Grupos Abelianos y Su Isomorfismo

Un elemento en un grupo es de torsión si su orden es finito.

El conjunto de todos los elementos de torsión en un grupo.

Un grupo es de torsión si todos sus elementos son de torsión.

Un grupo es sin torsión si no tiene elementos de torsión.

Un grupo es finitamente generado si existe un subconjunto finito de elementos cuyos productos pueden generar todos los elementos del grupo.

El número de Betti de un grupo es el número de factores libres en su descomposición.

Los coeficientes de torsión de un grupo son los órdenes de los factores cíclicos en su descomposición.

Un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento.

Un grupo cíclico de orden n es un grupo que puede ser generado por un solo elemento, y donde todos los elementos son potencias de ese elemento. Por ejemplo, C5 es un grupo cíclico de orden 5, ya que puede generarse por el elemento 'a', y todos los elementos de C5 son potencias de 'a' (e, a, a2, a3, a4).

Un grupo abeliano es un grupo donde el orden de los elementos no afecta al resultado de la operación. Es decir, a * b = b * a para cualquier elemento 'a' y 'b' del grupo. En otras palabras, la operación del grupo es conmutativa.

Dos grupos son isomorfos si existe una biyección entre ellos que preserva la estructura del grupo (es decir, que conserva la operación del grupo). Dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, pero con diferentes representaciones.

El orden de un elemento 'a' en un grupo es el menor entero positivo 'n' tal que a^n = e, donde 'e' es el elemento neutro del grupo.

El producto directo de dos grupos, G y H, es un nuevo grupo formado por todos los pares posibles de elementos de G y H, donde la operación se define como (g1, h1) * (g2, h2) = (g1 * g2, h1 * h2).

El teorema de la clasificación de grupos abelianos finitos establece que cualquier grupo abeliano finito puede representarse como un producto directo de grupos cíclicos. Es decir, todo grupo abeliano finito es isomorfo a un grupo de la forma C(n1) x C(n2) x ... x C(nk), donde C(ni) es un grupo cíclico de orden ni.

El teorema de Lagrange establece que el orden de cualquier subgrupo de un grupo finito divide el orden del grupo. Es decir, si H es un subgrupo de un grupo finito G, entonces ord(H) divide a ord(G).

Las clases de isomorfía representan conjuntos de grupos que tienen la misma estructura algebraica, aun cuando sus elementos puedan ser distintos. En este caso, se busca determinar a qué grupo de una lista predefinida es isomorfo un grupo dado.

Para determinar a qué grupo es isomorfo un grupo dado, se puede analizar: el orden de cada elemento, la conmutatividad del grupo, los elementos inversos, etc. Estos métodos ayudan a identificar las propiedades algebraicas del grupo y compararlo con grupos ya conocidos.

La conmutatividad de un grupo se refiere a la propiedad de que el orden de las operaciones no afecta al resultado. En este caso, se busca verificar si el orden inverso (ab = ba) se cumple para todos los elementos del grupo.

La búsqueda de elementos inversos en un grupo consiste en encontrar, para cada elemento del grupo, un elemento que al combinarse mediante la operación del grupo produzca el elemento neutro del grupo. Este análisis ayuda a determinar la estructura algebraica del grupo.

La presentación de un grupo se define mediante un conjunto de generadores (elementos que generan todo el grupo) y relaciones entre ellos (igualdades que deben cumplirse). La presentación proporciona una forma compacta de representar un grupo.

Un subgrupo H de un grupo G es normal en G si para todo elemento g de G, el producto gH (multiplicando g por cada elemento de H) es igual al producto Hg (multiplicando cada elemento de H por g).

El centro de un grupo G es el conjunto de elementos que conmutan con todos los elementos del grupo. Es decir, los elementos x que cumplen xy = yx para cualquier y en G.

El centralizador de un elemento x en un grupo G es el conjunto de elementos que conmutan con x. Es decir, los elementos y que cumplen xy = yx.

El normalizador de un subgrupo H en un grupo G es el conjunto de elementos de G que al conmutar H con ellos, H permanece igual. Es decir, para un elemento g en el normalizador, g-1Hg = H.

