Modelo de Drude PDF

TEORIA DE ELECTRÓN LIBRE Drude extendió las ideas de Lorentz para construir una teoría y explicar las propiedades eléctricas y térmicas de los sólidos en general y de los metales en particular. La imagen de partículas cargadas oscilantes descrita por Lorentz no era suficiente para explicar las propi...

TEORIA DE ELECTRÓN LIBRE Drude extendió las ideas de Lorentz para construir una teoría y explicar las propiedades eléctricas y térmicas de los sólidos en general y de los metales en particular. La imagen de partículas cargadas oscilantes descrita por Lorentz no era suficiente para explicar las propiedades eléctricas y térmicas.  BUENA CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA ALTA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA METALES SUPERFICIES BRILLANTES MÁS DÚCTILES PORQUÉ? TEORÍA DE ESTADO SÓLIDO 1900’S PRIMERA TEORIA DRUDE (PAUL KARL LUDWIG DRUDE 1863-1906) TEORÍA CLASICA; LOGRÓ EXPLICAR VARIAS DE LAS PROPIEDADES DE LOS METALES  TEORIA DE ELECTRÓN LIBRE Para este propósito, Drude tuvo que hacer algunas suposiciones adicionales. 1. Cada átomo de un metal contiene un cierto número de electrones libres. Si denotan este número por z, el número total de electrones libres (N) en un gran-atom viene dado por donde NA es el número de Avogadro (=6,023 × 1023/mol). 𝑁 = 𝑁𝐴 𝑧 La «densidad de electrones (n) se define como el número de electrones libres en unidad de volumen 𝑁 𝑁𝐴 𝑧𝜌𝑚 donde ρm es la densidad medida y A el peso 𝑛= = 𝑉 𝐴 atómico Es útil definir una esfera que tenga un volumen igual al volumen ocupado por electrón. El radio de esta esfera es 4 3 𝑉 = 𝜋𝑟𝑠 Volumen ocupado por un electrón 3 1Τ3 3𝑉 rs 𝑟𝑠 = 4𝜋 𝑁 𝑁 𝑉 1 1Τ3 𝑛= 𝑉= = 3 𝑉 𝑛 𝑁 𝑛 𝑟𝑠 = Volumen por 4𝜋𝑛 cada electrón  𝑁 𝑁𝐴 𝑧𝜌𝑚 𝑛= = 𝑉 𝐴 MODELO DE DRUDE: Los electrones de las capas más externas se desacoplan del núcleo y son totalmente libres de moverse a través del cristal, formando un GAS DE ELECTRONES. Los electrones no sienten el potencial electrostático de la coraza de iones al pasar cerca de ellos, excepto por un potencial promedio que mantiene a los electrones dentro del metal y tampoco hay interacciones electrón-electrón. -e(Ze-Z) eZe -e(Ze-Z) eZe Los electrones de valencia en los metales son llamados electrones de conducción en la Teoría del electrón libre, ya que son los responsables de la conducción eléctrica. Los otros electrones son los de coraza y permaneces unidos a los núcleos. 2. Los electrones de conducción se mueven libremente en el metal de forma muy parecida a las moléculas en un gas; De ahí el nombre de "gas de electrones" para este conjunto de electrones El número de electrones por unidad de volumen en un metal es de aproximadamente 1,000 veces el número de moléculas por unidad de volumen en un gas sin embargo, Drude trató a los metales como un gas obedeciendo a la teoría cinética clásica de los gases y siguiendo Estadísticas de Maxwell-Boltzmann. Por lo tanto, asumió que la energía térmica de un electrón es 1 2 3 𝑈𝑒𝑙 = 𝑚𝑣𝑟 = 𝑘𝐵 𝑇 2 2  ELECTRONES DRUDE ESTADISTICA DE ESTADISTICA DE MAXWELL- FERMI-DIRAC BOLTZMAN 3. Los electrones viajan en línea recta hasta que sufren una colisión con otro electrón o más probablemente con un ión positivo. No hay fuerzas interactuando entre los electrones o entre los electrones y los iones, excepto en el momento de la colisión. Al aplicar un E, los electrones responden a las ecuaciones de movimiento de Newton, despreciando las interacciones entre electrones e iones. Aproximación del electrón independiente se desprecian las interacciones electrón-electrón A medida que el electrón se mueve en un metal, choca con los núcleos de iones y se pone en marcha desviado. Su camino es, por