Definición y Elementos de Logaritmo PDF

Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual 2 2da Unidad Logaritmo 2.1 Definición y Elementos Todo lo complejo está compuesto de...

Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual 2 2da Unidad Logaritmo 2.1 Definición y Elementos Todo lo complejo está compuesto de partes simples. Reordenar en nuestra mente la visión de esas partes hasta encontrar un diseño accesible es lo que nos caracteriza como seres humanos. Descripción “Los logaritmos son números, que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, a través de esto se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además el calculo de las raíces se realiza también con gran facilidad.” Herry Briggs (1556-1631) Kharla Mérida 1  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual Conocimientos Previos Requeridos Operaciones y Propiedades de los Números Reales, Propiedades de las Potencias, Despeje. Contenido Definición y Elementos de Logaritmo, Propiedades de Logaritmo, Definición y Propiedades, Ecuaciones Logarítmicas, Funciones Logarítmicas, Ejercicios Videos Disponibles LOGARITMO. Definición. Elementos de un Logaritmo LOGARITMO. Logaritmos Notables. Por su Base LOGARITMO. Logaritmos Notables. Por su Valor LOGARITMO. Definición de Logaritmo. Calcular el Valor de X. Ejercicio 1 LOGARITMO. Definición de Logaritmo. Calcular el Valor de X. Ejercicio 2 Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones. Poner al día esta información básica amerita por lo menos 2 encuentros, de manera que puedan desarrollarse prácticas guiadas con oportunidad de intercambiar y aclarar dudas. Kharla Mérida 2  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual Guiones Didácticos LOGARITMO. Definición. Elemento de un Logaritmo Cuando estudiamos los números irracionales y los reales Ecuación cuadrática aprendimos cómo hallar el valor de x, cuando x es la x2 = 4 base de una potencia en una ecuación. Sabemos que esto es una ecuación cuadrática en la Para hallar la solución que para hallar el valor de x, despejamos aplicando raíz cuadrada del otro lado de la igualdad x=± 4 ¿Qué sucede si ahora tenemos una ecuación de la forma 2x = 32? Hay un operador cuya definición nos permite trabajar con relaciones de este tipo, veamos. Vamos a construir una estructura matemática de la siguiente forma Está constituida por 4 elementos o partes, con posiciones específicas determinadas por las casillas de colores representadas a la derecha. Esta expresión matemática se lee: Log N = a Logaritmo en base b de N igual a a. b Log: es el símbolo del logaritmo N: es el argumento del logaritmo b: es la base del logaritmo a: es el valor del logaritmo La definición del logaritmo dice así: a es el exponente al que se debe elevar a b para que resulte N Logaritmo. Sea la igualdad LogbN = a. El logaritmo es el valor, a, al que hay elevar la base, b, para que ba = N resulte el argumento, N. Nota: Hay condiciones que deben cumplir algunos de sus elementos Condiciones o Restricciones Para Cada Elemento del Logaritmo b, base del logaritmo. debe ser un valor entre cero y 00 que cero esto es, positivo, Ejemplos 23 = 8 Porque 3 es el exponente que Log28 = 3 ¿Por qué? eleva a 2 para que dé 8 Logaritmo en base 2 de 8 es 3 Porque 2 es el exponente que Log525 = 2 ¿Por qué? 52 = 25 eleva a 5 para que dé 25 Logaritmo en base 5 de 25 es 2 Kharla Mérida 3  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual LOGARITMO. Logaritmos Notables. Por su Base En la lección 1 vimos La definición de logaritmo, sus elementos y