Esercitazione 1 07/10 PDF

ESERCITAZIONE 1 07/10 - Scelte di investimento/risparmio in condizioni di certezza Per ciascuno dei seguenti enunciati indicare se essi possono considerarsi veri, falsi o incerti fornendo una breve ma esaustiva argomentazione a supporto. 1) Nel modello di scelta intertemporale di consumo e risparm...

ESERCITAZIONE 1 07/10 - Scelte di investimento/risparmio in condizioni di certezza Per ciascuno dei seguenti enunciati indicare se essi possono considerarsi veri, falsi o incerti fornendo una breve ma esaustiva argomentazione a supporto. 1) Nel modello di scelta intertemporale di consumo e risparmio in assenza di incertezza, con un tasso di interesse r costante e superiore al saggio di preferenza intertemporale p, il tasso di crescita del risparmio è sempre negativo; Risposta: Noi sappiamo che sotto queste condizioni il tasso di crescita del consumo è sempre positivo, ma l'affermazione viene effettuata sul tasso di crescita del risparmio. FALSO quello che succede al sentiero del consumo possiamo ricondurlo al differenziale tra tasso di interesse e saggio di preferenza intertemporale attraverso la condizione di Eulero, ma tale condizione fornisce informazioni solo sul profilo del consumo. Essa darebbe anche informazioni sul profilo del risparmio nel caso in cui avessimo informazioni anche sul profilo del reddito: non possiamo stabilire come varia il risparmio nel tempo, se non abbiamo stabilito come varia il reddito nel tempo. Es: se il reddito rimane costante nel tempo e il profilo del consumo è tale per cui il consumo cresce nel tempo, allora il risparmio dovrà decrescere nel tempo. Ma non abbiamo fatto una predizione di questo tipo all'interno del modello, quindi non disponiamo di tutte le informazioni per poter rispondere vero. Esistono alcuni casi in cui l'affermazione è vera e casi in cui è falso. Siccome c'è "sempre" la risposta da dare è falso, perché esistono situazioni in cui è positivo. Si può rispondere anche con incerto purchè l'argomentazione sia coerente. Se non ci fosse stato "sempre" la risposta poteva essere falso o incerto in maniera del tutto equivalente. 2) Nel modello di scelta intertemporale di consumo e risparmio in assenza di incertezza, il consumo è positivo (Ct*>0) solo se il tasso di interesse è superiore al saggio di preferenza intertemporale (r>p); Risposta: FALSO, perché la predizione del modello è sul tasso di crescita del consumo, non sui livelli; la domanda è sui livelli, da questa affermazione si comprende che il consumo è positivo solo se r > p, ma in realtà noi sappiamo che il consumo è sempre positivo per ogni t, anche nell'ipotesi in cui r < p o nel caso in cui r = p. La falsità dell'affermazione risiede nel fatto che c'è scritto "solo se"; se ci fosse stato scritto "se e solo se" la risposta e la relativa argomentazione sarebbero state le stesse del caso proposto. ( ciò incide sulla pianificazione del consumo nel tempo) 3) Nel modello del ciclo vitale con ricchezza iniziale nullo (ao=0), il consumo è costante lungo tutto l'orizzonte di pianificazione degli individui con la stessa vita residua (T). Risposta: VERO, esso rappresenta la prima predizione del modello; infatti, se consideriamo individui che a 𝑡 = 0 entrano nel mercato del lavoro e a 𝑡 = 𝑇 muoiono da 0 a T i soggetti avranno lo stesso livello di consumo. 4) Nel modello del ciclo vitale con ricchezza iniziale nulla, la ricchezza degli individui decresce nel tempo. Risposta: FALSO, perché il punto di partenza è arbitrario; se consideriamo il punto di partenza in corrispondenza dell'età pensionabile la ricchezza decresce ma era cresciuto durante la fase lavorativa, se consideriamo il punto di partenza in corrispondenza della fase lavorativa la ricchezza cresce. ESERCITAZIONE 2 Considerate un modello biperiodale (t=0,1) di consumo e risparmio assumete che sia possibile investire in istruzione ad un costo positivo x e che l'investimento in istruzione renda con certezza k. Assumete inoltre che il reddito da lavoro corrente Yo sia uguale al reddito da lavoro futuro Yi e assumete che il rendimento da lavoro in istruzione (k) si materializzi domani. 