Matemática Financiera Básica 2024 - PDF

Economía, banca y mercados financieros Tema 7 Matemática financiera básica Septiembre 2024 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica ÍNDICE INTRODUCCIÓN......................

Economía, banca y mercados financieros Tema 7 Matemática financiera básica Septiembre 2024 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica ÍNDICE INTRODUCCIÓN....................................................................................................... 3 CONCEPTOS BÁSICOS............................................................................................. 3 DEPÓSITOS.............................................................................................................. 18 PRÉSTAMOS............................................................................................................ 29 BONOS.................................................................................................................... 33 RENTAS.................................................................................................................... 35 RESUMEN................................................................................................................. 44 PALABRAS CLAVE.................................................................................................. 45 CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 2 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica INTRODUCCIÓN ¿Qué cuota mensual tendría que pagar si pidiera prestados 3.000 euros a devolver en dos años? Si cuando me jubile quiero complementar mi pensión con 500 euros mensuales, ¿qué importe deberé haber ahorrado para entonces? Hoy tengo 47 años, ¿cuánto dinero al mes tengo que ahorrar para poderme jubilar con esa cantidad ahorrada? Aunque se suele tener un concepto bastante negativo sobre las matemáticas financieras, lo cierto es que nos ayudan a responder preguntas como las anteriores, bastante interesantes desde el punto de vista financiero personal. También nos ayudan a comprender si un crédito es caro o barato, si un depósito es tan rentable como se publicita, o por qué baja el valor liquidativo de un fondo de renta fija. Para poder analizar cualquier producto o activo financiero, es preciso comprender unos pocos conceptos básicos, que son los que se proponen en el siguiente apartado. Una vez asimilados, ya se podrán analizar diferentes inversiones como son depósitos, préstamos, bonos y el componente de rentas de los productos previsionales. CONCEPTOS BÁSICOS Los conceptos básicos a comprender van a ser solamente seis: 1.- El capital financiero y el precio del dinero 2.- Operaciones básicas: capitalizar y actualizar 3.- El VAN – Valor Actual Neto 4.- La TIR – Tasa Interna de Rentabilidad 5. La TAE – Tasa Anual Equivalente 6.- Rentabilidad real Veámoslos a continuación. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 3 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica 1.- El capital financiero y el precio del dinero Dos capitales idénticos en momentos diferentes del tiempo no son equivalentes. Mil euros hoy no son lo mismo que mil euros dentro de un año. Y toda la matemática financiera que desarrollaremos a partir de ahora se basa en una desigualdad, que es la siguiente: Valor actual de un capital financiero ≠ Valor futuro de un capital financiero Cuando invertimos 100 euros en un depósito, no esperamos recibir 100 euros dentro de un año, esperamos recibir más (por lo menos, en condiciones normales). Es decir, creemos que el valor futuro de esos 100 euros debe ser superior (por ejemplo, 103 euros). De no ser así, no lo consideraríamos un trato “justo”. Para poder manejarnos en matemáticas financieras, el término “capital” (100 euros) no nos dice nada. A partir de ahora debemos hablar de “capital financiero” o, lo que es lo mismo, una cantidad monetaria asociada a un momento del tiempo (100 euros hoy, 103 euros dentro de un año, etc.). Podríamos decir que los productos y activos financieros nos permiten “trasladar” capitales financieros del presente al futuro, o viceversa, trasladar capitales financieros del futuro a la actualidad. De hecho, lo que ofrecen es un intercambio de capitales financieros de forma que sean “financieramente equivalentes”, es decir, que para las dos partes que intervienen en la operación el trato sea “justo”. ¿Y qué significa “justo”? ¿Cuánto se debe retribuir a aquel que cede su capital hoy y espera recuperarlo en el futuro? ¿Qué coste debe soportar quien recibe dinero hoy y se compromete a devolverlo en el futuro? Principalmente, hay tres conceptos que nos ayudan a responder a esta pregunta: Inflación Cuando cedemos hoy una capital financiero, estamos renunciando a poderlo gastar; por tanto, cuando en el futuro recuperemos otro capital financiero, este por lo menos debe compensarnos por lo que costará en el futuro lo que renunciamos a comprar hoy. Por ejemplo, si renuncio a comprarme un coche hoy e invierto el dinero durante un año, como mínimo que cuando lo recupere pueda pagar el precio del coche dentro de un año (que seguramente será superior por efecto de la inflación). CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 4 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Coste de no disponibilidad o de diferimiento del consumo Ya que no tenemos disponible el dinero durante un período de tiempo, lo justo sería que cuando lo recibamos no solo podamos comprar el mismo objeto al que hemos renunciado. Siguiendo el ejemplo anterior, si el dinero que recibiré dentro de un año solo me compensa la inflación y la decisión que debo tomar es si compro el coche hoy o dentro de un año, seguramente decidiré comprarlo hoy. ¿Para qué esperar? Ahora bien, si obtengo la inflación y algo más, quizá este hecho sí que me motive a esperar un año y pueda comprarme el coche… ¡y el navegador! Riesgo Hasta ahora hemos supuesto que ese cobro futuro (que me permitirá comprar el coche y el navegador) es seguro, pero hay infinidad de inversiones que tienen riesgo o, lo que es lo mismo, cuyos capitales financieros futuros son inciertos. Si esto ocurre, si hay riesgo, pediremos una prima por ese riesgo, es decir, cederemos nuestro capital hoy a cambio de más capital financiero en el futuro, y cuánto más riesgo percibamos, más capital financiero exigiremos. De forma aproximada, los títulos de renta fija considerados “sin riesgo” (deuda estatal de máxima solvencia) ofrecen una rentabilidad que trata de abarcar los dos primeros conceptos (inflación más coste de no disponibilidad); por ello al resto de inversiones, a esta rentabilidad “sin riesgo”, se le suman las diferentes “primas de riesgo” dependiendo de las características de la inversión. 2.- Operaciones básicas: capitalizar y actualizar Hemos dicho que el sistema financiero nos permite “mover dinero en el tiempo” y que la matemática financiera nos permite “transformar” un capital financiero en otro (financieramente equivalente) hacia el futuro o hacia el pasado. Cuando se trata de convertir un capital financiero hacia el futuro, la operación que se está realizando es “capitalizar”. Cuando convertimos un capital financiero del futuro hacia el presente, la operación que estamos realizando es “actualizar”. