Energía PDF - Resumen

Un estudiante trabaja con el sistema pogo-stickstudent, midiendo el aumento de su altura en cada salto. El trabajo que se transforma en energía potencial gravitatoria a la máxima altura, se convirtió en energía cinética al caer y se almacena como fuente de energía potencial después del contacto con...

Un estudiante trabaja con el sistema pogo-stickstudent, midiendo el aumento de su altura en cada salto. El trabajo que se transforma en energía potencial gravitatoria a la máxima altura, se convirtió en energía cinética al caer y se almacena como fuente de energía potencial después del contacto con el suelo. Chris Vuille 5 Energía www.elsolucionario.org Energía es uno de los conceptos más importantes en el mundo de la ciencia. El uso cotidiano de la energía se asocia con el combustible necesario para el transporte y calefacción, con electrici- 5.1 Trabajo dad para la iluminación y aparatos eléctricos y con los alimentos que consumimos. De cualquier 5.2 Energía cinética y el teorema modo, estas asociaciones no dicen qué es la energía, sólo lo que hace, y lo que produce requiere trabajo-energía combustible. Debido a eso, el objetivo en este capítulo es desarrollar una mejor comprensión de la energía y cómo cuantificarla. 5.3 Energía potencial gravitacional La energía está presente en el Universo en una variedad de formas, que incluyen energía 5.4 Energía potencial elástica mecánica, química, electromagnética y nuclear. Incluso la masa inerte de la materia común con- tiene una gran cantidad de energía. Aunque la energía se puede transformar de una clase a 5.5 Sistemas y conservación otra, a la fecha todas las observaciones y experimentos sugieren que la cantidad total de energía de energía en el Universo nunca cambia. Esto también es verdadero para un sistema aislado, un conjunto 5.6 Potencia de objetos que pueden intercambiar energía entre sí, pero no con el resto del Universo. Si una forma de energía en un sistema aislado disminuye, entonces otra forma de energía debe aumen- 5.7 Trabajo realizado por una tar en el sistema. Por ejemplo, si el sistema consiste en un motor conectado a una batería, ésta fuerza variable convierte la energía química a energía eléctrica, y el motor convierte energía eléctrica a energía mecánica. En todas las ciencias es esencial comprender cómo cambia la energía de una forma a otra. Este capítulo se concentra principalmente en la energía mecánica, que es la suma de la ener- gía cinética, es decir la energía asociada con el movimiento, y la energía potencial, la energía asociada con la posición relativa. Con frecuencia utilizar una aproximación de energía para resol- ver ciertos problemas es mucho más fácil que utilizar fuerzas y las tres leyes de Newton. Estos dos diferentes planteamientos se unen a través del concepto de trabajo. 5.1 Trabajo En física, el trabajo tiene un significado diferente del que se utiliza comúnmente. En la definición de la física, un programador realiza muy poco trabajo al mecanografiar con- tinuamente en una computadora. Por el contrario, un constructor puede hacer mucho 124  5.1 | Trabajo 125 trabajo colocando bloques de cemento. En física, se realiza trabajo sólo si un objeto se desplaza de un punto a otro mientras se le aplica una fuerza. Si se duplica cualquiera de los dos, ya sea la fuerza o el desplazamiento, el trabajo se duplica. Duplique los dos, y el trabajo se cuadruplica. Realizar trabajo implica aplicar una fuerza a un objeto mientras se mueve una distancia determinada. La definición de trabajo W puede ser tomada como W 5 Fd [5.1] b Definición intuitiva de trabajo donde F es la magnitud de la fuerza que actúa sobre el objeto y d es la magnitud de despla- zamiento del objeto. Esta definición, sin embargo, sólo da la magnitud del trabajo realiza- do sobre un objeto cuando la fuerza es constante y paralela al desplazamiento, que debe ser a lo largo de una recta. Una definición más formal es necesaria. S La figura 5.1 muestra un bloque que se somete a unS desplazamiento Dx a lo largo de una línea recta mientras actúa en él una fuerza constante F en la misma dirección. Se tiene la siguiente definición: S El trabajo W realizado sobre un objeto mediante una fuerza constante F durante un desplazamiento lineal a lo largo del eje x es W 5 Fx Dx [5.2] b Trabajo realizado por una S fuerza constante a lo largo donde Fx es la componente x de la fuerza F y Dx 5 xf 2 xi es el desplazamiento del de un desplazamiento en objeto. línea recta Unidad SI: joule (J) 5 newton ? metro (N ? M) 5 kg ? m2/s2 S Tenga en cuenta que en una dimensión, Dx 5 xf 2 xi es una magnitud vectorial, como se F definió en el capítulo 2, no una magnitud que podría deducirse de la definición de un vector y su magnitud en el capítulo 3. Por lo tanto, )x puede ser positivo o negativo. El trabajo como se define en la ecuación 5.2 se utiliza únicamente para los desplazamientos S de cualquier objeto a lo largo el eje x, mientras que una fuerza constante actúa sobre él x y, por lo tanto, es conveniente para muchos problemas unidimensionales. El trabajo es Figura 5.1 Una fuerza constante F S un número positivo si Fx y )x son ambas positivas o negativos, en cualquier caso, como se en la misma dirección que el despla- S explica en la siguiente sección, el trabajo aumenta la energía mecánica del objeto. Si Fx zamiento, )x, realiza trabajo F )x. es positivo y )x es negativa, o viceversa, entonces el trabajo es negativo, y el objeto pierde energía mecánica. S La definición en la ecuación 5.2 funciona incluso cuando la fuerza constante F no es paralela al eje x. El trabajo es realizado sólo por la parte de la fuerza que actúa paralelamente a la dirección del movimiento del objeto. Es fácil ver la diferencia entre la definición física y la definición común de trabajo. El programador ejerce muy poca fuerza sobre las teclas de un teclado, al producir sólo pequeños desplazamientos, de tal manera que se realiza relativamente poco trabajo físico. El constructor debe aplicar mayor fuerza en los bloques de cemento y moverlos distancias significativas y así realizar una cantidad de trabajo mucho más grande. No obstante, inclu- so tareas muy fastidiosas no pueden evidenciar trabajo según la definición de la física. Por ejemplo, un chofer de camión puede conducir por varias horas, pero si él no ejerce una fuerza, entonces Fx 5 0 en la ecuación 5.2, y él no realiza trabajo alguno. De la misma ma- nera, un estudiante, al hacer presión contra un muro por horas en un ejercicio isométrico, Tip 5.1 El trabajo es una cantidad escalar tampoco realiza trabajo, debido a que el desplazamiento )x en la ecuación 5.2 es cero.1 Atlas, en la mitología griega, sostiene el mundo sobre sus hombros, pero eso, también, no El trabajo es un simple número, un escalar, no un vector, de tal calificaría como trabajo en la definición de la física. modo que no existe dirección aso- Trabajo es una cantidad escalar, un número, en lugar de un vector; en consecuencia, ciada con él. Además, la energía es más fácil de manejar. Ninguna dirección se asocia con él. Debido a eso, el trabajo no de- y la transferencia de energía son pende explícitamente del tiempo, que puede ser una ventaja en problemas que involucren también escalares. 1 En realidad, gasta energía mientras realiza ejercicio isométrico a causa de que sus músculos se contraen y se relajan de manera continua en el proceso. Este movimiento muscular interno se califica como trabajo de acuerdo con la defi- nición de la física.  