Esame Mate 2 PDF

## ESERCIZI ESAME MATEMATICA ### ESERCIZI SULLE SERIE **1) { (2/7)**^**n** **}**_**n=1**^**∞** Considerando xo=-1 e il modulo su cui calcolare l'intervallo è x+1. Uso il criterio del rapporto: lim_n→∞ | a_n+1 / a_n | = lim<sub>n→∞</s...

## ESERCIZI ESAME MATEMATICA ### ESERCIZI SULLE SERIE **1) { (2/7)**^**n** **}**_**n=1**^**∞** Considerando xo=-1 e il modulo su cui calcolare l'intervallo è x+1. Uso il criterio del rapporto: lim_n→∞ | a_n+1 / a_n | = lim_n→∞ | (2)ⁿ⁺¹ / (2)ⁿ | = 2 Calcolo il raggio: R=1/2 = 2 Calcolo l'intervallo: -2 < x + 1 < 2 -1 - 2 < x < 2 - 1 -3 < x < 1 **2) { 5**^**n** **/(1+3)**^**n** **}**_**n=1**^**∞** Uso il criterio del rapporto: lim_n→∞ | a_n+1 / a_n | = lim_n→∞ | (5)ⁿ⁺¹ / (1+3)ⁿ⁺¹ * (1+3)ⁿ / 5ⁿ | = 5/4 Calcolo il valore del raggio: R= 1 / (5/4) = 4/5 Calcolo l'intervallo: -1 < x < 1 **3) ∑**_**n=1**^**∞** **(lg(3))**^**n** **/(n+1)**^**n** **(x-2)**^**n** an = (lg(3))ⁿ / (n+1)ⁿ Calcolo il raggio: R= 1/lg(3) Calcolo l'intervallo di convergenza: |x-2| < 1/lg(3) -> 2 - 1/lg(3) < x < 2 + 1/lg(3) **4) ∑**_**n=1**^**∞** **(-1)**^**n** **9**^**n** **- 5**^**n** **/(4n+7)**^**8** **(x-2)**^**n** an = (-1)ⁿ 9ⁿ - 5ⁿ / (4n+7)⁸ Applico il criterio di Cauchy-Hadamard per determinare il raggio di convergenza: R = lim_n→∞ |a_n|^1/n = lim_n→∞ |(-1)ⁿ 9ⁿ - 5ⁿ / (4n+7)⁸ |^1/n = lim_n→∞ |(9ⁿ-5ⁿ ) / (4n+7)⁸ | ^1/n = lim_n→∞ (9ⁿ-5ⁿ)^1/n / (4n+7)^8/n = 9 Calcolo il raggio di convergenza: R= 1/9 Calcolo l'intervallo di convergenza: 2 - 1/9 < x < 2 + 1/9 -> 17/9 < x < 19/9 **5) ∑**_**n=1**^**∞** **n! 2**^**-5n** **(x+2)**^**n** **/(n+3)!** an = n! 2^-5n (x+2)ⁿ / (n+3)! Applico il criterio di Cauchy-Hadamard: lim_n→∞ |a_n+1 / a_n | = lim_n→∞| (n+1)! 2^-5(n+1) (x+2)ⁿ⁺¹/ (n+4)! * (n+3)! / n! 2^-5n (x+2)ⁿ | = lim_n→∞ |(n+1)(x+2) / 2⁵(n+4)(n+3) | = 1/32 Calcolo il raggio di convergenza: R= 32 Calcolo l'intervallo di convergenza: -32 < x+2 < 32 -32-2 < x < 32 - 2 -34 < x < 30 **6) ∑**_**n=1**^**∞** **2**^**2n+1** **3**^**-n** **(x-1)**^**n** **/(n!)**^**2** an = 2²ⁿ⁺¹ 3^-n (x-1)ⁿ / (n!)² Applico il criterio di Cauchy-Hadamard per determinare il raggio di convergenza: R = lim_n→∞| a_n+1 / a_n | = lim_n→∞ |(2)^2(n+1)+1 3^-(n+1) (x-1)ⁿ⁺¹ / ((n+1)!)² * (n!)² / (2)²ⁿ⁺¹ 3^-n (x-1)ⁿ | = lim_n→∞ |4(x-1) / 3(n+1)² | = 0 Calcolo il raggio di convergenza: R = ∞ Calcolo l'intervallo di convergenza: x ∈ R **7) ∑**_**n=1**^**∞** **n!2**^**n** **x**^**n** an = n!2ⁿ Applico il criterio di Cauchy-Hadamard: R = lim_n→∞ |a_n+1 / a_n | = lim_n→∞ |(n+1)!2ⁿ⁺¹ / n!2ⁿ | = lim_n→∞ |2(n+1)| = ∞ Calcolo il raggio di convergenza: R= 0 Calcolo l'intervallo di convergenza: x = 0 **8) ∑**_**n=1**^**∞** **(x-1)**^**n** **/(n-n-4)** an = (x-1)ⁿ / (n-n-4) Applico il criterio di Cauchy-Hadamard : R = lim_n→∞ |a_n+1 / a_n | = lim_n→∞ |(x-1)ⁿ⁺¹ / (n+1-n-4) * (n-n-4) / (x-1)ⁿ | = lim_n→∞ |(x-1) / (-3) | = 1/3. Calcolo il raggio di convergenza: R= 3 Calcolo l'intervallo di convergenza: -3 < x-1 < 3 -> -2 < x < 4 **9) ∑**_**n=1**^**∞** **(-1)**^**n** **(x-3)**^**n** ** / (n)3**^**n** In questo caso utilizzo il criterio del rapporto: lim_n→∞ |a_n+1 / a_n | = lim_n→∞ | (-1)ⁿ⁺¹ (x-3)ⁿ⁺¹ / (n+1) 3ⁿ⁺¹ * (n) 3ⁿ / (-1)ⁿ (x-3)ⁿ | = lim_n→∞ |(x-3) (n) / 3(n+1) | = lim_n→∞ |(x-3) / 3(1+1/n)| = |x-3| / 3 Calcolo il raggio di convergenza: R= 3 Calcolo l'intervallo di convergenza: |x-3| < 3 -> 0 < x < 6 **10) ∑**_**n=1**^**∞** **x**^**n** **/(n-n)** Utilizzo il criterio del rapporto: lim_n→∞ |a_n+1 / a_n | = lim_n→∞ | xⁿ⁺¹/(n+1-n) * (n-n) / xⁿ | = lim_n→∞ |x(n-n)/(n+1)| = |x| Calcolo l'intervallo di convergenza: -1 < x < 1. ### POLINOMIO DI MCLAURIN Formula generale: P_n(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x² / 2! + f'''(0)x³ / 3! + ... + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ / n! Esempio: Risolvere il polinomio di McLaurin di ordine 2: f(x) = ln (x² + 1) - Calcolare f(0): ln(0² + 1) = ln(1)= 0 - Calcolare f'(x): d(ln(x² + 1))/dx = 2x/(x² + 1) - Calcolare f'(0): 2(0) / (0² + 1) = 0 - Calcolare f''(x): - ( x² + 1)(2) - 2x(2x) / (x² + 1)² = -2 / (x² + 1)² - Calcolare f''(0): -2 / (0² + 1)² = -2 - Metto tutto sotto polinomio di McLaurin: P₂(x) = f (0) + f'(0)x + f''(0)x² / 2! = 0 + 0x - 2x² / 2! = -x² ### DERIVATA PRIMA Formula generale: f'(x)= f(x) * d (-x² + 6lnx) / dx -> REGOLA DELLA CATENA Esempio guidato: f(x) = e^{-x² + 6lnx} - Calcolo la derivata dell'esponente: -2x + 6/x - Metto il risultato nella formula: f'(x)= e^{-x² + 6lnx}(-2x + 6/x) - Calcolo i punti critici ponendo la derivata = 0: e^{-x² + 6lnx}(-2x + 6/x)=0 -> -2x + 6/x = 0 -> -2x² + 6 = 0 > Per 0 < x < √3 -> -2x + 6/x > 0, in quanto 6 è dominante su -2x > Per x > √3 -> -2x + 6/x < 0 in quanto -2x è dominante su Quindi: f'(x) > 0 per 0 < x < √3, quindi x = √3 è un punto di massimo. f'(x) < 0 per x > √3 ### INVERSO DI UNA MATRICE I. Calcolare il determinante mediante la formula di Gauss. II. Calcolare il complemento algebrico per ciascun elemento (classe dispari cambia il segno). III. Metto in colonna i risultati trovandomi la matrice aggiunta. IV. Calcolo la matrice inversa dividendo ciascun elemento della matrice aggiunta per il determinante: A^-1= 1/detA * aggiunta(A) Esempio: A = ( 1 2 0 -1 0 0 0 0 1 ) Calcolo il determinante: A = ( 1 2 0 -1 0 0 0 0 1 ) Calcolo le prime 3 diagonali: (1)(-1)(1)+(2)(0)(0)+(0)(1)(0) = -1 Calcolo le ultime 3 diagonali: (0)(-1)(0)+(2)(1)(1)+(1)(0)(0) = 