tanto, zigzagueante. Entre las colisiones, se mueve en línea recta con una velocidad vD Campo eléctrico, E Inicio Final 𝑣𝐷 𝜏 promedio Entre las colisiones con átomos de la red, cada electrón experimenta una fuerza debido al campo eléctrico, 𝐹 = −𝑒𝐸 y por lo tanto sufre una aceleración dada por 𝑎 = 𝐹/𝑚 = −𝐸𝑒/𝑚 La teoría supone que la energía ganada por el electrón debido a la aceleración del campo eléctrico se cede a la red en cada colisión, de modo que después de las colisiones se empieza la aceleración de nuevo vD Tiempo, t  τ tiene las dimensiones del tiempo; De ahí que se le llame tiempo de colisión o tiempo de relajación. Representa el tiempo medio entre dos colisiones consecutivas. Entre dos colisiones sucesivas, un electrón recorre una distancia promedio 𝑣𝑟 𝜏 Si el tiempo promedio entre colisiones es , entonces la velocidad promedio está dada por  𝑭 = −𝑒𝑬 𝑑𝑣𝐷 𝑚 = 𝐹 = −𝑒𝐸 𝑑𝑡 Cada colisión es como si enfrenara al electrón 𝑑𝑣𝐷 𝑣𝐷 𝑚 = −𝑒𝐸 − 𝑚 𝑑𝑡 𝜏 Se moverá a velocidad constante cuando la fuerza neta sobre él sea cero 𝑣𝐷 Distancia total viajada en un 0 = −𝑒𝐸 − 𝑚 cierto tiempo total 𝜏 Velocidad de deriva, vD 𝑣𝐷 𝐸𝑒𝜏 𝑒𝐸 = −𝑚 𝑣𝐷 = − 𝜏 𝑚   es el tiempo promedio entre colisiones o tiempo de relajación Ley de Ohm Resistencia Efecto Hall Coeficiente de Hall adecuado Drude Magnetoresistencia Conductividad AC Conductividad térmica de los metales Ley de Wiedemann-Franz Ductilidad Ohm-Resistividad Densidad de corriente n A I 1 Q 1 (− ne)( AL ) J = = = −nev L A A t A L/v Ley de Ohm Velocidad de gas de − eE   ne2  electrones v= J =   E = E m Definimos la conductividad  m  Resistividad  ne  2   m  1       = 2   m    ne   La dependencia de la resistividad con la temperatura no queda bien explicada en el modelo de Drude  Niveles vacíos Modelo de Drude los niveles ocupados son esencialmente EF independientes de la Niveles temperatura, por lo tanto la ocupados velocidad promedio de los electrones no depende de T. Sin embargo, sabemos que los electrones que conducen son aquellos que se encuentran cerca del nivel de Fermi y su posición se modifica con respecto a la temperatura de acuerdo a la distribución de Fermi-Dirac Efecto Hall I t w FB = qvB FE = qEH equilibrio EH qvB= qEH v= B nqEH J = nqv = B EH 1 RH = = JB nq En el laboratorio se mide el voltaje de Hall VH y la corriente I, que nos da una forma útil de calcular RH VH = EH w EH VH / w VH t 1 RH = = = = I = JA = Jwt JB (I / wt)B IB nq RH (10-11 m3/As) Metal n0 sólido líquido Drude Na 1 -25 -25.5 -25.5 Cu 1 -5.5 -8.25 -8.25 Ag 1 -9.0 -12.0 -12.0 Au 1 -7.2 -11.8 -11.8 Be 2 +24.4 -2.6 -2.53 ¿q>0? Zn 2 +3.3 -5 -5.1 Al 3 -3.5 -3.9 -3.9 Conductividad Térmica Wiedemann-Franz L = /T 10-8  Valor casi constante = LT para todos los metales ( (J/CK)2  a Tamb y altas T) Metal 0°C 100 °C Cu 2.23 2.33 Conductividad Eléctrica Ag 2.31 2.37  k n 2 2 Au 2.35 2.40  3m T  2 2 k LDr ude = T = ne  2 = 2 Zn Cd 2.31 2.42 2.33 2.43 T 3e m Mo 2.61 2.79 LDrude = 2.45 10 −8 ( ) J 2 CK Pb 2.47 2.56 Sorprendentemente no depende de n, m, El acuerdo con los experimentos es muy e incluso de  !! bueno, aunque a temperaturas menores (10K) el valor de L es un factor de 10 menor.  Un dato Histórico Drude uso valores clásicos para la velocidad electrónica v y la capacidad calorífica Cel. Por una tremenda coincidencia el error en cada término era de alrededor dos ordenes de magnitud…en direción opuesta. De modo que el modelo clásico de Drude predice un valor: LDrude = 1.1210 −8 ( ) J 2 CK Pero en el artículo original de Drude, insertó un error de un factor de 2, debido a un error en el cálculo de la conductividad eléctrica. De modo que reportó: L = 2.24 10 −8 ( ) J 2 CK !!! Así es que aunque la predicción de Drude de la capacidad calorífica era