La clase de conjugación de un elemento x en un grupo G es el conjunto de elementos que se pueden obtener al conmutar x con cualquier elemento de G. Es decir, la clase de conjugación de x es {g-1xg | g ∈ G}.

Si un subgrupo H de un grupo G se multiplica por un elemento g de la izquierda y por la derecha, y en ambos casos se obtiene el mismo conjunto, entonces H es normal en G. Es decir, gH = Hg para todo g ∈ G.

Un subgrupo H es normal en G si al conmutarlo con cualquier elemento de G, H permanece igual. Es decir, g-1Hg = H para todo g ∈ G.

Todo subgrupo de un grupo abeliano siempre es normal.

Un conjunto de n elementos donde cada elemento se asigna a otro elemento único en el conjunto, creando una relación biyectiva. Se representa como una función biyectiva f: X → X.

La composición de dos permutaciones, donde la segunda permutación se aplica a la imagen de la primera permutación.

La operación de composición de permutaciones se representa como el producto de permutaciones.

Un conjunto de permutaciones que forman un grupo bajo la operación de composición.

El número de veces que un elemento de torsión debe multiplicarse por sí mismo para obtener el elemento neutro del grupo.

La ecuación de órbitas es una expresión que relaciona el número de elementos de un conjunto X con el número de órbitas de la acción de un grupo G sobre X. La ecuación de órbitas se basa en el teorema de Lagrange y en la fórmula de clase. Se presenta como una suma donde el número de órbitas de un cierto tamaño se multiplica por el tamaño de la órbita y esto se suma para obtener el tamaño del conjunto X. La ecuación tiene la forma: |X| = 1a + |G|b + |G|c + ... + |G|d, donde 'a' es el número de puntos fijos, 'b' es el número de órbitas con tamaño |G|, 'c' es el número de órbitas con tamaño |G|/2 y así sucesivamente.

Un punto fijo es un elemento del conjunto X que no se mueve bajo la acción del grupo G. Formalmente, para un elemento x de X, x es un punto fijo si para todo g en G, g.x = x. Los puntos fijos también se conocen como órbitas triviales, ya que consisten en un solo elemento.

La acción de un grupo G sobre un conjunto X es una forma de describir cómo los elementos de G 'actúan' sobre los elementos de X. Formalmente, una acción es un mapeo ϕ : G × X → X que satisface ciertas propiedades: 1) ϕ(e, x) = x para el elemento identidad e de G, 2) ϕ(g1g2, x) = ϕ(g1, ϕ(g2, x)) para todo g1, g2 en G y x en X. La acción de un grupo G sobre un conjunto X define órbitas y estabilizadores, que son conceptos importantes en la teoría de grupos.

El orden de una órbita es el número de elementos en la órbita. Esto es equivalente al índice del estabilizador del elemento en el grupo.

El estabilizador de un elemento es un subgrupo del grupo G que contiene todos los elementos que dejan fijo al elemento. Formalmente, para un elemento x de X, el estabilizador de x es el conjunto de todos los elementos g en G tales que g.x = x. El estabilizador de un elemento es un subgrupo del grupo G. El estabilizador de un elemento es una herramienta importante para comprender la acción de un grupo sobre un conjunto.

La fórmula de clase describe la estructura de un grupo finito en términos de sus clases de conjugación. La fórmula de clase establece que la suma de las cardinalidades de las clases de conjugación de un grupo finito G es igual al orden de G. Esta fórmula relaciona la estructura de un grupo finito con las propiedades de sus clases de conjugación. La fórmula de clase se aplica en la demostración del teorema de Sylow y en la clasificación de los grupos finitos.

Una órbita de un elemento x en X bajo la acción de G es el conjunto de todos los elementos de X que se pueden obtener al aplicar elementos de G a x. Formalmente, la órbita de x es: Orb(x) = {g.x | g ∈ G}. El concepto de órbita es central en la teoría de grupos y se relaciona con la forma en que el grupo actúa sobre los elementos del conjunto.