www.elsolucionario.org 126 CAPÍTULO 5 | Energía S sólo velocidades y posiciones. Debido a que las unidades de trabajo son las de la fuerza y F distancia, la unidad SI es el newton-metro (N ? m). Otro nombre para el newton-metro es u el joule (J). La unidad de trabajo estándar en Estados Unidos es el pie-libra, ya que en ese F cos u sistema las distancias se miden en pies y las fuerzas, en libras. Una definición alterna relaciona el trabajo realizado sobre un objeto con el ángulo que S el desplazamiento forma con respecto a la fuerza.S Esta definición utiliza el triángulo mostra- x do en la figura 5.2. Las componentes del vector F se pueden escribir como Fx 5 F cos u y Fy 5 S F sen u. Sin embargo, sólo la componente x, que es paralela a la dirección del movimiento, Figura 5.2 Una fuerza constante F ejercida en un ángulo u con respecto hace una contribución distinta de cero no nula al trabajo realizado en el objeto. S al desplazamiento, )x, realiza tra- S bajo (F cos u) )x. El trabajo W realizado sobre un objeto mediante una fuerza constante F durante un S desplazamiento en línea recta Dx es Trabajo realizado por una c fuerza constante en un W 5 (F cos u)d [5.3] ángulo al desplazamiento dondeS d es la magnitud del desplazamiento del objeto y u es el ángulo entre los vec- S tores F y el vector desplazamiento, Dx. S F Unidad SI: joule (J) La definición de la ecuación 5.3 también se puede utilizar de manera más general cuando el desplazamiento no es específicamente a lo largo del eje x o cualquier otro eje. En la figura 5.3 un hombre transporta horizontalmente una cubeta con agua, con ve- locidad constante. La fuerza ascendente ejercida en la cubeta por la mano del hombre es perpendicular a la dirección del movimiento, de esta manera no se realiza trabajo sobre S la cubeta. Además, esto puede ser visto en la ecuación 5.3 debido a que ángulo entre la x fuerza ejercida por la mano y la dirección de movimiento es de 90°, dando cos 90° 5 0 y S S W 5 0. De la misma manera, la fuerza de gravedad no realiza trabajo sobre la cubeta. Fg = m g El trabajo siempre requiere un sistema de más de un objeto. Por ejemplo, un clavo no puede realizar trabajo en sí mismo, pero un martillo puede hacer trabajo sobre el cla- Figura 5.3 Ningún trabajo se rea- liza sobre una cubeta cuando ésta se vo impulsándolo hacia dentro de una tabla. En general, un objeto puede estar en movi- traslada horizontalmente a causa de miento bajo la influencia de varias fuerzas externas. En ese caso, el trabajo total realizado S la fuerza aplicada F que es perpen- sobre el objeto cuando éste se somete a algún desplazamiento es precisamente la suma de dicular al desplazamiento. la cantidad de trabajo realizado por cada fuerza. El trabajo puede ser negativo o positivo. En la definición de trabajo en la ecuación Tip 5.2 El trabajo es 5.3, F y d son magnitudes, que jamás son negativas. Debido a eso, el trabajo es positivo o realizado por algo, negativo dependiendo S de si cos u es positivo o negativo. En su momento, esto depende de S sobre algo la dirección de F relativa a la dirección de Dx. Cuando estos vectores apuntan en la misma El trabajo no resulta por sí dirección, el ángulo entre ellos es 0°, así cos 0° 5 11, y el trabajo es positivo. Por ejemplo, mismo. El trabajo se realiza por cuando un estudiante levanta una caja como en la figura 5.4, el trabajo que hace en la caja algo en el entorno, sobre el objeto es positivo debido a que la fuerza que se ejerce sobre la caja es hacia arriba, en la misma di- de interés. rección que el desplazamiento. De cualquier modo, al bajar la caja lentamente de regreso, el estudiante todavía ejerce una fuerza hacia arriba sobre S la caja, pero el movimiento de la S caja es hacia abajo. Ahora, debido a que los vectores F y Dx están en direcciones opuestas, el ángulo entre ellos es 180° y cos 180° 5 21, y el trabajo S realizado por el estudiante es S S F negativo. En general, cuando la componente es de F paralela a Dx estas apuntan en la S misma dirección que Dx , por lo tanto el trabajo es positivo; de otra manera, es negativo. Ya que las ecuaciones 5.1-5.3 consideran una fuerza constante en dirección y tamaño, S x son casos especiales de una definición más general de trabajo —que se realiza mediante S S una fuerza variable— se tratan de manera breve en la sección 5.7. Fg 5m g Figura 5.4 El estudiante realiza trabajo positivo cuando levanta la caja, debido a que la fuerza aplicada S F está en la misma dirección que el desplazamiento. Cuando baja la caja hacia el piso, él realiza un trabajo negativo.  128 CAPÍTULO 5 | Energía Trabajo y fuerzas disipativas redmal/iStockphoto.com El trabajo producido por fricción es en extremo importante en la vida diaria, ya que es impo- sible llevar a cabo casi cualquier otra clase de trabajo sin él. Así, el esquimal en el último ejemplo, depende de la fricción de la superficie para jalar su trineo. De otra manera, la cuerda se deslizaría de sus manos y no ejercería fuerza alguna sobre el trineo; si se resbala, a él caerá completamente sobre su cara. Los automóviles no funcionarían sin fricción, las bandas no podrían transportar, incluso ni nuestro tejido muscular.. McCrone Photo/Custom Medical El trabajo que se lleva a cabo al empujar o jalar un objeto es la aplicación de una fuerza simple. La fricción, por otro lado, es un proceso complejo ocasionado por numerosas inte- racciones microscópicas sobre el área completa de la superficie en contacto. Considere un bloque de metal que se desliza sobre una superficie de metal. “Dientes” microscópicos en Stock Photo el bloque encuentran por igual irregularidades microscópicas en la superficie subyacente. Presionando entre sí, los dientes se deforman, se calientan y se sueldan a la superficie opuesta. Se debe realizar trabajo rompiendo estos enlaces temporales, y esto viene en el b gasto de la energía de movimiento del bloque, que se explicará en la siguiente sección. La energía que pierde el bloque lo calienta y a su entorno, con alguna energía convertida en El borde de una hoja de afeitar se ve uniforme a simple vista, pero bajo sonido. un microscopio se comprueba que La fuerza de fricción de dos objetos en contacto y en movimiento relativo entre sí tiene abundantes irregularidades. siempre disipa energía en estas formas relativamente complejas. Para nuestro propósito, la frase “trabajo realizado por fricción” indicará el efecto de estos procesos sólo en energía mecánica. www.elsolucionario.org  www.elsolucionario.org 5.2 | Energía cinética y el teorema trabajo-energía 129 5.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía La solución de problemas utilizando la segunda ley de Newton puede ser difícil si las fuer- zas que se incluyen son complejas. Un método alternativo es relacionar la velocidad de un objeto al trabajo neto realizado en él mediante fuerzas externas. Si el trabajo neto puede ser calculado para un desplazamiento determinado, el cambio en la velocidad del objeto es fácil de evaluar. La figura 5.7 muestra un objeto S de masa m que se mueve a la derecha bajo la acción de una fuerza neta constante F neta, también dirigida hacia la derecha. Ya que la fuerza es constante, se sabe a partir de la segunda ley de Newton el objeto seStraslada con acelera- S ción constante a. Si el objeto se desplaza )x, el trabajo realizado por F neta sobre el objeto es Wneto 5 F neta )x 5 (ma))x [5.4] En el capítulo 2, se encontró que las siguientes relaciones se cumplen cuando un objeto es sometido a una aceleración constante: v 2 2 v 02 v 2 5 v 02 1 2a Dx o a Dx 5 2 Podemos sustituir esta expresión en la ecuación 5.4 para obtener S x v 2 2 v 02 Wneto 5 m 2 m S S o bien Fneta Fneta Wneto 5 12mv 2 2 12mv 02 [5.5] S S S S vi  v0 vf  v De este modo, el trabajo neto realizado sobre un objeto es igual a un cambio en una Figura 5.7 Un objeto se somete cantidad de la forma 12 mv2. Debido a que este término lleva unidades de energía e incluye a un desplazamiento y un cambio la velocidad del objeto, puede interpretarse como energía asociada con el movimiento del de velocidad bajo la acción de una S objeto, que conduce a la definición que sigue: fuerza neta constante F neta. 130 CAPÍTULO 5 | Energía Energía cinética c La energía cinética EC de un objeto de masa m en movimiento con velocidad v es EC ; 12mv 2 [5.6] Unidad SI: joule (J) 5 kg ? m /s 2 2 Como el trabajo, la energía cinética es una cantidad escalar. Utilizando esta definición en la ecuación 5.5, se llega a un resultado importante