2 Determinante = -1 -(2) = -3 ≠0 quindi è invertibile. Calcolo il complemento algebrico: A₁₁ = (-1 0) = (-1)(1) - (0)(0) = -1 A₁₂ = (1 0) = (1)(1) - (0)(0) = 1 A₁₃= (1 -1) = (1)(0) - (-1)(0)=0 A₂₁ = (2 0) = (2)(1) - (0)(0) = 2 A₂₂ = (1 0) = (1)(1) - (0)(0) = 1 A₂₃ = (1 2 )= (1)(0) - (2)(0) = 0 A₃₁= (2 0)= (2)(0) - (0)(-1) = 0 A₃₂ = (1 0) = (-1)(0) - (1)(0) = 0 A₃₃ = (1 2) = (1)(-1) - (2)(1) = -3 Calcolo la matrice aggiunta: aggiunta(A) = ( - 1 - 2 0 1 1 0 0 0 - 3 ) Calcolo la matrice inversa: A^-1= 1/detA * aggiunta(A) = ( 1/3 2/3 0 -1/3 -1/3 0 0 0 1 ) ### INTEGRALE INDEFINITO Calcolare la divisione tra polinomi se il grado del numeratore è ≥ al grado del denominatore. Riscrivere il rapporto semplificato grazie al primo passaggio. - Scomporre, se necessario, il denominatore per semplificare il calcolo - Cio che ho ottenuto conviene dividerlo in più integrali per facilitare la risoluzione. Esempio: ∫ (x³ - 3x - 1) / (x² - x - 2) dx 1) x³- 3x - 1 / x²- x - 2 = x + 1 + 1 / (x² - x - 2) 2) x² - x - 2 = (x-2)(x+1) 3) 1 / (x² - x - 2) = A / (x-2) + B / (x+1) = (Ax+A+Bx-2B) / (x - 2)(x + 1) -> A + B = 0 e A - 2B = 1 -> A = 1/3 e B = - 1/3. 4) ∫ (x³-3x-1) / (x² - x - 2) dx = ∫ (x + 1 + 1 / (x² - x - 2)) dx = ∫(x + 1)dx + ∫ 1/3(x-2) dx + ∫ -1/3(x+1)dx = x² / 2 + x + 1/3 * ln |x-2| - 1/3 * ln |x+1| + C ### INTEGRALE IMPROPRIO E INDEFINITI Memorizzare le sequenti particolarità: #### PRIMITIVE ELEMENTARI: | f(x) | F(x) | |---|---| | cosx | sinx + c | | sinx | -cosx + c | | e^x | e^x+ c| | a^x | a^x / ln a + c | | 1/x | ln|x| + c | | xⁿ | xⁿ⁺¹ / (n+1) + c | | 1 / (1+x²) | arctan(x) + c | #### PRIMITIVE ELEMENTARI GENERALIZZATE | f(x) | F(x) | |---|---| | f'(x)cos[f(x)]dx | sin[f(x)] + c | | f'(x)sin[f(x)]dx | -cos[f(x)] + c | | f'(x)e^f(x) dx | e^f(x) + c | | f'(x)[f(x)]ⁿ dx | [f(x)]ⁿ⁺¹ / (n+1) + c | | f'(x) / f(x) dx | ln|f(x)| + c | #### INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI | f(x) | F(x) | |---|---| | xⁿ dx | xⁿ⁺¹ / (n+1) + c | | e^x dx | e^x + c | | a^x dx | a^x / (ln a ) + c | | cosx dx | sinx + c | | sinx dx | -cosx + c | | dx/cosx | tanx + c | | dx/sin²x | -cotx + c | | dx/√(1-x²) | arcsinx + c | | dx/(1+x²) | arctanx + c | | arcsinx dx | xarcsinx + √(1-x²) + c | | cos²x dx | sinx + c | #### INTEGRALI RICONDUCIBILI A INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI: | f(x) | F(x) | |---|---| | φ²(x) φ'(x) dx | φ³(x) / 3 + c | | φ'(x) / φ(x) dx | ln|φ(x)| + c | | e^φ(x) φ'(x) dx | e^φ(x) + c | | cosφ(x) φ'(x) dx | sinφ(x) + c | | sinφ(x) φ'(x) dx | -cosφ(x) + c | | φ'(x) / cos²φ(x) dx | tanφ(x) + c | | φ'(x) / √(1-φ²(x)) dx | arcsinφ(x) + c | | φ'(x) / (1 +φ²(x)) dx | arctanφ(x) + c |