Industriële Elektronica Uitgave 2023 PDF

Departement Industrie en Omgeving INDUSTRIELE ELEKTRONICA (uitgave 2023) INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 0 Inleiding Elektronica is begin 20ste eeuw ontstaan als gevolg van de eerste ontwikkelingen in telecommunicatie. Communicatietechniek was gedurende een halve eeuw synoniem met elektronica: eerst telefoon, vervolgens radio- en televisietechniek. Omstreeks WOII zijn de eerste radarsystemen ontwikkeld (detectie) en vervolgens daarna de servosystemen (nauwkeurige positionering). Deze laatste liggen aan de basis van vermogenelektronica. In diezelfde periode komt de ontwikkeling van ontcijfermachines (decodering van boodschappen) tot stand en hiermee was de idee voor de programmeerbare computer geboren. Verdere miniaturisatie van de componenten kwam er door de ontwikkeling van de zgn. halfgeleiders: de komst van de transistor in 1947, en vervolgens het IC in 1958 leidden tot de grote verspreiding van diverse elektronische toestellen. Bovenstaande technieken vinden we terug in alle mogelijke industriële toepassingen. Het is daarom cruciaal dat men inzicht in de materie moeten verwerven. Men kan hierbij starten met reeds opgedane voorkennis van elektriciteit. Eerst gaan we dieper in op enkele uitvoeringsvormen van weerstanden. Wij gaan spanningen en stromen berekenen in netwerken met één of meerdere bronnen. Vervolgens bouwen wij passieve filters en gaan hun gedrag na. Met de halfgeleidercomponenten zoals de diode en de transistor en de operationele versterker, bouwen en bespreken wij een aantal toepassingen. Wij behandelen diverse uitvoeringsvormen van DC-voedingen Tot slot behandelen wij de voorzorgen die moeten genomen worden m.b.t. aarding en interferentie. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 1 INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 2 INHOUD Inhoud Inleiding.............................................................................................................................. 1 Inhoud................................................................................................................................. 3 H0: Inleidende begrippen................................................................................................... 7 1. Ideale spanningsbron....................................................................................... 7 2. Ideale stroombron............................................................................................ 7 3. Theorema van Thévenin................................................................................... 8 4. Theorema van Norton...................................................................................... 9 Herhalingsvragen en oefeningen.............................................................................. 11 H1: Weerstanden.............................................................................................................. 17 1. Vaste weerstanden......................................................................................... 18 2. Variabele weerstanden – handmatig ingesteld............................................. 19 3. Variabele weerstanden met fysische instellingen......................................... 20 4. De normalisatie van weerstandswaarden - E-reeks..................................... 25 Herhalingsvragen en oefeningen.............................................................................. 26 H2. Oplossen van netten met Kirchhoff........................................................................... 29 1. Eerste wet van Kirchhoff (stroomwet of knooppuntenwet).......................... 29 2. Tweede wet van Kirchhoff (spanningswet).................................................... 29 3. Oplossen van een netwerk............................................................................. 31 Herhalingsvragen en oefeningen.............................................................................. 42 H3: Passieve Filters........................................................................................................... 45 1. Probleemstelling............................................................................................. 45 2. Bodediagram.................................................................................................. 46 3. Hoogdoorlaatfilter (HDF)................................................................................ 54 4. Banddoorlaatfilter (BDF)................................................................................ 58 5. Hogere-orde filters......................................................................................... 61 Herhalingsvragen en oefeningen.............................................................................. 63 H4: Dioden........................................................................................................................ 69 1. Halfgeleidertheorie........................................................................................ 69 2. Gegevens van een vermogendiode................................................................ 75 3. Temperatuurgevoeligheid van halfgeleiders................................................. 76 4. Soorten halfgeleiderdiodes............................................................................ 77 5. Instelpunt van een diode................................................................................ 81 6. Gelijkrichters.................................................................................................. 83 7. Zenerdiode..................................................................................................... 89 Herhalingsvragen en oefeningen.............................................................................. 91 H5: De bipolaire transistor................................................................................................ 97 1. Opbouw en structuur..................................................................................... 97 2. Het transistoreffect........................................................................................ 98 3. Het transistor-vervangschema..................................................................... 100 4. De transistor als schakelaar......................................................................... 101 5. De transistor als spanningsvolger (GCS)....................................................... 104 6. De transistor als stroombron....................................................................... 107 7. Transistor als spanningsversterker............................................................... 109 8. De Optocoupler............................................................................................ 110 9. Oefeningen transistor als schakelaar........................................................... 111 INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 3 INHOUD Herhalingsvragen en oefeningen............................................................................ 113 H6: Veldeffecttransistor................................................................................................. 117 1. De Junctie-FET.............................................................................................. 117 2. De JFET als versterker................................................................................... 119 3. De JFET als constante stroombron............................................................... 122 4. Oefeningen JFET........................................................................................... 123 5. De MOSFET................................................................................................... 126 6. De MOSFET als signaalversterker................................................................. 128 Herhalingsvragen en oefeningen............................................................................ 129 H7: De operationele versterker...................................................................................... 131 1. Het IC van de operationele versterker (OV)................................................. 131 2. Openlusversterking...................................................................................... 134 3. Parameters................................................................................................... 136 Herhalingsvragen.................................................................................................... 139 H8: OV met terugkoppeling............................................................................................ 141 1. De inverterende versterker.......................................................................... 141 2. De niet-inverterende versterker.................................................................. 143 3. Uitgewerkte oefeningen............................................................................... 144 Herhalingsvragen.................................................................................................... 145 H9: OV Basisschakelingen.............................................................................................. 146 1. De somversterker......................................................................................... 