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 5 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Para poder capitalizar o actualizar necesitamos dos cosas: Elegir una fórmula matemática para “transformar” unos importes en otros o, dicho de otro modo, elegir un “régimen financiero” y, por tanto, su fórmula asociada o “factor financiero”. Determinar un tipo de interés. Decir que capitalizaremos (o actualizaremos), por ejemplo, 6.000 euros al 10% no nos dice nada si no añadimos la información sobre el “régimen financiero” y, por tanto, sobre el “factor financiero” que debemos aplicar. Los regímenes financieros más habituales son los siguientes: 1.-El régimen financiero de tipo de interés simple vencido. 2.- El régimen financiero de tipo de interés compuesto vencido. Cada uno de ellos tiene una fórmula –llamada “factor financiero”– mediante la cual “transforma” capitales financieros en el tiempo. 1.- Régimen financiero de tipo de interés simple vencido El primero de ellos utiliza el siguiente “factor financiero” (fórmula): (1 + i · n) Donde: i expresa el tipo de interés. n expresa el tiempo. Si queremos capitalizar, multiplicaremos el capital inicial por este factor financiero. Si queremos actualizar, dividiremos el capital final por este factor financiero. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 6 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Capitalizar Si invierto 100 euros hoy al 3% anual durante dos años, aplicando el tipo de interés simple vencido, ¿qué recibiré al vencimiento? C' = 100 · (1 + 0,03 · 2) = 106 € Cada año recibiré 3 euros de intereses; por tanto, en los dos años recibiré 6 euros de intereses más el principal de 100 euros. Actualizar Si recibiré 106 € dentro de dos años, ¿cuántos euros representan a día de hoy actualizados al 3% anual y aplicando tipo de interés simple vencido? 2.- Régimen financiero de tipo de interés compuesto vencido El segundo régimen financiero utiliza el siguiente “factor financiero” (fórmula): (1 + i) n Donde, de nuevo: i expresa el tipo de interés. n expresa el tiempo. Si queremos capitalizar, multiplicaremos el capital inicial por este factor financiero. Si queremos actualizar, dividiremos el capital final por este factor financiero. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 7 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Capitalizar Si invierto 100 euros hoy al 3% anual durante dos años, aplicando el tipo de interés compuesto vencido, al vencimiento recibiré: C' = 100 · (1 + 0,03)2 = 106,09 € Los 3 euros del primer año se suman al capital; por tanto, en el segundo año se calculan intereses sobre 103 euros (y no sobre 100 euros, como en el régimen financiero anterior) y por ello, finalmente, recibiré 106,09 euros en vez de 106 euros. Actualizar Si lo que deseamos es actualizar, dividimos entre el factor financiero. Actualizar a día de hoy un importe de 20.000 euros que se quiere obtener dentro de 5 años, es decir, calcular el importe que hay que invertir hoy para tener dicha cantidad disponible en 5 años, siendo el tipo de interés del 10% nominal anual. Si lo calculamos con régimen financiero de tipo de interés simple vencido (el primero que hemos visto) sería: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 8 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Si lo calculamos ahora con régimen financiero de tipo de interés compuesto vencido: Como en el régimen financiero de tipo de interés compuesto se reinvierten los intereses, que a su vez generan más intereses, a fecha de hoy puedo poner un importe sensiblemente menor que en el régimen de tipo de interés simple para obtener, al final del período, la misma cantidad (20.000 euros). En el ejemplo anterior, el plazo de 5 años no nos permite del todo observar el poder del tipo de interés compuesto. Imaginemos que ahora el plazo fuera de 10 años, ¿cuánto deberíamos invertir para obtener esos mismos 20.000 euros? Y si el plazo fuera de 20 años: Con el tiempo, la capacidad del interés compuesto de generar rendimiento aumenta. Para un plazo elevado de tiempo, con una inversión pequeña y gracias a la potencia del interés compuesto, se puede obtener una importante cantidad final. 3.- El VAN – Valor Actual Neto El Valor Actual Neto es una técnica de análisis de inversión que compara la inversión inicial con el valor actualizado de todos sus rendimientos esperados. Así, por ejemplo, si nos proponen invertir 175 millones de euros hoy, con el compromiso de que en los próximos cinco años recibiremos 50 millones de euros cada año, sería erróneo analizarlo con la premisa de que aplicamos 175 millones y recibimos en total 250 millones. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 9 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica No se pueden comparar 175 millones de euros de hoy con 50 millones de euros dentro de uno, dos, tres, cuatro o cinco años. Para poder analizar la inversión, deberemos comparar la inversión inicial (175) con los flujos futuros (50, 50, 50, 50, 50) actualizados, es decir, convertir esas cifras en euros de años posteriores a la fecha de inicio de la inversión, es decir, a euros correspondientes a dicha fecha de inicio. A partir de aquí sí se podrá comparar unos montantes de euros con otros, ya que todos serán equivalentes en el momento inicial de la inversión. La fórmula del VAN es la siguiente: Donde: o I = Inversión inicial (en el ejemplo 175 millones de euros). o CF1 = Capital financiero o flujo de fondos que se ingresarán en el primer período (en el ejemplo 50 millones de euros). o CF2 = Capital financiero o flujo de fondos que se ingresarán en el segundo período (en el ejemplo 50 millones de euros). o n = Número de períodos de liquidación que tiene la inversión (en el ejemplo, cinco períodos). o CFn = Capital financiero o flujo de fondos que se ingresarán en el último período (en el ejemplo 50 millones de euros). o k = Tasa de actualización de los flujos futuros (tasa única). Si en el presente ejemplo se calcula el VAN dando a la tasa de actualización “k” el valor del 10%, obtendríamos el siguiente resultado (conviene recordar que en los cálculos financieros las tasas en tanto por ciento se utilizan en tanto por uno; así, un 10% se incluirá en la fórmula como 0,10): CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 10 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Cuando se calcula el VAN de una inversión, lo primero que interesa conocer es si este es positivo o negativo: En el presente ejemplo, el VAN resultante es positivo, lo que indica que la inversión es, en principio, aconsejable. En el caso de que el VAN hubiese dado un resultado negativo, estaría indicando que la inversión analizada, en principio, no es aconsejable. ¿Cómo se debe interpretar el VAN? En primer lugar, se debe entender que el VAN es una técnica de evaluación de inversiones que lo que hace es poner un “listón” a la inversión analizada. Este “listón” es la tasa de actualización “k”. En el ejemplo anterior se puede interpretar que la inversión ofrece una rentabilidad “superior al 10%” o, lo que es lo mismo, supera el “listón” del 10%; por eso se considera que, si solo se tienen en cuenta esas variables, la inversión es “aconsejable”. Se puede observar que si se recalcula el VAN del ejemplo con una tasa de actualización mayor, por ejemplo del 20%, habrá una mayor probabilidad de que el VAN sea negativo o, dicho de otro modo, habrá una probabilidad mayor de que la inversión no supere el nuevo “listón” que se le ha colocado. ¿Qué favorece un VAN positivo? Hay tres factores que inciden en el resultado final del VAN: 1.- La inversión inicial: cuanto menor sea, más probabilidades de que el VAN sea positivo. 2.- Los flujos de fondos futuros: cuanto mayores sean estos, más probabilidades de obtener un VAN positivo. 3.- La tasa de actualización “k”: cuanto menor sea ésta, también mayor probabilidad tendrá el VAN de ser positivo. