ভেক্টর PDF

ভেক্টর High voltage for Board CQ basic স্কেলার বা ডট গুনফল স্কেক্টর গুণন নদী ও স্কনৌকা সংক্রান্ত বৃ ষ্টি ও ছাতা স্কেক্টরর কযালকুলাস For any suggestions or qu...

ভেক্টর High voltage for Board CQ basic স্কেলার বা ডট গুনফল স্কেক্টর গুণন নদী ও স্কনৌকা সংক্রান্ত বৃ ষ্টি ও ছাতা স্কেক্টরর কযালকুলাস For any suggestions or queries, please contact us. ASG Compressed Note  Type 1 - basic বেসিক সকছু সিসিি । আশা কসি িোই িানিা তািপিও একোি সিসিউ যন াাক । প্রযয়়োজনীয় সূত্র়োবলী মূ ল ষ্টবন্দুর সারেরে স্ককারনা ষ্টবন্দুর অবস্থান স্কেক্টর: 𝑶(𝟎, 𝟎, 𝟎) এর সারেরে 𝑷(𝟏, 𝟐, 𝟑) এর অবস্থান স্কেক্টর = 𝒊ƶ + 𝟐𝒋ƶ + 𝟑𝒌ƶ বা, 𝑶𝑷 = 𝒊ƶ + 𝟐𝒋ƶ + 𝟑𝒌ƶ স্কেষ্টট েরর থাকরব তা স্কথরক প্রথম টা ষ্টবর াগ 𝑷(𝟏, 𝟐, 𝟑), 𝑸(𝟑, 𝟐, 𝟑), 𝑹(𝟓, −𝟐, −𝟑) হরল 𝑷𝑸 = (𝟑 − 𝟏)𝒊ƶ + (𝟐 − 𝟐)𝒋ƶ + (𝟑 − 𝟑)𝒌ƶ = 𝟐𝒊ƶ 𝑷𝑹 = (𝟓 − 𝟏)𝒊ƶ + (−𝟐 − 𝟐)𝒋ƶ + (−𝟑 − 𝟑)𝒌ƶ = 𝟒𝒊ƶ − 𝟒𝒋ƶ − 𝟔𝒌ƶ 𝑹𝑷 = −𝟒𝒊ƶ + 𝟒𝒋ƶ + 𝟔𝒌ƶ স্কেরকারনা স্কেক্টর 𝒑 = 𝒂𝒊ƶ + 𝒃𝒋ƶ + 𝒄𝒌ƶ হরল এর মান, |𝑷| = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 + 𝒄𝟐 |𝑷𝑹| = 𝟒𝟐 + 𝟒𝟐 + 𝟔𝟐 = 𝟔𝟖 একক a) 𝑃 ও 𝑄 ববন্দরু অবস্থ়োন ভেক্টর ও 𝑃𝑄, 𝑄𝑃 বনর্য়ণ কর ও এদদর ম়োন বনর্য়ণ কর। ২. 𝐴Ԧ = 2𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘 এর সম়োন্তর়োল ব়ো 𝐴 বর়োবর একক ভেক্টর বনর্য়ণ কর। একটি বত্রেু দজর বিনটি ভকৌবর্ক ববন্দরু স্থ়োন়োঙ্ক যথ়োক্রদম 𝐴(3, −2,1), 𝐵(1,3,5), C (2,1, −4) হদল ক. BC ব়োহুর দদর্ঘযণ বনর্য়ণ কযর়ো। খ. বত্রেু জটি সমদক়োর্ী বক-ন়ো মূলয়োয়নপূবক ণ মি়োমি দ়োও। ভেক্টযরর বববেন্ন সূত্র সংক্র়োন্ত স়োধ়োরর্ সূত্র: সমজ়োিীয় দটু ি ভেক্টযরর প্রথমটির শীর্ ণ ব়ো ভশর্ববন্দ ু এবং বিিীয়টির আবদ ববন্দ ু একই ববন্দদু ি স্থ়োপন কযর প্রথম ভেক্টযরর আবদ ববন্দ ু ও বিিীয় ভেক্টযরর শীর্ববন্দ ণ রু মদধয সংদয়োগক়োরী সরলযরখ়োর বদদক লবি ভেক্টযরর বদক এবং ঐ সরলযরখ়োর দদর্ঘযণ ভেক্টর দটু ির লবির ম়োন বনদদশ ণ করদব বত্রেু জ সূত্র: দটু ি ভেক্টর ভক়োদন়ো বত্রেূ দজর সবন্নবহি ব়োহু ি়োর়ো একই ক্রদম ম়োদন ও বদদক সূচীি কর়ো হদল বত্রেূ দজর িৃ িীয় ব়োহুটি ববপরীি ক্রদম ভেক্টর দটু ির লবি বনদদশ ণ কযর। বহুেু জ সূত্র: দইু এর অবধক ভেক্টর র়োবশর ভেদত্র ভেক্টর র়োবশগুদল়োদক একই ক্রদম স়োবজযয় প্রথম ভেক্টর র়োবশর প়োদববন্দ ু এবং ভশর্ ভেক্টর র়োবশর শীর্ববন্দ ণ ু ভয়োগ করদল ভয বহুেূ জ প়োওয়়ো য়োয় এর ভশর্ ব়োহুটি ববপরীিক্রদম ভেক্টর র়োবশগুদল়োর লবির ম়োন ও বদক বনদদশ ণ কযর। 𝑃᪄ + 𝑄᪄ = 𝑄᪄ + 𝑃᪄ → বববনয়ম সূত্র (𝑃᪄ + 𝑄) ᪄ → সংদয়োগ সূত্র ᪄ + 𝑅᪄ = 𝑃᪄ + (𝑄᪄ + 𝑅) (𝑚 + 𝑛)𝑃᪄ = 𝑚𝑃᪄ + 𝑛𝑃᪄ → বন্িন সূত্র (𝑄᪄ + 𝑅) ᪄ × 𝑃᪄ = (𝑄᪄ × 𝑃) ᪄ → বন্িন সূত্র ᪄ + (𝑅᪄ × 𝑃) ভেক্টর র়োবশ সংদয়োজন সূত্র ভমদন চদল। দটু ি ভেক্টযরর ভেক্টর গুর্ন বববনময় সূত্র ম়োদন ন়ো। িদব স্কেল়োর গুর্ন বববনময় সূত্র ভমদন চদল। প্রয়োকটিস প্রবদলম 𝐴Ԧ = 2𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘, 𝐵 = 3𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘, 𝐶Ԧ = 𝑖 + 5𝑘 সংদয়োগ সূত্র ও বন্িন সূত্র ভমদন চদল বকন়ো? সূচীপদত্র ভেরি স়োম়োন্তবরক সূত্র: ভক়োদন়ো স়োম়োন্তবরদকর একই ববন্দ ু হদি অবঙ্কি সবন্নবহি ব়োহু দটু ি যবদ ভক়োদন়ো কর়্োর উপযর একই সমযয় বক্রয়়োরি দটু ি ভেক্টর র়োবশর ম়োন ও বদক বনদদশ ণ কযর ি়ো হদল ঐ ববন্দ ু হদি অবঙ্কি স়োম়োন্তবরদকর কর্ইণ এদদর লবির ম়োন ও বদক বনদদশ ণ করদব। এদক ভেক্টর র়োবশর ভয়োজদনর স়োম়োন্তবরক সূত্র বদল। 