146 2. De verschilversterker.................................................................................... 146 3. De spanningscomparator............................................................................. 147 4. De spanningsvolger (buffer)......................................................................... 151 5. Actieve gelijkrichter...................................................................................... 152 6. Uitgewerkte oefeningen............................................................................... 153 Herhalingsvragen.................................................................................................... 156 H10: OV met externe vermogentrap.............................................................................. 157 1. Opamps voor kleine signalen....................................................................... 157 2. Vermogenopamps........................................................................................ 157 3. Gebruik van externe eindtransistoren......................................................... 157 Herhalingsvragen.................................................................................................... 161 H11: Tijdsafhankelijke schakelingen............................................................................... 163 1. De actieve integrator.................................................................................... 163 2. De actieve differentiator.............................................................................. 169 3. Regelversterkers........................................................................................... 171 4. Uitgewerkte oefeningen............................................................................... 172 Herhalingsvragen.................................................................................................... 176 H12: Klassieke netvoedingen.......................................................................................... 177 1. Opbouw........................................................................................................ 177 2. Afvlakking..................................................................................................... 178 3. Wisselstroomgedrag van een voeding......................................................... 180 5. Spanningsstabilisatie met Zenerdiode......................................................... 182 6. Spanningsstabilisatie met serieregelaar...................................................... 183 7. Serieregelaar met grote uitgangsstroom..................................................... 184 8. Seriestabilisatie met stroombegrenzing...................................................... 185 9. Stroombegrenzing met “current-foldback”................................................. 186 INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 4 INHOUD 10. Uitgewerkte oefeningen............................................................................... 188 11. Geïntegreerde spanningsregelaars.............................................................. 191 Herhalingsvragen en oefeningen............................................................................ 195 H13: Schakelende voedingen......................................................................................... 202 1. Nadelen van klassieke netvoedingen........................................................... 202 2. Voordelen van schakelende voedingen....................................................... 203 3. Principeschema van een schakelende voeding............................................ 204 4. Schakelende regelaars.................................................................................. 205 5. Step-down regelaar...................................................................................... 206 6. Step-up-regelaar........................................................................................... 209 7. Inverterende schakelende regulator............................................................ 211 8. Pulsbreedtemodulator................................................................................. 213 9. Nadelen van een schakelende voeding........................................................ 214 Herhalingsvragen en oefeningen............................................................................ 215 H14: Signalen.................................................................................................................. 218 1. Het frequentiespectrum............................................................................... 218 2. Harmonische vervorming............................................................................. 222 3. Belang van het frequentiespectrum............................................................. 223 Herhalingsvragen.................................................................................................... 224 H15: EMC........................................................................................................................ 226 1. Elektromagnetisme...................................................................................... 226 2. Storingen...................................................................................................... 228 3. Overdracht van storingen............................................................................. 229 4. Afschermen van storingen........................................................................... 232 5. Aarding en afscherming............................................................................... 237 6. Aardingslussen.............................................................................................. 239 7. EMC-normering............................................................................................ 241 Herhalingsvragen.................................................................................................... 243 Bijlage 1: Kleurcodes....................................................................................................... 244 Bijlage 2. SI-voorvoegsels............................................................................................... 246 Bijlage 3. SI-eenheden uit de elektrotechniek................................................................ 247 Bijlage 4. Diodeparameters............................................................................................ 248 Bijlage 5. Transistorparameters...................................................................................... 250 Bibliografie...................................................................................................................... 254 INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 5 INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 6 INLEIDENDE BEGRIPPEN H0: Inleidende begrippen 1. Ideale spanningsbron Een ideale spanningsbron is een bron die een constante spanning levert onafhankelijk van de erop aangesloten uitwendige belasting. Deze bron heeft dus nul eigen inwendige weerstand. De stroomsterkte die de bron levert wordt bepaald door de aangesloten belasting. Is de belasting groot of klein, de spanning over de klemmen van deze bron blijft onveranderd. Wij noteren de constante klemspanning van deze ideale spanningsbron als U = E. Symbool ideale spanningsbron In het denkbeeldige geval van een uitwendige belastingsweerstand Rb = 0Ω (kortgesloten klemmen), zou een oneindig grote stroom door deze ideale spanningsbron geleverd worden. Dergelijk randfenomeen gaat natuurlijk niet op. Een ideale spanningsbron mag daarom nooit worden kortgesloten. Numerieke voorbeelden voor een ideale spanningsbron met spanning E = U = 10V: Open kring: belastingsweerstand Rb = oneindig ➔ I = 0A, klemspanning U = 10V Belastingsweerstand Rb = 1Ω ➔ I = 10A, klemspanning U = 10V Belastingsweerstand Rb = 0,001Ω ➔ I = 10kA, klemspanning U = 10V In de praktijk is geen enkele spanningsbron ideaal, en heeft deze steeds een inwendige weerstand, die weliswaar zo klein mogelijk gehouden wordt. 2. Ideale stroombron Een ideale stroombron is een bron die in een kring een gegeven constante stroom I levert onafhankelijk van de erop aangesloten uitwendige belasting. De spanning over de bronklemmen wordt aangepast zodat de gegeven stroom doorheen de belasting vloeit. Is de uitwendige belastingsweerstand Rb = 0Ω, m.a.w. indien een stroombron kortgesloten wordt, blijft dezelfde constante stroom twee verschillende vloeien. De spanning U over de klemmen van de stroombron U = I.Rb voorstellingswijzen van een ideale is dan eveneens nul. stroombron In het geval van een open kring, d.w.z. belastingsweerstand Rb = oneindig, zou de stroombron de spanning over de klemmen oneindig moeten opdrijven om de gewenste stroom te laten vloeien, wat niet kan. Op een ideale stroombron moet bijgevolg altijd een eindige belasting aangesloten zijn, d.w.z. met eindige ohmse waarde. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 7 INLEIDENDE BEGRIPPEN Numerieke voorbeelden voor een ideale stroombron met gegeven I = 10mA: Rb = 1Ω ➔ I = 10mA, klemspanning U = 10mV Rb = 1KΩ ➔ I = 10mA, klemspanning U = 10V Rb = 1MΩ ➔ I = 10mA, klemspanning U = 10kV Praktisch gesproken is geen enkele stroombron ideaal. In de praktijk kan de stroom slechts binnen een beperkt bereik constant gehouden worden, omdat de klemspanning gebonden is aan zekere eindige onder- en bovenlimieten. 