conocido como el teorema trabajo- energía: Teorema trabajo-energía c El trabajo neto relizado sobre un objeto es igual al cambio en la energía cinética: Wneto 5 ECf 2 ECi 5 DEC [5.7] donde el cambio en la energía cinética es debido por completo al cambio en la rapidez del objeto. Es necesaria la condición en la rapidez debido a que el trabajo que deforma o provoca que el objeto se caliente invalida la ecuación 5.7, aunque en la mayoría de los aconteci- mientos siga siendo aproximadamente correcta. A partir de esa ecuación, un trabajo neto positivo Wneto significa que la energía cinética final ECf es mayor que la energía cinética inicial ECi. Esto, en su momento, significa que la velocidad final del objeto es mayor que su velocidad inicial. De esta manera el trabajo neto positivo incrementa la velocidad de un objeto, y el trabajo neto negativo disminuye su velocidad. Además, se puede cambiar la ecuación 5.7 y pensar en la energía cinética como el trabajo que un objeto en movimiento puede hacer hasta llegar al reposo. Por ejemplo, considere que un martillo está a punto de golpear un clavo, como en la figura 5.8. El mo- vimiento del martillo tiene energía cinética y debido a eso puede hacer trabajo sobre el clavo. El trabajo realizado sobre el clavo es F)x, donde F es la fuerza neta promedio ejer- cida sobre el clavo y )x es la distancia que el clavo penetra dentro del muro. Este trabajo, más cantidades pequeñas de energía transformada en calor y sonido, es igual al cambio en energía cinética del martillo, )EC. Por conveniencia, el teorema trabajo-energía fue deducido bajo el supuesto de que la Figura 5.8 El martillo en movi- fuerza neta que actuó en el objeto fue constante. Una deducción más general, que utiliza miento tiene energía cinética y el cálculo, demostraría que la ecuación 5.7 es válida bajo cualquier circunstancia, que in- puede hacer trabajo sobre el clavo, cluye la aplicación de una fuerza variable. impulsándolo hacia dentro de la tabla.  5.2 | Energía cinética y el teorema trabajo-energía 131 Fuerzas conservativas y no conservativas Existen dos tipos generales de fuerzas. A la primera se le conoce como fuerza conser- vativa. Probablemente la gravedad es el mejor ejemplo de una fuerza conservativa. Para comprender el origen de la misma, piense en un clavadista que subió a la parte superior de una plataforma de 10 metros. El clavadista tiene que hacer trabajo contra la gravedad, al escalar. Sin embargo, una vez en la parte superior puede recuperar el trabajo, como energía cinética, al zambullirse. Su velocidad, precisamente antes de entrar en el agua, le dará una energía cinética igual al trabajo que hizo contra la gravedad al escalar hasta la parte superior de la plataforma menos el efecto de algunas fuerzas no conservativas, como la fuerza de arrastre del aire y la fricción muscular interna. Por lo general, una fuerza no conservativa es disipadora, lo que significa que tiende a dis- persar aleatoriamente la energía de los cuerpos sobre los que actúa. Esta dispersión de energía con frecuencia toma la forma de calor o sonido. La fricción cinética y la fuerza de resistencia del aire son buenos ejemplos. Fuerzas propulsoras, semejantes a la fuerza ejercida por un motor de reacción en un avión o por una propela en un submarino, también son no conservativas.  www.elsolucionario.org 132 CAPÍTULO 5 | Energía Figura 5.10 Debido a que el campo de gravedad es conservativo, la clavadista recupera como energía cinética el trabajo que hizo contra la gravedad al subir la escalera. Con- siderando el deslizamiento sin fric- ción, tenemos el mismo resultado. El trabajo realizado para mover el libro es mayor a lo largo del camino rojizo que por el camino azul. El trabajo realizado en contra de una fuerza no conservativa no puede recuperarse  fácilmente. Arrastrar objetos sobre una superficie rugosa requiere trabajo. Cuando el es-  quimal en el ejemplo 5.2 arrastró el trineo a través del terreno que tiene un coeficiente de  Fisic a fricción diferente de cero, el trabajo neto fue menor que en el caso sin fricción. La energía perdida se disipa en calentar el trineo y su entorno. Como se verá en el estudio de la ter-  modinámica, tales pérdidas no pueden evitarse, no toda la energía puede recuperarse, por lo que a estas fuerzas se les conoce como no conservativas. Otra manera de caracterizar a las fuerzas conservativas y no conservativas es medir el trabajo que lleva a cabo una fuerza sobre un objeto desplazado entre dos puntos a lo largo de diferentes trayectorias. El trabajo realizado por la gravedad sobre alguien que se desliza hacia abajo sin fricción, como en la figura 5.10, es igual al que se lleva a cabo sobre el clava- Figura 5.11 Ya que la fricción es dista desde la misma altura. Esta igualdad no se cumple para fuerzas no conservativas. Por una fuerza no conservativa, un libro ejemplo, desplazar un libro directamente desde el punto  hasta el punto  en la figura empujado a lo largo de los tres seg- mentos –, – y – necesita 5.11 necesita una cierta cantidad de trabajo contra la fricción, pero deslizar el libro a lo tres veces más trabajo que empujar largo de los otros tres lados del cuadrado, desde  hasta , de  hasta  y, por último, de el libro directamente desde  hasta . www.elsolucionario.org  hasta , necesita tres veces más trabajo. Esta observación genera la siguiente definición de una fuerza conservativa: Fuerza conservativa c Una fuerza es conservativa si el trabajo realizado al mover un objeto entre dos pun- tos es el mismo sin importar qué trayectoria se considere. Las fuerzas no conservativas, como se ha visto, no tienen esta propiedad. El teorema traba- jo-energía, ecuación 5.7, puede ser reescrita en términos del trabajo invertido por fuerzas conservativas Wc y el trabajo gastado por fuerzas no conservativas Wnc ya que el trabajo neto es precisamente la suma de éstas dos: Wnc 1 Wc 5 )EC [5.8] Tenemos que las fuerzas conservativas poseen otra propiedad útil. El trabajo que realizan se puede modificar como algo que se conoce como energía potencial, una cantidad que depende sólo de los puntos inicial y final de una curva, no de la trayectoria que sigue. 5.3 Energía potencial gravitacional Un objeto con energía cinética (energía de movimiento) puede hacer trabajo sobre otro objeto, casi semejante al de un martillo en movimiento para conducir un clavo dentro de un muro. Un ladrillo en lo alto de una repisa también puede hacer trabajo: puede caer de la repisa, acelerar hacia abajo y golpear firmemente un clavo, conduciéndolo hacia dentro de la duela. Se dice que el ladrillo tiene asociada una energía potencial, debido a que desde su ubicación sobre la repisa puede hacer potencialmente trabajo. La energía potencial es una propiedad de un sistema, en lugar de un solo objeto, ya que se debe a una posición física en el espacio relativa a un centro de fuerza, como el clavadista y la Tierra de la figura 5.10. En este capítulo se define un sistema como un con- junto de objetos que interactúan vía las fuerzas u otros procesos al interior del sistema. Así tenemos que la energía potencial es otra manera de ver cómo se hace trabajo por medio de fuerzas conservativas.  