𝑅 = 𝐴Ԧ + 𝐵 𝐵 𝑅 𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵cos 𝛼 𝛼 𝜃 𝐵sin 𝛼 tan 𝜃 = → 𝜽 = 𝑅 এর 𝐴 𝐴+𝐵cos 𝛼 𝐴Ԧ এর সাথে ক াণ যার সাথে angle কস ো থে single প্রয়োকটিস প্রবদলম 3𝑁 𝑅 60° 𝜃 5𝑁 A) 𝑅 = ? [7N] B) 𝜃 = ? [21.78°] C) 𝑅, 3𝑁 এর স়োদথ কি বিবি ভক়োর্ দিবর কযর? [38.22°] 4𝑁 60° 3𝑁 A) 𝑅 = ? [3.6N] B) 𝑅, 3𝑁 এর স়োদথ কি বিবি ভক়োর্ দিবর কযর? [𝟕𝟑. 𝟗°𝑵] সূচীপদত্র ভেরি ব়োয়ু উত্তর ও পূব ণ বদদকর মধযবদযয় প্রব়োবহি হদছে। ভবদগর উত্তর বদদকর অংশক র্ঘণ্ট়োয় 5 km এবং পূব ণবদদকর অংশক র্ঘণ্ট়োয় 12km । লবি ভবদগর ম়োন ও বদক বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, বা ু র স্কবরগর উত্তর ষ্টদরকর অংশক, 𝑃 = 5 km h−1 এবং েূ বব ষ্টদরকর অংশক, Q = 12kmh−1 উত্তর ষ্টদক ও েূ বব ষ্টদরকর মধ্যবতবী স্ককাণ, Q = 12kmh−1 লষ্টি স্কবগ বা বা ু স্কবরগর মান, 𝑅 = ? উত্তর ষ্টদরকর সরে লষ্টি স্কবরগর ষ্টদক, Q = ? আমরা জাষ্টন, R= P 2 + Q2 + 2PQcos 𝛼 = 5kmh−1 2 + 12kmh−1 2 + 2 × 5kmh−1 × 12kmh−1 × cos 90∘ = 25 + 144 + 0kmh−1 = 169kmh−1 ∴ R = 13kmh−1 Qsin 𝛼 আবার, tan 𝜃 = P+Qcos 𝛼 12kmh−1 ×sin 90 = 5kmh−1 +12kmh−1 ×cos 90 12 = 5 12 ∴ 𝜃 = tan−1 = 67.23′ 5 অতএব লষ্টি স্কবরগর মান 13kmh−1 এবং ষ্টদক উত্তর ষ্টদরকর সারথ 67∘ 23′ সূচীপদত্র ভেরি ব়োয়ু উত্তর ও পূব ণ বদদকর মধয বদযয় প্রব়োবহি হদছে। ভবদগর উত্তর বদদকর অংশক র্ঘণ্ট়োয় 5 𝑘𝑚 এবং পূব ণবদদকর অংশক র্ঘণ্ট়োয় 5 3 𝑘𝑚। লবি ভবদগর ম়োন ও বদক বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, বা ু র স্কবরগর উত্তর ষ্টদরকর আমরা জাষ্টন, অংশক, R= P2 + Q2 + 2PQcos 𝛼 𝑃 = 5 𝑘𝑚ℎ−1 এবং েূ বব ষ্টদরকর অংশক, = (5)2 + (5 3)2 +2×5×5 3 × cos 90∘ 𝑄 = 5 3 𝑘𝑚ℎ−1 = 25 + 75 + 0 উত্তর ষ্টদক ও েূ বব ষ্টদরকর মধ্যবতবী = 100kmh−1 স্ককাণ, 𝛼 = 90° ∴ R = 10kmh−1 লষ্টি স্কবগ বা বা ু স্কবরগর মান, আবার, tan 𝜃 = Qsin 𝛼 𝑅 =? P+Qcos 𝛼 উত্তর ষ্টদরকর সরে লষ্টি স্কবরগর ষ্টদক, 5 3×sin 90∘ = 𝑄 =? 5+5 3×cos 90∘ = 3 5 3 ো , 𝜃 = tan−1 5 ∴ 𝜃 = 60∘ অতএব, লষ্টি স্কবরগর মান 10kmh−1 এবং ষ্টদক উত্তর ষ্টদরকর সারথ 60∘ একটি বস্তুদক 50 𝑁 বল ি়োর়ো পবিম বদদক এবং 20 𝑁 বল ি়োর়ো উত্তর বদদক ি়োন়ো হদছে। লবি বদলর ম়োন ও বদক বনর্য়ণ কর। [উত্তর: 53.852., 21.80°] একটি বস্তুদক 50 𝑁 বল ি়োর়ো পূববদদক ণ এবং 20 𝑁 বল ি়োর়ো পূববদদকর ণ স়োদথ 60° ভক়োর্ কযর উত্তযর ি়োন়ো হদল়ো। লবি বদলর ম়োন ও বদক বনর্য়ণ কর। [উত্তর: 62.45 N পূববদদকর ণ স়োদথ 16.1° ভক়োদর্ উত্তর বদদক] সূচীপদত্র ভেরি লবি ন়ো বদল যবদ দটু ি ভেক্টযরর মধযবিীণ দরূ ত্ব বনর্য়ণ করদি বদল ি়োহদল ভেক্টযরর ববযয়়োগ বববধ বযবহ়োর হদব। 𝑷 − 𝑸 = 𝑷𝟐 + 𝑸𝟐 − 𝟐𝑷𝑸𝒄𝒐𝒔𝜶 বৃহত্তম লবি 𝑅max = 𝑃 + 𝑄 → 𝑃 + 𝑄 = 𝑃. Ԧ 𝑄 ভেক্টযরর ম়োদনর ভয়োগেল েু দ্রিম লবি 𝑅min = 𝑃 − 𝑄 → 𝑃 − 𝑄 = 𝑃. Ԧ ও 𝑄 ভেক্টযরর ম়োদনর প়োথকয ণ দইু টি কর়্ো যথ়োক্রদম 10𝑚𝑠 −1 ও 22𝑚𝑠 −1 ভবদগ 120° ভক়োর্ উৎপন্ন কযর ভক়োদন়ো একটি ববন্দদু ক অবিক্রম করল। 