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DINAMICA E’ la parte della meccanica che studia il movimento in relazione alle forze che lo determinano. Vengono introdotti due concetti fondamentali della Fisica: quello di Energia e quello di Forza. In tutti i sistemi fisici è presente la grandezza fisica chiamata Energia. Durante le trasforma...

DINAMICA E’ la parte della meccanica che studia il movimento in relazione alle forze che lo determinano. Vengono introdotti due concetti fondamentali della Fisica: quello di Energia e quello di Forza. In tutti i sistemi fisici è presente la grandezza fisica chiamata Energia. Durante le trasformazioni dei sistemi vi è sempre uno scambio di energia tra il sistema stesso e l’esterno, o la trasformazione da una forma di energia ad un’altra. Principio di conservazione dell’energia: all’interno di un sistema fisico l’energia si trasforma da una forma ad un’altra mantenendo costante l’energia totale.  PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA - In un sistema isolato, che non scambia energia con l’esterno, l’energia si conserva durante tutte le possibili trasformazioni che il sistema può subire. - se due sistemi compiono trasformazioni scambiando energia esclusivamente tra di loro, allora la somma delle energie dei due sistemi si conserva. L’energia può assumere svariate forme per le quali esistono delle correlazioni. L’Energia associata al movimento del corpo è chiamata Energia Cinetica.  LE FORZE In natura esistono una molteplicità di forze che possono essere derivate dalle forze fondamentali: 1. Forza Gravitazionale, che è alla base del funzionamento macroscopico dell’universo 2. Forza Elettromagnetica, è la forza che “tiene insieme” la materia ed è responsabile dei movimenti degli atomi e delle molecole 3. Forza Nucleare, che “tiene insieme” i nuclei, a livello ultramicroscopico. Un corpo sottoposto a forze può trovarsi in una condizione statica oppure in una condizione dinamica.  EQUILIBRIO STATICO Un corpo si definisce in equilibrio statico quando le forze che agiscono su di esso esercitano una reazione vincolare. Esempio: Su un quadro appeso ad una parete con un chiodo, il chiodo esercita una forza uguale e contraria al peso del quadro, consentendo la condizione di equilibrio statico. Nel caso di equilibrio statico, non si genera alcun moto: le forze applicate si compensano ed il corpo resta fermo.  LE FORZE Spingere un oggetto, invece, ne causa il movimento nella direzione in cui è esercitata la forza. Il movimento si interrompe nel momento in cui la forza smette di essere applicata. Lasciare cadere un oggetto nel campo gravitazionale, genera un movimento verso il suolo con una velocità che aumenta di intensità con il tempo (moto accelerato). Le Forze sono grandezze vettoriali! Come per tutte le altre grandezze vettoriale, la forza è compiutamente definita dal suo modulo, dalla direzione e dal verso. In quanto tali, le forze applicate allo stesso punto, si combinano seguendo le leggi del calcolo vettoriale.  I° e II° PRINCIPIO DELLA DINAMICA Primo principio: Un corpo non sottoposto ad alcuna forza, o sottoposto a forze la cui risultante è nulla, se è fermo resta fermo, se è in moto il suo moto è rettilineo uniforme. (principio d’inerzia). Secondo principio: Se un corpo, assimilabile ad un punto materiale, è sottoposto ad una forza F non nulla, esso assume un’accelerazione a tale che il rapporto → 𝐹 → = costante 𝑎 Tale costante, dipendente solo dalle caratteristiche del corpo, viene chiamata massa e viene indicata con la lettera m.  II° PRINCIPIO DELLA DINAMICA Il secondo principio della dinamica è espresso dalla seguente relazione: → → 𝐹 =𝑚⋅𝑎 La direzione ed il verso dell’accelerazione alla quale viene sottoposto il corpo sono gli stessi della forza F. La massa è, insieme alla lunghezza ed al tempo, una delle tre grandezze fondamentali della meccanica. La dipendenza delle grandezze derivate da quelle fondamentali è espressa mediante le equazioni dimensionali.  