5.3 | Energía potencial gravitacional 133 Trabajo gravitacional y energía potencial El trabajo realizado por la fuerza de gravedad Utilizando el teorema trabajo-energía en problemas que implican gravitación requieren el cuando el libro cae es cálculo del trabajo realizado por la gravedad. Para la mayoría de las trayectorias, por ejem- igual a mgyi  mgyf plo, para una pelota que recorre un arco parabólico, el determinar el trabajo gravitacional realizado sobre la pelota requiere técnicas complicadas de cálculo. Afortunadamente, para Física campos conservativos existe una alternativa simple: la energía potencial. S La gravedad es una fuerza conservativa y, para toda fuerza conservativa, se puede en- mg contrar una expresión especial conocida como una función de energía potencial. Al eva- S y luar esa función en dos puntos cualesquiera en una trayectoria del objeto en movimiento yi Física y encontrando la diferencia nos dará como resultado el negativo del trabajo realizado por esa fuerza entre los dos puntos. Además, es una ventaja que la energía potencial, similar al mg S trabajo y la energía cinética, sea una cantidad escalar. yf La primera etapa es determinar el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto cuando éste se traslada de una posición a otra. El negativo de ese trabajo es el cambio en la energía potencial gravitacional del sistema y, a partir de esa expresión, es posible identi- ficar la función de energía potencial. Figura activa 5.12 En la figura activa 5.12 un libro de masa m cae desde una altura yi hasta una altura yf, Un libro de masa m cae desde una donde la coordenada y positiva representa las posiciones por encima de la superficie del altura yi a una altura yf. suelo. Se desprecia la fuerza de fricción del aire, de tal modo que la única fuerza que actúa sobre el libro es la de gravedad. ¿Cuánto trabajo se realizó? La magnitud de la fuerza S es S mg y el del desplazamiento es )y 5 yi 2 yf (un número positivo), mientras los dos F y Dy están apuntando hacia abajo, de manera que el ángulo entre ellos es cero. Aplicamos la definición de trabajo en la ecuación 5.3, con d 5 yi 2 yf : Wg 5 Fd cos u 5 mg (yi 2 yf ) cos 0° 5 2mg (yf 2 yi ) [5.9] La factorización del signo menos fue intencional, para aclarar la conexión con la ener- gía potencial. La ecuación 5.9 del trabajo gravitacional se cumple para cualquier obje- to, independientemente de su trayectoria en el espacio, ya que la fuerza gravitacional es conservativa. Ahora, Wg aparecerá como el trabajo realizado por la gravedad en el teorema trabajo-energía. Para el resto de esta sección, considere por simplicidad que estamos tra- tando sólo con sistemas que incluyen la gravedad y fuerzas no conservativas. Entonces la ecuación 5.8 se puede reescribir como Wneto 5 Wnc 1 Wg 5 DEC donde Wnc es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Al sustituir la expresión para Wg según la ecuación 5.9, se obtiene Wnc 2 mg (yf 2 yi ) 5 DEC [5.10a] A continuación, sumamos mg(yf 2 yi) en los dos lados: Wnc 5 DEC 1 mg (yf 2 yi ) [5.10b] Ahora, por definición, haremos la conexión entre trabajo gravitacional y energía potencial gravitacional. La energía potencial gravitacional de un sistema que consiste en la Tierra y un obje- b Energía potencial to de masa m cerca de la superficie terrestre se conoce mediante gravitacional EPnc ; mg y [5.11] donde g es la aceleración de la gravedad y y es la posición vertical de la masa relativa a la superficie de la Tierra (o algún otro punto de referencia). Unidad SI: joule (J) En esta definición, y 5 0 corresponde a la superficie de la Tierra, pero esto no es estricta- mente necesario, como se explica en la siguiente subsección. Así tenemos que sólo impor- tan las diferencias en la energía potencial. Por esto, la energía potencial gravitacional asociada con un objeto ubicado cerca de la superficie terrestre es el peso del objeto mg por su posición vertical y sobre de la Tierra. 134 CAPÍTULO 5 | Energía De esta definición, tenemos la correspondencia entre trabajo gravitacional y energía poten- cial gravitacional: Wg 5 2(EPf 2 EPi ) 5 2(mgyf 2 mgyi ) [5.12] El trabajo realizado por la gravedad es el mismo que el negativo del cambio en la ener- gía potencial gravitacional. Por último, sustituyendo la ecuación 5.12 en la ecuación 5.10b se obtiene una exten- Tip 5.3 Energía potencial sión del teorema trabajo-energía: toma dos Wnc 5 (ECf 2 ECi ) 1 (EPf 2 EPi ) [5.13] La energía potencial siempre tiene un sistema de al menos Esta ecuación nos dice que el trabajo realizado por dos fuerzas no conservativas, Wnc, es dos objetos interactuando, por ejemplo, la Tierra y una pelota de igual al cambio de la energía cinética más el cambio en la energía potencial gravitacional. béisbol a través de la interacción En general la ecuación 5.13 resultará verdadera, incluso cuando estén presentes otras la fuerza gravitacional. fuerzas conservativas al lado de la gravedad. El trabajo realizado por estas fuerzas conser- vativas adicionales será modificado otra vez como cambios en la energía potencial y apa- recerá en el lado derecho junto con la expresión para la energía potencial gravitacional. Niveles de referencia para la energía potencial gravitacional En la solución de problemas que involucran a la energía potencial gravitacional, es impor-    tante optar por un punto de referencia en la cual la energía sea igual a cero. Dada la forma de la ecuación 5.11, ésta es la misma cuando elegimos el lugar donde y 5 0. La elección es completamente arbitraria ya que la cantidad importante es la variación de cambio de energía potencial, y ésta será independiente de la elección del punto de referencia. De cualquier modo, una vez que se decide por esta posición, debe permanecer fija para un problema determinado. Mientras sea posible siempre elegir la superficie de la Tierra como la posición de refe- rencia para la energía potencial sea cero, el enunciado de un problema por lo general in- dicará una posición conveniente para utilizarse. Como un ejemplo, sea el caso de un libro con diferentes posiciones posibles, como en la figura 5.13. Cuando el libro está en , un punto de referencia para la energía potencial es la superficie del escritorio. Cuando el li- Figura 5.13 Cualquier nivel de bro está en , el piso podría ser un punto de referencia más conveniente. Por último, una referencia, la mesa, el piso de la ubicación como , donde el libro se mantiene por fuera de una ventana, sugeriría elegir habitación o la superficie del suelo afuera del edificio, se puede utilizar la superficie de la Tierra como el nivel cero de energía potencial. De cualquier modo, la para representar energía potencial elección no marca diferencia. Cualquiera de los tres niveles de referencia podría utilizarse gravitacional de cero en el sistema como nivel cero, independientemente de si el libro está en , , o bien . El ejemplo 5.4 libro-Tierra. explica este punto importante.  www.elsolucionario.org La gravedad y conservación de energía mecánica Los principios de conservación desempeñan un papel muy importante en la física. Cuando una cantidad física se conserva, el valor numérico de la cantidad permanece igual en todo el proceso físico. Aunque la forma de la cantidad puede cambiar en alguna forma, su valor final es igual a su valor inicial. La energía cinética EC de un objeto que cae sólo bajo la influencia de la gravedad cambia de manera constante, como es la energía potencial gravitacional EP. Por lo tanto, es evidente que estas cantidades no se conservan. No obstante, ya que todas las fuerzas no Tip 5.4 Principios conservativas se suponen ausentes, se puede asignar Wnc 5 0 en la ecuación 5.13. Reorde- de conservación nando la ecuación, se llega con el siguiente resultado muy interesante: Existen muchas leyes de conser- ECi 1 EPi 5 ECf 1 EPf [5.14] vación parecida a la conservación de energía mecánica en sistemas De acuerdo con esta ecuación, la suma de la energía cinética y la energía potencial aislados, como en la ecuación gravitacional permanece constante todo el tiempo y, por lo tanto, es una cantidad que 5.14. Por ejemplo, la cantidad de se conserva. Indicamos la energía mecánica total mediante E 5 EC 1 EP y señala que la movimiento lineal, cantidad de movimiento angular y carga energía mecánica total se conserva. eléctrica todas son cantidades Para mostrar cómo funciona este concepto, piense en arrojar una roca de un acantila- que se conservan como se verá do; omita la fuerza de fricción con el aire. Conforme la roca cae, su rapidez aumenta, de más adelante. Las cantidades que tal modo que su energía cinética se incrementa. A medida que la roca se aproxima a la su- se conservan pueden cambiar de perficie de la Tierra, la energía potencial del sistema roca-Tierra disminuye. A medida que forma durante