3𝑠 পযর ি়োদদর মধযক়োর দরূ ত্ব কি হদব? সম়োধ়োন : স্কদও া আরছ, 3 s ের ১ম কণার সরণ P এর মান, P = (10 × 3) = 30 m 3 s ের ২ কণার সরণ 𝑄 এর মান, 𝑄 = (22 × 3) = 66 m মধ্যবতবী স্ককাণ, 𝛼 = 120∘ ∴ P ও Q এর মধ্যবতবী দূ রত্ব, d = |P − Q| [স্কেক্টররর ষ্টবর াগ ষ্টবষ্টধ্] A P d 2 B C ∴ d2 = |P − Qห Q = P 2 + Q2 − 2PQcos 𝛼 = 302 + 662 − 2 × 30 × 66cos 120∘ ⇒ d = 900 + 4356 + 1980 m ∴ d = 44.49 m সু তরাং, 3 s েরর তারদর মধ্যকার দূ রত্ব = 44.49 m সূচীপদত্র ভেরি প্রয়োকটিস প্রবদলম দটু ি কর়্ো 60° ভক়োর্ উৎপন্ন কযর 6𝑚𝑠 −1 ও 8 𝑚𝑠 −1 ভবদগ একটি ববন্দদু ক অবিক্রম কযর। 5𝑠 পযর ি়োদদর মধযক়োর দরূ ত্ব কি? [উত্তর: 36.055𝒎] দটু ি ভেক্টর র়োবশর ম়োন 5 একক। ি়োর়ো একই ববন্দদু ি পরস্পর 120° ভক়োদর্ বক্রয়়ো কযর। ি়োদদর লবির ম়োন ও বদক বনর্য়ণ কর। দটু ি বদলর সদব়োছচ ণ ও সববনম্ন ণ ম়োন যথ়োক্রদম 29 𝑘𝑔 − 𝑤𝑡 ও 5 𝑘𝑔 − 𝑤𝑡; যবদ প্রদিযকটি বদলর ম়োন 3𝑘𝑔 − 𝑤𝑡 কযর ব়োড়়োদন়ো হয়, িদব নিু ন বলিযয়র লবির ম়োন বনর্য়ণ কর ভযন বলিয় পরস্পযরর স়োদথ সমদক়োদর্ থ়োদক। যবদ 𝐴, 𝐵 ও 𝐶 ববন্দগু ু দল়োর অবস্থ়োন ভেক্টরত্রয় যথ়োক্রদম 𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘, 3𝑖 − 4𝑗 + 5𝑘 এবং 5i − 10𝑗 + 13𝑘 হয় িদব ভদখ়োও ভয, 𝐴𝐵 ও 𝐵𝐶 ভেক্টরিয় সমররবখক ব়ো collinear. সূচীপদত্র ভেরি  বেলাি ো ডট গুিফল বছাট্ট একটা টসপক যনলও পিীক্ষা গ িাম্বানি সকন্তু প্রশ্ন লনল আনি প্রযয়়োজনীয় সূত্র়োবলী ▪ 𝑨. 𝑩 = 𝑨𝑩 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑨𝒙 𝑩𝒙 + 𝑨𝒚 𝑩𝒚 + 𝑨𝒛 𝑩𝒛 ▪ 𝑨 ও 𝑩 এর মধযবিীণ ভক়োন 𝜽 = 𝑪𝒐𝒔−𝟏 𝑨.𝑩 𝑨 𝑩 ▪ ⇒ 𝑨 ও 𝑩 পরস্পর লম্ব হদব যবদ, 𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝟎 ⇒ 𝒊ƶ ⋅ 𝒊ƶ = 𝒋ƶ ⋅ 𝒋ƶ = 𝒌ƶ ⋅ 𝒌ƶ = 𝟏 ⇒ 𝒊ƶ ⋅ 𝒋ƶ = 𝒋ƶ ⋅ 𝒌ƶ = 𝒌ƶ ⋅ 𝒊ƶ = 𝟎 নমুন়ো প্রশ্ন 𝑃Ԧ = 4𝑖ƶ − 4𝑗ƶ + 𝑘ƶ এবং 𝑄 = 2𝑖ƶ − 2𝑗ƶ + 𝑘ƶ এর মধযবিীণ ভক়োদর্র ভক়োস়োইন বনর্য়ণ - সম়োধ়োন : আমরা জাষ্টন, এখারন, P ⋅ Q = PQcos 𝜃 𝑃Ԧ = 4𝑖ƶ − 4𝑗ƶ + 𝑘ƶ P⋅Q 𝑄 = 2𝑖ƶ − 2𝑗ƶ + 𝑘ƶ ∴ cos 𝜃 = PQ 𝑃Ԧ ও 𝑄 এর মধ্যবতবী স্ককারণর স্ককাসাইন ƶ 𝑗+ (4𝑖−4 ƶ 𝑘)⋅(2 ƶ ƶ 𝑗+ 𝑖−2 ƶ 𝑘) ƶ = cos 𝜃 =? 4 2 +(−4)2 +(1)2 ⋅ 22 +(−2)2 +(1)2 (4)(2)+(−4)(−2)+(1)(1) = ( 16+16+1)( 4+4+1) 8+8+1 = 33×3 17 = 3 33 সূচীপদত্র ভেরি দটু ি ভেক্টযরর ভয়োগেল A+B= 12𝑖Ƹ − 4𝑗Ƹ + 8𝑘෠ এবং ববযয়়োগেল A − B = −6ƶi + 12ƶj + 10kƶ হদল 𝐴Ԧ ও 𝐵 বনর্য়ণ কর এবং এদদর স্কেল়োর গুর্ন বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, A+B = 12𝑖Ƹ − 4𝑗Ƹ + 8𝑘෠ A − B = −6ƶi + 12ƶj + 10kƶ ƶ + (−6𝑖ƶ + 12𝑗ƶ + 10𝑘) ∴ (𝐴Ԧ + 𝐵) + (𝐴Ԧ − 𝐵) = (12𝑖ƶ − 4𝑗ƶ + 8𝑘) ƶ বা, 2A = 6ƶi + 8ƶj + 18kƶ বা, 𝐴Ԧ = 3𝑖ƶ + 4𝑗ƶ + 9𝑘ƶ আবার, (𝐴Ԧ + 𝐵) − (𝐴Ԧ − 𝐵) ƶ − (−6𝑖ƶ + 12𝑗ƶ + 10𝑘) = (12𝑖ƶ − 4𝑗ƶ + 8𝑘) ƶ বা, 2𝐵 = 12𝑖ƶ − 4𝑗ƶ + 8𝑘ƶ + 6𝑖ƶ − 12𝑗ƶ − 10𝑘ƶ বা, 2𝐵 = 18𝑖ƶ − 16𝑗ƶ − 2𝑘ƶ ∴ B = 9ƶi − 8ƶj − kƶ ƶ ⋅ (9𝑖ƶ − 8𝑗ƶ − 𝑘) 𝐴Ԧ ⋅ 𝐵 = (3𝑖ƶ + 4𝑗ƶ + 9𝑘) ƶ = 27 − 32 − 9 = 27 − 41 = −14 প্রয়োকটিস প্রবদলম ƶ 𝑸 = 𝟑𝒊ƶ − 𝟐𝒋ƶ + 𝟕𝒌ƶ হদল 𝑷 ⋅ 𝑸 এর ম়োন কি? 𝑷 = 𝟐𝒊ƶ + 𝟑𝒋ƶ − 𝟒𝒌, [উত্তর: - 28] 𝑨 = 𝟐𝒊ƶ + 𝟑𝒋ƶ − 𝟓𝒌ƶ এবং 𝑩 = 𝟐𝟐𝒊ƶ + 𝟐𝒋ƶ − 𝟏𝟎𝒌ƶ হদল 𝑨 ⋅ 𝑩 এর ম়োন কি? [উত্তর: 100] a এর ম়োন কি হদল 𝑨 = 𝟐𝒊ƶ + 𝒂𝒋ƶ + 𝒌ƶ এবং 𝑩 = 𝟒𝒊ƶ − 𝟐𝒋ƶ + 𝟐𝒌ƶ ভেক্টর র়োবশ দটু ি সম়োন্তর়োল হদব? [উত্তর: -1] সূচীপদত্র ভেরি বত্রম়োবত্রক ক়োদিস ণ ীয় স্থ়োন়োঙ্ক বযবস্থ়োয় একটি ভেক্টর বিনটি ধন়োত্মক অদের স়োদথ ভয বিনটি ভক়োর্ উৎপন্ন কযর ি়োদদর ভক়োস়োইদনর ম়োনদক বদক ভক়োস়োইন বদল। এখন, ভযদক়োদন়ো ভেক্টর 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 [𝛼, 𝑋 অদের স়োদথ ভক়োন] 𝐴𝑥 ▪ cos 𝛼 = 𝐴𝑥 2 +𝐴𝑦 2 +𝐴𝑧 2 𝐴𝑦 ▪ cos 𝛽 = [𝛽, 𝑌 অদের স়োদথ ভক়োন] 𝐴𝑥 2 +𝐴𝑦 2 +𝐴𝑧 2 [𝛾, 𝑍 অদের স়োদথ ভক়োন] 𝐴𝑧 ▪ cos 𝛾 = − 𝐴𝑥 2 +𝐴𝑦 2 +𝐴𝑧 ƶ 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖ƶ + 𝐵𝑦 𝑗ƶ + 𝐵𝑧 𝑘ƶ এবং 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖ƶ + 𝐴𝑦 𝑗ƶ + 𝐴𝑧 𝑘, C = Cx ƶi + Cy ƶj + Cz kƶ বিনটি ভেক্টর সমিলীয় হদল, 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 = 0 𝐶𝑥 𝐶𝑦 𝐶𝑧 2𝑖ƶ − 3𝑗ƶ + 6kƶ ভেক্টযরর বিনটি ধন়োত্মক অদের স়োদথ ভক়োর্গুদল়ো বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : মরন কষ্টর, 𝑃Ԧ = 2𝑖ƶ − 3𝑗ƶ + 6kƶ 2 ∴ 𝑥 অরের সারথ স্ককাণ, 𝛼 = cos −1 22 +(−3)2 +62 = 73∘ 23′′ 54.42′′ −3 ∴ 𝑌 অরের সারথ স্ককাণ, 𝛽 = cos−1 22 +(−3)2 +62 = 115∘ 22′ 36.9′′ 6 ∴ Z অরের সারথ স্ককাণ, 𝛾 = cos−1 = 31∘ 22 +(−3)2 +62  ƶ 𝐵 = 2𝑖ƶ + 3𝑗ƶ + 3𝑥ƶ , 𝑐Ԧ = 𝑖ƶ + 𝑏𝑗ƶ − 5𝑘ƶ b এর ম়োন কি হদল 𝐴Ԧ = 3𝑖ƶ + 5𝑗ƶ − 3𝑘, ভেক্টযর এর সমিলীয় হদব? সম়োধ়োন : 𝐴Ԧ = 3𝑖ƶ + 5𝑗ƶ − 3𝑥ƶ 𝐵 = 2𝑖ƶ + 3𝑗ƶ + 3𝑥ƶ 𝑐Ԧ = 𝑖ƶ + 𝑏𝑗ƶ − 5𝑥ƶ ∴ স্কেক্টরত্র সমতলী হরল, 3 5 −3 2 3 3 =0 1 𝑏 −5 ⇒ 3(−15 − 3𝑏) − 5(−10 − 3) − 3(2𝑏 − 3) = 0 ⇒ −45 − 9𝑏 + 65 − 6𝑏 + 9 = 0 29 ⇒𝑏= 15 প্রয়োকটিস প্রবদলম 𝐴Ԧ = 2 𝑖Ƹ + 𝑗Ƹ − 2𝑘෠ ভেক্টরটি অদের স়োদথ ভয ভক়োর্ উৎপন্ন কযর ি়ো বনর্য়ণ কর। [উত্তর: 48.19°, 70.53°, 131.81°] 5𝑖Ƹ − 3𝑘෠ ভেক্টযরর স়োদথ অেত্রযয়র ভক়োর্গুদল়ো বনর্য়ণ কর। [উত্তর: 30°57', 120°57′, 90°] ƶ 𝐵 = 3𝑖ƶ + 2𝑗ƶ + 4𝑘ƶ এবং 𝐶Ԧ = 𝑖ƶ − 3𝑗ƶ + 5𝑘, 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ + 𝑗ƶ − 𝑘, ƶ ভদখ়োও ভয, ভেক্টর বিনটি সমিলীয়। [উত্তর: 𝑨 ⋅ 𝑩 এবং 𝑪 ভেক্টর বিনটি সমিলীয়] বিনটি ভেক্টর 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ − 𝑗ƶ + 𝑘, ƶ 𝐵 = 𝑖ƶ − 3𝑗ƶ + 𝑚𝑘ƶ এবং 𝐶Ԧ = 3𝑖ƶ − 4𝑗ƶ − 4𝑘, ƶ 𝑚 এর ম়োন কি হদল ভেক্টর বিনটি - একই সমিদল অববস্থি হদব। [উত্তর: -5] সূচীপদত্র ভেরি  বিক্টি গুণি প্রযয়়োজনীয় সূত্র়োবলী দটু ি ভেক্টর 𝐴Ԧ ও 𝐵 হদল ভেক্টর গুর্ন ব়ো ক্রস গুর্ন 𝐴Ԧ × 𝐵 = (ABsin 𝜃)𝜂ƶ ভযখ়োদন, 𝜂ƶ একক ভেক্টর। 𝑖ƶ 𝑗ƶ 𝑘ƶ ▪ 𝐴Ԧ × 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 ▪ (𝐴Ԧ × 𝐵) = −(𝐵 × 𝐴) Ԧ Ԧ ▪ একক ভেক্টর 𝜂ƶ = 𝐴×𝐵 Ԧ |𝐴×𝐵| ▪ ভেক্টরিয় পরস্পর সম়োন্তর়োল হদল, A × B = 0 অনুরূপে়োদব, ⇒ 𝑖ƶ × 𝑖ƶ = 𝑗ƶ × 𝑗ƶ = 𝑘ƶ × 𝑘ƶ = 0 𝑗ƶ × 𝑘ƶ = −(𝑘ƶ × 𝑗) ƶ = 𝑖ƶ 𝑘ƶ × 𝑖ƶ = −(𝑖ƶ × 𝑘) ƶ = 𝑗ƶ সূচীপদত্র ভেরি ভদখ়োও ভয, 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ + 4𝑗ƶ + 7𝑘ƶ এবং 𝐵 = 3𝑖ƶ − 5𝑗ƶ + 2𝑘ƶ ভেক্টর দটু ি পরস্পর সমদক়োদর্ অববস্থি। সম়োধ়োন : স্কেক্টরদ্ব সমরকারণ তখনই অবষ্টস্থত হরব েখন A ⋅ B = 0 হরব। এখারন, 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ + 4𝑗ƶ + 7𝑘ƶ এবং 𝐵 = 3𝑖ƶ − 5𝑗ƶ + 2𝑘ƶ ƶ ⋅ (3𝑖ƶ − 5𝑗ƶ + 2𝑘) ∴ 𝐴Ԧ ⋅ 𝐵 = (2𝑖ƶ + 4𝑗ƶ + 7𝑘) ƶ ƶ + 7 × 2(𝑘ƶ × 𝑘) = 2 × 3(𝑖ƶ ⋅ 𝑖ƶ) + 4 × (−5)(𝑗ƶ ⋅ 𝑗) ƶ = 6 × 1 − 20 × 1 + 14 × 1 = 6 − 20 + 14 =0 স্কেরহতু, 𝐴Ԧ ⋅ 𝐵 = 0সু তরাং স্কেক্টরদ্ব েরস্পর সমরকারণ অবষ্টস্থত। A = ƶi + ƶj + kƶ এবং B = 3ƶi + 3ƶj + 3kƶ দটু ি ভেক্টর র়োবশ। 