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 11 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica ¿Cuál será entonces la tasa de actualización que se utilizará para calcular un VAN? Ya hemos comentado anteriormente que los inversores, para decidir la rentabilidad que deben exigir a una inversión, tienen en cuenta los conceptos de inflación, coste de no disponibilidad y riesgo. Al calcular el VAN de una inversión, cada inversor analizará y utilizará la tasa de rentabilidad mínima exigida exclusivamente a dicha inversión y según sus análisis. Para hacerlo, lo más habitual es dar a dicha tasa un sentido de “coste de oportunidad”, ya que para tomar la decisión de realizar o no la inversión le ponemos el “listón” de la rentabilidad a la que se está renunciando por emprender el proyecto de inversión analizado. Expresado de otra forma, al calcular el VAN se exige al proyecto de inversión, para que sea aconsejable, que produzca como mínimo lo que el capital vinculado produciría con el uso alternativo (de riesgo similar) al que se renuncia. Y si el proyecto analizado asume un riesgo mayor a esa alternativa, se le sumaría la prima de riesgo que se considere oportuna. 4.- La TIR – Tasa Interna de Rentabilidad El VAN es una cierta medida del beneficio absoluto de un proyecto de inversión, pero con el cálculo del VAN no se conoce la tasa interna de rentabilidad del proyecto o TIR. Lo único que se conoce, una vez calculado el VAN, es lo siguiente: Si es positivo, el proyecto ofrece una rentabilidad mayor que la tasa de actualización “k” utilizada. Si es negativo, la rentabilidad del proyecto es menor que la tasa de actualización “k” utilizada. Si es igual a cero, obviamente la rentabilidad del proyecto coincide con la tasa de actualización. Así, en el ejemplo numérico utilizado para calcular el VAN, lo único que se conoce respecto a la TIR (Tasa Interna de Rentabilidad) del proyecto analizado es que esta es mayor que el 10%. Al ser el VAN positivo, se sabe que la rentabilidad de la inversión analizada es mayor que el “listón” que se le ha colocado; luego, si supera ese listón del 10%, el proyecto ofrece una rentabilidad (TIR) mayor que este 10%. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 12 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica ¿Cómo calcular la TIR de una inversión? Si al calcular el VAN de una inversión el resultado es igual a cero, resulta que la inversión no tiene una rentabilidad mayor que el “listón” ni menor que el “listón”; por tanto, la TIR sería igual a ese “listón” o tasa de actualización utilizada. De aquí se deduce que la TIR es aquella tasa de actualización que hace que el VAN se iguale a cero. En este caso, en la fórmula del VAN, ahora la incógnita no es el VAN, sino la tasa de actualización “k”, ya que se debe hallar una “k” tal que haga que el VAN sea cero. En este caso concreto, a la “k” se la denomina TIR. Para despejar la “k” de la fórmula existe un problema matemático, ya que se está frente a un polinomio de grado “n” y esta operación no tiene una solución única; la forma de calcular ese valor de “k” que haga que el VAN sea cero será por el método de “iteraciones sucesivas”. Este método de cálculo no es más que ir acotando el valor de “k” entre aquellos valores que den un VAN positivo y un VAN negativo, hasta conseguir uno que dé como resultado un VAN igual a cero. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 13 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica En el ejemplo numérico anterior de cálculo del VAN se ha utilizado una tasa de actualización igual al 10% y el VAN era positivo (14,54); si repetimos el cálculo anterior con una tasa de actualización del 20%, el VAN pasa a ser negativo (-25,47); por tanto, ya se sabe que la TIR estará entre el 10 y el 20%. Habrá que acotar sucesivamente el valor de “k” entre 10 y 20 hasta hallar un valor de TIR donde el VAN sea igual a cero: k: 10% → VAN = 14,54 (la rentabilidad de la inversión es superior al 10%) → 10% < TIR k: 20% → VAN = -25,47 (la rentabilidad de la inversión es inferior al 20%) → 10% < TIR < 20% k: 15% → VAN = -7,39 (la rentabilidad de la inversión es inferior al 15%) → 10% < TIR < 15% k: 13% → VAN = 0,86 (la rentabilidad es superior al 13%) 13% < TIR < 15% k: 13,5% → VAN = -1,26 (la rentabilidad es inferior al 13,5%) 13% < TIR < 13,5% k: 13,2% → VAN = 0,01 (rentabilidad es superior al 13,2%) 13,2% < TIR < 13,5% k: 13,21% → VAN = -0,04 (rentabilidad es inferior al 13,21%) 13,20% < TIR < 13,21% Podríamos seguir hasta hallar tantos decimales como precisemos. Hasta dos decimales, sabemos que la TIR de dicha inversión es del 13,20% En la práctica, utilizaremos habitualmente una hoja de cálculo (aunque también podría utilizarse una calculadora que permita cálculos financieros; el de la TIR suele realizarse mediante la tecla IRR o Internal Rate of Return). En ambos casos, no se estará haciendo otra cosa que realizar aproximaciones a VAN igual a cero mediante iteraciones sucesivas también. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 14 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica 5. La TAE – Tasa Anual Equivalente La TIR da la tasa interna de rentabilidad de un proyecto de inversión, pero esta TIR no tiene por qué ser necesariamente de un período anual. La TAE es la TIR anualizada. Cuando una operación financiera no tiene períodos anuales de liquidación de intereses, debe realizarse una transformación de la TIR resultante (mensual, trimestral, semestral, etc.) en una TIR anual o TAE (tasa anual equivalente). La anualización de una TIR se realiza mediante la fórmula siguiente: Donde “d” es el número de días que comprende cada período de liquidación, y si el año fuera bisiesto, el numerador de la potencia sería igual a 366. En caso de aplicar el año comercial, la fórmula que se aplica es la misma pero con el numerador del exponente igual a 360: Así, por ejemplo, si se analiza una operación financiera donde se prestan cien millones (100 millones de euros) y se pagan intereses en cuatro períodos de liquidación de un montante igual a cuatro (4) millones de euros cada período, devolviéndose el principal (100 millones de euros) al final del último período, la TAE resultante dependerá de los días que comprende cada uno de esos cuatro períodos de liquidación. La TIR resultante será igual al 4%. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 15 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Si los períodos son trimestrales, entonces la TIR es trimestral y la TAE será igual a: TIR (trimestral) = 4%. TAE = (1 + 0,04)360/90 – 1 = (1,04)4 – 1 = 16,99%. Si los períodos son semestrales, la TIR es semestral y la TAE será igual a: TIR (semestral) = 4%. TAE = (1 + 0,04)360/180 – 1 = (1,04)2 – 1 = 8,16% En definitiva, la TIR de una operación con períodos de liquidación anual es igual a la TAE. En el caso de que una operación financiera no tenga períodos de liquidación anuales, se deberá convertir a la TIR anual o TAE mediante la fórmula anteriormente expuesta. 6.