3. Theorema van Thévenin Het theorema van Thévenin stelt dat een netwerk dat bestaat uit spanningsbronnen, stroombronnen en weerstanden, tussen twee aansluitpunten A en B, vervangen kan worden door één enkele ideale spanningsbron in serie met één weerstand. Dit laatste wordt het Thévenin-equivalent schema genoemd. Dit bestaat uit een nieuwe spanningsbron met de zogeheten Thévenin-spanning (Eth) en de serieweerstand die de Thévenin-weerstand (Rth) wordt genoemd. Figuur: een brontweepool met aansluitklemmen A en B bestaande uit weerstanden, spanningen- en stroombronnen kan vervangen worden door een Thévenin-equivalent schema. (de weerstanden in deze figuur zijn weergegeven in US-notatie) Dit vormt een krachtige vereenvoudigingstechniek. Onderstellen wij volgend netwerk waarvan wij het Thévenin-equivalent wensen te maken: Om het vervangingsschema te bepalen gaat men als volgt te werk: 1. Bepaal de Thévenin-spanning ETH, dit is de spanning tussen punten A en B. 2. Bepaal de Thévenin-weerstand RTH, dit is de weerstand die men tussen de punten A en B meet, indien men alle spanningsbronnen vervangt door een kortsluiting (figuur onder midden). INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 8 INLEIDENDE BEGRIPPEN In het geval van een stroombron – wat hieronder nu niet het geval is – zal men de stroombron gewoon weglaten. Men bekomt dan in de figuur onder rechts het Thévenin-equivalent schema gevormd door een bron van 6V (ETH) en een serieweerstand (RTH) van 110ohm. In stappen: oorspronkelijk schema en bepalen ETH, bepalen van RTH, rechts het Thévenin-equivalent. 4. Theorema van Norton Het theorema van Norton stelt dat elk netwerk dat bestaat uit spanningsbronnen, stroombronnen en weerstanden tussen punten A en B geschreven kan worden als één enkele stroombron in parallel met één weerstand. Dit wordt het Norton-equivalent schema genoemd. Figuur: een brontweepool bestaande uit weerstanden, spanningen- en stroombronnen kan vervangen worden door een Norton-equivalent schema. (weerstanden in figuur weergegeven in US-notatie) Deze stroombron levert de Norton-stroom (INO, ook wel de kortsluitstroom IK genoemd) en de parallelweerstand is de Norton-weerstand (RNO). Dit vormt een krachtige vereenvoudigingstechniek. Hernemen wij voorgaand netwerk waarbij wij het Norton-equivalent schema wensen te bepalen: INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 9 INLEIDENDE BEGRIPPEN Om dit vervangingsschema op te stellen gaat men als volgt te werk: 1. Bepaal de Norton stroom INO, dit is de stroom die door de twee punten A en B vloeit indien men beide punten gaat kortsluiten (figuur midden onder). INO = IK. 2. Bepaal de Norton weerstand RNO, dit is de weerstand die men tegenover de twee zelfde punten meet indien met alle spanningsbronnen vervangt door een kortsluiting en de stroombronnen , hier in dit voorbeeld niet aanwezig, vervangt door een open keten. Dit laatste zou overeen komen met het weglaten van de stroombronnen. De aandachtige lezer merkt meteen op dat de waarde van de Norton-weerstand identiek is aan deze van de Thévenin-weerstand (RNO = RTH). Voorbeeld: In stappen: oorspronkelijk schema, bepalen van INO, rechts het Norton-equivalent (waar RNO = RTH). Tip: aangezien de Norton stroom INO gelijk is aan de korstluitstroom IK is het soms makkelijker om in de berekeningen – indien men reeds een Thévenin equivalent schema heeft uitgerekend - de kortsluitstroom via het Thévenin-equivalent te berekenen, nl. IK = UTH/RTH INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 10 INLEIDENDE BEGRIPPEN Herhalingsvragen en oefeningen 1. Leg uit wat een ideale spanningsbron is en geef het symbool. 2. Leg uit wat een ideale stroombron is en geef beide symbolen. 3. Formuleer het theorema van Thévenin en geef het stappenplan om het Thévenin- equivalent schema te bepalen van een netwerk met weerstanden, spanningsbronnen, en stroombronnen. 4. Formuleer het theorema van Norton en geef het stappenplan om het Norton- equivalent schema te bepalen van een netwerk met weerstanden, spanningsbronnen, en stroombronnen. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 11 INLEIDENDE BEGRIPPEN Oefeningen Bepaal Thévenin en Norton equivalenten van volgende schema’s (klemmen + en -). 1. 2. 3. 4. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 12 INLEIDENDE BEGRIPPEN Oplossingen 1. Bepaal de Thévenin-spanning ETH, dit is de spanning tussen klemmen “+” en “-“. (spanningsdeling tussen R2 en R1) 𝑅2 10 ETH = U. = 10. = 5V 𝑅1+𝑅2 10+10 Bepaal de weerstand die men tussen de klemmen “+” en “-“ ziet als men de spanningsbron vervangt door een kortsluiting. 10.10 RTH = R1//R2 = 10+10 = 5Ω Resultaat Thévenin equiv. Bepaal de Norton-stroom INO, dit is de stroom die vloeit tussen klemmen “+” en “-“ als men deze kortsluit. 𝑈 10 INO = 𝑅1 = 10 = 1A Bepaal de weerstand die men tussen de klemmen “+” en “-“ ziet als men de spanningsbron vervangt door een kortsluiting. 10.10 RNO = R1//R2 = 10+10 = 5Ω Resultaat Norton equiv. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 13 INLEIDENDE BEGRIPPEN 2. Bepaal de Thévenin-spanning ETH, dit is de spanning tussen klemmen “+” en “-“. (spanningsdeling tussen R3 en R1, R2 wordt niet door stroom doorlopen) 𝑅3 4 ETH = U. 𝑅1+𝑅3 = 6. 2+4 = 4V Bepaal de weerstand die men tussen de klemmen “+” en “-“ ziet als men de spanningsbron vervangt door een kortsluiting. (R1//R3 in serie met R2) 4.2 RTH = R2 + R1//R3 = 4 + 4+2 = 5,33Ω Resultaat Thévenin eq. Bepaal de Norton-stroom INO, dit is de stroom die vloeit tussen klemmen “+” en “-“ als men deze kortsluit. (R2//R3 in serie met R1) Eerst spanning over R3 bepalen, na de berekening Ibron 𝑅2.𝑅3 4.4 Ibron = U/( + 𝑅1) = 6 /( +2)= 1,5A 𝑅2+𝑅3 4+4 UR3 = U–Ibron.R1 = 6 – 1,5.2 = 3V ->INO = UR3 /R2 = 3/4 = 0,75A Bepaal de weerstand die men tussen de klemmen “+” en “-“ ziet als men de spanningsbron vervangt door een kortsluiting. (R1//R3 in serie met R2) 2.4 RNO = R1//R3 + R2 = + 4 = 5,33Ω 2 +4 Resultaat Norton eq. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 14 INLEIDENDE BEGRIPPEN 3. Bepaal de Thévenin-spanning ETH, dit is de spanning tussen klemmen “+” en “-“. (potentiaal op “+”: spanningsdeling met R4 en R1): 𝑅4 8 = U. 𝑅1+𝑅4 = 10. 2+8 = 8V (potentiaal op “-“: spanningsdeling met R3 en R2): 𝑅3 6 = U. 𝑅2+𝑅3 = 10. 4+6 = 6V ETH = 8 – 6 = 2V Bepaal de weerstand die men tussen de klemmen “+” en “-“ ziet als men de spanningsbron vervangt door een kortsluiting. 2.8 4.6 RTH = R1//R4+ R2//R3 = 2+8 +4+6 = 4Ω Resultaat Thévenin eq. Bepaal de Norton-stroom INO, dit is de stroom die vloeit tussen klemmen “+” en “-“ als men deze kortsluit. We kunnen vertrekken uit Thévenin-equivalent en de kortsluitstroom IK = INO berekenen: INO = IK = UTH/RTH =2/4 = 0,5A Bepaal de weerstand die men tussen de klemmen “+” en “-“ ziet als men de spanningsbron vervangt door een kortsluiting. 2.8 4.6 RNO = R1//R4+ R2//R3 = + = 4Ω 2+8 4+6 Resultaat Norton eq. 4Ω INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 15 INLEIDENDE BEGRIPPEN 4. Bepaal de Thévenin-spanning ETH, dit is de spanning tussen klemmen “+” en “-“. (twee bronnen in oppositie! Samen 28 – 7 = 21V met seriekring gevormd door R1 en R2)  Stroom I door kring = 21/(R1+R2) = 21/(4+1) = 4,2A  Spanning van “+” t.o.v. “-“ = I.R2 + 7 = 4,2.1 + 7 = 11,2V ETH = 11,2 V Bepaal de weerstand die men tussen de klemmen “+” en “-“ ziet als men de spanningsbron vervangt door een kortsluiting. 4.1 RTH = R1//R2 = 4+1 = 0,8Ω Resultaat Thévenin equiv. Bepaal de Norton-stroom INO, dit is de stroom die vloeit tussen klemmen “+” en “-“ als men deze kortsluit. Linkse bron 28V in serie met R1 levert 28/4 = 7A Rechtse bron 7V in serie met R2 levert 7/1 = 7A Samen 14A tussen “+” en “-“ Bepaal de weerstand die men tussen de klemmen “+” en “-“ ziet als men de spanningsbron vervangt door een kortsluiting. (R1//R3 in serie met R2) 4.1 RNO = R1//R2 = 4+1 = 0,8Ω Resultaat Norton equiv. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 16 WEERSTANDEN H1: Weerstanden In de elektriciteit beschouwden we al het element de weerstand. Dit is een ruim begrip. De weerstand heeft namelijk meerdere uitvoeringsvormen met hun overeenkomstige symbolen zoals blijkt uit volgend overzicht. Weerstanden Vaste Variabele Weerstanden Draadgewonden of Weerstanden Metaalfilm- of Koolweerstanden Handmatig ingesteld Fysische instelling Continu regelbaar Warmtegevoelig Koolpotentiometer of metaalfilmpotentiometer of draadgewikkelde potentiometer NTC Koolpotentiometer -ϴ PTC +Ө Spanningsgevoelig Eenmalig instelbaar VDR Trimpotentiometer U met koollaag of draadgewikkeld Lichtgevoelig LDR Magnetisch gevoelig MDR B INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 17 WEERSTANDEN 1. Vaste weerstanden Figuur 1 - Stroom in functie van aangelegde spanning (weerstanden van 100 Ohm en 25 Ohm). Koolweerstanden / Metaalfilmweerstanden De opgegeven weerstandswaarde is deze bij kamertemperatuur. Is de weerstand stroomvoerend, dan zal deze een bepaald vermogen in warmte omzetten (dissiperen) en zal de temperatuur van de weerstand toenemen. Hierbij zal de opgegeven weerstandswaarde zeer licht wijzigen per graad celcius. De weerstandswaarde kan hierbij toenemen (positieve temperatuurscoëfficiënt) of afnemen (negatieve temperatuurscoëfficient) alnaargelang het toegepaste weerstandsmateriaal. De temperatuurcoëfficiënt van koolweerstanden