𝐴Ԧ ও 𝐵 এর ভেক্টর গুর্ন বনর্য়ণ কর। এবং ভদখ়োও ভয, এর়ো পরস্পর সম়োন্তর়োল। সম়োধ়োন : এখারন, A = ƶi + ƶj + kƶ এবং B = 3ƶi + 3ƶj + 3kƶ এবং স্কদখারত হরব স্কে, 𝐴Ԧ ও 𝐵 এর স্কেক্টরদ্ব েরস্পর সমান্তরাল। ƶi ƶj kƶ এখন, A × B = 1 1 1 3 3 3 = (3 − 3)ƶi + (3 − 3)ƶj + (3 − 3)kƶ = 0ƶi + 0ƶj + 0kƶ = 0 ∴A×B=0 আবার, স্কেরহতু 𝐴Ԧ ও 𝐵 রাষ্টশদ্বর র স্কেক্টর গুণফরলর মান শূ নয স্কসরহতু রাষ্টশদ্ব েরস্পর সমান্তরাল। (স্কদখারনা হরলা) দইু টি ভেক্টযরর স্কেল়োর গুর্েল 18 একক। এদদর ভেক্টর গুর্েদলর ম়োন 6 3 একক। ভেক্টরিযয়র মধযবিীণ ভক়োর্ কি? সম়োধ়োন : স্কদও া আরছ, 𝐴Ԧ ⋅ 𝐵 = 18 একক |𝐴Ԧ × 𝐵| = 6 3 মধ্যবতবী স্ককাণ, 𝜃 = ? আমরা জাষ্টন, 𝐴Ԧ ⋅ 𝐵 = 𝐴𝐵cos 𝜃 বা, 18 = 𝐴𝐵cos 𝜃 ∴ 𝐴𝐵cos 𝜃 = 18 ……………(i) আবার, |A × B| = ABsin 𝜃 বা, 6 3 = 𝐴𝐵sin 𝜃 ∴ 𝐴𝐵sin 𝜃 = 6 3...........(ii) (𝑖𝑖) ÷ (𝑖)নং হরত োই, ABsin 𝜃 6 3 বা, = ABcos 𝜃 18 3 1 বা, tan 𝜃 = = = 30∘ 3 3 সূচীপদত্র ভেরি ভেত্রেল বনর্য়: ণ ভেত্রেল বনর্য়ণ ভথদক বকন্তু প্রবিবেরই প্রশ্ন আদস । স়োম়োন্তবরদকর দটু ি সবন্নবহি ব়োহু 𝐴𝐵 ও 𝐴𝐶 হদল ভেত্রেল, = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 সবন্নবহি ব়োহু ন়ো হযয় কর্ ণ হদল স়োম়োন্তবরদকর ভেত্রেল = 1 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 2 বত্রেু দজর দইু ব়োহু 𝐴𝐵 ও 𝐴𝐶 হদল ভেত্রেল= 1 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 2 মদন র়োখব়ো কর্ ণ হদল বদযয় গুর্ হদব। 1 2 বিযরক্ট ভেক্টর ন়ো বদযয় স্থ়োন়োংক ভদওয়়ো থ়োকদল অবস্থ়োন ভেক্টর বনর্য়ণ করদি হদব। একটি স়োম়োন্তবরদকর সবন্নবহি ব়োহু দটু ি যথ়োক্রদম A = ƶi − 4ƶj − 2kƶ এবং B = −2ƶi − ƶj + kƶ স়োম়োন্তবরদকর ভেত্রেল বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, সামান্তষ্টররকর সষ্টিষ্টহত বাহুদ্ব হরলা A = ƶi − 4ƶj − 2kƶ এবং B = −2ƶi − ƶj + kƶ ∴ সামান্তষ্টররকর স্কেত্রফল = |A × B| ƶ × (−2𝑖ƶ − 𝑗ƶ + 𝑘)| = |(𝑖ƶ − 4𝑗ƶ − 2𝑘) ƶ 𝑖ƶ 𝑗ƶ 𝑘ƶ = 1 −4 −2 −2 −1 1 = | −4 − 2 𝑖ƶ − (1 − 4)𝑗ƶ + (−1 − 8)𝑘ƶ | ƶ = | − 6𝑖ƶ + 3𝑗ƶ − 9𝑘| = (−6)2 + 32 + (−9)2 = 36 + 1 + 81 = 126 অতএব, সামান্তষ্টরকষ্টটর স্কেত্রফল = 126 বগব একক [Ans.] A = 3ƶi + ƶj − 2kƶ এবং B = ƶi − 3ƶj + 4kƶ ভেক্টরিয় একটি স়োম়োন্তবরদকর দটু ি কর্ ণ বনদদশণ করদল এর ভেত্রেল বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, সামান্তষ্টররকর কণব দুইষ্টট A = 3ƶi + ƶj − 2kƶ এবং B = ƶi − 3ƶj + 4kƶ 1 সামান্তষ্টররকর স্কেত্রফল = |𝐴Ԧ × 𝐵| 2 𝑖ƶ 𝑗ƶ 𝑘ƶ 𝐴Ԧ × 𝐵 = 3 1 −2 1 −3 4 ƶ = 𝑖(4 − 6) − 𝑗(12 ƶ + 2) + 𝑘(−9 − 1) = −2𝑖ƶ − 14𝑗ƶ − 10𝑘ƶ 𝐴Ԧ × 𝐵 = (−2)2 + (−14)2 + (10)2 = 4 + 196 + 100 = 300 = 17.32 1 ∴ সামান্তষ্টররকর স্কেত্রফল = |A × B| 2 1 = × 17.32 2 = 8.66 বগব একক। 𝑃Ԧ = 4𝑖Ƹ − 4𝑗Ƹ + 𝑘෠ এবং 𝑄 = 2𝑖Ƹ − 2𝑗Ƹ − 𝑘෠ ভেক্টরিয় একটি স়োম়োন্তবরদকর দটু ি সবন্নবহি ব়োহু বনদদশ ণ করদল এর ভেত্রেল বনর্য়ণ কর। [উত্তর: 8.5 একক] 𝐴Ԧ = 3𝑖Ƹ + 2𝑗Ƹ + 2𝑘෠ এবং 𝐵 = 𝑖Ƹ − 3𝑗Ƹ + 3𝑘෠ একটি স়োম়োন্তবরদকর দটু ি কর্ ণ বনদদশ ণ কযর। স়োম়োন্তবরদকর ভেত্রেল কি হদব? [উত্তর: 8.9] একটি বত্রেু দজর শীর্ত্রযয়র ণ স্থ়োন়োঙ্ক যথ়োক্রদম 𝑃(1,3,2), 𝑄(2, −1, 1), R(-1, 2, 3)। বত্রেু জটির ভেত্রেল বনর্য়ণ কর। [উত্তর: 5.17 বগ ণএকক] একক ভেক্টর ও ভেক্টযরর ম়োন: প্রযয়়োজনীয় সূত্রসমূহ- 𝐴Ԧ ১. একক ভেক্টর, 𝜂ƶ = Ԧ |𝐴| ২. 𝑅1 ও 𝑅2 ভেক্টযরর লবির সম়োন্তর়োদল একক ভেক্টর, 𝑅1 +𝑅2 𝜂ƶ = 𝑅1 +𝑅2 ৩. 