𝒙 > 𝟎 𝒌 > 𝟎 𝒀𝒐 = 𝒀𝟏 = 𝒀 > 𝟎 Le uniche informazioni che disponiamo rispetto a quanto detto dall'enunciato sono: - Il rendimento del lavoro in istruzione è uguale per tutti - Non è vero che chi risparmia non decide di investire in istruzione e viceversa. 1) Se 𝒓 = 𝒑 allora il profilo di consumo di chi investe in istruzione è costante nel tempo (𝑪𝒐 ∗= 𝑪𝟏 ∗) Risposta: VERO, consideriamo che tutti i soggetti investono in istruzione e in primo luogo ci chiediamo qual è la differenza tra chi investe in istruzione e chi no? Quello che investe in istruzione avrà: risorse correnti pari a Y - x risorse future paria a Y + k Quello che non investe avrà: risorse correnti pari a Y risorse future paria a Y La differenza è solo nel reddito. In termini analitici risolviamo il problema attraverso un problema di max: massimizzo rispetto a C0 e C1 ed e; dove e è la variabile implicita dell'investimento in istruzione, una funzione definita su consumo corrente e consumo futuro, sotto determinati vincoli: 𝐶𝑂 = 𝑌 − 𝑠0 − 𝑒𝑥 ex→ investimento in istruzione, dove x è il costo di accesso all'istruzione  𝐶1 = (1 + 𝑟) 𝑠0 + 𝑌 + 𝑒𝑘 - Se e=0 il soggetto non ottiene nulla - Se e=1 il soggetto ottiene k che può spendere in termini di consumo Se r=p, la condizione di Eulero è 𝑈′(𝐶𝑜 ∗) = 𝑈’(𝐶1), il che equivale a dire che 𝐶𝑜 = 𝐶1 ∗ Il profilo del reddito non ha nulla a che fare con il profilo del consumo determinato dalla condizione di Eulero. 2) Assumete che r=p allora il consumo corrente di chi non investe in istruzione è uguale al consumo corrente di chi investe in istruzione. Siccome consideriamo r=p non consideriamo la condizione di Eulero, perché la diamo per vera. Supponiamo che ci sono due persone una investe l'altra no e ci chiediamo se il consumo della persona che investe= al consumo della persona che non investe. (𝐶𝑜 ∗ , 𝑒 = 𝑜) = (𝐶𝑜 ∗ , 𝑒 = 1) Risposta: consideriamo che esiste un costo di istruzione x che comporta un esborso e che non può essere utilizzato per il consumo. Se cresce x, a parità di risparmio, decresce il consumo. Quello che determina l'incentivo ad investire in istruzione correla con l'incentivo di trasferire le risorse nel futuro. FALSO (𝐶𝑜 ∗ , 𝑒 = 𝑜) = (𝐶𝑜 ∗ , 𝑒 = 1) ↓ (𝐶1∗ , 𝑒 = 𝑜) = (𝐶1∗ , 𝑒 = 1) Il vincolo di bilancio intertemporale di quelli che non investono in istruzione (e=0) è: Il vincolo di bilancio intertemporale di quelli che non investono in istruzione (e=1) è: Se la relazione (𝐶𝑜 ∗ , 𝑒 = 𝑜) = (𝐶𝑜 ∗ , 𝑒 = 1) fosse vera il membro di destra del vincolo di bilancio di chi investe in istruzione è uguale al membro di destra di chi non investe e stessa cosa anche per i membri 𝑘 di sinistra, questo succede solo quando 𝑥 = 1+𝑟. Per dimostrare che l'enunciato è falso dobbiamo trovare una contraddizione, cioè possiamo 𝑘 dimostrare 𝑥 > allora non può mai valere l'uguaglianza (𝐶𝑜 ∗ , 𝑒 = 𝑜) = (𝐶𝑜 ∗ , 𝑒 = 1). 1+𝑟 3) Assumete che r=p allora o tutti gli agenti investono in istruzione o tutti gli agenti non investono in istruzione. Risposta: VERO, Poiché i livelli di consumo non sono identici: o consuma di più in entrambi i periodi, o consuma meno in entrambi i periodi. La funzione di utilità cresce negli argomenti ed è separabile additivamente. La regola ottimale di investimento sarà tale per cui o tutti investono in istruzione oppure nessuno investe in istruzione, la scelta dipende da quanto grande è il costo attuale dell'investimento rispetto al valore attuale della remunerazione. Se vale questa restrizione → nessun investimento. Se non vale, l’opposto. 4) Assumete che r=p e che il costo dell’investimento in istruzione sia tanto elevato che nessuno investe, allora il risparmio ottimo degli agenti è strettamente positivo. Risposta: FALSO, se i soggetti non investono in istruzione possono investire in qualcos’altro, ma noi sappiamo che il risparmio si desume dal reddito che sappiamo essere costante nel tempo così come il consumo. Siccome reddito e consumo sono costanti il risparmio ottimale sarà uguale a zero. Il costo dell'investimento in istruzione sia elevato disincentiva a investire in istruzione, il fatto che r= p induce un incentivo a spalmare il consumo in maniera omogenea nel tempo. Il risparmio