las condiciones que éstos deben cumplir. Ahora conoceremos los tipos de logaritmos, de acuerdo a su base y de acuerdo a su valor. Logaritmos Notables según su Base Logaritmo base e, también llamado logaritmo natural, o logaritmo neperiano. Nombre que se debe al matemático John Napier, quien dedicó 20 años de su vida a obtener el valor de exponenciales trigonométricas, muy necesarias en cálculos astronómicos y a simplificar estos cálculos. A estos valores obtenidos de relaciones exponenciales los denominó logaritmos, que quiere decir «números proporcionados». Logaritmo Neperiano Es el logaritmo de base e: logeK John Napier 1550-1617 Nota: El logaritmo neperiano, o simplemente neperiano se simboliza con Ln, sin indicar la base e, pues con esta logeK LnK expresión abreviada ya se expresa que es de base e. e es un número irracional de valor 2,7182818284… e = 2,7182818284… Logaritmo base 10, también llamado logaritmo vulgar, o logaritmo de Briggs. Nombre que se debe al matemático Henry Briggs, admirador de John Napier, y quien logró que éste asumiera el cambio en los logaritmos para hacer del logaritmo base 10 el logaritmo básico. Logaritmo de Briggs Es el logaritmo de base 10: log10K Henry Briggs 1561-1630 Nota: Cuando la base del logaritmo es 10, la base log10K logK queda sobreentendida. Y se lee “logaritmo de…” sin mencionar la base. Es decir, toda vez que tengamos un logaritmo en el que no se ve base, se trata de logaritmo en base 10. log3 log7 log10 Logaritmo de 3 Logaritmo de 7 Logaritmo de 10 Conozcamos ahora los tipos de logaritmo según su valor. Acompáñanos en este recorrido por este valioso instrumento matemático y date la oportunidad de entenderlo y dominarlo a satisfacción Kharla Mérida 4  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual LOGARITMO. Logaritmos Notables. Por su Valor En la lección 2 vimos Los dos logaritmos notables por el valor de su base ahora conoceremos los tipos de logaritmos, de acuerdo a su valor. ¿Estás listo? Logaritmos Notables según su Valor Logaritmo en base b de b. logbb ¿qué exponente debe elevar a b para que resulte b? 1, ya que toda potencia con exponente 1 es igual a la base. logbb = 1 b1 = b Ejemplos log33 = 1 logaritmo en base 3 de 3 es 1 log1515 = 1 logaritmo en base 15 de 15 es 1 log =1 Logaritmo en base estrella de estrella es 1 Toda vez que la base y el argumento del logaritmo sean iguales el logaritmo vale 1 Logaritmo en base b de 1. logb1 ¿qué exponente debe elevar a b para que resulte 1? Sabemos que toda potencia con exponente 0 es igual a 1. logb1 = 0 b0 = 1 Log51 = 0 Log10001 = 0 Logaritmo en base 5 de 1 es 0 Logaritmo en base 1000 de 1 es 0 Logaritmo en base b de 0. logb0 ¿qué exponente debe elevar a b para que resulte 0? No existe ningún número real que satisfaga esta igualdad. logb0 =  se simboliza con menos infinito logb0 = - Recordemos. Infinito es un símbolo matemático con el que representamos un valor ilimitadamente grande. pero negativo En este caso, menos infinito representa que ese logaritmo crece ilimitadamente hacia valores negativos. logb0 = - b- 0 Logaritmo en base b de 0 es - Porque b elevado a - tiende a 0 Esto será estudiado en detalle en la sección de Verdadero Valor, matemática de 5to año. Kharla Mérida 5  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual LOGARITMO. Definición de Logaritmo. Calcular el Valor de X. Ejercicio 1 Ejercicio 1 Hallar el valor de x Log2x = 5 Base del logaritmo: 2 Aplicando Definición Argumento del logaritmo: x Log2x = 5 25 = x Valor del logaritmo: 5 Prop. Simétrica de la Igualdad