𝑅1 ও 𝑅2 ভেক্টরিয় ভয িদলর ওপর অববস্থি ি়োর উলম্ব বদদক একটি একক ভেক্টর, 𝜂ƶ = 𝑅1 ×𝑅2 𝑅1 ×𝑅2 ƶ 𝐵 = 3𝑖ƶ + 4𝑗ƶ − 2𝑘ƶ হদল 𝐴Ԧ ও 𝐵 এর লবি বর়োবর একক 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ − 3𝑗ƶ + 5𝑘, ভেক্টর বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : স্কদও া আরছ, 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ − 3𝑗ƶ + 5𝑘ƶ 𝐵 = 3𝑖ƶ + 4𝑗ƶ − 2𝑘ƶ ∴ 𝐴Ԧ ও 𝐵 লষ্টি স্কেক্টর, 𝑅 = 𝐴Ԧ + 𝐵 = 2𝑖ƶ − 3𝑗ƶ + 5𝑥ƶ + 3𝑖ƶ + 4𝑗ƶ − 2𝑥ƶ = 5𝑖ƶ + 𝑗ƶ + 3𝑥ƶ 𝑅 লষ্টি বরাবর একক স্কেক্টর, 𝑛 = |𝑅| ƶ 𝑗+3 5𝑖+ ƶ 𝑥ƶ = 52 +12 +(3)2 1 = (5𝑖ƶ + 𝑗ƶ + 3𝑥) ƶ 35 সূচীপদত্র ভেরি দটু ি ভেক্টর 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ − 𝑗ƶ + 3𝑘ƶ এবং 𝐵 = 𝑖ƶ + 2𝑗ƶ − 4𝑘ƶ ি়োর়ো গবিি সমিদলর উপর লম্ব একক ভেক্টর বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : স্কদও া আরছ, 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ − 𝑗ƶ + 3𝑘ƶ এবং 𝐵 = 𝑖ƶ + 2𝑗ƶ − 4𝑘ƶ ƶ × (𝑖ƶ + 2𝑗ƶ − 4𝑘) ∴ 𝐴Ԧ × 𝐵 = (2𝑖ƶ − 𝑗ƶ + 3𝑘) ƶ 𝑖ƶ 𝑗ƶ 𝑘ƶ = 2 −1 3 1 2 −4 = 𝑖ƶ(4 − 6) + 𝑗(3 ƶ + 1) ƶ + 8) + 𝑘(4 = −2𝑖ƶ + 11𝑗ƶ + 5𝑘ƶ ধ্ষ্টর, একক স্কেক্টর = 𝜂ƶ Ԧ 𝐴×𝐵 ∴ 𝜂ƶ = Ԧ |𝐴×𝐵| ƶ −2𝑖+11 ƶ 𝑘ƶ 𝑗+5 = (−2)2 +(11)2 +(5)2 ƶ −2𝑖+11 ƶ 𝑘ƶ 𝑗+5 = 4+121+25 ƶ −2𝑖+11 ƶ 𝑘ƶ 𝑗+5 = 150 2 11 5 =− 𝑖ƶ + 𝑗ƶ + 𝑘ƶ 150 150 150 সূচীপদত্র ভেরি 𝐴Ԧ = 3𝑖ƶ − 2𝑗ƶ + 6𝑘ƶ এর সম়োন্তর়োল একক ভেক্টর বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, 𝐴Ԧ = 3𝑖ƶ − 2𝑗ƶ + 6𝑘ƶ একক স্কেক্টর, 𝑎Ԧ = ? 𝐴Ԧ ƶ 𝑗+6 3𝑖−2 ƶ 𝑘ƶ আমরা জাষ্টন, 𝑎Ԧ = Ԧ = |𝐴| (3)2 +(−2)2 +(6)2 ƶ 𝑗+6 3𝑖−2 ƶ 𝑘ƶ = 7 3 2 6 = 𝑖ƶ − 𝑗ƶ + 𝑘ƶ 7 7 7 3 2 6 অতএব, সমান্তরাল একক স্কেক্টর- = 𝑖ƶ − 𝑗ƶ + 𝑘ƶ 7 7 7 এমন একটি একক ভেক্টর বনর্য়ণ কর য়ো XY িদলর সম়োন্তর়োল এবং 2𝑖Ƹ − 2𝑗Ƹ + 6𝑘෠ এর স়োদথ সমদক়োদর্ অববস্থি। সম়োধ়োন : ধ্ষ্টর, XY তরলর সমান্তরাল স্কেক্টর 𝑥 𝑖ƶ + 𝑦𝑗ƶ এখন, স্কেক্টরষ্টট XY তরলর সমান্তরাল এবং 2𝑖Ƹ − 2𝑗Ƹ + 6𝑘෠ এর সারথ সমরকারণ অবষ্টস্থত হরল,(𝑥𝑖ƶ + 𝑦𝑗) ෠ = 0 ƶ ⋅ (2𝑖ƶ − 2𝑗ƶ + 6𝑘) বা, 2𝑥 − 2𝑦 = 0 বা, 𝑥 = 𝑦 ƶ 𝑗ƶ 𝑥 𝑖+𝑦 ƶ 𝑗ƶ 𝑦𝑖+𝑦 ∴ একক স্কেক্টর,𝑛 = ± =± 𝑥 2 +𝑦 2 𝑦 2 +𝑦 2 ƶ 𝑗) 𝑦(𝑖+ ƶ ƶ 𝑗ƶ 𝑦(𝑖+ =± =± 2𝑦 2 𝑦 2 1 =± (𝑖ƶ + 𝑗) ƶ 2 1 অতএব, একক স্কেক্টররর মান ± (𝑖ƶ + 𝑗) ƶ 2 অবেদেপ → উপ়োংশ ▪ উপ়োংশ =অবেদেপ×একক ভেক্টর ▪ দটু ি ভেক্টর 𝐴Ԧ = 30 𝑖Ƹ − 100 𝑘෠ ও 𝐵 = 3 𝑖Ƹ + 4 𝑗Ƹ − 10 𝑘෠ হদল 𝐴Ԧ এর ওপর 𝐵 এর উপ়োংশ বনর্য়ণ কর? সম়োধ়োন : অষ্টেরেে ষ্টনণব ঃ 𝐴𝑥 𝐵𝑥 +𝐴𝑦 𝐵𝑦 +𝐴𝑧 𝐵𝑧 A এর উের B এর অষ্টেরেে= 𝐴Ԧ (30)(3)+(0)(4)+(−100)(−10) → 𝑃𝑟𝑜𝑗𝐴 𝐵 = = 109 302 +02 +1002 একক স্কেক্টর ষ্টনণব ঃ 𝐴Ԧ = 302 + 02 + 1002 = 10 109 𝐴Ԧ 30 𝑖Ƹ − 100 𝑘෠ 𝐴Ԧ এর একক স্কেক্টর 𝐴መ = = 𝐴Ԧ 10 109 অষ্টেরেে হরত উোংশ ষ্টনণব ঃ A এর উের B এর উোংশ= (𝑃𝑟𝑜𝑗𝐴 𝐵)(𝐴) መ ෠ 30 𝑖Ƹ −100 𝑘 = ( 109)( ) 10 109 ෠ 30 𝑖Ƹ −100 𝑘 = ( ) 10 = 3 𝑖Ƹ − 10 𝑘෠ সূচীপদত্র ভেরি এক়োবধক বদলর লবি: লবি A হদল, 𝐴𝑥 = 𝑃cos 0∘ + 𝑄cos 𝜃1 + 𝑅cos 𝜃1 + 𝜃2 +SCos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 ) 𝐴𝑦 = 𝑃sin 0∘ + 𝑄sin 𝜃1 + 𝑅sin 𝜃1 + 𝜃2 +Ssin 𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 𝐴= 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 𝐴𝑦 𝜃 = tan−1 𝐴𝑥 ৩৮. বনদচর বচদত্রর 50 𝑁 এবং 100 𝑁 এর বদদক বদলর লবি বনর্য়ণ কর। 50 𝑁 বরলর লম্ব ষ্টদরক স্কমাট বল = 50 sin 90 ° + 60 sin 90° + 70° + 50 sin 180° + 30° = 45. 52 𝑁 100 𝑁 বরলর অনু েূষ্টমক ষ্টদরক স্কমাট বল = 100 cos 0 ° + 60 cos(90° + 70°) + 50 cos 180° + 30° = 0.32𝑁 এরদর লষ্টি (𝑅) ষ্টিরত্র স্কদখারনা হরলা, 𝑅2 = 45.52 2 + 1.69 2 𝑁 = 2074.92 𝑅 = 45.55 𝑁 সূচীপদত্র ভেরি উপ়োংশ একটি ভেক্টরদক অসংখয উপ়োংদশ ে়োগ কর়ো য়োয়। 