ottimale sarà 0. Ci sono 2 incentivi diversi: il primo contro l’investimento in istruzione, il secondo è a favore di un sentiero del consumo stabile nel tempo. Questo incentivo a favore induce risparmio nullo perché non c’è alcun bisogno per il soggetto di trasferire risorse nel tempo per stabilizzare il consumo perché sa che domani guadagna esattamente quanto guadagna oggi. Se non ha preferenze intertemporali oggi, cioè r=p, il risparmio non può che essere nullo. ESERCITAZIONE 2 10/10 – ETEROGENEITA’ NEI COSTI Considerate il modello di scelta biperiodale di risparmio e investimento in istruzione con costi di istruzione eterogenei verificare che i seguenti enunciati siano veri, falsi o incerti e fornire un’argomentazione 1)Il livello di consumo di primo periodo ottimamente scelto da tutti i soggetti è identico Falso, l’eterogeneità dei costi di istruzione comporta eterogeneità nella scelte di investimento che comporta a loro volta un divario nei livelli di consumo ottimale al tempo 0 e al tempo1 dei soggetti (anche se le preferenze e il reddito sono uguali non hanno lo stesso livello di consumo perché il costo è eterogeneo) 2)Il risparmio ottimale del soggetto 𝑖 e del soggetto 𝑗 che hanno costi diversi 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 , è lo stesso. È possibile che soggetti con costi diversi decidono ottimamente di risparmiare lo stesso quantitativo di reddito? Incerto, se per entrambi i soggetti i costi sono al di sopra della soglia che è unica, tutti e due non investono in istruzione. Una volta che non investono in istruzione, le altre caratteristiche sono uguali perché il costo è irrilevante e quindi avranno lo stesso livello di risparmio, ma dato che non sappiamo dove sono i costi rispetto alla soglia (se al di sopra o al di sotto) non possiamo dire cosa avviene, quindi INCERTO. 3)Considerate due individui 𝑖 e 𝑗 che hanno diversi costi di istruzione 𝑥𝑖 < 𝑥𝑗 ed entrambi decidono ottimamente di investire in istruzione (ovvero 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 < 𝑥̅ ) allora essi hanno lo stesso risparmio ottimale. Falso, in tale caso specifico non è mai vero che il risparmio è lo stesso per entrambi i soggetti. Se entrambi i soggetti investono in istruzione ottengono lo stesso rendimento K, in più, avendo lo stesso reddito da lavoro domani per finanziare il consumo 𝑦1 entrambi avranno domani 𝑦1 + 𝐾, supponiamo ∗ ∗ che il risparmio è uguale 𝑠0,𝑖 = 𝑠0,𝑗 , i due consumi futuri saranno uguali: ∗ ∗ 𝑐1,𝑖 = (1 + 𝑟)𝑠0,𝑖 + 𝑦1 + 𝐾 ∗ ∗ 𝑐1,𝑗 = (1 + 𝑟)𝑠0,𝑗 + 𝑦1 + 𝐾 Data la regola di Eulero: 𝑢′ (𝑐0∗ , 𝑒 = 1) 1+𝑟 ′ ∗ = 𝑢 (𝑐1 , 𝑒 = 1) 1+𝑝 Se il denominatore (consumo futuro) e il membro di destra è uguale siano uguali anche il numeratore è uguale per valere la regola di Eulero, il consumo corrente deve essere lo stesso: ∗ ∗ 𝑐0,𝑖 = 𝑦0 − 𝑠0,𝑖 − 𝑥𝑖 ∗ ∗ 𝑐0,𝑗 = 𝑦0 − 𝑠0,𝑗 − 𝑥𝑗 Se il risparmio è identico abbiamo una contraddizione. Sappiamo per assunzione che 𝑦0 è lo stesso e ∗ ∗ che 𝑥𝑖 e 𝑥𝑗 sono diversi, affinchè i due consumi sono uguali è necessario che 𝑠0,𝑖 ≠ 𝑠0,𝑗 e, in particolare, chi sostiene il costo di istruzione più elevato avrà un risparmio minore, dato che si assume che i costi siano diversi anche il risparmio è diverso. Se il risparmio è uguale hanno lo stesso consumo futuro ma dalla Condizione di Eulero hanno lo stesso consumo corrente, ma dato che i costi sono diversi il risparmio è diverso. → contraddizione. Con eterogeneità dei costi di istruzione c’è anche eterogeneità nelle scelte di investimento e potenziale eterogeneità nel risparmio. 4)Prendiamo due soggetti diversi che scelgono di investire in istruzione ma ottimamente hanno costi di istruzione tali per cui uno investe e l’altro non investe. Come saranno fatti i tassi di risparmio di questi due soggetti? Diversi, chi non investe avrà un risparmio più elevato. Possiamo trovare differenze di risparmio sia se prendiamo soggetti per cui uno investe e uno non investe sia se consideriamo soggetti che investono entrambi (non è detto che se le scelte di investimento sono diverse allora anche il risparmio è diverso perché possiamo avere il caso in cui la scelta è uguale ma il risparmio è diverso)