = 1. Esto implica que G ' H5 × K7 y, como H5 ' C5 y K7 ' C7 ⇒ G ' C35. 31 Ejercicios de grupos Ejercicio 4. Probar que en un grupo de 868 elementos se invierte el Th. de Lagrange (ie. existen subgrupos de todos los órdenes posibles). Solución. n = 868 = 22 · 7 · 31. Hay que probar que existen subgrupos de todos estos órdenes: {1, 2, 4, 7, 14, 28, 31, 62, 124, 217, 434, 868}. Por los Ths. de Sylow aseguramos que hay de: 1, 2, 4, 7, 31, 868. Escogemos sólo los primos y utilizamos la notación de los Ths., tal que: n31 | 868 31 = 28 y n31 ≡ 1(mod 31) → n31 ∈ {1, 2, 4, 7, 14, 28}. n7 | 868 7 = 124 y n7 ≡ 1(mod 7) → n7 ∈ {1, 2, 4, 31, 62, 124}. n2 | 868 22 = 217 y n2 ≡ 1(mod 2) → n2 ∈ {1, 7, 31, 217}. n NOTA: Para hallar el conjunto al que pertenece ni lo útil es hallar los divisores de i y restarles 1 para ver si son múltiplos de i y nos quedamos con los que lo sean. Cada ni es el número de i-ss grupos con imáximo exponente elementos. n31 = 1 → ∃! H31 − ss con 31 elementos. n31 = 1 ⇔ H31 es normal en G ⇒ H31 C G. Nos quedan 868 − 31 = 837 elementos (el neutro ya lo hemos contado). n7 = 1 → ∃! K7 − ss con 7 elementos. n7 = 1 ⇔ K7 C G. Nos quedan 837 − (7 − 1) elementos.(El 1 lo restamos porque ya hemos contado el neutro). n2 ∈ {1, 7, 31, 217}. Cogemos el más grande para ver si nos pasamos. Sea n2 = 217 → 217 2−ss distintos: L12 , · · · , L217 2. |Li2 ∩ Lj2 |i6=j = {1, 2}, con 22 elementos cada uno. i card(∪217 4 −{1, 2}) + {0, 1} = {651, 435}. i=1 L2 ) = 217(|{z} =22 - Las posibles configuraciones son: (1, 1, 217) |Li2 ∩ Lj2 |i6=j =1 (1, 1, 217) |Li2 ∩ Lj2 |i6=j =2 (1, 1, 31) |Li2 ∩ Lj2 |i6=j =1 (1, 1, 31) |Li2 ∩ Lj2 |i6=j =2 (1, 1, 7) |Li2 ∩ Lj2 |i6=j =1 (1, 1, 7) |Li2 ∩ Lj2 |i6=j =2 (1, 1, 1) Los normales son los de orden 7, 31, 217. Como H31 C G y K7 C G, lo que hacemos es crear más grupos a partir de ellos: 0 0 0 0 0 |L2i |·|H31 | Sea L2i < Li2 , con |L2i | = 2, luego L2i · H31 < G, con |L2i · H31 | = mcd(2,31) = 62. Existe un subgrupo de orden 62 por el producto. |Li2 |·|H31 | A su vez, Li2 · H31 < G, con |Li2 · H31 | = mcd(4,31) = 124 ⇒ ∃ subgrupo de orden 124. K7 · H31 C G, (pues ambos son normales en G) con |K7 · H31 | = 7 · 31 = 217. 32  Ejercicios de grupos 0 0 K7 · L2j < G, con |K7 · L2j | = 14. K7 · Lj2 < G, con|K7 · Lj2 | = 28. 0 0 L2k · (H31 · K7 ) < G, con |L2k · (H31 · K7 )| = 434. NOTA: Los superíndices con 0 se refieren a grupos de orden 2, los que no tienen 0 a los de orden 22. Ejerc