𝑄 𝑅 𝛽 𝛼 𝑃 𝑅𝑠𝑖𝑛𝛽 ভয ব়োহু ি়োর ববপরীি ভক়োন 𝑃Ԧ = sin 𝛼+𝛽 𝑅𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑄= sin(𝛼+𝛽) 70𝑁 বদলর দটু ি উপ়োংদশর ম়োন ভবর কর য়োর একটি 70N বদলর স়োদথ একবদদক 30° ভক়োর্ এবং অপরটি অপরবদদক 65° ভক়োর্ কযর থ়োদক? সম়োধ়োন : আমরা জাষ্টন, স্কেরকারনা দুষ্টট উোংশ, 𝑅sin 𝛽 𝑋= sin(𝛼+𝛽) 𝑅sin 𝛼 𝑌= sin(𝛼+𝛽) 70sin 30∘ ∴ 70 N বরলর একষ্টট উোংশ X = sin 30∘ +65∘ = 35.13 N 70𝑠𝑖𝑛65° ∴ 70 N বরলর অের উোংশ Y = sin 30∘ +65∘ = 63.68 N পরস্পযরর স়োদথ লম্বে়োদব বক্রয়়োশীল দইু টি বদলর লবি 80𝑁। যবদ লবি একটি বদলর সদে 60° ভক়োদর্ আনি থ়োদক, িদব বল দইু টির ম়োন বনর্য়ণ কযর়ো। [RUET: '17-18] সম়োধ়োন : এখন, 𝑅𝑐𝑜𝑠60° = 𝑃𝑐𝑜𝑠0° + 𝑄𝑐𝑜𝑠90° ∴ 𝑃 = 80 cos60° = 40𝑁 আবার, 𝑅𝑠𝑖𝑛60° = 𝑃𝑠𝑖𝑛0° + 𝑄𝑠𝑖𝑛90° বা, Q = 80 sin60° = 40 3𝑁 সূচীপদত্র ভেরি  নদী ও ভনৌক়ো সংক্র়োন্ত িদী বিৌকা বেনক একটি প্রশ্ন আিনেই েলা লনল । এই বক্ষনে শুধুমাে শটটকাটগুনলা মুখস্ত িা কনি বেসিক িূেগুনলা িানলামনতা মাো িানখা । প্রযয়়োজনীয় সূত্র়োবলী ▪ নদীর দদর্ঘবয বরাবর স্কমাট স্কবগ, 𝐮 + 𝒗𝒄𝒐𝒔𝜶 ▪ 𝒕 োত্রাকাল হরল সাাঁতারুর দদর্ঘবয বরাবর অষ্টতক্রান্ত দূ রত্ব 𝐱 = (𝒖 + 𝒗𝒄𝒐𝒔𝜶)𝐭 ▪ নদীর প্রস্থ বরাবর স্কমাট স্কবগ, 𝒗𝒔𝒊𝒏𝜶 + 𝟎 = 𝒗𝒔𝒊𝒏𝜶 ▪ 𝒕 োত্রাকাল হরল সাাঁতারুর প্রস্থ বরাবর অষ্টতক্রান্ত দূ র ত্ব 𝒚 = (𝒗𝒔𝒊𝒏𝜶)𝐭 𝑢 =স্করারতর স্কবগ (দদর্ঘবয বরাবর) v = সাাঁতারুর স্কবগ 𝛼 = 𝑢 ও v এর মধ্যবর্তী ক োণ 𝑡 = যোত্রো োল 𝑑 োরাোরর প্রর াজনী সম , T = 𝑣𝑠𝑖𝑛𝛼 Any case লষ্টির মান: 𝑤 = 𝑢2 + 𝑣 2 + 2𝑢𝑣 cos 𝛼 লষ্টির ষ্টদক(দদরর্ঘবযর সারথ): 𝑣𝑠𝑖𝑛𝛼 tan 𝜃 = 𝑢 + 𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼 সূচীপদত্র ভেরি নূযনিম সমযয় প়োর়োপ়োযরর ভেদত্র - 𝛼= 𝟗𝟎° 𝒅 𝒅 ▪ োরাোরর প্রর াজনী নূ যনতম সম ,𝑻𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒖𝒎 = = 𝒗𝒔𝒊𝒏𝟗𝟎° 𝒗 ▪ লষ্টির মান, 𝒘 = 𝒖𝟐 + 𝒗 𝟐 𝒗 ▪ লষ্টির ষ্টদক(দদরর্ঘবযর সারথ), 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = 𝒖 নূযনিম পদথ ব়ো ভস়োজ়োসুবজ প়োর়োপ়োযরর ভেদত্র - 𝜃= 𝟗𝟎° −𝒖 ▪ 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒗 ▪ লষ্টির মান, 𝒘 = 𝒗𝟐 − 𝒖𝟐 𝒅 𝒅 ▪ োরাোরর প্রর াজনী সম , 𝐓 = = 𝒘 𝒗𝟐 −𝒖𝟐 ভক়োন নদীদি একটি ভনৌক়োর ভবগ ভর়োদির অনুকূদল ও প্রবিকূ দল যথ়োক্রদম 18 এবং 6𝑘𝑚/ℎ𝑜𝑢𝑟। ভনৌক়োটি কি ভবদগ ভক়োন বদদক চ়োলন়ো করদল ভস়োজ়ো অপর প়োদড় ভপৌৌঁে়োদব? [RUET: '17-18] সম়োধ়োন : 𝑣 + 𝑢 = 18, 𝑣 − 𝑢 = 6 এখারন, ∴ 𝑣 = 12𝑘𝑚ℎ, 𝑢 = 6𝑘𝑚ℎ−1 স্করারতর স্কবগ = 𝑢 𝑢𝑐𝑜𝑠0 + 𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑅𝑐𝑜𝑠90 স্কনৌকার স্কবগ = 𝑣 ⇒ 𝑢 + 𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 𝑎 = স্করারতর ও স্কনৌকার স্কবরগর ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = − 𝑢 মধ্যবতবী স্ককাণ। 