las interacciones la roca se mueve hacia abajo, se pierde cualquier energía potencial, lo que se manifiesta físicas, pero la suma total para un sistema nunca cambia. como energía cinética, y la ecuación 5.14 indica que en ausencia de fuerzas no conservati- 136 CAPÍTULO 5 | Energía vas parecida a la de fricción del aire, el trato de la energía es exactamente el mismo. Esto es verdadero para todas las fuerzas conservativas, no precisamente la gravedad. Conservación de energía c En cualquier sistema aislado de objetos que interactúan sólo a través de fuerzas con- mecánica servativas, la energía mecánica total E 5 EC 1 EP, del sistema, permanece igual en todo momento. Si la fuerza de gravedad es la única fuerza que hace trabajo dentro de un sistema, en- tonces el principio de conservación de energía mecánica adquiere la forma 1 2 mv i 2 1 mgyi 5 12mv f 2 1 mgyf [5.15] Esta forma de la ecuación es particularmente útil para resolver problemas que sólo involu- cran a la gravedad. Términos nuevos tienen que adicionarse cuando se presenten otras fuer- zas conservativas, como se verá en breve. La forma de la ecuación es en particular útil para resolver problemas que involucran explícitamente sólo una masa y gravedad. En ese caso es- pecial, que a menudo se presenta, observe que la masa se anula de la ecuación. Sin embargo, ello es posible sólo porque cualquier cambio en la energía cinética de la Tierra en respuesta al campo gravitacional del objeto de masa m ha sido (adecuadamente) pasado por alto. En general, debe haber términos de la energía cinética para cada objeto en el sistema y térmi- nos de energía potencial gravitacional para cada par de objetos. Se deben sumar términos adicionales cuando otras fuerzas conservativas están presentes, como veremos más adelante. 2 1 3 www.elsolucionario.org Figura activa 5.15 (Examen rápido 5.2) Tres pelotas idénticas se lanzan con la misma velocidad inicial desde la parte superior de un edificio.  www.elsolucionario.org 138 CAPÍTULO 5 | Energía Tip 5.5 ¡No utilice trabajo realizado por la fuerza de gravedad y la energía La gravedad y las fuerzas no conservativas potencial gravitacional! Cuando se incluyen fuerzas no conservativas junto con la gravitación, se debe utilizar el La energía potencial gravitacional teorema trabajo-energía completo, habitualmente con técnicas del capítulo 4. Resolver es sólo otra manera de incluir el problemas requiere el procedimiento básico de la estrategia para la solución de problemas trabajo realizado por la fuerza de para los problemas de conservación de la energía de la sección anterior. La única dife- gravedad en el teorema trabajo- energía. ¡No utilice a las dos en la rencia se encuentra en sustituir la ecuación 5.13, la ecuación trabajo-energía con energía ecuación al mismo tiempo o las potencial, para la ecuación 5.15. contará dos veces! 140 CAPÍTULO 5 | Energía La fuerza del resorte actúa siempre hacia el punto de 5.4 Energía potencial elástica equilibrio, que se encuentra en x  0 en esta figura. Los resortes son elementos importantes en la tecnología moderna. Se encuentran en má- quinas de toda clase, en relojes, juguetes, automóviles y trenes. En este caso se introduci- x0 www.elsolucionario.org rán los resortes; después se estudiarán en más detalle en el capítulo 13. El trabajo realizado por una fuerza aplicada al estirar o comprimir un resorte puede ser recuperado al retirar la fuerza aplicada, como la gravedad, la fuerza del resorte es conser- m vativa. Esto significa que se puede determinar una función de energía potencial y utilizarla en el teorema trabajo-energía. a La figura activa 5.20a muestra un resorte en su posición de equilibrio, donde el re- sorte no está comprimido ni estirado. Al empujar un bloque contra el resorte como en la Para un punto de equilibrio en x  0, la energía potencial figura activa 5.20b se comprime una distancia x. Aunque x parece ser simplemente una del resorte es 12 kx 2. coordenada, para los resortes esto además representa un desplazamiento desde la posición de equilibrio, que para nuestros propósitos siempre será considerada como x 5 0. Expe- rimentalmente, tenemos que para duplicar un desplazamiento determinado se necesita x duplicar la fuerza, mientras que triplicarlo requiere triplicar la fuerza. Esto significa que la fuerza ejercida por el resorte, Fr , debe ser proporcional al desplazamiento x, o bien 1 2 EPs = 2 kx m Fr 5 2kx [5.16] EC i = 0 donde k es la constante de proporcionalidad, la constante del resorte, la cual se expre- b sa en unidades de newtons por metro. La ecuación 5.16 se conoce como ley de Hooke, S x0 v en honor a sir Robert Hooke, quien descubrió la relación. Habitualmente a la fuerza Fr se le conoce como fuerza de restitución debido a que el resorte siempre ejerce una fuerza en m EPs = 0 una dirección opuesta al desplazamiento de su extremo, tendiente a restituir todo lo que EC f = 1 2 mv2 está unido al resorte a su posición original. Para valores positivos de x, la fuerza es negativa, c apuntando de regreso hacia la posición de equilibrio en x 5 0, y para x negativa, la fuerza es positiva, una vez más apuntado hacia x 5 0. Para un resorte flexible, k es un número pe- Figura activa 5.20 a) Un resorte queño (aproximadamente 100 N/m), mientras que para un resorte rígido k es muy grande en equilibrio, ni comprimido ni esti- (aproximadamente 10 000 N/m). El valor de la constante del resorte k se determina a rado. b) Un bloque de masa m sobre partir de cómo se formó el resorte, la composición del material y el espesor del mismo. una superficie sin fricción es empu- El signo menos asegura que la fuerza del resorte siempre está dirigida de regreso hacia el jado contra el resorte. c) Cuando se libera el bloque esta energía se punto de equilibrio. transfiere al bloque en la forma de Como en el caso de la gravedad, una energía potencial, conocida como la energía po- energía cinética. tencial elástica, puede ser asociada con la fuerza del resorte. La energía potencial elástica  www.elsolucionario.org 5.4 | Energía potencial elástica 141 es otra manera de ver cómo se realiza el trabajo mediante un resorte durante el movimien- to ya que éste es igual al negativo del trabajo realizado por el resorte. Además, se puede considerar que la energía almacenada se origina a causa del trabajo realizado al comprimir o estirar el resorte. Considere un resorte horizontal y la masa m en la posición de equilibrio. Determina- mos el trabajo realizado por el resorte cuando es comprimido por una fuerza aplicada desde el equilibrio hasta un desplazamiento x, como en la figura activa 5.20b. La fuerza del resorte apunta en la dirección opuesta al movimiento, de tal modo que se espera que el trabajo sea negativo. Cuando se estudia la fuerza constante de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra, encontramos el trabajo realizado sobre un objeto al multiplicar la fuerza gravitacional por el desplazamiento vertical del objeto. Sin embargo, este pro- cedimiento no puede ser aplicado con una fuerza variable. En lugar de eso, se aplica la } fuerza promedio, F : F0 1 F1 0 2 kx kx F5 5 52 2 2 2 Así que el trabajo realizado por la fuerza del resorte es Wr 5 Fx 5 2 21 kx 2 En general, cuando se estira o se comprime el resorte desde xi hasta xf, el trabajo realizado por el resorte es Wr 5 2 12kx f 2 2 12kx i 2 El trabajo realizado por el resorte puede ser incluido en el teorema trabajo-energía. Su- ponga que la ecuación 5.13 ahora incluye el trabajo realizado por el resorte en el lado izquierdo. Entonces esto se lee Wnc 2 1 2 kx f 2 2 12 kx i 2 5 DEC 1 DEP g donde EPg es la energía potencial gravitacional. Ahora definimos la energía potencial elás- tica asociada con la fuerza del resorte, EPr , mediante EP r ; 12kx 2 [5.17] Sustituyendo la expresión en la ecuación anterior y reordenando términos tenemos la forma nueva del teorema trabajo-energía, que incluye las energías gravitacional y elástica: Wnc 5 (ECf 2 ECi ) 1 (EPgf 2 EPgi ) 1 (EPrf 2 EPri ) [5.18] donde Wnc es el trabajo realizado mediante fuerzas no conservativas, EC es la energía cinéti- ca, EPg es la energía potencial gravitacional y EPr es la energía potencial elástica. EP, utilizada antes para indicar sólo energía potencial gravitacional, en lo sucesivo indicará la energía potencial total de un sistema, que incluye energías potenciales debido a todas las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema. Es importante recordar que el trabajo que llevan a cabo la gravedad y el resorte en cualquier sistema físico determinado está incluido ya en el lado derecho de la ecuación 5.18 como energía potencial y no se incluye a la izquierda como trabajo. La figura activa 5.20c muestra cómo se puede recuperar la energía potencial elástica almacenada. Al liberar el bloque, el resorte regresa a su longitud original, y la energía potencial elástica almacenada se convierte en energía cinética del bloque. La energía po- tencial elástica almacenada en el resorte es cero cuando el resorte está en la posición de equilibrio (x 5 0). Dada por la ecuación 5.17, la energía potencial también se almacena en el resorte cuando se estira. Además de eso, la energía potencial elástica alcanza un máximo cuando el resorte ha logrado su compresión o extensión máxima. Por último, ya que EPr es proporcional a x2, la energía potencial siempre es positiva cuando el resorte no está en la posición de equilibrio. En ausencia de fuerzas no conservativas, Wnc 5 0, el lado izquierdo de la ecuación 5.18 es cero y resulta una forma extendida para la conservación de energía mecánica: (EC 2 EPg 1 EPs)i 5 (EC 2 EPg 1 EPs)f [5.19] 142 CAPÍTULO 5 | Energía Los problemas que involucran resortes, gravedad y otras fuerzas se manejan exactamente de la misma manera como se explicó en la estrategia para la solución de problemas para la conservación de energía mecánica, excepto que en el problema debe definirse el punto de equilibrio de todo resorte, además del punto cero para la energía potencial gravitacional.  5.5 | Sistemas y conservación de energía 145 5.5 Sistemas y conservación de energía Recuerde que el teorema trabajo-energía se puede reescribir como Wnc 1 Wc 5 DEC donde Wnc representa el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas y Wc es el trabajo realizado por las fuerzas conservativas en un entorno físico conocido. Como hemos visto, todo trabajo realizado por fuerzas conservativas, como las fuerzas elástica y de gravedad, puede ser explicado por cambios de energía potencial. Así que es posible rescribir el teo- rema trabajo-energía de la siguiente manera: Wnc 5 DEC 1 DEP 5 (ECf 2 ECi ) 1 (EPf 2 EPi ) [5.20] donde ahora, como se estableció previamente, EP incluye todas las energías potenciales. Esta ecuación es fácil de reordenar como: Wnc 5 (ECf 1 EPf) 2 (ECi 1 EPi ) [5.21] No obstante, recuerde que la energía mecánica total se proporciona mediante E 5 EC 1 EP. Haciendo esta sustitución en la ecuación 5.21, encontramos que el trabajo llevado a cabo en un sistema por todas las fuerzas conservativas es igual al cambio en la energía mecánica de ese sistema: Wnc 5 Ef 2 Ei 5 DE [5.22] Si la energía mecánica está cambiando, ésta tiene que ir a alguna parte. Cualquier energía sale del sistema y entra al entorno, o se establece en el sistema y se convierte en una forma no mecánica como la energía térmica. Un ejemplo simple es el de un bloque que se desliza a lo largo de una superficie rugo- sa. La fricción origina energía térmica; una parte es absorbida por el bloque y la otra se 146 CAPÍTULO 5 | Energía disipa en el medio que lo rodea. Cuando el bloque se calienta, algo que se conoce como energía interna incrementa. La energía interna de un sistema se relaciona con su tempera- tura resultando ésta de la actividad de sus partes, como los átomos móviles de un gas o la vibración de átomos en un sólido. (La energía interna será estudiada en más detalle en el capítulo 10-12.) La energía puede ser transferida entre un sistema no aislado y su medio. Si se realiza trabajo positivo en el sistema, se transfiere energía desde el entorno hacia el sistema. Si se lleva a cabo trabajo negativo en el sistema, se transfiere energía desde el sistema hacia el medio. Hasta ahora, se han encontrado tres métodos de almacenamiento de energía en un sistema: energía cinética, energía potencial y energía interna. Por otro lado, sólo se ha vis- to una manera de transferir energía hacia dentro o hacia fuera de un sistema: a través del trabajo. Otros métodos se estudiarán en capítulos posteriores, pero son resumidos aquí: Trabajo, en el sentido mecánico de este capítulo, se transfiere energía hacia un sis- tema desplazándolo a traves de la aplicación de una fuerza. Calor es el proceso de transferencia de energía a través de colisiones microscópicas entre átomos o moléculas. Por ejemplo, una cuchara de metal en reposo dentro de una taza de café llega a calentarse debido a que una parte de la energía cinética de las moléculas en el café líquido se transfiere a la cuchara como energía interna. Ondas mecánicas transfieren energía creando un disturbio que se propaga a través del aire u otro medio. Por ejemplo, la energía en forma de sonido que deja su sis- tema estéreo a través de las bocinas y entra a sus oídos para estimular el proceso de audición. Otros ejemplos de ondas mecánicas son las ondas sísmicas y las olas. Transmisión eléctrica es cuando se transfiere energía a través de la corriente eléc- trica. Es como la energía que entra a su sistema estéreo o cualquier otro dispositivo eléctrico. Radiación electromagnética es cuando se transfiere energía en la forma de ondas electromagnéticas como la luz, las microondas y las ondas de radio. Ejemplos de este método de transferencia incluyen cocinar una papa en un horno de microon- das y el viaje de energía luminosa desde el Sol hacia la Tierra a través del espacio. APLICACIÓN Conservación de energía en general Movimiento flagelar; La característica más importante del planteamiento de la energía es la idea de que la ener- bioluminiscencia gía se conserva; no se puede crear ni destruir, sólo transferir de una forma a otra. Éste es el principio de conservación de energía. El principio de conservación de energía no está restringido a la física. En biología, las transformaciones de energía se llevan a cabo en innumerables maneras dentro de todos los organismos vivos. Un ejemplo es la transformación de energía química a energía me- cánica que causa que los flagelos se muevan e impulsen un organismo. Algunas bacterias Jan Hinsch/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. utilizan energía química para producir luz. (Véase la figura 5.24.) Aunque el mecanismo que produce estas emisiones lumínicas no es bien entendido, con frecuencia las criaturas dependen de esa luz para su existencia. Por ejemplo, ciertos peces tienen sacos llenos con bacterias luminiscentes debajo de sus ojos. La luz emitida atrae criaturas que se convierten en alimento para el pez. Figura 5.24 Esta pequeña planta, encontrada en aguas meridionales cálidas, exhibe bioluminiscencia, un proceso en el que la energía química se convierte en luz. Las áreas rojas son clorofila y brillan cuando se excitan con luz azul.  www.elsolucionario.org 5.6 | Potencia 147 5.6 Potencia La rapidez con la cual se transfiere energía, potencia, es importante en el diseño y uso de dispositivos prácticos, aparatos domésticos y motores de toda clase. El concepto de po- tencia, sin embargo, es esencial cuando una transferencia de cualquier tipo de energía se lleva a cabo. Este tema es particularmente interesante para criaturas vivas debido a que el trabajo máximo por segundo, o potencia de salida, de un animal varía extensamente con la duración de la salida. La potencia se define como la relación de transferencia de energía con el tiempo: Si una fuerza externa hace trabajo W en un objeto en el intervalo de tiempo )t, en- b Potencia promedio tonces la potencia promedio que entrega al objeto es el trabajo realizado