EQUAZIONI DIMENSIONALI Grandezze fondamentali Lunghezza: [L] unità di misura: metro Tempo: [T] unità di misura: secondo Massa: [M] unità di misura: kilogrammo Grandezze derivate Velocità: [L]/[T] unità di misura: metro/secondo Accelerazione [L]/[T2] unità di misura: metro/secondo2 Forza [M][L]/[T2] unità di misura: Newton  LAVORO Se all’interno di un sistema fisico agiscono delle forze, generalmente, si genera un lavoro. Quando un sistema fisico genera un lavoro, provoca sempre una variazione di energia. Supponiamo che una forza F agisca su un corpo e ne causi uno spostamento nella direzione di s. Il lavoro viene definito dalla seguente relazione: → → → 𝐹 𝐿 = 𝐹 ⋅ 𝑠 = 𝐹 ⋅ 𝑠 ⋅ cos 𝜃 q → 𝑠 𝐹 ⋅ cos 𝜃  LAVORO Il lavoro viene definito dalla seguente relazione: → → 𝐿 = 𝐹 ⋅ 𝑠 = 𝐹 ⋅ 𝑠 ⋅ cos 𝜃 Dalla relazione che definisce il lavoro si evince che il lavoro è nullo nelle seguenti condizioni: 1. Quando la forza è nulla (risultante delle forze nulla) 2. Quando l’angolo q è pari a 90° (forza perpendicolare allo spostamento) 3. Quando il punto è fermo (s=0) Analogamente il lavoro è positivo quando q < 90° ed è negativo quando q > 90°.  LAVORO L’unità di misura del lavoro nel SI è il joule (j), che corrisponde al lavoro eseguito dalla forza di 1 Newton per spostare il suo punto di applicazione di 1 metro nella direzione della forza stessa. Le dimensioni del lavoro sono quelle di una forza per una lunghezza: 𝑀𝐿 𝑀𝐿2 𝐿𝑎𝑣𝑜𝑟𝑜 = 2 ⋅ 𝐿 = 𝑇 𝑇2  Forza gravitazionale La forza gravitazionale universale è la forza con cui il Sole attrae gli altri pianeti (formulazione di Newton). La forza peso è un caso particolare della forza gravitazionale e rappresenta la forza di attrazione esercitata dalla Terra sugli altri corpi. La forza di gravitazione con cui si attraggono reciprocamente due corpi di massa m1 e m2 distanti r risulta diretta come la congiungente le due masse ed il suo modulo è dato dalla seguente relazione: 𝑚1 ⋅ 𝑚2 𝐹=𝐺 𝑟2 Dove G è la costante di gravitazione universale ed è pari: 𝐺 = 6,67 ⋅ 10−11 𝑁 ⋅ 𝑚2 /𝐾𝑔2  Forza gravitazionale 𝑚1 ⋅ 𝑚2 𝐹=𝐺 2 𝑟12 - F varia con l’inverso il quadrato della distanza tra le due masse (per esempio se raddoppia la distanza, la forza diventa un quarto). - Le due masse m1 e m2 esercitano una rispetto all’atra una forza, sempre di tipo attrattivo, uguale e contraria: → → 𝐹12 = −𝐹21  Forza Peso La forza peso è un caso particolare della forza di attrazione gravitazionale, dove le due masse sono quella del corpo in osservazione e quella della Terra. Se assumiamo il corpo puntiforme e la Terra come un punto di massa pari a MT (5,972x1024 Kg), la distanza tra le due masse può essere approssimata al raggio della Terra, RT (6,4x106 m). La formula della forza peso risulta essere la seguente, con g pari all’accelerazione di gravità: 𝑚 ⋅ 𝑀𝑇 𝑀𝑇 𝑃=𝐺 = 𝑚(𝐺 ) 𝑅𝑇2 𝑅𝑇2 𝑀𝑇 5,972 ⋅ 10 24 𝐺 2 = 6,67 ⋅ 10−11 6 2 = 𝑔 = 9,8𝑚/𝑠 2 𝑅𝑇 (6,4 ⋅ 10 ) 𝑷 = 𝒎𝒈  FORZA PESO: LAVORO Il lavoro fatto dalla forza peso dipende solamente dalla differenza di quota fra punto iniziale e punto finale. Il lavoro fatto dalla forza peso è dato da L = P h cosα = P h cos0° = mgh Dove h = yf – yi yi Pi 𝐿 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ Δ𝑦 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ Dy = h Pf yf  FORZE COULOMBIANE Le forze coulombiane si verificano tra due cariche Q e q che si trovano ad una distanza r l’una dall’altra. La formula delle forze coulombiane è la seguente: 𝑄⋅𝑞 𝐹=𝑘 𝑟2 K dipende dl mezzo in cui si trovano le cariche. A differenza delle forze gravitazionali che sono sempre attrattive, le forze coulombiane possono essere sia repulsive che attrattive, a seconda che le due cariche abbiano lo stesso segno o segno opposto.  