Векторная алгебра: Свойства векторов и пространства (PDF)

1. Скалярное произведение векторов. Основные свойства. Скалярное произведение векторов определяется как сумма произведений их соответствующих компонент: A=(a1,a2…an) B=(b1,b2…bn) (A,B)=(a1b1+a2b2…an+bn) Геометрически скалярное произведение можно выразить через угол между двумя векторами: a*b=|a|...

1. Скалярное произведение векторов. Основные свойства. Скалярное произведение векторов определяется как сумма произведений их соответствующих компонент: A=(a1,a2…an) B=(b1,b2…bn) (A,B)=(a1b1+a2b2…an+bn) Геометрически скалярное произведение можно выразить через угол между двумя векторами: a*b=|a||b|cos(альфа), где |a| и |b| длины векторов a и b, альфа – угол между векторами. Если угол между векторами равен 90 градусов, то произведение равно нулю. 2. Векторное произведение векторов. Геометрический смысл и основные свойства. Векторное произведение двух векторов — это вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Вектор c направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b совершается против хода часовой стрелки. 3. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл и основные свойства. 4. Прямая на плоскости. Уравнения прямой: общее, с угловым коэффициентом, «по двум точкам», «в отрезках». 5. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. Две прямые на плоскости могут быть расположены относительно друг друга одним из следующих способов: 1) Пересекающиеся прямые — имеют одну общую точку. 2) Параллельные прямые — не имеют общих точек 3) Совпадающие прямые — имеют бесконечно много общих точек, поскольку это одна и та же прямая. Углом между 2-мя прямыми называется наименьший из двух пар вертикальных углов. 6. Нормированное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. 7. Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости: общее, «по трем точкам», «в отрезках». Основной характеристикой плоскости в пространстве является ее нормальный вектор. В качестве нормального вектора можно выбрать любой вектор перпендикулярный данной плоскости. Ax+By+Cz+D=0 – уравнение плоскости по трем точкам. 𝑥 𝑦 𝑧 + + = 1 – уравнение плоскости в отрезках 𝑎 𝑏 𝑐 8. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Плоскости в пространстве могут пересекаться по прямой линии, совпадать и быть параллельными Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов образованный этими плоскостями