dividido entre el intervalo de tiempo, o bien W P5 [5.23] Dt Unidad SI: watt (W 5 J/s) Algunas veces es útil rescribir la ecuación 5.23 sustituyendo W 5 F )x y notando que )x/)t es la rapidez promedio del objeto durante el tiempo )t: W F Dx P5 5 5 F v# [5.24] Dt Dt De acuerdo con la ecuación 5.24, la potencia promedio es una fuerza constante por la ra- pidez promedio. La fuerza F es la componente de la fuerza en la dirección de la velocidad promedio. Una definición más general, conocida como potencia instantánea, puede ser rescrita a continuación con un poco de cálculo y tiene la misma forma que la ecuación 5.24: P 5 Fv [5.25] b Potencia instantánea 148 CAPÍTULO 5 | Energía En la ecuación 5.25 la fuerza F y la velocidad v deben ser paralelas, pero pueden cambiar con el tiempo. La unidad SI de la potencia es el joule/segundo (J/s), también conocido como watt, en honor a James Watt: 1 W 5 1 J/s 5 1 kg ? m2/s3 [5.26a] La unidad de potencia en el sistema tradicional de Estados Unidos es el caballo de fuerza (hp, del inglés horse power), donde pies # libras 1 hp ; 550 5 746 W [5.26b] s El caballo de fuerza fue definido primero por Watt, quien necesitaba una unidad de po- Tip 5.6 Watts ¿la diferencia? tencia grande para clasificar el rendimiento de energía de su nuevo descubrimiento, la No confundir el símbolo para máquina de vapor. watts W, con el símbolo W para el trabajo. Un watt es una unidad, Comúnmente el watt se utiliza en aplicaciones eléctricas, pero también se puede apli- lo mismo que joules por segundo. car en otras áreas científicas. Por ejemplo, los motores de autos deportivos europeos se Trabajo es un concepto, que lleva especifican en kilowatts. unidades de joules. En la generación de energía eléctrica, se acostumbra a utilizar el kilowatt-hora como una medida de la energía. Un kilowatt-hora (kWh) es la energía que se transfiere en 1 h con la relación constante de 1 kW 5 1000 J/s. Por lo tanto, 1 kWh 5 (103 W)(3 600 s) 5 (103 J/s)(3 600 s) 5 3.60 3 106 J Es necesario darse cuenta que un kilowatt-hora es una unidad de energía, no de poten- cia. Cuando paga su recibo de consumo eléctrico, está pagando energía, y esto es porque su recibo menciona un cargo de electricidad de, digamos, aproximadamente 10 centavos/ kWh. La cantidad de electricidad utilizada por un aparato doméstico se puede calcular multiplicando su potencia de especificación (por lo general expresada en watts y válida sólo para circuitos eléctricos domésticos normales) por el tiempo de funcionamiento del aparato doméstico. Por ejemplo, un foco eléctrico especificado en 100 W (5 0.100 kW) www.elsolucionario.org “consume” 3.6 3 105 J de energía en una hora.  www.elsolucionario.org 150 CAPÍTULO 5 | Energía Energía y potencia en un salto vertical El salto de pie consiste en dos partes: extensión y vuelo libre.2 En la fase de extensión, la persona salta hacia arriba desde una posición en cuclillas, enderezando la piernas y esti- 2 Para más información sobre este tema, véase E. J. Offenbacher, American Journal of Physics, 38, 829 (1969).  5.6 | Potencia 151 Figura 5.27 Extensión y vuelo libre en el salto vertical. vCM = 0 CM vCM H CM vCM = 0 h CM Despegue Extensión Vuelo libre rando hacia arriba los brazos; la fase de vuelo libre se presenta cuando el saltador deja la superficie del piso. Debido a que el cuerpo es un objeto extendido y las diferentes partes se mueven con magnitudes de velocidad distintas, el movimiento del saltador se describe en términos de la posición y velocidad del centro de masa (CM), que es el punto en el cuerpo en el que es posible considerar que toda la masa está concentrada. La figura 5.27 exhibe la posición y velocidad del CM en las diferentes etapas del salto. Utilizando el principio de conservación de energía mecánica, se puede encontrar H, el máximo incremento de altura del CM, en términos de la velocidad vCM de despegue de CM. Considerando EPi, la energía potencial gravitacional del sistema saltador-Tierra justo cuando aquel se eleva desde la superficie del piso es cero y observando que la energía ci- nética ECf del saltador en el máximo es cero, se tiene EPi 1 ECi 5 EPf 1 ECf v CM2 1 2 mv CM 2 5 mgH o bien H5 2g Podemos evaluar vCM al suponer que la aceleración del CM es constante durante la fase de extensión. Si la profundidad del encogimiento es h y el tiempo para la extensión es )t, en- contramos que vCM 5 2}v 5 2h/)t. Mediciones en un grupo de estudiantes muestra valores representativos de h 5 0.40 m y )t 5 0.25 s; el último valor se ajusta por la rapidez fija con la que el músculo se contrae. Al sustituir, obtenemos v CM 5 2(0.40 m)/(0.25 s) 5 3.2 m/s y v CM2 1 3.2 m/s 2 2 H5 5 5 0.52 m 2g 2 1 9.80 m/s2 2 Mediciones en este mismo grupo de estudiantes determinaron que H fue entre 0.45 m y 0.61 m en todos los casos, lo que confirma la validez de nuestro simple cálculo. Al relacionar los conceptos abstractos de energía, potencia y eficiencia con los seres humanos, es interesante calcular estos valores para el salto vertical. La energía cinética que se le proporciona a un cuerpo en un salto es EC 5 12 mvCM2, y para una persona de 68 kg de masa, la energía cinética es EC 5 12 1 68 kg 2 1 3.2 m/s 2 2 5 3.5 3 102 J Aunque esto puede verse como un gasto considerable de energía, podemos hacer un sim- ple cálculo para demostrar que salto y ejercicio por lo general no son buenas maneras para perder peso, a pesar de sus muchos beneficios para la salud. Ya que los músculos con- vierten 25% de la energía química en energía cinética (los músculos siempre producen mucha energía interna y energía cinética así como trabajo, esto es porque usted transpira cuando trabaja), utilizan hasta cuatro veces los 350 J (casi 1400 J) de energía química en un salto. Finalmente, esta energía química proviene de los alimentos que ingerimos, con APLICACIÓN un contenido de energía que se da en unidades de calorías del alimento, y una caloría de Dieta frente a ejercicio en alimento es igual a 4 200 J. ¡De tal manera que la energía total suministrada por el cuerpo programas de pérdida de peso 152 CAPÍTULO 5 | Energía Tabla 5.1 Rendimiento de como energía interna y energía cinética en un salto vertical es sólo aproximadamente un potencia máxima de seres tercio de una caloría de alimento! humanos en diferentes Por último, es interesante calcular la energía mecánica que puede ser generada por el periodos cuerpo en actividades extremas por periodos breves. En este caso encontramos que Potencia Tiempo 3.5 3 102 J EC 2 hp, o bien 1500 W 6s P5 5 5 1.4 3 103 W Dt 0.25 s 1 hp, o bien 750 W 60 s 0.35 hp, o bien 260 W 35 min o (1400 W)(1 hp/746 W) 5 1.9 hp. Por eso los seres humanos pueden producir casi 2 hp 0.2 hp, o bien 150 W 5h de energía mecánica por periodos del orden de segundos. La tabla 5.1 muestra el rendi- 0.1 hp, o bien 75 W 8h miento de potencia máxima de los seres humanos por periodos diferentes mientras monta (nivel diario en bicicleta y rema, actividades en las que es posible observar rendimientos de potencia inofensivo) con exactitud. 