is negatief en bedraagt ca. -300.10-6/Ω°C. Dit geldt niet voor weerstandswaarden < 10Ω, omdat het weerstands- lichaam dan niet uit een koollaag doch uit een nikkellaag bestaat, ofschoon deze weerstanden wel als koolweerstanden worden aangeduid. De temperatuurcoëfficiënt van laatstgenoemde weerstanden is positief en bedraagt circa 200.10-6/Ω/°C. Weerstanden met een kleine fysische grootte hebben een te kleine afmeting om de ohmse waarde te bedrukken en hebben daarom een eigen systeem om hun waarden weer te geven. Dit kleurensysteem geldt voor de “klassieke” cilindervormige axiale weerstanden en wordt tevens gebruikt bij meerdere kleine componenten, zoals bv. bij de condensatoren. Uitzondering hierop zijn de zgn. SMD (Surface-Mounted-Device- weerstanden), die ook worden aangeduid met een ultrakleine lettercode. Gewikkelde weerstanden Weerstanden met een groter vermogen dan enkele watt hebben een metalen behuizing die al naargelang de toepassing op een koellichaam kan worden bevestigd. De ohmse waarde en het vermogen worden op de behuizing geschreven. Figuur 2 Gewikkelde weerstand van 5W vermogen INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 18 WEERSTANDEN SMD- weerstanden Deze weerstanden, meestal van het metaalfilmtype, bestaan in meerdere ultrakleine groottes en worden algemeen gebruikt in de moderne elektronica. Met een vergrootglas kan men aan hand van de lettercode de waarde aflezen. Figuur 3 SMD- of Surface Mounted Device- weerstand 2. Variabele weerstanden – handmatig ingesteld Potentiometer – variabele weerstand Een potentiometer is een weerstand waar over het weerstandselement een glijcontact mechanisch kan bewegen. De potentiometer heeft drie aansluitingen. Plaatst men tussen de uiteinden een bepaalde spanning, dan zal tussen het glijcontact (de “loper”) en één van de uiteinden een variabele deelspanning optreden afhankelijk van de plaats van de loper. De potentiometer is dan ook in de eerste plaats een spanningsdeler. Een potentiometer wordt in vakjargon vaak afgekort aangeduid als “potmeter”. Door enkel de aansluiting van de loper en één uiteinde te gebruiken bekomt men een variabele weerstand. Een potentiometer kan dus steeds ingezet worden als variabele weerstand door één uiteinde niet aan te sluiten. Potentiometers bestaan in draaibare of rechte uitvoering en worden bvb. op een controlepaneel geschroefd. Zij hebben een gering vermogen, courant zo’n 0,125watt. Voor types met geringe ohmse waarde vindt men draadgewikkelde types met courante vermogens tot ca. 1 watt. Grotere vermogens zijn in de moderne elektronica eerder zeldzaam. Figuur 4: potentiometer in draai- en rechte uitvoering (draaipotentiometer en schuifpotentiometer) Instelpotentiometer Instelpotentiometers zijn kleiner uitgevoerd en worden gebruikt intern om – meestal eenmalig - een toestel in te stellen. Meestal zijn deze rond van vorm, geschikt voor eerder grove instelling d.m.v. een schroevendraaier. Er bestaan ook kleine balkvormige types INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 19 WEERSTANDEN met een klein instelschroefje: dit zijn de zgn. multiturn-potentiometers voor fijninstellingen. Deze instelpotentiometers bevinden zich aan de binnenkant van een toestel. Figuur 5: instelpotentiometers: gewoon type en multiturn-type 3. Variabele weerstanden met fysische instellingen Warmtegevoelig: NTC – Negatieve Temperatuurscoëfficiënt (= NTC- Thermistor) De weerstandslijn van een NTC-weerstand is neerwaarts, d.w.z. dat bij een stijgende temperatuur de weerstandswaarde daalt. De curve is over het algemeen niet recht, dit is duidelijk zichtbaar in deze semi- logaritmische schaal op de verticale as. NTC-weerstanden bestaan in verschillende groottes en vormen. De basisvorm op een printplaat is meestal de schijfvorm of SMD-uitvoering, maar ze komen eveneens voor in een schroefbehuizing. Zij volgen eveneens de E-reeksen (zie hierover verder) , de kleinere exemplaren hebben soms een kleurcode, en ze zijn beschikbaar in verschillende vermogens. De weerstandswaarde die opgegeven is via kleurencode of opschrift komt overeen met een temperatuur van 25°C. Figuur 6 Verloop van diverse NTC- weerstanden (logaritmische schaal! ) in functie van de temperatuur Figuur 7: temperatuurgevoelige weerstanden in allerlei vormen, ook SMD. Rechts: industriële uitvoering voor montage in een vloeistoftank INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 20 WEERSTANDEN Toepassingen: 1. Een eerste toepassing is deze van een (niet super nauwkeurige) temperatuurmeting: temperatuurvoelers in huishoudelijke apparaten, buiten- en binnenvoelers voor bvb. centrale verwarming, oververhittingsbewaking van elektronische toestellen enz… Men plaatst hiertoe de temperatuurvoeler in een serie met een vaste weerstand aangesloten op een vaste spanningsbron. Door de spanning te meten over de temperatuurvoeler, of de stroom te meten door de kring en vervolgens het meettoestel te ijken in graden meet men de temperatuur. Men lette er op dat men de NTC slechts op een fractie van zijn vermogen belast, want de eigen warmtedissipatie zou anders de temperatuurmeting kunnen beïnvloeden. 2. Een tweede toepassing, en dan in het bijzonder voor de grotere NTC- vermogenthermistors is deze van een aanloopstroombeperking van een bepaalde elektronische verbruiker. In koude toestand is de NTC-weerstand die in serie staat met de verbruiker hoog, de stroom die erdoor gaat is dan beperkt. De stroom warmt de NTC op (P =I²R), waardoor de weerstandswaarde zakt en de stroom in de kring toeneemt. Bij een bepaalde evenwichtssituatie zullen de temperatuur van de NTC en de stroom die erdoor vloeit in evenwicht zijn, en stabiliseren. Goed om weten is dat het element koolstof “C”, in de kristallijne structuur voor elektronische en elektrische toepassingen, ook NTC-eigenschappen heeft. Warmtegevoelig: PTC – Positieve Temperatuurscoëfficiënt (= PTC- Thermistor) De weerstandslijn van een PTC–weerstand is stijgend, de weerstandswaarde neemt (sterk) toe bij stijgende temperatuur vanaf zekere Tref (referentietemperatuur). Beneden die temperatuur heeft de component een dalend verloop, dat eerder onbruikbaar is. Figuur 8 Verloop van de weerstand van een PTC(logaritmische schaal!) in functie van de temperatuur. Het verloop is stijgend in een beperkt bruikbaar temperatuurgebied. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 21 WEERSTANDEN PTC-weerstanden zijn qua uitvoeringsvorm gelijkaardig aan NTC-weerstanden. Toepassingen: zij worden wegens hun heel sterk weerstandsverloop veelal gebruikt voor de bewaking van de temperatuur van elektromotoren en worden bij fabricage van deze tussen de wikkelingen geplaatst. Zodra door een verhoging van temperatuur gevaar dreigt voor de isolatie van de motorwikkelingen stijgt de weerstand zeer sterk, en via een elektronische schakeling die dit meet kan de stuurkring de contactor en dus de vermogenkring van de motor onderbroken worden. Goed om weten is dat in het periodiek systeem der elementen, de zgn. tabel van Mendeliev, alle zuivere metalen lichte PTC-eigenschappen hebben. (Denken wij aan de temperatuurscoëfficiënt van koper die positief is; een spoel of wikkeling heeft een licht hogere weerstand zodra ze warm wordt). De weerstandsstijging voor metalen is – in tegenstelling tot de grafiek hierboven – eerder lineair. Spanningsgevoelig: VDR – Voltage Dependent Resistor – of Varistor De waarde van deze weerstand is afhankelijk van de spanning aangelegd aan de klemmen. Bij hogere spanning zal de weerstandswaarde afnemen. Figuur 9 Relatie tussen stroom en aangelegde spanning doorheen verschillende types VDR (log-log grafiek!) In plaats van de weerstandswaarde specifiëren de fabrikanten een lekstroom (Leakage Current) in functie van een aangelegde spanning (Clamping Voltage) voor een bepaald type. Bemerk de beide logaritmische schalen van de grafiek. Boven een bepaalde spanning stijgt de stroom bijzonder snel. Hierdoor kan overtollige energie in warmte worden omgezet. In de grafiek zie je bvb. dat voor het type TVR14621-V bij ca 550V de lekstroom 1mA bedraagt, bij 700V bedraagt deze ongeveer 0,3A hetzij een 300-voud. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 22 WEERSTANDEN De uitvoering is meestal een schijfvorm. De interne opbouw van dergelijke weerstand heeft veel weg van een condensator, twee platen, met daartussen een meer of minder geleidend diëlectricum (vaak zinkoxide ZnO) waarvan de weerstand afhankelijk is van de aangelegde elektrische veldsterkte Figuur 10 VDR weerstanden te en dus de spanning. herkennen aan de ronde schijfvorm Toepassingen: zij worden vaak toegepast parallel over een spanningslijn van een toestel om het te beschermen tegen overspanning (surge protection, over voltage protection) of geplaatst parallel over een relaisspoel om de spanningspiek bij uitschakelen te vermijden. Dit laatste wordt ook een snubber-netwerk genoemd. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 23 WEERSTANDEN Lichtgevoelig: LDR – Light Dependent Resistor Een lichtgevoelige weerstand is herkenbaar aan een schijfvorm met een doorzichtig oppervlak met hierin een serpentinevormige lijn. De weerstand daalt van een heel grote waarde sterk onder invloed van invallend licht. (van MΩ naar KΩ). Het lichtgevoelig materiaal is vaak Cadmiumsulfide CdS. Figuur 11 LDR, te Toepassingen: De LDR wordt veelal gebruikt om een herkennen aan de serpentine licht/donker toestand te detecteren. op het lichtgevoelig Zo bvb. niet al te kritisch nauwkeurige lichtmeting, oppervlak vlamdetectie bij verwarmingsketels, in- en uitschakelen van verlichting d.m.v. schemerschakelaars of automatisch bedienen van grootlichten bij auto’s. Magnetismegevoelig: MDR – Magnetic Dependent Resistor De weerstand van een dun plaatje halfgeleidermateriaal (meestal Indium-antimonide InSb of Nikkel-antimonide NiSb) wordt beïnvloed door een loodrecht toegepast magnetisch veld. De oorzaak van de weerstandsverandering is een gevolg van de materiaalstructuur. Wordt er een spanning aangelegd zonder magnetisch veld, dan is de gemiddelde verplaatsing van de ladingsdragers horizontaal volgens lengterichting. Wordt er een magnetisch veld op het plaatje aangebracht dan wordt de gemiddelde effectieve lengte die door de ladingsdragers wordt doorlopen groter, en stijgt de weerstand overeenkomstig de wet van Pouillet. (𝑅 = 𝜌.𝑙 ). Typisch bedraagt de weerstand van een MDR 𝐴 zonder magnetisch veld 50 à 100Ω. In een magnetisch veld van 1T (1 tesla = 1 Wb/m²) zal de weerstand toenemen tot zo’n 600 à 2000Ω. Figuur 12: Werkingsprincipe MDR MDR’s vinden hun toepassingen in de sensorindustrie. Toepassingen: allerhande sensoren. Zo kan de rotatiesnelheid van een as gemeten worden met behulp van de MDR. Door een magneet op de as en een sensor op een vast punt te bevestigen, kan men weerstandspulsen waarnemen waarvan de Figuur 13 Industriële MDR-sensor en sensor voor periode overeenkomt met de tijd van één printmontage omwenteling. De pulsfrequentie is dus gelijk aan het toerental. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 24 WEERSTANDEN 4. De normalisatie van weerstandswaarden - E-reeks Massageproduceerde elektronische componenten hebben steeds een afwijking (tolerantie) ten opzichte van hun vermelde waarde op de behuizing. Het is onnodig om over componenten te beschikken die elkaar – door hun tolerantie - in waarde overlappen. Daarom zijn genormaliseerde reeksen van weerstanden, maar ook voor andere componenten als condensatoren (pF) en spoelen ontwikkeld. Veel voorkomende reeksen zijn: E12: zijn er 12 genormaliseerde waarden per decade. Tolerantie +-10% E24: zijn er 24 genormaliseerde waarden per decade. Tolerantie +-5% Daarbuiten bestaan ook reeksen van E6 (verouderd), E48, E96 en E192. Met een decade wordt bedoeld, een veelvoud van 10. De “afstand” van 1 tot 10 is een decade, evenzo is de afstand van 10 tot 100 ook een decade. De afstand van 1 tot 100 is dan 2 decades. Men produceert alle decimale veelvouden van de E-waarden, binnen bepaalde onder- en bovengrenzen. Het verdient aanbeveling om de waarden van de E12-reeks uit het hoofd te kennen: E12: 10/12/15/18/22/27/33/39/47/56/68/82 Concreet betekent dit dat men deze 12 waarden 10Ω, 12Ω, 15Ω, 18Ω, 22Ω, 27Ω, 33Ω, 39Ω, 47Ω, 56Ω, 68Ω, 82Ω terugvindt in de decade van 10 tot 100. In de decade van 100 tot 1000 vindt men dan volgende terug: 100Ω, 120Ω, 150Ω, 180Ω, 220Ω, 270Ω, 330Ω, 390Ω, 470Ω, 560Ω, 680Ω, 820Ω Op gelijkaardige wijze voor de volgende decades…. Uiterste weerstandswaarden situeren zich meestal tussen 0,1Ω en 22MΩ. Uiterste capaciteitswaarden situeren zich meestal tussen 1pF en 220mF. Informatief, hierbij de waarden van de E24-reeks: E24: 10/11/12/13/15/18/20/22/24/27/30/33/36/43/47/51/56/62/68/75/82/91 De kleurcodes vindt U in bijlage 1. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 25 WEERSTANDEN Herhalingsvragen en oefeningen 1. Wat is een lineaire weerstand? Teken hiervan het U-I-verloop. 2. Wat verstaan wij onder tolerantie van een weerstand? 3. Bij weerstanden, wat verstaat men juist onder de E12-reeks? Wat is de toegelaten tolerantie bij deze reeks en waarom? Vergelijk de E12-reeks met de E24-reeks. 4. Als men beweert dat een weerstand uit de E24-reeks een tolerantie heeft van 0,5% zou dit correct kunnen zijn? Motiveer uw antwoord. 5. Bij vaste weerstanden, welke uitvoeringsvormen worden courant gebruikt in de elektronica? 6. Bij handmatig ingestelde weerstanden van het continu regelbare type, welke uitvoeringsvormen worden courant gebruikt in de elektronica? 7. Waarvoor staat de afkorting NTC? Wat is juist de eigenschap? Schets de grafiek als gevolg van de variërende fysische grootheid. Waarvoor wordt deze component gebruikt? Geef het symbool. 8. Zelfde vraag als 7 , voor de PTC. 9. Zelfde vraag als 7 , voor de LDR. 10. Zelfde vraag als 7 , voor de VDR. 11. Zelfde vraag als 7 , voor de MDR. 12. Weerstanden hebben, van links naar rechts bekeken, hiernavolgende kleuren: geef (uit het hoofd) hun weerstandswaarde en tolerantie. oranje, oranje, rood, goud geel, paars, oranje, zilver bruin, zwart, rood, bruin bruin, bruin, zwart, oranje, rood rood, rood, goud, goud 13. Men wil in het labo uit een stapel componenten volgende weerstanden sorteren. Zoek volgende waarden (uit het hoofd). Ga uit van 4 kleurenbanden op de weerstanden. 3K9 (= 3,9KΩ), 5% 5600Ω, 10% 6,8K, 2% 81K, 1% 10Ω, 5% INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 26 WEERSTANDEN Oplossingen : 12. oranje, oranje, rood, goud 3300Ω, 5% (ook genoteerd als 3,3kΩ of 3K3) geel, paars, oranje, zilver 47000Ω, 10% (ook genoteerd als 47kΩ of 47K) bruin, zwart, rood, bruin 1000Ω, 1% (of 1kΩ of 1K) bruin, bruin, zwart, oranje, rood 110000Ω, 2% (of 110kΩ of 110K) rood, rood, goud, goud 2,2Ω, 5% (ook genoteerd als 2R2) 13. 3K9 (= 3,9KΩ), 5% oranje, wit, rood, goud 5600Ω, 10% groen, blauw, rood, zilver 6,8K, 2% blauw, grijs, rood, rood 81K, 1% grijs, bruin, oranje, bruin 10Ω, 5% bruin, zwart, zwart, goud INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 27 WEERSTANDEN INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 28 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF H2. Oplossen van netten met Kirchhoff In de elektriciteit heeft men meestal te maken met één bron en meerdere verbruikers. Om dergelijke schakelingen op te lossen maakten we gebruik van de serie- en paralleleigenschappen. In de elektronica is het niet ongewoon om meerdere bronnen te gebruiken. Elke bron levert hier elektronen en maakt het geheel complexer. Om dergelijke schakelingen op te lossen bestaan er meerdere technieken waarvan wij er één bespreken. De besproken techniek is gebaseerd op beide wetten van Kirchhoff. 1. Eerste wet van Kirchhoff (stroomwet of knooppuntenwet) In een knooppunt kan er zich geen stroom opstapelen noch weglekken. In een knooppunt is de som van de binnenkomende stromen gelijk aan de som van de uitgaande stromen. ΣI=0 Men noteert inkomende stromen met positief teken en de uitgaande stromen met negatief teken. Voorbeeld: I2 I1 + I4 = I2 + I3 (som van inkomende I1 stromen = som van uitgaande stromen) of I4 I3 I1 + I4 - I2 - I3 = 0 (algebraïsche som van stromen = 0) 2. Tweede wet van Kirchhoff (spanningswet) Voor elke gesloten kring geldt dat de algebraïsche som van de spanningen gelijk is aan nul. ΣU=0 INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 29 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF Dit is vrij logisch in te zien daar in één zelfde punt B geen potentiaalverschil kan zijn. Wanneer je in een bepaald punt vertrekt en een lus beschrijft zodat je terug in je vertrekpunt aankomt en je telt ondertussen alle potentialen op (zowel positieve als negatieve) dan is de som van je optelling A nul. Figuur 14 In een punt van een lus is geen potentiaalverschil Voorbeeld: R1 R2 + + I1. R1 I1. R2 I1 + U De totale stroom It = I1 door de kring is de verhouding van de aangelegde bronspanning U = Ut gedeeld door de som van de weerstandswaarden R1 en R2 Ut It = Rt Ut It = R1 + R2 I t.( R1 + R2 ) = U t I t.R1 + I t.R2 = U t U t − I t.R1 − I t.R2 = 0V INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 30 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF 3. Oplossen van een netwerk Hierbij gaan we als volgt te werk: Bepaal het aantal takken ‘n’ in je netwerk. Je zal evenveel vergelijkingen moeten opstellen d.m.v. de wetten van Kirchhoff als er takken zijn. KIES in elke tak de stroomzin. Duid de spanningen aan met pijlen. Bepaal het aantal onbekenden. Stel de eerste wet van Kirchhoff zo vaak op als dat deze nieuwe onbekenden oplevert. Stel dan de tweede wet van Kirchhoff zo vaak op als nodig om evenveel vergelijkingen als onbekenden te verkrijgen. Los het stelsel van vergelijkingen op. Indien je voor een stroom een negatieve waarde verkrijgt dan betekent dit dat je de stroomzin verkeerd hebt gekozen. Het oplossen van de stelsels vergelijkingen kan bvb. door de substitutiemethode of door het toepassen van de methode van Cramer. Voorbeeldoefening 1 Er zijn twee knooppunten: de geleider links is knooppunt K1 en de geleider rechts is knooppunt K2. Wij onderscheiden tussen beide knooppunten 4 takken. Wij wensen de verschillende stroomwaarden hierin te berekenen en zullen daarom 4 onafhankelijke vergelijkingen moeten opstellen. De zin van de stromen, weergegeven door de rode pijlen I1, I2, I3, en I4, is willekeurig gekozen. Als deze stromen straks uit de berekening negatief blijken te zijn dan vloeien de stromen in de tegengestelde zin als aangegeven door de pijlen. Een gekozen stroom die een weerstand doorloopt genereert eerst een + en vervolgens een -. Spanningen over de weerstanden kan je aanduiden met (de groene) pijlen. Merk op: wij werken met de conventionele stroomzin, d.w.z. buiten de spanningsbron van + naar -. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 31 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF B K1 K2 E2 C = Pas eerst toe: de stroomwet, of Kirchhoff’s 1ste Wet: De algebraïsche som van de stromen I1, I2, I3, en I4 in knooppunt is nul. In K1 zijn de toekomende stromen positief, en de vertrekkende stromen negatief. Dit levert volgende vergelijking: 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 − 𝑰𝟑 + 𝑰𝟒 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟏) Merk op: wij hadden evengoed K2 als knooppunt kunnen kiezen. Pas vervolgens toe: de spanningswet, of Kirchhoff’s 2de Wet: Voor een gesloten kring geldt dat de som van spanningen gelijk is aan nul. Kies een willekeurig startpunt, bvb linksboven, hier gemerkt met A Maak vanuit dit startpunt A een lus (met een zelfgekozen zin, hier wijzerzin) doorheen de bovenste 2 takken, hier weergegeven door lus α, en doorloop alle weerstanden en bronnen tot je weer aan de start A arriveert. Dit is onze eerste gesloten kring. Daar lus α in bovenste eerste tak eenzelfde zin heeft als I3, bekom je als spanning over R3 de waarde I3.R3 Daar lus α in de tweede tak eenzelfde zin heeft als I1, bekom je als spanning over Ri1 de waarde I1.Ri1 Daar lus α in de tweede tak bij het doorlopen van de bron eerst de minpool (-) ontmoet, krijgt de waarde E1 een minteken. Lus α 𝐼3. 𝑅3 + 𝐼1. 𝑅𝑖1 − 𝐸1 = 0 1,4. 𝐼3 + 1. 𝐼1 − 4 = 0 𝟏, 𝟒. 𝑰𝟑 + 𝑰𝟏 − 𝟒 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟐) INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 32 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF Maak vanuit dit startpunt B een lus (met een zelfgekozen zin, hier wijzerzin) doorheen de 2de en 3de tak β, doorloop alle weerstanden en bronnen tot je weer aan de start B arriveert. Lus β 𝐸1 − 𝐼1. 𝑅𝑖1 + 𝐼2. 𝑅𝑖2 − 𝐸2 = 0 4 − 1. 𝐼1 + 0,5. 𝐼2 − 6 = 0 𝑰𝟏 − 𝟎, 𝟓. 𝑰𝟐 + 𝟐 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟑) Op dezelfde wijze werken wij vanuit het startpunt C Lus γ 𝐸2 − 𝐼2. 𝑅𝑖2 + 𝐼4. 𝑅4 = 0 −𝟔 + 𝟎, 𝟓. 𝑰𝟐 − 𝟐. 𝑰𝟒 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟒) We hebben nu 4 vergelijkingen en 4 onbekenden, die van elkaar lineair onafhankelijk zijn. Let op: Bij het toepassen van de tweede wet, zorg ervoor dat alle componenten en bronnen door lussen worden doorlopen, zodat je die onafhankelijke vergelijkingen krijgt. De rest is louter wiskunde. Het berekenen van de stromen I1, I2, I3, en I4 kan op verschillende manieren. Wij bespreken er twee nl. de substitutiemethode en de oplossingsmethode van Cramer gebruik makend van determinanten (domein van het matrixrekenen). 1. Oplossing d.m.v. de substitutiemethode Uit vergelijking (1) volgt: 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 + 𝐼4 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 1) 𝑰𝟒 = −𝑰𝟏 − 𝑰𝟐 + 𝑰𝟑 (𝒗𝒈𝒍. 𝟏) Vergelijking (1) in (4): − 6 + 0,5. 𝐼2 − 2. 𝐼4 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 4) − 6 + 0,5. 𝐼2 − 2. (−𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3) = 0 − 𝟔 + 𝟐. 𝑰𝟏 + 𝟐, 𝟓. 𝑰𝟐 − 𝟐. 𝑰𝟑 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟓) Uit vergelijking (2) volgt: 1,4. 𝐼3 + 𝐼1 − 4 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 2) 𝑰𝟏 = 𝟒 − 𝟏, 𝟒. 𝑰𝟑 (𝒗𝒈𝒍. 𝟐) Vergelijking (2) in (3): 𝐼1 − 0,5. 𝐼2 + 2 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 3) (4 − 1,4. 𝐼3) − 0,5. 𝐼2 + 2 = 0 4 − 1,4. 𝐼3 − 0,5. 𝐼2 + 2 = 0 −𝟏, 𝟒. 𝑰𝟑 − 𝟎, 𝟓. 𝑰𝟐 + 𝟔 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟔) Vergelijking (2) in (5): INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 33 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF − 6 + 2. 𝐼1 + 2,5. 𝐼2 − 2. 𝐼3 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 5) − 6 + 2. (4 − 1,4. 𝐼3 ) + 2,5. 𝐼2 − 2. 𝐼3 = 0 − 6 + 8 − 2,8. 𝐼3 + 2,5. 𝐼2 − 2. 𝐼3 = 0 𝟐 + 𝟐, 𝟓. 𝑰𝟐 − 𝟒, 𝟖. 𝑰𝟑 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟕) Uit vergelijking (6) volgt: −1,4. 𝐼3 − 0,5. 𝐼2 + 6 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 6) −0,5. 𝐼2 = −6 + 1,4. 𝐼3 (𝑣𝑔𝑙. 6) 𝑰𝟐 = 𝟏𝟐 − 𝟐, 𝟖. 𝑰𝟑 (𝒗𝒈𝒍. 𝟔) Vergelijking (6) in (7): 2 + 2,5. 𝐼2 − 4,8. 𝐼3 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 7) 2 + 2,5. (12 − 2,8. 𝐼3) − 4,8. 𝐼3 = 0 2 + 30 − 7. 𝐼3 − 4,8. 𝐼3 = 0 32 − 11,8. 𝐼3 = 0 11,8. 𝐼3 = −32 𝑰𝟑 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟐 𝑨 (𝒗𝒈𝒍. 𝟖) Vergelijking (8) in (6): 𝐼2 = 12 − 2,8. 𝐼3 (𝑣𝑔𝑙. 6) 𝐼2 = 12 − 2,8. (2,712) 𝐼2 = 12 − 7,593 𝑰𝟐 = 𝟒, 𝟒𝟎𝟕 𝑨 (𝒗𝒈𝒍. 𝟗) Vergelijking (9) in (3): 𝐼1 − 0,5. 𝐼2 + 2 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 3) 𝐼1 − 0,5. (4,407) + 2 = 0 𝐼1 − 2,203 + 2 = 0 𝐼1 − 0,203 = 0 𝑰𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟑 𝑨 (𝒗𝒈𝒍. 𝟏𝟎) Vergelijkingen (8), (9) en (10) in (1): 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 + 𝐼4 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 1) 0,203 + 4,407 − 2,712 + 𝐼4 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 1) 0,203 + 4,407 − 2,712 + 𝐼4 = 0 (𝑣𝑔𝑙. 1) 𝑰𝟒 = −𝟏, 𝟖𝟗𝟖 𝑨 Besluit: Alleen I4 heeft een andere stroomzin dan de gekozen stroomzin op het schema. Wanneer een uitkomst voor een stroom negatief is dan moeten we deze waarde verder gebruiken om de andere stromen te berekenen. Na de berekeningen moeten we de stroomzin omdraaien op het schema wanneer deze negatief is! 2. Oplossingsmethode van Cramer Dit is een oplossingsmethode die zich bijzonder goed leent voor geautomatiseerde verwerking (computerprogramma, of excel rekenblad). Manueel uitrekenen is rekenintensief, hier zeker in dit geval bij een stelsel van 4 vergelijkingen met 4 onbekenden. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 34 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF Wij maken gebruik van het rekenblad excel en de ingebouwde functie “DETERMINANTMAT”. Beschouwen wij de bekomen vergelijkingen: 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 − 𝑰𝟑 + 𝑰𝟒 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟏) 𝟏, 𝟒. 𝑰𝟑 + 𝑰𝟏 − 𝟒 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟐) 𝑰𝟏 − 𝟎, 𝟓. 𝑰𝟐 + 𝟐 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟑) −𝟔 + 𝟎, 𝟓. 𝑰𝟐 − 𝟐. 𝑰𝟒 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟒) Wij schrijven de 4 vergelijkingen zo onder elkaar dat de variabelen I1, I2, I3 en I4 mooi geordend in het linkerlid staan. De spanningen plaatsen wij in het rechterlid. 𝟏. 𝑰𝟏 + 𝟏. 𝑰𝟐 − 𝟏. 𝑰𝟑 + 𝟏. 𝑰𝟒 = 𝟎 (𝒗𝒈𝒍. 𝟏) 𝟏. 𝑰𝟏 + 𝟎. 𝑰𝟐 + 𝟏, 𝟒. 𝑰𝟑 + 𝟎. 𝑰𝟒 = 𝟒 (𝒗𝒈𝒍. 𝟐) 𝟏. 𝑰𝟏 − 𝟎, 𝟓. 𝑰𝟐 + 𝟎. 𝑰𝟑 + 𝟎. 𝑰𝟒 = −𝟐 (𝒗𝒈𝒍. 𝟑) 𝟎. 𝑰𝟏 + 𝟎, 𝟓. 𝑰𝟐 + 𝟎. 𝑰𝟑 − 𝟐. 𝑰𝟒 = 𝟔 (𝒗𝒈𝒍. 𝟒) Met het linkerlid kunnen wij de determinant N van een 4 x 4 matrix associëren: 1 1 -1 1 1 0 1,4 0 N= 1 -0,5 0 0 0 0,5 0 -2 N = -5,900 (berekend via excel) Wij zullen, volgens Cramer, uit dit stelsel de waarden voor I1, I2, I3, en I4 berekenen, door respectievelijk de quotiënten te maken T1/N, T2/N, T3/N, en T4/N. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 35 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF T1 wordt bekomen als determinant van de bovenstaande matrix waar men de eerste kolom heeft vervangen door het rechterleden van de vergelijkingen (getallen in het blauw weergegeven). 0 1 -1 1 4 0 1,4 0 T1 = -2 -0,5 0 0 6 0,5 0 -2 T1 = -1,200 (berekend via excel) De stroom I1 is aldus, volgens Cramer, het quotiënt van beide determinanten: I1 = T1/N = -1,200 / -5,900 = 0,2034 A T2 wordt bekomen als determinant van de bovenstaande matrix waar men de tweede kolom vervangt door het rechterleden van de vergelijkingen (getallen in het blauw weergegeven). 1 0 -1 1 1 4 1,4 0 T2 = 1 -2 0 0 0 6 0 -2 INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 36 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF T2 = -26,00 (berekend via excel) I2 = T2/N = -26,00 / -5,900 = 4,407 A T3 wordt bekomen als determinant van de bovenstaande matrix waar men de derde kolom vervangt op gelijkaardige wijze als hierboven. 1 1 0 1 1 0 4 0 T3 = 1 -0,5 -2 0 0 0,5 6 -2 T3 = -16,00 (berekend via excel) I3 = T3/N = -16,00/-5,900 = 2,712 A T4 wordt bekomen als determinant van de bovenstaande matrix waar men de vierde kolom vervangt op dezelfde wijze als hierboven. 1 1 -1 0 1 0 1,4 4 T4 = 1 -0,5 0 -2 0 0,5 0 6 INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 37 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF T4 = 11,20 (berekend via excel) I4 = T4/N = 11,20/-5,900 = -1,898 A Besluit: De bekomen uitkomsten zijn dezelfde als met de substitutiemethode. De stroom I4 is negatief wat betekent dat de (conventionele) stroomzin tegengesteld is aan de door ons gekozen stroompijl. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 38 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF Voorbeeldoefening 2 I1 R1=21Ω I2 U1=30V R2=1Ω U2=20V I3 R3=3Ω U3=6V Uitwerking: De bekomen vergelijkingen zijn: I1 + I2 + I3 = 0 21I1 - I2 + 0I3 = 50 0I1 - I2 + 3I3 = 26 Toepassen van oplossingsmethode van Cramer 1 1 1 0 21 -1 0 50 0 -1 3 26 1 1 1 N= 21 -1 0 0 -1 3 N = -3 - 21 - 63 = -87 0 1 1 T1 = 50 -1 0 26 -1 3 T1 = -50 +26 -150 = -174 ➔ I1 = T1/N = -174/-87 = 2A INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 39 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF 1 0 1 T2 = 21 50 0 0 26 3 T2 = 150 + 546 = 696 ➔ I2 = T2/N = 696/-87 = -8A 1 1 0 T3 = 21 -1 50 0 -1 26 T3 = -26 – 546 + 50 = -522 ➔ I3 = -522/-87 = 6A INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 40 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF Opgave 1: R1=4Ω U1=8V R2=28Ω U2=12V R3=15Ω Oplossing: I1 = 0,89A (➔) I2 = 0,59A () I3 = 0,3A () Opgave 2: R1=1,5Ω R2=1Ω U2=8V R3=0,5Ω U3=6V R4=1,75Ω Oplossing: I1 = 633mA (➔) I2 = 8,94A (➔) I3 = 10,1A () I4 = 543mA (➔) INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 41 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF Herhalingsvragen en oefeningen 1. Formuleer de eerste wet van Kirchhoff. Hoe wordt deze wet ook nog genoemd? 