- Rentabilidad real Si obtenemos una rentabilidad (llamémosle “rentabilidad financiera” o "nominal") de una inversión del 10% pero la inflación del período ha sido del 3%, lo que sabemos es que nuestro “poder adquisitivo” no ha aumentado el 10%, ¿verdad? ¿Cuánto ha aumentado realmente? Esta información nos la proporciona la rentabilidad real. Esta es una cifra a la que se le da mucha importancia por parte de los inversores, ya que no debe olvidarse que el objetivo fundamental del ahorro y la inversión es preservar el capital para mantener o incrementar su poder adquisitivo a lo largo del tiempo, y por ello la erosión que genera la inflación en el valor de dicho patrimonio puede ser de gran importancia. En ocasiones se utiliza una primera aproximación, que se limita a restar de la tasa de rentabilidad que se ha calculado el importe de la inflación existente para el mismo plazo de la inversión. Si la inflación es del 3% anual y se obtiene un interés del 8% anual, en realidad la rentabilidad real es de 5%, obtenida con la fórmula siguiente: Rentabilidad real = Tasa de rentabilidad financiera o nominal – Inflación CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 16 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Este cálculo es solamente una aproximación, aunque en muchas ocasiones puede utilizarse sin problemas porque el resultado que se obtiene es similar al que obtenemos con la fórmula más apropiada, que es la siguiente: Disponemos de 100 euros, con los que podemos comprar hoy 100 pastelitos (pues su precio es de 1 euro el pastelito). Decidimos invertir estos 100 euros durante un año. Para renunciar a comprar los pastelitos hoy, deseamos poder comprar dentro de un año 105 pastelitos, es decir, deseamos obtener una “rentabilidad real” del 5%. Como sabemos (por alguna extraña razón) que la inflación va a ser del 3%, decidimos invertir en un producto que ofrece una rentabilidad del 8%. ¿Cuál habrá sido la rentabilidad real de esta operación? Mediante el uso de la diferencia entre rentabilidad financiera e inflación hubiéramos obtenido 8% – 3% = 5%, que parecía indicarnos que de esta inversión podríamos comprar los 105 pastelitos. En cambio, con la segunda fórmula, esto no es así: podremos comprarnos 104 pastelitos (o 104,85 pastelitos). ¿Por qué ocurre esto? Porque no solamente a los 100 pastelitos iniciales hay que aplicarles la inflación (dentro de un año valdrán 103 euros), sino también a los 5 que deseo comprar (que valdrán 5,15 euros, y no 5 euros). Si realmente quiero consumir 105 pastelitos, deberé invertir en un producto que ofrezca 8,15 euros (una rentabilidad financiera/nominal del 8,15%), entonces sí que mi rentabilidad real será del 5%: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 17 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Con este sencillo ejemplo vemos por qué la fórmula correcta es la segunda, si bien en muchas ocasiones la diferencia entre ambas es pequeña y puede utilizarse la primera. Una vez revisados los seis conceptos básicos, pasaremos a ver ahora un ejemplo de análisis de los siguientes productos/activos financieros: Depósitos Préstamos Bonos Rentas (productos previsionales) DEPÓSITOS En este apartado, analizaremos tres depósitos similares, en los que podremos aplicar los conocimientos sobre: regímenes financieros, capitalización, TIR y TAE. 1.- Primer depósito: Depósito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres) y liquidación única de intereses al vencimiento. Régimen financiero de tipo de interés simple. Siempre vamos a seguir los mismos tres pasos para analizar productos o inversiones financieras: primero hallar todos los flujos (capitales financieros) de la operación, seguidamente hallar la rentabilidad (TIR), y por último, si la TIR no es anual, hallar la TAE. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 18 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Primer paso: hallar todos los capitales financieros de la operación Planteamos el esquema temporal para tener claro cuáles serán los capitales financieros que tendrá la operación. En este caso, en que hay liquidación única de intereses al vencimiento, serán dos: Imaginemos que depositamos 100 euros, ¿qué cantidad recibiremos transcurridos los 9 meses? En este ejemplo los números son muy fáciles y podemos responder con sentido común; recibiremos los 100 euros más unos intereses de 6 euros (si en un año ganamos 8 euros, en 9 meses ganamos 6 euros). Cuando los números no sean tan obvios necesitaremos aplicar las fórmulas adecuadas. Si aplicamos la fórmula de tipo de interés simple vencido, veremos que sigue la misma lógica que el sentido común. Si C es el capital financiero hoy y C’ el capital financiero de aquí a 9 meses: Y el esquema temporal por tanto quedará: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 19 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica NOTA: Para obtener el tipo de interés nominal del período de tiempo adecuado (en este caso 9 meses), lo hemos expresado de forma anual (0,08 en el ejemplo) y lo hemos multiplicado por el plazo de la operación expresado en años. Alternativamente lo podríamos haber calculado: 𝟗 𝟑 𝟐𝟕𝟎 𝟎, 𝟎𝟖 ∙ = 𝟎, 𝟎𝟖 ∙ = 𝟎, 𝟎𝟖 ∙ = 𝟎, 𝟎𝟔 𝟏𝟐 𝟒 𝟑𝟔𝟎 También habríamos podido expresar el tipo de interés nominal y el tiempo directamente expresado en el plazo de la operación (9 meses): C' = C · (1 + i · t) = 100 · (1 + 0,06 · 1) = 106 Ahora el tipo de interés nominal y el tiempo están expresados, no en términos anuales, sino en términos de “nueve meses”; un 6% es el tipo de interés nominal a 9 meses que proviene del 8% nominal anual, y ahora multiplicamos por 1, que es el número de períodos de “9 meses” que hay en la operación. Incluso podríamos obtener el capital final utilizando el tipo de interés nominal trimestral: C' = C · (1 + i · t) = 100 · (1 + 0,02 · 3) = 106 Ahora el tipo de interés nominal y el tiempo están expresados en trimestres: 2% es el tipo de interés nominal trimestral y 3 son los períodos trimestrales que hay en la operación. En este régimen financiero podemos utilizar cualquiera de las fórmulas, siempre que el tipo de interés y el tiempo estén expresados en la misma unidad. En el régimen de tipo de interés compuesto no podremos; siempre deberemos utilizar el tipo de interés referido al período de capitalización de intereses. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 20 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Segundo paso: hallar la rentabilidad (TIR) Una vez tenemos claros los capitales financieros que componen la operación, el siguiente paso en el análisis del depósito será calcular su rentabilidad, es decir, su TIR. De nuevo en este caso este cálculo es muy intuitivo: la rentabilidad es del 6% (ya que depositamos 100 euros y la entidad nos devuelve 106 euros), aunque no hemos de perder de vista que no es un 6% anual, sino por el periodo de la operación (9 meses). Pero trabajemos con las fórmulas que conocemos para cuando los números no sean tan obvios. Habíamos definido la TIR como aquella tasa que hace que el VAN sea cero. En nuestro ejemplo, –I es la inversión (100) y C, el capital financiero futuro, es el importe que recibiré dentro de nueve meses (106): Pero esto es lo mismo que decir, de modo gráfico: La TIR es aquella tasa que hace que el capital invertido y el capital que se recibirá en el futuro sean financieramente equivalentes; por tanto, nos indica la rentabilidad efectiva de la operación. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 21 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Cuando los capitales financieros son solamente dos, como en este caso, sustituyendo los valores en la fórmula anterior, el cálculo es muy sencillo: También solemos utilizar una fórmula (“valor final” menos “valor inicial” dividido entre “valor inicial”), cuyo resultado es idéntico: Cuando hay más de dos capitales financieros, en la gran mayoría de casos, para calcular la TIR necesitaremos la ayuda de una calculadora financiera, o bien de una hoja de cálculo (en la cual buscaremos aquella tasa que iguale el capital financiero de hoy a los capitales financieros futuros actualizados a dicha tasa a fecha de hoy). Ambos hallarán el valor mediante “iteraciones sucesivas”, como hemos visto. Por tanto, ya sabemos que la rentabilidad (TIR) del depósito 1 es de un 6%, pero no perdamos de vista que este 6% es la rentabilidad de 9 meses. Tercer paso: hallar la rentabilidad anualizada (TAE) Para poder hacer comparaciones entre este y otros productos, solemos expresar la rentabilidad de forma anual, es decir, la expresamos en TAE. Para ello, utilizamos la fórmula siguiente: TAE = (1 + TIR)m – 1 CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 22 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica En nuestro ejemplo, m es el número de períodos de 9 meses que hay en un año, concretamente 12/9 ó 1,33333, pues si dispusiéramos del plazo de un año (12 meses), podríamos completar el plazo del depósito una vez de forma completa (9 meses) más una tercera parte del depósito (3 meses) antes de llegar a los 12 meses. Para obtener el número de períodos de la operación que hay en un año es tan fácil como invertir la expresión del plazo expresado de forma anual. 𝟏𝟐 𝟒 𝟑𝟔𝟎 = = ̂ = 𝟏, 𝟑𝟑 𝟗 𝟑 𝟐𝟕𝟎 Nota: anteriormente habíamos visto el exponente de la fórmula expresado en (360/días) o bien (365/días). Al introducir ahora ‘m’ vemos que podemos calcular el exponente no solo a través de días, sino también con meses, trimestres, etc. Si introducimos todos los datos en la fórmula, hallaremos la TAE: Ahora sí, esta rentabilidad está expresada de forma anual y nos permitiría comparar la rentabilidad de este depósito con la de otros productos financieros. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 23 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica 2.- Segundo depósito: Depósito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres), con capitalización trimestral de intereses y liquidación única al vencimiento. Régimen financiero de interés compuesto. Primer paso: hallar todos los capitales financieros de la operación De nuevo, lo primero es plantear el esquema temporal para tener claro cuáles serán los capitales financieros que tendrá la operación. En este caso, hay capitalización trimestral de intereses y liquidación única al vencimiento; de nuevo serán dos, aunque se capitalizarán intereses cada trimestre. Imaginemos que depositamos 100 euros, ¿qué cantidad recibiremos transcurridos los 9 meses? En este caso debemos utilizar la fórmula de tipo de interés compuesto. Como la periodicidad de capitalización de intereses es trimestral, deberemos utilizar el tipo de interés trimestral (2%) y capitalizar los intereses durante 3 períodos (hay tres trimestres en 9 meses). En este régimen ya no podemos utilizar el tipo de interés anual (0,08) y elevarlo a 9 meses (9/12), o utilizar el tipo de interés de 9 meses (0,06) y elevarlo a uno. Solo podemos trabajar con el tipo de interés correspondiente al plazo de liquidación y elevarlo al número de periodos efectivos de liquidación. Si C es el capital financiero hoy, y C’ el capital financiero de aquí a 9 meses: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 24 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Por tanto, el esquema temporal queda: Segundo paso: hallar la rentabilidad (TIR) La TIR también la hallamos de forma directa: Tercer paso: hallar la rentabilidad anualizada (TAE) Y la TAE: Tanto la TIR como la TAE del segundo depósito son superiores al primero, pues tienen el mismo vencimiento pero en el segundo depósito recibimos una cantidad mayor; por tanto, la rentabilidad también lo es. Fijémonos que, aunque tienen el mismo vencimiento, la periodicidad de cálculo de intereses no es la misma; el primero a los nueve meses y el segundo a los tres meses. Para completar la comparación veamos el tercer depósito, que aunque tiene régimen financiero de tipo de interés simple, su periodicidad de liquidación de intereses es trimestral. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 25 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica 3.- Tercer depósito: Depósito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres) y liquidación de intereses al final de cada trimestre. Régimen financiero de tipo de interés simple. Primer paso: hallar todos los capitales financieros de la operación Planteamos el esquema temporal para tener claro cuáles serán los capitales financieros que tendrá la operación. En este caso, hay liquidación trimestral de intereses, que no se reinvierten, por tanto se entregan al depositante. A vencimiento recibimos el último pago de intereses y devolución de los 100 euros que de nuevo depositamos. ¿Qué cantidades recibiremos transcurridos los 9 meses? Cada trimestre se realizará una liquidación de intereses de 2 euros. C · i = 100 · 0,02 = 2 Por tanto, el esquema temporal queda: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 26 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Segundo paso: hallar la rentabilidad (TIR) Aunque en este caso haya 3 capitales financieros que se van a recibir, la TIR también la hallamos de forma bastante directa, ya que invertir 100 hoy y recibir 2, 2, y 102 en cada período de liquidación significa una rentabilidad del 2 %... pero en este caso se trata de una TIR trimestral. Tercer paso: hallar la rentabilidad anualizada (TAE) La TAE la calcularemos como siempre, en este caso m será 4 (hay 4 períodos de un trimestre dentro de un año): TAE = (1 + TIR)m – 1 = (1 + 0,02)4 – 1= 0,0824 Finalizados los análisis de los tres depósitos, veamos las conclusiones que podemos extraer de la TAE obtenida en cada uno de ellos CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 27 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica El depósito 1 quedaría rápidamente descartado por el 2, que tiene la misma estructura de pagos pero un importe superior a recibir a los 9 meses, y por tanto una rentabilidad también mayor (tanto TIR como TAE). En cambio, los depósitos 2 y 3, aunque el primero capitaliza los intereses y estos generan nuevos intereses y el segundo los abona al depositante, tienen una TAE idéntica. Esto es así porque la TAE precisamente está suponiendo que los capitales financieros intermedios se reinvierten al mismo tipo de interés. ¿Cuál de ellos será mejor? Bien, teniendo en cuenta este supuesto de reinversión, que es la principal crítica a la TAE, si se trata de decidir sobre la base de la rentabilidad, cabrá preguntarse a qué tipo podrá el depositante reinvertir los 2 euros que reciba cada trimestre; si es a un tipo de interés superior, le convendrá más el depósito 3; en cambio, si no puede reinvertir a dicha tasa, entonces le resultará mejor el depósito 2. Por otro lado, evidentemente la TAE no tiene en cuenta otros criterios que no tengan que ver con la rentabilidad. Por la razón que sea, al depositante puede interesarle cobrar antes los intereses para poder realizar ciertos pagos o simplemente para consumir. ¿Obtendrá el depositante una rentabilidad del 8,08% en el primer depósito o del 8,24% en el segundo y tercero? ¡No! Obtendrá respectivamente un 6% en 9 meses en el primer caso, un 6,1208% en nueve meses en el segundo, y un 2% trimestral durante 3 trimestres en el tercero, no más. La TAE nos dice que si se pudiera seguir reinvirtiendo los capitales financieros obtenidos al mismo “ritmo” de rentabilidad hasta completar un año, solo entonces se recibirían las TAE antes indicadas, pero esto los productos financieros no lo garantizan, desde luego. Por tanto, la TAE es una herramienta útil para comparar entre diferentes productos financieros, pero hay que comprender bien la información que nos da. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 28 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica PRÉSTAMOS En muchas ocasiones, las familias precisan disponer de unos capitales financieros muy elevados, a los que ni sus ingresos ni su ahorro previo les permiten acceder (a la hora de comprar una vivienda u otros bienes o servicios de precio elevado). También las empresas u otras organizaciones, para poder acometer sus inversiones, precisan endeudarse. En ambos casos, las entidades bancarias facilitan financiación a sus clientes básicamente mediante préstamos. ¿Y qué variable será clave para analizar y poder comparar entre diferentes préstamos? Otra vez la TAE será la variable clave para los clientes que deseen solicitar un préstamo. De nuevo, los pasos serán los siguientes: 1. Primer paso: saber dibujar todos los flujos de la operación, en este caso los básicos son el principal del préstamo y las cuotas, pero también deberemos tener en cuenta si hay comisiones y cualquier otro flujo que afecte a la operación. 2. Segundo paso: cuando conozcamos todos los flujos podremos calcular la TIR. 3. Tercer paso: si la TIR es anual ya tendremos directamente la TAE. Si no lo es, deberemos transformar la TIR en TAE. Imaginemos un préstamo de 100.000 euros, a un tipo nominal anual del 10%, cuotas mensuales durante dos años y comisión de apertura del 3%. Calculemos del importe de las cuotas mensuales del préstamo, pues las necesitaremos para poder conocer los flujos de la operación (que es el “primer paso” que realizamos siempre). Las cuotas de un préstamo (en la modalidad préstamo francés) son todas del mismo importe y tienen la misma periodicidad, lo que las convierte en una renta. La fórmula del valor actual de una renta temporal es la siguiente (una de sus CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 29 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica posibles versiones, en el apartado de rentas veremos cómo se obtiene, ahora simplemente la aplicaremos): Donde, VA es el valor actual de la renta (por tanto el importe del préstamo). C es la cuota (en este caso mensual). i es el tipo de interés expresado en meses (0,10/12 = 0,008333). n es el número de cuotas (24 en este caso). Como el dato que conocemos es el valor actual (VA) ‒principal del préstamo‒ y lo que deseamos es conocer las cuotas, despejaremos C: O, más concretamente, 4.614,49 euros si calculamos la cuota en Excel, sin redondear ni perder decimales en el tipo de interés. Vamos a analizar este préstamo mediante los tres mismos pasos que utilizábamos con los depósitos, pero vamos a realizarlo dos veces: la primera si no tenemos en cuenta las comisiones y la segunda teniendo en cuenta las comisiones. Primer paso: hallar todos los capitales financieros de la operación (sin comisiones) Ya hemos hallado el valor de las cuotas, así que el esquema temporal es el siguiente: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 30 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Segundo paso: hallar la rentabilidad (TIR) (sin comisiones) Para calcular la TIR, podríamos hacerlo con un Excel o una calculadora financiera, buscando aquella tasa que haga que el principal del préstamo y las cuotas del mismo sean financieramente equivalentes, aunque en realidad en este caso no hace falta; si hemos calculado las cuotas a partir del principal del préstamo y un tipo mensual del 0,8333%, y no hay ningún capital financiero adicional, cuando busque la tasa que al actualizar las cuotas me dé el principal, voy a hallar una TIR mensual del 0,8333%. Tercer paso: hallar la rentabilidad anualizada (TAE) (sin comisiones) Para calcular la TAE lo haremos con la fórmula de siempre: TAE = (1 + TIR)m – 1 = (1 + 0,008333)12 – 1 = 0,10471 Aunque aún no hemos incluido comisiones, y la TIR es exactamente igual al tipo de interés mensual, la TAE en cambio ya no es del 10%, sino superior. ¿Por qué? Por la misma razón que cuando analizábamos depósitos: el cliente no está pagando el 10% de una vez al final de año, sino mediante cuotas mensuales; por tanto, la entidad cobra antes y su rentabilidad (TAE) aumenta; para el cliente, ocurre justo lo contrario, como paga antes, su coste (TAE) aumenta. Añadamos ahora las comisiones. Primer paso: hallar todos los capitales financieros de la operación (con comisiones) El importe de comisión será del 3% sobre 100.000 euros, por tanto será de 3.000 euros. El importe que recibirá el cliente no será de 100.000 euros, sino que obtendrá 97.000 euros. El esquema temporal ahora es: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 31 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Segundo paso: hallar la rentabilidad (TIR) (con comisiones) Ahora sí, para buscar la TIR, aquella tasa que hace que las cuotas actualizadas sean igual a 97.000 euros, deberé utilizar Excel o calculadora financiera. Una vez realizado el cálculo se obtiene una TIR mensual del 1,089%, que es mayor a la anterior por efecto de la comisión. (Nota: no es objetivo de este material ni del examen calcular TIRs con Excel o calculadora. Sí lo es la comprensión del efecto que supone sobre la TIR de un préstamo la introducción de comisiones). Tercer paso: hallar la rentabilidad anualizada (TAE) (con comisiones) Para calcular la TAE: TAE = (1 + TIR)m – 1 = (1 + 0,01089)12 – 1 = 0,13876 La TAE ahora es aún superior, como es normal al haberle añadido las comisiones. Entre el 10% nominal anual y el 13,876% TAE vemos ahora que hay dos efectos: el primero, la periodicidad de las cuotas, que ya de por sí hace aumentar la TAE; y, el segundo, la comisión. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 32 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica BONOS Partiremos del siguiente ejemplo, imaginemos un bono con las siguientes características: Nominal: 1.000 €. Tipo de interés: 4% anual. Pago de cupón anual. Vencimiento: año 05. La estructura temporal de la inversión en este bono sería la siguiente: Si el nominal es de 1.000 euros y el cupón es anual, un cupón del 4% significará pagos de 40 euros anuales, y a vencimiento (año 05) será de 40 euros de cupón más la devolución del principal. A estos activos los llamamos renta fija porque tienen fijada su estructura de pagos. Quien posea este bono sabe que cobrará 40 euros cada año y 1.040 euros en el vencimiento. Imaginemos que el precio actual de este bono es de 1.000 euros (o 100%, recordemos que las cotizaciones de los bonos se hacen en porcentaje sobre el nominal), ¿cuál es su rentabilidad? ¿Cuál es su TIR? Es fácil de calcular. Invertimos 1.000 euros hoy y recibimos 40 euros el primer año, 40 euros el segundo, 40 euros el tercero… La rentabilidad (TIR) es del 4%, en este caso anual, pero únicamente porque su precio ha sido del 100%. Si vamos a comprar este bono al mercado y su precio es del 102%, ¿qué flujos recibiremos en el futuro? Los mismos, la estructura de pagos está fijada; 40 euros de cupón cada año, y el quinto año además la devolución del principal. La rentabilidad que ofrece el bono no puede ser entonces del 4%, ya que debemos pagar más (1.020 euros en vez de 1.000 euros) para recibir lo mismo de antes; la rentabilidad del bono debe obligatoriamente ser menor. ¿Cómo calculo la nueva rentabilidad del bono? De forma análoga a nuestros cálculos anteriores en diferentes activos y productos financieros: actualizaremos los CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 33 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica capitales financieros futuros (cupones y devolución de principal) y buscaremos aquella tasa