FORZE ELASTICHE Le molle sono gli oggetti che danno origine a forze elastiche. Le principali caratteristiche delle molle sono: a) Lunghezza a riposo della molla, l0 b) Costante elastica della molla, k. L’allungamento e la compressione di una molla sono proporzionali alla forza applicata. Legge di Hooke: F = -kDl Dl = (l – l0) = entità di deformazione della molla. La forza elastica è sempre negativa perché è sempre opposta allo spostamento.  LAVORO E FORZE ELASTICHE Il lavoro fatto dalla forza elastica dipende solo dall’allungamento della molla dal punto iniziale al punto finale. Il lavoro compiuto da una forza elastica, quando l’allungamento passa da xi a xf, è dato dalla seguente relazione. 𝑥𝑓 𝑥𝑓 𝑥𝑓 𝑥2 1 𝐿 = න 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 = න (−𝑘𝑥)𝑑𝑥 = −𝑘 = 𝑘(𝑥𝑖2 − 𝑥𝑓2 ) 2 2 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖  FORZE CONSERVATIVE In generale il lavoro fatto da una forza può dipendere dal percorso seguito dal corpo. 𝑓 → → 𝐿 = න 𝐹 ⋅ 𝑑𝑟 𝑖 Se il lavoro fatto da una forza durante uno spostamento qualsiasi dipende solo dalla posizione iniziale e finale, ovvero è indipendente dal percorso scelto, si dice che la forza è conservativa.  FORZE CONSERVATIVE E NON Sono conservative le seguenti forze: - Forza gravitazionale (forza peso) - La forza elastica (forza di una molla) - La forza elettrostatica (attrazione fra cariche) - in generale tutte le forze centrali, ovvero tutte le forze dipendenti solo dalla distanza dal centro e dirette verso il centro Sono forze non conservative: - Forze di attrito  ENERGIA POTENZIALE Per un corpo sottoposto ad una forza conservativa è sempre possibile introdurre una funzione detta Energia potenziale U per cui il lavoro è dato dalla differenza di energia potenziale tra la posizione iniziale e quella finale: 𝐿 = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑓 L è il lavoro compiuto dalle forze conservative tra lo stato iniziale e quello finale (non dipende dal percorso). Energia potenziale gravitazionale: U(h) = mgh Energia potenziale forze elastiche: U(x)=1/2kx2  REAZIONI VINCOLARI Le reazioni vincolari sono le reazioni esercitate dai vincoli (superfici, rotaie, chiodi, etc.) sui corpi con i quali sono in contatto. Sono generalmente forze di tipo elastico, in quanto derivano da reazioni a deformazioni indotte dal corpo vincolato. La reazione vincolare è una forza con le seguenti caratteristiche: 1. E’ sempre perpendicolare al vincolo, sia su oggetto fermo che con oggetto in movimento. E’ una forza di tipo passivo 2. Se il corpo vincolato si muove, la forza vincolare R varia durante il moto del corpo in modo da essere sempre uguale (e di senso contrario) alla forza che il corpo esercita sul vincolo.  REAZIONI VINCOLARI In generale, se si indicano con FiN le componenti perpendicolari delle forze attive che si esercitano sul vincolo, la reazione vincolare complessiva è data dalla seguente relazione: → → 𝑅 = ෍ 𝐹𝑖𝑁 𝑖  ATTRITO L’attrito è una forza passiva che si esercita tra due superfici a contatto, in moto relativo o a riposo. (legata alla “rugosità” delle due superfici). Tra le due superfici a contatto, attraverso le loro protuberanze e microscopiche irregolarità, si formano dei legami microscopici che originano la forza macroscopica chiamata attrito. L’attrito è una forza di tipo resistente, perché si oppone al moto relativo dei due corpi o alla modifica della loro quiete.  ATTRITO Possiamo considerare tre tipi di attrito: 1. Attrito radente e volvente (tra due solidi) 2. Attrito viscoso (movimenti in un fluido) 3. Attrito statico (tra due corpi in quiete relativa)  ATTRITO RADENTE E VOLVENTE L’attrito dinamico di un corpo su una superficie è detto radente se il corpo “striscia” sulla superficie oppure volvente se il corpo “rotola” sulla superficie. La forza di attrito f è definita dalla seguente relazione: → → 𝑓 = 𝜇 ෍ 𝐹𝑁 → ෍ 𝐹𝑁 Dove m è il coefficiente di attrito dinamico e sono le forze che tengono premuto il corpo alla superficie, nell’ipotesi che la velocità relativa delle due superfici vr non sia troppo elevata.  