2. Formuleer de tweede wet van Kirchhoff. Hoe wordt deze wet ook nog genoemd? 3. Men wil een weerstandnetwerk oplossen met ‘n’ takken. Hoeveel lineair onafhankelijke vergelijkingen m.b.v. de wetten van Kirchhoff moet men opstellen? 4. Hermaak de voorbeeldoefening 1 van dit hoofdstuk, waarbij je de zin van de lussen omdraait van wijzerzin naar tegenwijzerzin. Wat kan je besluiten? 5. Hermaak de voorbeeldoefening 1 van dit hoofdstuk, waarbij je de zin van I3 omdraait. Wat kan je besluiten? 6. Bij de voorbeeldoefening 1 van dit hoofdstuk, gebruik onderstaande waarden voor de weerstanden en bronnen. Bereken de overeenkomstige stromen. Je mag gebruik maken van het Excel-rekenblad en de methode van Cramer. E1 = 5V, E2 = 3V Ri1 = 0,5Ω Ri2 = 0,3Ω R3 = 5Ω R4 = 8Ω INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 42 OPLOSSEN VAN NETTEN MET KIRCHHOFF Oplossingen : 3: je moet evenveel lineair onafhankelijke vergelijkingen opstellen als er takken zijn die je wenst op te lossen, dus ‘n’. 6: Determinanten: N = -33,95 T1 = -99,5 T2 = 60,5 T3 = -24 T4 = 15 I1 = -99,5/-33,95 = 2,930A I2 = 60,5/-33,95 = -1,782A I3 = -24/-33,95 = 0,7069A I4 = 15/-33,95 = -0,4418A I2 en I4 hebben een tegengestelde zin aan de gekozen stroompijlen. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 43 PASSIEVE FILTERS INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 44 PASSIEVE FILTERS H3: Passieve Filters 1. Probleemstelling Een zeer groot gedeelte van elektronica bestaat uit signaalverwerking. Elektrische signalen die gebruikt worden om gegevens te transporteren hebben meestal een draagfrequentie waardoor het signaaltransport verbeterd wordt en de gegevens onderling onderscheiden kunnen worden. Die gegevens kunnen bvb. zijn: Meetsignalen uit een automatisatieproces zoals een temperatuuropname, vochtigheidsgraad, lichtintensiteit, een snelheid of positionering, … Signalen uit audio en videotechnieken zoals het signaal van één zender die je graag van een antenne wil selecteren om via versterker te beluisteren. Deze signalen kan men uit andere signalen onderscheiden door het gebruik van filters. Hieronder ziet U de symbolen, te kennen (!), met de bijhorende omschrijving. HDF: hoogdoorlaatfilter om storende laagfrequentsignalen tegen te houden. (Engels: High-pass filter) LDF: laagdoorlaatfilter om storende hoogfrequentsignalen tegen te houden. (Engels: Low-pass filter) BDF: banddoorlaatfilter om storende signalen tegen te houden buiten een bepaald frequentiegebied). (Engels: Band-pass filter) BSF: bandsperfilter om storende signalen tegen te houden binnen een bepaald frequentiegebied. (Engels: Band-stop filter) INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 45 PASSIEVE FILTERS 2. Bodediagram 2.1 Versterking en verzwakking van een wisselspanning Onderstellen wij een bepaalde schakeling, een Uin Uuit vierpool, waarvan wij een wisselend ingangssignaal Uin met een bepaalde frequentie aanleggen en vervolgens het Figuur 15 Vierpool met in- en uitgangen uitgangssignaal Uuit bekijken. Het ingangssignaal geleverd door een bron met bepaalde spanning en frequentie “ziet” aan de ingang van de vierpool een impedantie Zin die deze belast. Anderzijds heeft het uitgangssignaal een impedantie Zuit die men “ziet” aan de uitgang. De “impedantie” is een ander woord voor de “wisselstroomweerstand”, en deze is – zoals wij weten – afhankelijk van de frequentie. Zie hiervoor de cursus elektriciteit, deel wisselstroomtheorie. De bron levert aan de ingang een bepaalde wisselende spanning met een bepaalde stroom, en dus een zeker vermogen Pin. Wij zijn steeds geïnteresseerd in wat wij aan de uitgang aan vermogen Puit bekomen. Wij kunnen dit eenvoudig nagaan door de verhouding van beide vermogens te berekenen. Men spreekt van de transferfunctie T(f) (lees: “T als functie van f”) bij een bepaalde frequentie, de verhouding van het uitgangsvermogen Puit t.o.v. het vermogen Pin.geleverd aan de ingang. Men kan schrijven T(f) of evengoed T(ω) waarbij ω de hoekfrequentie in rad/s voorstelt. T is een dimensieloos getal, het heeft m.a.w. geen eenheid. Let op, verwar het symbool T van de transferfunctie niet met het symbool T dat gebruikt wordt voor de periode T, eenheid seconde, van een periodiek signaal, waarbij T = 1/f. 𝑈𝑢𝑖𝑡 𝑇(𝑓) = 𝑈𝑖𝑛 Is T(f) 1 heeft men te maken met een versterking. In de engelse literatuur wordt voor de Transferfunctie de term “Gain” gebruikt, dus G(f) en ook nog G(ω) betekenen net hetzelfde als T(f) of T(ω), waarbij ω = 2πf. 2.2 De natuur Alles in onze leefwereld is logaritmisch. Indien dit niet zou zijn kunnen we nooit fijne dingen doen omdat ons gevoel te grof zou zijn, of nooit grove dingen doen omdat we te gevoelig zouden zijn. De natuur heeft onze zintuigen logaritmisch gemaakt zodat we duidelijk zowel heel fijne INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 46 PASSIEVE FILTERS dingen als grove zaken zouden kunnen waarnemen, m.a.w. door het logaritmisch zijn wordt het waarnemingsbereik enorm veel groter. Denken wij aan het menselijk gehoor. Een lineaire schaal kent eenzelfde sprong tussen 1 en 2 als tussen 101 en 102. Nochtans doen we in het eerste geval een sprong van 100% en in het tweede geval een sprong van 1%. Een nulwaarde wordt op een lineaire schaal weergegeven door een 0. Een logaritmische schaal daarentegen maakt procentueel steeds dezelfde sprong, bvb: waarde 0 … 1/1000 1/100 1/10 1 10 100 1000 10000 Log(waarde) -∞ … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Een waarde nul kan op logaritmische schaal enkel weergegeven worden als waarde “min oneindig”. Een waarde één wordt op de logaritmische schaal “0”. 2.3 de decibel (dB) Beschouwen wij de lineaire transferfunctie: 𝑈𝑢𝑖𝑡 𝑇(𝑓) = 𝑈𝑖𝑛 Daar de verhoudingen zeer groot of zeer klein kunnen zijn, zal men eerder werken met het twintig maal het logaritme van deze breuk, het resultaat uitgedrukt in decibel. 𝑈 𝑇(𝑓) 𝑖𝑛 𝑑𝐵 = 20 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑈𝑢𝑖𝑡 ) uitgedrukt in dB. 𝑖𝑛 Bij een waarde 0dB is de verhouding gelijk aan één, m.a.w. uitgangsspanning is gelijk aan ingangsspanning. Het signaal is dan noch versterkt, noch verzwakt. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 47 PASSIEVE FILTERS 2.4 Bodediagram: amplitudediagram Een bodediagram is in zijn geheel een combinatie van twee diagrammen: het amplitudediagram en het fasediagram, beide in functie van de frequentie van een aangelegd sinussignaal aan onze vierpool. Meestal worden beide diagrammen onder elkaar getekend. Wij bespreken eerst het amplitudediagram. Op de horizontale as wordt het frequentieverloop logaritmisch weergegeven. Elk tienvoud of decade is verder onderverdeeld in waarden van 1 tot 10, aangegeven door verticale stippellijnen hieronder, die wegens het logaritmisch verloop op onderling verschillende afstand staan. 1 Elke decade kan men denkbeeldig in drie gelijke delen opdelen. Op ca. van een 3 2 logaritmische as hebben we een factor x2 en op ca. hebben we een factor x5. 3 De verticale as stelt T(f) voor in dB. In onderstaand geval is de uitgangsspanning steeds kleiner dan de ingangsspanning. De “versterking” is kleiner dan 1, en komt dus neer op een verzwakking. Immers de decibel- waarde van T is negatief voor het getoonde frequentiebereik dat hieronder is weergegeven tussen 100Hz en 1MHz. Figuur 16 Amplitudediagram met kantelpunt 10kHz. De functie T(f) is exact voorgesteld door de vloeiende lijn die een geleidelijke overgang laat zien. Het is dus moeilijk te zeggen wanneer de filter juist aanvangt met filteren. Daarom wordt afgesproken om het –3dB-punt vast te leggen als afsnijfrequentie , ook genoemd kantelpunt (engels : “cut off frequency”) fc. Voor bovenstaande filter zegt men dat - het filter “doorlaat tot 10kHz” (engels: “pass band”) - het filter “afsnijdt (of tegenhoudt) bij 10kHz” (engels: “stop band”) INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 48 PASSIEVE FILTERS De rechte lijnen zijn de asymptotische lijnen van T(f). Beide rechte lijnen snijden elkaar in het kantelpunt. De asymptotische lijnen worden zeer vaak gebruikt om een situatie van een bepaald filter snel te schetsen. Figuur 17 Amplitudediagram van een LDF met fc = 10kHz aangegeven door het -3dB-punt. 2.5 Bodediagram: fasediagram Verder zullen wij zien we dat passieve filters zijn opgebouwd uit condensatoren en/of spoelen in combinatie met een weerstand. Condensatoren en spoelen veroorzaken een faseverschuiving, de zgn. fasehoek, tussen spanningen en stromen, zo leert ons de wisselstroomtheorie. Daarom zal dergelijk passief filter een faseverdraaiing veroorzaken tussen de in- en uitgang. Dit fenomeen wordt uitgezet in een fasediagram. De verticale as geeft de fasehoek in graden weer van uitgang t.o.v. ingang. Figuur 18 Fasediagram van een LDF INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 49 PASSIEVE FILTERS Laagdoorlaatfilter (LDF) RC-laagdoorlaatfilter van eerste orde R C Uuit Uin Wij hebben hier te maken met een frequentie-afhankelijke Figuur 19 Een audio- spanningsdeler (serieschakeling!). Het ingangssignaal Uin wordt mengpaneel bevat bvb. een reeks LD-filters voor aangelegd over R en C in serie. Het uitgangssignaal Uuit is toonregeling. bekomen door het signaal parallel over de condensator C af te takken. Hoge frequenties worden als het ware kortgesloten omdat de capacitieve reactantie 1 𝑋𝑐 = 2𝜋𝑓𝐶 parallel over Uuit nagenoeg nul wordt. f komt namelijk voor in de noemer van de formule. 