x = 25 Efectuando la potencia x = 32 x = 32 Ejercicio 2 Hallar el valor de x Log64x = -1/3 Base del logaritmo: 64 Aplicando Definición -1 Argumento del logaritmo: x log64 x = - 1 64 3 =x 3 Valor del logaritmo: -1/3 Prop. Simétrica de la Igualdad -1 x = 64 3 Transformaremos la potencia hasta simplificarla a la mínima expresión -1 Escribimos 64 como una potencia de 2   x = 26 3  1 6   Potencia de potencia: (an)m = an·m x=2  3 6  Efectuando el producto del exponente x=2 3 Simplificando la fracción x = 2 2 1 1 Potencia con exponente negativo: a n = x= an 22 1 1 Efectuando la potencia x= x= 4 4 Ejercicio 3 Hallar el valor de x Logx81 = 4 Base del logaritmo: x Aplicando Definición Argumento del logaritmo: 81 logx 81= 4 81= x 4 Valor del logaritmo: 4 Prop. Simétrica de la Igualdad x 4 = 81 Despejando x en la ecuación x =  4 81 Despejando x en la ecuación x = -3 x=3 Kharla Mérida 6  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual Recordemos. El valor de la base de un logaritmo debe estar entre 0 y 1, o ser mayor que 1. De los dos valores obtenidos de la ecuación, descartamos el negativo. Porque la base no puede ser negativa. x = -3 x =3 Solución x =3 Ejercicio 4 Hallar el valor de x log 1 343 = x 7 Base del logaritmo: 64  17  x Aplicando Definición Argumento del logaritmo: x log 1 343 = x = 343 Valor del logaritmo: -1/3 7 1 7  x Potencia con exponente negativo: a n = 1 = 343 an a  m Potencia de potencia: n = anm 7 x = 343 Descomponemos 343: 343 = 73 7  x = 73 Como las bases son iguales los exponentes son iguales: x = 3 Solución x = -3 LOGARITMO. Definición de Logaritmo. Calcular el Valor de X. Ejercicio 2 Ejercicio 5 Hallar el valor de x log0,02 x = 3 Base del logaritmo: 0,02 Aplicando Definición  0,02  3 Argumento del logaritmo: x log0,02 x = 3 =x Valor del logaritmo: 3 x =  0,02  3 Prop. Simétrica de la Igualdad 3 Nota: 0,02 es un decimal exacto, 0,02 tiene dos decimales, su fracción  2  x =  transformaremos este decimal en generatriz es: 2 dividido entre 100  100  fracción para efectuar la potencia.  1  3 Simplificando x =   50  1 Efectuando la potencia x= 125000 Solución 1 x= 125000 Kharla Mérida 7  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual Ejercicio 6 16 Hallar el valor de x logx = -2 9 Base del logaritmo: x Aplicando Definición 16 Argumento del logaritmo: 16/9 logx = -2 x -2 = 16 9 9 Valor del logaritmo: -2  9 -1 x  -1 Con el objetivo de lograr que x tenga exponente -2 = 16 positivo, elevamos ambos lados de la igualdad a la -1. a   9 -1 x -2   = 16 m  -1 Potencia de potencia: n = anm 9 Potencia con exponente negativo: x2 = 16 9 Despejamos x: x= 16 De los dos valores obtenidos de la ecuación, descartamos 3 3 x= x= el negativo. Porque la base no puede ser negativa. 4 4 3 Solución x= 4 Kharla Mérida 8  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual Emparejando el Lenguaje Logaritmo. Es un exponente, al que hay elevar la base del logaritmo para que resulte el argumento en esta relación. Logaritmo Neperiano, Logaritmo Natural. Es el logaritmo en base e (número de euler, e = 2,7182818284…) Logaritmo de Briggs, Logaritmo Vulgar. Es el logaritmo en base 10. Kharla Mérida 9  Matemática de 4to Año Logaritmo con Tu Profesor Virtual A Practicar Hallar el valor de x en cada caso 1. log7x = 2 5. logx 28 = 1 5. log 7 49 = x 27 2. log4x = 3 6. logx 1= 1125 6. log2 =x 3 8 3. log 1 x = -3 7. logx 216 = 3 7. log 1 5=x 2 5 1 4. log125 x = 13 8. logx 1 = -2 8. log3 =x 11 3 3 ¿Lo Hicimos Bien? 1. 49 5. 28 5. 4 2. 64 6. 1 6. -3 3. 8 7. 6 7.  12 4. 5 8. 11 8. - 3 2 Kharla Mérida 10