ATTRITO RADENTE E VOLVENTE Il coefficiente di attrito dinamico m dipende dai materiali a contatto e da come sono trattate le superfici. La direzione delle forze d’attrito è sempre tangente alla superficie di contatto, mentre il verso è sempre opposto al moto. Per il calcolo dell’attrito bisogna tenere conto solo delle componenti delle forze attive perpendicolari alla superficie sulla quale il corpo si muove.  ATTRITO RADENTE E VOLVENTE Le forze di attrito non sono forze posizionali, pertanto non sono forze conservative. Il coefficiente di attrito radente è molto maggiore di quello volvente: può essere anche 100 volte maggiore.  ATTRITO VISCOSO L’attrito viscoso è l’attrito che si genera su un corpo che si muove in un fluido. Il fluido è detto viscoso quando esercita una forza che si oppone al moto del corpo. Se la velocità relativa vr è bassa e le dimensioni del corpo sono piccole, la legge della forza di attrito è data dalla seguente relazione: → → 𝑓𝑉 = −𝑘𝜂𝑣𝑅 → 𝑓𝑉 è chiamata resistenza viscosa, k e h sono due costanti. k è una grandezza caratteristica della forma del corpo e h è il coefficiente di attrito interno del fluido.  ATTRITO STATICO L’attrito statico è dovuto all’azione reciproca di due corpi solidi con una superficie di contatto S ed in quiete relativa. Se si vuole far scorrere un corpo su un altro bisogna agire con una forza finita tangente alla superficie, di intensità superiore ad un certo valore limite. Applicando forze minori il contatto resiste con una forza statica uguale e contraria alla sollecitazione. La forza minima necessaria per far scivolare i due corpi l’uno sull’altro è proporzionale alla componente FN delle forze attive normali ad S ed a un coefficiente mS, detto coefficiente di attrito statico. 𝑓𝑆 < 𝜇𝑠 𝐹𝑁 In generale mS > m (attrito radente)  ATTRITO RADENTE STATICO E DINAMICO L’attrito statico è una forza il cui modulo si ottiene moltiplicando la forza ortogonale alla superficie (forza premente) per il coefficiente di attrito statico, caratteristico della superficie stessa. La forza di attrito statico è la forza necessaria per mettere in movimento un corpo su una superficie: FAS = µs F La forza di attrito dinamico è la forza che mantiene il corpo in movimento su una superficie: FAD = µd F µs e µd sono grandezze adimensionali (numeri puri).  ESERCIZIO Un corpo di massa 2,5 Kg, inizialmente fermo, scivola su un piano in presenza di attrito. Il coefficiente di attrito statico è 0.30 e il coefficiente di attrito dinamico è 0.15. Calcolare: 1. La forza che permette al corpo di iniziare a muoversi 2. La forza immediatamente dopo il distacco. m = 2.5 Kg µs = 0.30 µd = 0.15 P= P P FAS = µs P FAD = µd P P P = mg = 2.5 (Kg) * 9.8 (N/Kg) = 24.5 N FAS = 0.30 * 24.5 N = 7.4 N FAD = 0.15 * 24.5 N = 3.7 N  FORZA MUSCOLARE Normalmente il muscolo agisce collegando due ossa, che, sotto la tensione dei tendini, possono muoversi l’una rispetto all’altra attraverso delle giunzioni, dette giunture o articolazioni. Per il terzo principio della dinamica (principio di azione e reazione) l’osso applica al muscolo una forza uguale e contraria a quella del muscolo su di esso. La forza muscolare dipende dalla sezione del muscolo e nell’uomo varia da 28 a 35 N/cm2. La forza muscolare agisce sulle ossa, le quali esercitano una forza sulle articolazioni. Le articolazioni possono essere considerati dei vincoli lisci, ovvero senza attrito, grazie alla presenza delle cartilagini.  