1 𝑋𝑐 ) ( 2𝜋𝑓𝐶 𝑈𝑢𝑖𝑡 = 𝑈𝑖𝑛 = 𝑈𝑖𝑛 √𝑅 2 + (𝑋𝑐)² 1 √𝑅 2 + ( )² 2𝜋𝑓𝐶 Transferfunctie 1 ( ) 2𝜋𝑓𝐶 𝑇(𝑑𝐵) = 20 log ( 2 ) √𝑅 2 +( 1 ) 2𝜋𝑓𝐶 Even redeneren (𝑧𝑒𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑜𝑜𝑡) Indien de frequentie klein is, is 𝑇 = ≈ 1 Het signaal wordt √𝑅 2 +(𝑧𝑒𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑜𝑜𝑡)² onverzwakt doorgevoerd naar de uitgang. (𝑧𝑒𝑒𝑟 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛) Indien de frequentie groot is, is 𝑇 = ≈ 0. Het signaal wordt niet √𝑅 2 +(𝑧𝑒𝑒𝑟 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛)² doorgevoerd naar de uitgang. Wanneer R = Xc, hebben beide componenten R en C een even grote invloed op de kring. Dit is op de kantelfrequentie fc. Men kan makkelijk berekenen dat 1 fc = 2..R.C INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 50 PASSIEVE FILTERS Amplitudediagram in dB 1 fc = 2..R.C 0dB f(Hz) -3db - Figuur 20 Amplitudediagram van LDF Voorbij kantelpunt: -20dB/decade Als de frequentie 10 x groter wordt, d.w.z. een decade voorbij fc , dus voor f’ = 10.fc, wordt de uitgangsspanning 10x kleiner, en wordt de uitgang ca. -20dB lager. Immers, de basisformule, 1 𝑈𝑢𝑖𝑡 ( ) 1 2𝜋𝑓. 𝐶 = = 𝑈𝑖𝑛 1 √(2𝜋𝑓𝐶𝑅)2 + (1)² √𝑅 2 + ( )² 2𝜋𝑓. 𝐶 nu voor de aangelegde frequentie f’ waarbij wij vervolgens substitueren f’ = 10.fc 1 1 𝑇(𝑑𝐵)(𝑓′) = 20 log ( ) = 20 log ( ) √(2𝜋𝑓′. 𝐶𝑅)2 + (1)² √(2𝜋10𝑓𝑐𝐶𝑅)2 + (1)² 1 = 20 log(1) − 20. 2 log((2𝜋10𝑓𝑐𝐶𝑅)2 + 1 ) Als wij de term (1) verwaarlozen t.o.v. (2𝜋10𝑓𝑐𝐶𝑅)2 , bekomen we ≅ 0 – 10. log(2𝜋10𝑓𝑐𝐶𝑅)2 = -20. log(2𝜋10𝑓𝑐𝐶𝑅) = -20. log(10) – 20 log(2𝜋𝑓𝑐𝐶𝑅) 1 = -20 + 20 log((2𝜋𝑓𝑐𝐶𝑅)) 1 = -20 + 20 log( ) √(2𝜋𝑓𝑐𝐶𝑅)² 1 ≅ -20 + 20 log( ) √(2𝜋𝑓𝑐𝐶𝑅)2 +1 = -20 + 𝑇(𝑑𝐵)(𝑓𝑐) INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 51 PASSIEVE FILTERS 𝑇(𝑑𝐵)(𝑓 ′ ) ≅ −20 + 𝑇(𝑑𝐵)(𝑓𝑐) Daar de waarde van T bij de tienmaal hogere frequentie f’ ca. -20dB lager is t.o.v. de waarde van T voor frequentie fc is aangetoond dat het filter voorbij de kantelfrequentie filtert met -20dB/decade. Fasediagram Het fasediagram levert ons de hoekverschuiving 𝜑 van het uitgangssignaal t.o.v. het aangelegde ingangssignaal. De faseverschuiving van de uitgangsspanning gemeten over de condensator is negatief omdat de stroom naar de condensator voorijlt op deze spanning en de stroom in fase is met het ingangssignaal. (zie cursus elektriciteit). 𝑅 𝜑 = −𝐵𝑔𝑡𝑔 𝑋𝑐 = −𝐵𝑔𝑡𝑔 (2𝜋𝑓𝑅𝐶) Voor zeer lage frequenties f ≅ 0 is = −𝐵𝑔𝑡𝑔 (≅ 0), dus de hoekverschuiving ≅ 0°. Voor zeer hoge frequenties (grenzend aan oneindig) is de hoekverschuiving 90° na- ijlend. Bij de kantelfrequentie zijn de groottes van de weerstand R en de capacitieve reactantie Xc gelijk. De hoekverschuiving 𝜑 = −𝐵𝑔𝑡𝑔 (1)is er 45° na-ijlend. φ(°) fc f(Hz) -45 -90 Figuur 21 Asymptotische voorstelling van het fasediagram LDF INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 52 PASSIEVE FILTERS Uitgewerkte oefeningen LDF van eerste orde Ontwikkel een filter dat frequenties tot 1kHz doorlaat met behulp van een weerstand van 100Ω. f(Hz) R=100Ω 1 1 C= = = 1,59µF Uin 2.. fc.R 2..1.103.100 C Uuit 1,59µF Op een LDF, ontwikkeld met een weerstand van 1kΩ en een condensator van 1µF, wordt een signaal aangesloten van 10V met een frequentie van 1,59kHz. Hoe groot is het uitgangssignaal? 1 1 f(Hz) fc = = = 159Hz fc 1,59kHz 2..R.C 2..1.103.1.10− 6 -20dB 10V 1V 1,59kHz 1,59kHz Op een LDF, ontwikkeld met een weerstand van 1kΩ en een condensator van 1µF, wordt een signaal aangesloten van 10V met een frequentie van 1,59Hz. Hoe groot is het uitgangssignaal? 10V 10V 1,59Hz 1,59Hz Stel een transferfunctie op voor een laagdoorlaat-RL-filter. (als XL = 2𝜋𝑓𝐿) L 𝑅 𝑈𝑢𝑖𝑡 = 𝑈𝑖𝑛 R √𝑅 2 + 𝑋𝐿 ² Uin Uuit 𝑈𝑢𝑖𝑡 𝑅 𝑇= = 𝑈𝑖𝑛 2 √𝑅 + 𝑋𝐿 ² 𝑅 𝑇= √𝑅 2 + (2𝜋𝑓𝐿)² INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 53 PASSIEVE FILTERS 3. Hoogdoorlaatfilter (HDF) RC-hoogdoorlaatfilter van eerste orde C R Uin Uuit Wij hebben hier te maken met een frequentie-afhankelijke spanningsdeler (serieschakeling!). Merk op dat deze schakeling gelijkaardig aan het LDF, maar het uitgangssignaal wordt ditmaal bekomen over de serieweerstand. Lage frequenties worden als het ware tegengehouden daar de capacitieve 1 reactantie 𝑋𝑐 = 2𝜋𝑓𝐶 die in serie met R staat, en een grote waarde heeft. 𝑅 𝑅 𝑈𝑢𝑖𝑡 = 𝑈𝑖𝑛 = 𝑈𝑖𝑛 1 √𝑅 2 +𝑋𝑐² √𝑅 2 +(2𝜋𝑓𝐶)² Transferfunctie 𝑈𝑢𝑖𝑡 𝑅 𝑇= = 𝑈𝑖𝑛 1 √𝑅 2 + ( )² 2𝜋𝑓𝐶 T uitgedrukt in dB wordt: 𝑈𝑢𝑖𝑡 𝑅 𝑇(𝑑𝐵) = 20log( ) = 20𝑙𝑜𝑔 𝑈𝑖𝑛 1 √𝑅 2 + ( )² 2𝜋𝑓𝐶 Even redeneren 𝑈𝑢𝑖𝑡 𝑅 Indien de frequentie klein is, is 𝑇 = =. Het signaal wordt niet 𝑈𝑖𝑛 √(𝑧𝑒𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑜𝑜𝑡) doorgevoerd naar de uitgang. 𝑈𝑢𝑖𝑡 𝑅 Indien de frequentie groot is, is 𝑇 = = ≈ 1 Het signaal 𝑈𝑖𝑛 √𝑅 2 +(𝑧𝑒𝑒𝑟 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛)² wordt bijna onverzwakt doorgevoerd naar de uitgang. Wanneer R = Xc, hebben beide componenten R en C een even grote invloed op de kring. Dit is op de kantelfrequentie. Merk op, identieke formule bij de LDF. 1 fc = 2..R.C INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 54 PASSIEVE FILTERS Bodediagram in dB fc=1/(2RC) f(Hz) 0dB -3db +20db/decade Figuur 22 Bodediagram HDF Links van het kantelpunt: -20dB/decade Als de frequentie 10 x kleiner wordt, d.w.z. een decade links van fc , dus voor f’ = 0,1.fc, wordt de uitgangsspanning 10x kleiner, en wordt de uitgang -20dB lager. Anders geformuleerd: per decade toename neemt het signaal +20dB toe zolang men links van het kantelpunt fc blijft. We laten het aan de lezer toe om dit te verifiëren, bvb. met een numeriek voorbeeld. Fasediagram Het fasediagram levert ons de hoekverschuiving 𝜑 van het uitgangssignaal t.o.v. het aangelegde signaal. De faseverschuiving van de uitgangsspanning gemeten over de weerstand is positief t.o.v. de spanning over de condensator (zie cursus elektriciteit). 𝑋𝑐 1 𝜑 = 𝐵𝑔𝑡𝑔 𝑅 = 𝐵𝑔𝑡𝑔 (2𝜋𝑓𝑅𝐶 ) Voor zeer lage frequenties f ≅ 0 is 𝐵𝑔𝑡𝑔 (∞) = 90°, dus de hoekverschuiving is 90° voorijlend. 1 Voor zeer hoge frequenties f ≅ ∞ 𝑖𝑠 𝐵𝑔𝑡𝑔 (∞) = 0°, bijgevolg is er geen hoekverschuiving. Op de kantelfrequentie zijn de groottes van de weerstand R en de capacitieve reactantie Xc gelijk. De hoekverschuiving 𝜑 = 𝐵𝑔𝑡𝑔 (1) is er 45° voorijlend. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 55 PASSIEVE FILTERS Hieronder de asymptotische voorstelling. φ (°) 90 45 f(Hz) fc Figuur 23 Asymptotische voorstelling van het fasediagram HDF INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 56 PASSIEVE FILTERS Uitgewerkte oefeningen HDF van eerste orde Ontwikkel een filter dat frequenties boven de 1kHz doorlaat door middel van een weerstand van 100Ω. 1 C=1,59µF fc = 2..R.C f(Hz) Uin R=100Ω Uuit 1 1 C= = = 1,59µF 2.. fc.R 2..1.103.100 Op een HDF, ontwikkeld met een weerstand van 1kΩ en een condensator van 1µF, wordt een signaal aangesloten van 10V met een frequentie van 1,59kHz. Hoe groot is het uitgangsignaal? 1 1 1,59Hz fc 1,59kHz f(Hz) fc = = = 159Hz 2..R.C 2..1.103.1.10− 6 -40dB 10V 10V 1,59kHz 1,59kHz Op een HDF, ontwikkeld met een weerstand van 1kΩ en een condensator van 1µF, wordt een signaal aangesloten van 10V met een frequentie van 1,59Hz. Hoe groot is het uitgangsignaal? 10V 0,1V 1,59Hz 1,59Hz Stel een transferfunctie op voor een hoogdoorlaat-RL-filter (als XL = 2𝜋𝑓𝐿). R L Uin Uuit XL U uit = U in R + XL INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 57 PASSIEVE FILTERS 4. Banddoorlaatfilter (BDF) Bodediagram Een filter dat een bepaalde bandbreedte (BB), dus enkel een frequentie-interval, tussen fc1 en fc2 doorlaat, is een banddoorlaatfilter. Het Bodediagram levert volgend beeld. in dB fc1=1/(2R1C1) fc2=1/(2R2C2) f(Hz) 0dB -3db -3db +20db/decade -20db/decade (°) 90° 45° f(Hz) 0° - 45° -90° Figuur 24 Amplitude- en fasediagram van een BDF Men kan eerst lage frequenties wegfilteren d.m.v. een HDF. Vervolgens kan men ook hogere frequenties wegfilteren d.m.v. een LDF. Het signaal moet beide in serie geplaatste filters doorlopen. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 58 PASSIEVE FILTERS RC-laagdoorlaat- en RC-hoogdoorlaatfilters in serie C1 R2 Uin C2 UUit R1 Het tweede filter (R1 en C1) staat als belasting op het eerste (R2 en C2) dat een frequentie-afhankelijke spanningsdeler is. De vergelijkingen waarbij men twee filters afzonderlijk gaat beschouwen gaan niet op, tenzij men er kan voor zorgen dat het tweede filter nauwelijks een belasting (idealiter = geen belasting) vormt voor het eerste. We spreken af dat de weerstand van het tweede filter minstens 3 keer (maar nog liever 5 of 10-maal) de grootte heeft van de weerstand van het eerste filter. Op die manier kan men nog met redelijke nauwkeurigheid de berekening uitvoeren door het geheel te beschouwen als een combinatie van twee afzonderlijke filters. INDUSTRIELE ELEKTRONICA – Uitgave 2023 59 PASSIEVE FILTERS Uitgewerkte oefeningen BDF Ontwikkel een BDF voor telefonie die een BB doorlaat van 300Hz tot 3kHz. Gebruik de volgende twee weerstanden: 1kΩ en 10kΩ. 300Hz 3kHz f(Hz) HDF LDF C R R C OF C2 R=1kΩ 1 1 C1 = = 2.. fc.R 3 3 C1 2..3.10.1.10 Uin UUit C1 = 53,1nF 1 1 R=10kΩ

Industriële Elektronica Uitgave 2023 PDF

Document Details

Tags

Related

Summary

Full Transcript

Upgrade to continue