que iguale el valor actual de los mismos al precio del bono (en este caso 102%): Realizando los cálculos en un Excel obtenemos una TIR del 3,56%. Cuanto más alto sea el precio del bono, menos rentabilidad estará dando a los inversores que lo compren a dicho precio (aquellos que habían comprado a un precio de 100, si lo mantienen a vencimiento, evidentemente su rentabilidad sí será del 4%). ¿Y si su precio baja a 98%? Ahora podemos pagar menos de 1.000 euros por el bono que va a seguir pagando cupones de 40 euros anuales más la devolución del principal. Está claro que preferimos pagar 980 mejor que 1.000, pues la rentabilidad que obtendremos será mayor. ¿Cuánto mayor? Volvemos a calcular con Excel: Y obtenemos una TIR del 4,46%, mayor que el 4%, tal y como habíamos supuesto. (De nuevo, no es objetivo de este material ni del examen calcular TIRs con Excel o calculadora. Sí lo es la comprensión del efecto que supone sobre la TIR de un bono la subida o bajada del precio del mismo). También podríamos hacer el ejercicio al revés. Imaginemos que este bono daba antes el 4%, pero ahora los tipos de interés han subido, y los bonos de similares características y riesgo a este están dando una rentabilidad del 5%. ¿Qué le pasará al precio de este bono? ¿Subirá, bajará o se quedará igual? Si bonos de idénticas características están dando una rentabilidad del 5%, los inversores comenzarán a venderse este bono para comprar los otros. Si el bono se vende, su precio irá disminuyendo, y cuando el precio vaya disminuyendo, su rentabilidad irá aumentando (como en el ejemplo que hemos visto, si baja a 98 la TIR, sube a 4,46%). CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 34 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica ¿Hasta cuándo disminuirá el precio del bono? Hasta que llegue a un precio tal que, comprándolo a dicho precio, su rentabilidad sea del 5%, como en los otros bonos. Con un cálculo similar al que hacíamos antes, podemos calcular cuál será este precio: Comprando a un precio del 95,671%, el bono ofrece una rentabilidad del 5%. ¿Y si es al revés? ¿Y si los tipos de interés han bajado al 3%? Todos los inversores querrán este bono, ya que paga un cupón del 4%. Cuando muchos inversores compren el bono, su precio irá subiendo. ¿Hasta dónde? Hasta que la rentabilidad de este bono (comprada a dicho precio) se iguale con los bonos nuevos que tienen una rentabilidad del 3%. Si calculamos de nuevo el precio: El bono se irá comprando y su precio irá subiendo hasta alcanzar el 104,580%. A partir de aquí (aproximadamente), ya no tiene sentido pagar más, ya que supondría estar obteniendo una rentabilidad inferior al 3%, por lo que sería más adecuado comprar los otros bonos. RENTAS Cuando en un producto o activo financiero hay una serie de capitales financieros periódicos aparece una renta. Las cuotas que pagamos para la devolución de un préstamo son una renta, por ejemplo, por ello cuando hemos analizado el préstamo hemos utilizado la fórmula de la renta para ello. En ese momento, simplemente hemos aplicado la fórmula, ahora es el momento de explicar su origen. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 35 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Aunque nos parezca complicado, trabajar con fórmulas de valoración de rentas es sencillo si tenemos claros los conceptos de “valor actual” y “actualización /capitalización. Sabemos que toda operación financiera conlleva que el dinero de hoy y el del futuro deben ser financieramente equivalentes, es decir, que si actualizo el dinero que se recibirá en el futuro a fecha de hoy, el importe que obtengo debe ser idéntico al dinero que se invierte hoy. Si pensamos en una renta perpetua, calcular su valor actual podría resultar muy costoso, pues deberíamos ir actualizando cuotas hasta el infinito (en realidad no tanto, pues como el valor actual de las cuotas muy lejanas cada vez resulta un importe más pequeño, cuando llevásemos actualizadas muchas cuotas, al final una más no nos añadiría ya prácticamente información, aunque tendríamos que actualizar unas cuantas). Las fórmulas para valorar rentas son un “atajo”, es decir, una forma de hacer esos cálculos de forma mucho más rápida. Veamos un primer ejemplo muy sencillo que nos permitirá trabajar con rentas perpetuas. Imaginemos un millonario que desea asegurarse una renta de 100.000 euros anuales indefinidamente. Si su entidad le ofrece un producto financiero que da un tipo de interés del 10%, ¿qué cantidad debe poner en dicho producto para asegurarse su renta perpetua? No es muy complicado calcular que si el millonario “ingresa” un millón de euros, cada año el producto le dará 100.000 euros de intereses, que son los que retirará como renta, y volverá a tener disponible de nuevo el millón de euros para generar intereses para el año siguiente. Sencillo, ¿verdad? Pues acabamos de deducir el valor actual (VA) de una renta perpetua: No perdamos de vista que lo que está haciendo esta fórmula es calcular el valor actual de todos los flujos futuros; por tanto, nos ahorra trabajo. Veamos gráficamente el esquema temporal: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 36 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Si lo que conozco es el importe disponible para invertir (un millón) y deseamos conocer la renta que se obtendrá al invertir en dicho producto (al 10%), solo debo calcular: C = VA · i = 1.000.000 · 0,10 = 100.000 La renta a percibir cada año es de 100.000 euros. Esta fórmula no nos serviría, por ejemplo, para calcular las cuotas de un préstamo, pues este no tiene cuotas perpetuas, sino que tiene un vencimiento; por tanto, deberemos aprender a calcular las cuotas, no de una renta perpetua, sino de una renta temporal. La fórmula del valor actual de una renta temporal se puede deducir a partir de la fórmula de la renta perpetua. En realidad, la renta temporal será la diferencia entre dos rentas perpetuas. Veamos las dos estructuras temporales siguientes: La primera es una renta perpetua que comienza hoy, y la segunda es una renta perpetua diferida 3 periodos. El valor de la renta temporal de tres periodos que vemos en la parte inferior (la renta que queda en blanco en el esquema temporal de la imagen), lo puedo obtener mediante la diferencia entre el valor actual de la renta perpetua superior y el valor CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 37 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica actual de la renta inferior actualizada a fecha de hoy (solo puedo restar capitales financieros si están referidos a la misma fecha) Por ello, el valor actual de la renta temporal es la diferencia o resta entre dos perpetuas: Saber trabajar con rentas, además de ayudarnos a calcular cuotas de préstamos o precios de bonos, nos irá muy bien para analizar la parte financiera de los productos previsionales. Hay toda una amplia gama de productos previsionales con un componente financiero (de capitalización, de rentas, etc.), casi siempre con algún elemento de “seguro puro” que lo complementa. Para este tipo de productos nos van a servir las fórmulas de las rentas, tanto para el período de “aportaciones” (cuando se “pone” el dinero) como para el de “prestaciones” (cuando se “recibe” el dinero). No hablaremos pues de productos previsionales concretos, que tienen una parte financiera y una parte actuarial, solo de los aspectos financieros que hay dentro de los productos previsionales. Hablaremos, por tanto, principalmente de capitalizar (aportaciones, como prima única o aportaciones periódicas) y de disponer de un capital constituido (especialmente mediante rentas). A.