5.7 Trabajo realizado por una fuerza variable Suponga que un objeto se está desplazando a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza Fx que actúa en la dirección x y varía con la posición, como se muestra en la figura 5.28. El objeto se desplaza en la dirección en que aumenta x desde x 5 xi hasta x 5 xf. En tal situa- ción, no podemos utilizar la ecuación 5.2 para calcular S el trabajo realizado por la fuerza ya que sólo se aplica esta correspondencia cuando F es constante en magnitud y dirección. Sin embargo, si se piensa que el objeto se somete a un desplazamiento pequeño )x como se muestra en la figura 5.28a, en este caso la componente x de la fuerza en Fx es casi constante en este intervalo, y el trabajo realizado por la fuerza se puede aproximar para este peque- ño desplazamiento como W 1 > Fx Dx [5.27] Esta cantidad es sólo el área del rectángulo sombreado en la figura 5.28a. Si se tiene en www.elsolucionario.org mente que la curva de Fx en función de x se divide en un gran número de tales intervalos, entonces el trabajo total realizado por el desplazamiento desde xi hasta xf es aproximada- mente igual a la suma de las áreas de un gran número de rectángulos pequeños: W 1 > F 1 Dx 1 1 F 2 Dx 2 1 F 3 Dx 3 1 ? ? ? [5.28] Ahora imagínese ir a través del mismo proceso con el doble de intervalos, cada mitad del tamaño del original )x. Entonces los rectángulos tienen anchos muy pequeños y se aproximará mejor el área bajo la curva. Al continuar el proceso de aumentar el número de Figura 5.28 a) El trabajo reali- La suma de las áreas de todos los El área bajo la curva es zado por la componente de la fuerza rectángulos se aproxima al trabajo exactamente igual al trabajo Fx debido a que el desplazamiento realizado por la fuerza Fx sobre la realizado por la fuerza Fx sobre pequeño )x es Fx )x, que es igual al partícula durante su desplazamiento la partícula durante su área del rectángulo sombreado. desde xi a xf. desplazamiento de xi a xf. b) El ancho )x de cada rectángulo es cercano a cero. Fx Área =  A = Fx x Fx Fx Trabajo x x xi xf xi xf x a b  www.elsolucionario.org 5.7 | Trabajo realizado por una fuerza variable 153 intervalos mientras se permite que su tamaño se aproxime a cero, el número de términos Si el proceso del traslado del bloque en la suma crece sin límite, pero el valor de la suma se aproxima a un valor definido igual se lleva a cabo poco a poco, la al área bajo la curva limitada por Fx y el eje x en la figura 5.28b. En otras palabras, el trabajo fuerza aplicada es de igual magnitud realizado por una fuerza variable que actúa en un objeto que se somete a un desplazamien- y en dirección opuesta en todo to es igual al área bajo la gráfica de Fx en función de x. momento a la fuerza del resorte. Un sistema físico común en el que la fuerza varía con la posición consiste en un bloque sobre una superficie horizontal, sin fricción, unido a un resorte, como se explicó en la S S Fs Fap sección 5.4. Cuando el resorte se estira o se comprime una distancia pequeña x desde su posición de equilibrio x 5 0, ejerce una fuerza en el bloque que se conoce mediante Fx 5 2 kx, donde k es la constante de fuerza del resorte. Ahora establezca el trabajo que lleva a cabo un agente externo en el bloque cuando el resorte se estira lentamente desde xi 5 0 hasta xf 5 xmáx, como en la figura activa 5.29a. Este trabajo se puede calcular con facilidad observando que para cualquier S valor del desplaza- xi  0 xf  x máx miento, la tercera ley de S Newton menciona que la fuerza aplicada F ap es igual en magnitud a a la fuerza del resorte F y actúa en la dirección opuesta, de modo que Fap 5 2(2kx) 5 kx. Fap Una gráfica de Fap en términos de x es una línea recta, como se muestra en la figura activa 5.29b. Así que el trabajo realizado por esta fuerza aplicada al estirar el resorte desde x 5 0 hasta x 5 xmáx es el área bajo la línea recta en esa figura, que en este caso es el área del triángulo sombreado: WFap 5 12 kx 2máx Durante este mismo tiempo el resorte ha realizado exactamente la misma cantidad de trabajo, pero ese trabajo es negativo, ya que la fuerza del resorte apunta en la dirección x opuesta al movimiento. La energía potencial del sistema es exactamente igual al trabajo O x máx realizado por la fuerza aplicada y es del mismo signo, lo cual es porque la energía potencial b es considerada como trabajo almacenado. Figura activa 5.29 a) Un bloque que se está jalando desde xi 5 0 hasta xf 5 x máx sobre una superficie sin fric- S ción mediante una fuerza F ap. b) Una gráfica de F ap en términos de x. 154 CAPÍTULO 5 | Energía RESUMEN 5.1 Trabajo 5.2 Energía cinética y el teorema El trabajo realizado en un objeto por una fuerza constante es trabajo-energía W 5 (F cos u) d [5.3] La energía cinética de un cuerpo S x con masa m y rapidez v se conoce donde F es la magnitud de la S mediante m S S F Fneta Fneta fuerza, d es el desplazamiento del objeto y u es el ánguloS entre la u EC ; 1 2 mv 2 [5.6] cos u S S S S dirección de la fuerza F y el des- F vi  v0 vf  v S El teorema trabajo-energía esta- plazamiento Dx. Resolver pro- S blece que el trabajo neto hecho El trabajo neto realizado x S blemas simples requiere sustituir S sobre un objeto de masa m es por una fuerza F net valores en la ecuación. Problemas Una fuerza constante F sobre un objeto, cambia igual al cambio en su energía ci- más complejos, como aquellos aplicada durante un des- la velocidad del objeto. S nética, o bien que involucran fricción, con fre- plazamiento )x realiza un trabajo (F cos u) )x. Wneto 5 ECf 2 ECi 5 DEC [5.7] cuencia utilizanSla segunda ley de S Newton, ma 5 F neta, para determinar fuerzas. Trabajo y energía de cualquier clase lleva unidades de joules. Resolver problemas implica el cálculo del trabajo realizado  | Preguntas de opción múltiple 155 por cada fuerza que actúa sobre el objeto y sumarlas, lo cual y el otro donde se desea conocer la información. Sustituya y es Wneto, seguido por la sustitución de cantidades conocidas resuelva para las cantidades que se desconocen. en la ecuación 5.7, resolviendo para la cantidad desconocida. El trabajo realizado por otras fuerzas, como cuando están Las fuerzas conservativas son especiales: el trabajo realiza- presentes fuerzas de fricción, no siempre es cero. En ese caso, do contra ellas puede ser recuperado: se conserva. Un ejem- identifique dos puntos como antes, calcule el trabajo debido a plo es la gravedad. El trabajo realizado al levantar un objeto las otras fuerzas y resuelva para la incógnita en la ecuación 5.13. hasta cierta altura se almacena eficazmente en el campo de gravedad y puede ser recuperado como la energía cinética 5.4 Energía potencial elástica del objeto simplemente al dejarlo caer. En las fuerzas no con- La fuerza del resorte es conservativa, y su energía potencial servativas, como la fricción en una superficie y la de arrastre, se conoce mediante la energía se disipa en una forma que no se puede recuperar fácilmente. Para explicar tales fuerzas, el teorema trabajo- EP s ; 12kx 2 [5.17] energía puede rescribirse como La energía potencial de un resorte puede colocarse en el teo- Wnc 1 Wc 5 )EC [5.8] rema trabajo-energía, el que entonces se lee donde Wnc es el trabajo que se realiza mediante fuerzas no conservativas y Wc es el trabajo que se hace mediante fuer- Wnc 5 (ECf 2 ECi ) 1 (EPgf 2 EPgi ) 1 (EPsf 2 EPsi ) [5.18] zas conservativas. Cuando están ausentes las fuerzas no conservativas, Wnc 5 0 y la energía mecánica se conserva. 5.3 Energía potencial gravitacional La fuerza gravitacional es un cam- Física S 5.5 Sistemas y conservación de energía po conservativo. La energía poten- S mg El principio de la conservación de energía establece que la y cial gravitacional es otra manera de energía no puede ser creada o destruida. Ésta puede trans- yi Física explicar el trabajo gravitacional Wg : formarse, pero el contenido de energía total de cualquier sis- S yf mg Wg 5 2(EPf 2 EPi ) tema aislado siempre es constante. Lo mismo es verdad para 5 2(mgyf 2 mgyi ) [5.12] el Universo. El trabajo realizado por todas las fuerzas no con- servativas que actúan en un sistema es igual al cambio en la Para determinar el cambio de ener- El trabajo realizado por energía mecánica total del sistema: gía potencial gravitacional confor- el fuerza de la gravedad me un objeto de masa m se desplaza cuando el libro cae es Wnc 5 (ECf 1 EPf) 2 (ECi 1 EPi ) 5 Ef 5 Ei [5.21–5.22] entre dos puntos en un campo gra- igual a mgyi 2 mgyf. donde EP representa todas las energías potenciales presentes. vitacional, se sustituyen los valores de las coordenadas y del objeto. El teorema trabajo-energía se puede generalizar al incluir 5.6 Potencia la energía potencial gravitacional: La potencia promedio es la cantidad de energía transferida dividida entre el tiempo que le toma a la transferencia: Wnc 5 (ECf 2 ECi ) 1 (EPf 2 EPi ) [5.13] W P5 [5.23] El trabajo gravitacional y la energía potencial gravitacional no