muy alta, su predicción de L hizó que el modelo del electrón libre fuera incluso más impresionante de lo que realmente era y esto conllevo a una aceptación general del modelo. Limitaciones del modelo de Drude Podía predecir muchas de las propiedades de los metales, sin embargo no se lograrba un acuerdo estricto con los datos experimentales. Las principales fallas en los supuestos del modelo son: 1. La aproximación de electrón-libre Los iones positivos solo actúan como centros de dispersión sin ningún efecto en el movimiento de los electrones entre colisiones. 2. La aproximación del electrón independiente Ignora las interacciones entre electrones. 3. La aproximación del tiempo de relajación la respuesta de los electrones a las colisiones se supone que es independiente del movimiento del electrón antes de la colisión. Una teoría adecuada de los metales implicaría abandonar todos estos supuestos. Sin embargo, con el puro hecho de abandonar la aproximación del electrón libre para tomar en cuenta el efecto de los iones de la red en el movimiento de los electrones produce mejoras significativas. Además de las discrepancias entre las predicciones del modelo del electrón libre mecanico-cuántico y los experimentos (capacidad calorífica, resistencia, conductividad térmica, efecto Hall, etc…) el modelo del electrón libre es incapaz de responder dos preguntas simples e importantes: Preguntas sin respuesta 1. Qué determina el número de electrones de conducción en un metal? Porqué todos los electrones de valencia deberían ser “libres? Qué sucede con los elementos que tienen valencia mayor que uno? 2. Porqué algunos elementos son metálicos y otros no? De hecho, una forma de C (diamante) es aislante y la otra es conductora (grafito). En la misma familia se observan diferencias entre B vs. Al  Mayor falla del modelo de Drude: Capacidad Calorífica Una molécula de un gas monoatómico a tempertaura T tiene una energía dada por 3 kT 2 De modo que si los N electrones en el metal se comportarán como un gas “clásico” , se deberían comportar de manera similar al gas E el = N ( 32 kT ) De modo que la contribución electrónica a la capacidad calorífica Cel = d (Eel ) = 32 k sería dT Pero la capacidad calorífica observada era mucho menor y este error era básicamente consecuencia de que la distribución de velocidades electrónicas se consideraba de Maxwell-Boltzman Sommerfeld corrigió esa discrepancia considerando que los electrones de conducción en el metal debían obedecer la estadística de Fermi-Dirac ya que debían cumplir el principio de exclusión de Pauli. (versión Mecano-cuántica del modelo de electrón libre). El gas de electrones libres en el modelo de Sommerfeld se conoce como el “gas de Fermi de electrones libres”. La razón por la que los electrones deben obedecer las leyes de la mecánica cuántica en lugar de la mecánica clásica es su alta densidad y baja masa. Todas las partículas (cuánticas o clásicas) deben obedecer el principio de incertidumbre de Heisenberg xp  h  xp  h Si hay N electrones por unidad de volumen, entonces el volumen en el que se debe encontrar a un solo electrón es 1/N 1 x  (N ) 1 3 xp  h p  h(N ) 1 3 Energía asociada a la Easoci ada = (p ) 2  h (N ) 2 2 3 incertidumbre en el momento del electrón 2m 2m  ELECTRÓN CLÁSICO CUÁNTICO h (N) 2 2 3 −31 Easoci ada  m = 9.31x10 K g 2m −3 N Cu = 8.4 x10 m28 Easoci ada  4.6 x10−18 J Easoci ada Los electrones en un metal deben T= = 300,000K obedecer las ecuaciones de la k mecánica cuántica  Considerando una distribución de FD se logró explicar la capacidad calorífica de los metales y algunas otras propiedades que no lograban explicarse con el modelo Drude. Sin ser una modificación muy grande al modelo