ENERGIA MECCANICA Ci sono due forme di energia meccanica: l’energia cinetica e l’energia potenziale. Cerchiamo la relazione tra il lavoro e l’energia. Se la forza F è costante si può scrivere la seguente relazione: → → 𝐿 = න 𝐹 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝐹 ⋅ 𝑠 ⋅ cos 𝜃 𝐵 𝐵 → 𝐵→ → → → 𝑑𝑣 → 𝐿 = න 𝐹 ⋅ 𝑑𝑠 = න 𝑚𝑎 × 𝑑𝑠 = න 𝑚 × 𝑣 𝑑𝑡 𝐴 𝑑𝑡 𝐴 𝐴 𝐵 → → 𝑚 2 𝐵 1 1 𝐿 = 𝑚 න 𝑑𝑣 ⋅ 𝑣 = 𝑣 𝐴 = 𝑚𝑣𝐵 − 𝑚𝑣𝐴2 = 𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 2 2 2 2 𝐴  ENERGIA MECCANICA 1 𝐾 = 𝑚𝑣 2 2 K è definita come Energia Cinetica. La relazione L = KB – KA rappresenta il teorema dell’energia cinetica che viene enunciato nel seguente modo: Il lavoro eseguito dall’insieme delle forze agenti su un sistema è uguale alla variazione dell’energia cinetica del sistema stesso. => se il lavoro è positivo, allora l’energia cinetica aumento, se il lavoro è negativo l’energia cinetica diminuisce. L’equazione dimensionale del lavoro rispetto all’energia cinetica è la seguente: 𝑀 𝐿2 𝐿𝑎𝑣𝑜𝑟𝑜 = 𝑇2  ENERGIA MECCANICA Se si considera un sistema fisico con solo forze conservative, ovvero posizionali, le forze applicate e lo spostamento sono funzione della posizione finale e di quella iniziale del punto. Se indichiamo con R la risultante delle forze conservative applicate, il lavoro sarà dato dalla seguente relazione: 𝐵 → → 𝐵 𝐿 = න 𝑅 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐴 = 𝑉(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵 ) − 𝑉(𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 , 𝑧𝐴 ) 𝐴 La funzione V, cambiata di segno, rappresenta l’energia potenziale: U = - V Quindi: 𝐿 = −𝑈(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵 ) + 𝑈(𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 , 𝑧𝐴 ) = 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵  TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA 𝐿 = 𝐸 = 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵 = 𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 L’energia meccanica si conserva quando le forze in gioco sono tutte conservative: cioè la somma dell’energia potenziale e dell’energia cinetica è costante. (Teorema delle forze vive)  TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA 1 E = U + K = mgh + ½ mv2 Nel punto 1: la velocità v1 = 0 => energia cinetica nulla e energia 2 potenziale massima h h/2 Nel punto 2: velocità intermedia e altezza pari a h/2 => energia 3 potenziale in diminuzione rispetto a 1 e energia cinetica in aumento Nel punto 3: velocità massima e altezza h=0 => energia cinetica massima e energia potenziale nulla. L’energia meccanica si conserva => E1 = E2 =E3 E1 = U1 + K1 = mgh1 + ½ mv12 = mgh E2 = U2 + K2 = mgh2 + ½ mv22 = ½ mgh + ½ mv22 E3 = U3 + K3 = mgh3 + ½ mv32 = ½ mv32 Calcolo di v2 E1 = E2 mgh = ½ mgh + ½ mv22 ½ mgh = ½ mv22 v22 = gh 𝑣2 = 𝑔ℎ Calcolo di v3 E1 = E3 mgh = ½ mv32 v32 = 2gh 𝑣3 = 2𝑔ℎ  TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA Consideriamo il caso in cui non tutte le forze sono conservative, ovvero consideriamo un sistema in cui agiscono sia forze conservative che forze non conservative. E’ possibile scomporre la risultante delle forze in una risultante conservativa, Rc , ed una non conservativa Rnc. Solo le forze conservative danno origine ad energia potenziale, quindi: 𝐵 𝐵 𝐵 → → → → → → → 𝐿𝑡𝑜𝑡 = න (𝑅𝑐 + 𝑅𝑛𝑐 ) ⋅ 𝑑𝑠 = න 𝑅𝑐 ⋅ 𝑑𝑠 + න 𝑅𝑛𝑐 ⋅ 𝑑𝑠 𝐴 𝐴 𝐴 𝐿𝑡𝑜𝑡 = 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵 + 𝐿𝑛𝑐 𝑈𝐴 + 𝐾𝐴 + 𝐿𝑛𝑐 = 𝑈𝐵 + 𝐾𝐵 = E  TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA La generalizzazione del teorema delle forze vive, in presenza di forze conservative e non conservative, afferma che: L’energia totale in un punto B, cioè la somma dell’energia cinetica del sistema e dei vari tipi di energia potenziale che il sistema possa possedere in quel punto, è uguale all’energia totale del sistema in qualsiasi altro punto A precedente, sommata al lavoro delle forze non conservative del sistema mentre questo passava dal punto A al punto B.  POTENZA Una caratteristica fondamentale del lavoro è la rapidità con cui il lavoro è compiuto. La rapidità con cui si compie un lavoro è una grandezza fisica derivata, chiamata potenza, ed è definita dal rapporto tra lavoro compiuto e tempo impiegato a compierlo. La potenza media e la potenza istantanea sono definite dalla seguenti relazioni: 𝐿𝐴𝐵 𝑃= 𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 𝑑𝐿 𝑃= 𝑑𝑡 L’unità di misura della potenza nel SI è il watt (simbolo W) ed è il lavoro di 1 joule al secondo.