- APORTACIONES. Básicamente diferenciaremos entre primas únicas o primas periódicas: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 38 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica 1.- Aportaciones con prima única: el asegurado aporta todo el capital de una sola vez. Dependiendo del plazo del producto y la rentabilidad del mismo, a vencimiento recibirá la cantidad aportada más la rentabilidad que se haya pactado. Vendría a ser lo más parecido a un depósito o imposición a plazo fijo. Podríamos obtener el valor final de esta inversión simplemente capitalizando. Supongamos que disponemos de un importe de 100.000 euros, nos ofrecen un tipo de interés anual del 3% y capitalización durante 10 años. Por ejemplo si aporto el capital cuando faltan 10 años para mi jubilación, a un tipo de interés del 3%, obtendré un capital de 134.391,64 euros. Utilizamos la fórmula de capitalización compuesta de un capital financiero: C’ = C ∙ (1 + i)n = 100.000 ∙ (1,03)10 = 134.391,64 ¿Y si pudiera comenzar a capitalizar antes? Por ejemplo, 30 años antes de mi jubilación. En ese caso: C’ = C ∙ (1+i)n = 100.000 ∙ (1,03)30 = 242.726,25 Podemos hacer también el cálculo inverso, es decir, decidir el importe que deseo obtener, por ejemplo para la jubilación, y hallar el capital que debo invertir hoy. Siguiendo el mismo ejemplo de antes, si quisiera obtener para la jubilación dentro de 10 años un importe de 134.391,64 euros, y me ofrecen un producto con un tipo de interés del 3%, debería poder hallar que el importe que preciso invertir es de 100.000 euros. Veamos la fórmula que ya conocemos: 2.- Aportaciones con prima periódica: se establece un “plan” de aportaciones, que puede ser mensual, trimestral, semestral, anual… En este caso, podríamos estimar el capital final capitalizando la renta a vencimiento. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 39 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Hemos visto la fórmula del valor inicial de una renta. Por suerte, podremos calcular el valor final de una forma intuitiva, ya que sabemos calcular el valor actual de una renta y sabemos capitalizar un capital financiero, que es lo que haremos para calcular el valor final: Imaginemos que podemos aportar 200 euros mensuales durante 20 años en un producto que ofrece un tipo de interés del 3%. ¿Qué capital final obtendríamos pasados los 20 años? Recordemos que si la cuota es mensual, el tipo de interés debe serlo también, en este caso el 0,25% o 0,0025. Y que 20 años significan 240 cuotas mensuales. Suele ser aún más interesante realizar el cálculo inverso, es decir, si quiero conseguir un capital determinado para la jubilación, cual es el importe de la cuota mensual (por ejemplo) que debo realizar para poder conseguir el capital deseado. Imaginemos que faltan 20 años para la jubilación, que el producto ofrece un tipo de interés anual del 4% (por tanto un 0,33% mensual o 0,0033) y que deseo conseguir un capital de 100.000 euros. En la fórmula anterior, ahora conozco el valor final (VF) y debo despejar la cuota (C): CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 40 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Un ejercicio muy interesante que previamente se puede realizar es hacer un estudio de las necesidades de complementar la pensión pública con un ahorro privado, y tras conocer el importe estimado que debería ahorrar, calcular qué prima única o periódica he de destinar a dicho objetivo. B.- PRESTACIONES. A partir de un capital, y bajo un punto de vista de tipo de prestación, pueden distinguirse básicamente entre prestaciones en forma de capital o en forma de renta. Nos centraremos en este segundo tipo, prestaciones en forma de renta, y los cálculos que desearemos realizar, como hasta ahora, tendrán como objetivo obtener la cuota que podremos cobrar a partir de un importe ahorrado, o bien calcular el importe que deberemos ahorrar si deseo obtener una cuota determinada. Vamos a realizar los siguientes cálculos: A partir de un capital, ¿qué cuota mensual recibiré si la cuota es perpetua (no consume capital)? Si disponemos de 100.000 euros y el producto tiene un tipo de interés anual del 3% (por tanto un 0,25% mensual). Bajo estas condiciones, mensualmente recibiré una cuota de 250 euros. Mi capital, los 100.000 euros, se mantiene intacto, ya que la cuota se corresponde con los intereses: CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 41 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica Si deseo una cuota de 300 euros (al mismo tipo de interés), debo partir de un capital de 120.000 euros: A partir del capital de 100.000 euros, si la renta es temporal, concretamente 20 años (240 meses), la cuota mensual que recibo pasa de 250 a 554,60 euros, aunque el capital se va consumiendo y se agota a los 20 años: Y viceversa, si deseo una cuota mensual de 600 euros durante 20 años, deberé disponer de un capital de 108.186,55 euros: Como habíamos comentado en la introducción, a partir de la comprensión de unos pocos conceptos básicos, hemos construido unos análisis que nos permiten CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 42 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica comprender y saber explicar mejor una serie de productos y activos financieros como depósitos, préstamos, bonos y rentas. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 43 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica RESUMEN MATEMÁTICA FINANCIERA BÁSICA. RESUMEN Las matemáticas financieras ayudan a analizar productos y activos financieros. Para ello: se deben comprender los siguientes conceptos: capital financiero, capitalizar, actualizar VAN, TIR y TAE. En todos los productos y activos financieros el capital o capitales que se entregan y el capital o capitales que se reciben deben ser financieramente equivalentes. El cálculo de TIR y TAE nos permiten calcular la rentabilidad de los activos y productos financieros, y en el caso de la TAE, nos permite comparar entre ellos, al estar referida al periodo anual aunque la operación tenga otra periodicidad. Dos productos/activos pueden tener igual vencimiento pero diferente periodicidad de capitalización/liquidación de intereses. Cuanto mayor la periodicidad (más liquidaciones o capitalizaciones) mayor será la TAE. La fórmula del valor actual de la renta permite obtener el valor de las cuotas de un préstamo. Si las cuotas son mensuales (mayor periodicidad de liquidación) la TAE del préstamo sube respecto a si hay una sola cuota anual, puesto que se cobran los mismos intereses, pero antes. Si además se añaden comisiones, la TAE sube aún más. En el análisis de bonos, si el precio del mismo sube, su rentabilidad bajará y viceversa. Las fórmulas de las rentas nos permiten conocer las cuotas que deberé ahorrar para conseguir capitalizar un importe determinado, o bien, a partir de él, de que renta (perpetua o temporal) podré disponer. CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 44 ECONOMÍA, BANCA Y MERCADOS FINANCIEROS Tema 7. Matemática financiera básica PALABRAS CLAVE Capital financiero Valor inicial Valor final Precio del dinero Capitalizar Actualizar Régimen financiero de tipo de interés simple vencido Régimen financiero de tipo de interés compuesto vencido Factor financiero VAN – Valor Actual Neto Tasa de actualización “k” TIR – Tasa Interna de Rendimiento TAE – Tasa Anual Equivalente Rentabilidad real Rentabilidad nominal Depósito Préstamo Cuota Bono Cupón Renta Aportaciones Prestaciones CEGOS ESPAÑA LEARNING & DEVELOPMENT SA 45