𝑣 6 ∴ 𝛼 = cos −1 − 12 সু তরাং, 12𝑘𝑚ℎ−1 স্কবরগ 120° স্ককারণ সূচীপদত্র ভেরি ভক়োদন়ো নদীদি ভর়োদির অনুকূদল ভনৌক়োর ভবগ 24 𝑘𝑚ℎ−1 এবং ভর়োদির প্রবিকূ দল 8 𝑘𝑚ℎ−1 । ভস়োজ়ো অপর প়োদড় ভপৌৌঁেদি ভনৌক়ো ভক়োন বদদক এবং কি ভবদগ চ়োল়োদি হদব? [RUET: '17-18] সম়োধ়োন : মরন কষ্টর, স্করারতর স্কবগ = 𝑣 এবং স্কনৌকার স্কবগ = 𝑢 প্রশ্নানু সারর, 𝑣 + 𝑢 = 24 … … … … (𝑖) 𝑢 − 𝑣 = 8 … … … … (ii) সমীকরণ (i) ও (ii) স্কোগ করর োই, 2𝑢 = 32 ∴ 𝑢 = 16 𝑘𝑚ℎ−1 সমীকরণ (i) ও (ii) ষ্টবর াগ করর োই, 2𝑣 = 16 ∴ 𝑣 = 8 𝑘𝑚ℎ−1 ধ্রা োক, স্করারতর সারথ 𝛼 স্ককাণ করর স্কনৌকা িালনা কররল তা 𝑅 স্কবরগ স্কসাজা অের োরে স্কেৌঁছারব। এরেরত্র 𝑣 ও 𝑅 এর মধ্যবতবী স্ককাণ 𝜃 = 90° 16sin 𝛼 ∴ tan 𝜃 = 8+16cos 𝛼 16sin 𝛼 বা, tan 90∘ = 8+16cos 𝛼 16sin 𝛼 বা, ∞ = 8+16cos 𝛼 16sin 𝛼 বা, 8 + 16cos 𝛼 = ∞ বা, 8 + 16cos 𝛼 = 0 বা, 16cos 𝛼 = −8 বা, cos 𝛼 = − 1 স্কনৌকার লষ্টি স্কবগ, 𝑅 = 𝑢2 + 𝑣 2 + 2𝑢𝑣cos 𝛼 2 ∴ 𝛼 = 120∘ = 82 + 162 + 2 ⋅ 8 ⋅ 16 ⋅ cos 120∘ = 13.856kmh−1 একটি নদীর ভর়োদির ভবগ 5 𝑚𝑠 −1 । 10 𝑚𝑠 −1 ভবদগর একটি ভনৌক়োর ভস়োজ়োসুবজে়োদব নদী প়োবড় বদদি 1 min 40 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 সময় ল়োদগ। নদীর প্রস্থ কি? [CUET: '03-04] সম়োধ়োন : 𝑣 𝑤 𝛼 𝑢 𝑢 = স্করারতর স্কবগ = 5𝑚𝑠 −1 𝑣 = স্কনৌকার স্কবগ = 10𝑚𝑠 −1 ধ্ষ্টর, 𝑣 এবং 𝑢 এর মধ্যবতবী স্ককান = 𝛼 এবং লষ্টি স্কবগ = 𝑤 𝑢 বরাবর উোংশ ষ্টনর োই, 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑢𝑐𝑜𝑠0° = 𝑤𝑐𝑜𝑠90° 𝑢 5 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑎 = − = − 𝑉 10 ⇒ 𝛼 = 120° 𝑤 বরাবর উোংশ ষ্টনর োই, 𝑣𝑐𝑜𝑠(120° − 90°) + 𝑢𝑐𝑜𝑠90° = 𝑤𝑐𝑜𝑠0° ⇒ 𝑤 = 10cos30° = 5 3 ∴ 𝑑 = 𝑤𝑡 = 5 3 × 60 + 40 = 500 3𝑚 সূচীপদত্র ভেরি একজন ভল়োক ভর়োিহীন অবস্থ়োয় 510 𝑚 প্রশস্ত একটি নদী 15 বমবনদি ভস়োজ়োসুবজ স়োৌঁিবরযয় প়োর হদি প়োযর। বকন্তু ভর়োি থ়োকদল ভস একই পদথ 17 বমবনদি এদক অবিক্রম করদি প়োযর। ভর়োদির গবি ভবর কর। সম়োধ়োন : আমরা জাষ্টন, এখারন, 𝑆 = 𝑣1 𝑡1 প্রস্থ, 𝑆 = 100 ষ্টমটার বা, 510 ষ্টমটার = 𝑣₁ × 15 ষ্টমষ্টনট সম , 𝑡₁ = 15 ষ্টমষ্টনট ∴ 𝑣₁ = 34 ষ্টমটার/ষ্টমষ্টনট এবং 𝑡2 = 17 ষ্টমষ্টনট ধ্ষ্টর, লষ্টি স্কবগ = 𝑉2 ধ্ষ্টর, স্করারতর স্কবগ, 𝑣 = ? আমরা জাষ্টন, 𝑆 = 𝑣2 𝑡2 স্কলাকষ্টটর স্কবগ = 𝑉1 510𝑚 বা, 𝑉2 = 17 = 30 ষ্টমটার/ষ্টমষ্টনট আবার, আমরা জাষ্টন, 𝑣₁ = 𝑣² + 𝑣 2 অথবাৎ 34 2 = 𝑣² + 30 2 ∴ 𝑣 = 16 ষ্টমটার/ষ্টমষ্টনট ষ্টনরণব স্করারতর গষ্টতরবগ 16 ষ্টমটার/ষ্টমষ্টনট প্রয়োকটিস প্রবদলম ভস়োজ়ো অপর প়োদড় য়োওয়়োর জনয স্বপন ভেবরদি কযর 15𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ নদী প়োর হওয়়োর সময় ভদখল, ভেবরটি ভস়োজ়োসুবজ রওন়ো ন়ো বদযয় ভর়োদির প্রবিকূ দল বিযকে়োদব ণ য়োদছে। [ভর়োদির ভবগ = 10 𝑘𝑚ℎ−1 ] ক. লবির সদব়োছচ ণ ম়োন সববনম্ন ণ ম়োদনর কিগুর্ বনর্য়ণ কর। খ. ভেবরটির বদক পবরবিদণ নর ক়োরর্ ববদের্র্ কর। [উত্তর: 5 গুর্,𝜶 = 𝟏𝟑𝟏. 𝟖°] ভর়োি ন়ো থ়োকদল একজন স়োৌঁি়োরু 4 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ স়োৌঁি়োর ক়োিদি প়োযরন। 2 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ সরলযরখ়ো বর়োবর প্রব়োবহি একটি। নদীর এপ়োর ভথদক ওপ়োযরর বিক ববপরীি ববন্দদু ি ভযদি হদল। স়োৌঁি়োরুদক ভক়োন বদদক স়োৌঁি়োর ক়োিদি হদব? [উত্তর: 𝒂 = 𝟏𝟐𝟎°]  ▪ 1 𝑘𝑚 প্রশস্ত একটি নদীদি 10.8 𝑘𝑚−1 ভবদগ ভর়োি ও ভনৌক়ো। 18 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ বিক ববপরীি ববন্দদু ি ভপৌে়োদন়োর লদেয রওন়ো হদল়ো। ওপ়োযর ভপৌে়োদি ভনৌক়োর কি সময় ল়োগদব? [উত্তর: 4.167 minutes.] ▪ একটি electric machine বদযয় একটি বস্থর নদীর প়োবনদক নদীর প়োদড়র স়োদথ 30° ভক়োদর্ প্রবহম়োন কর়ো হদল়ো। একটি ভনৌক়ো এই অবস্থ়োয় 4 𝑚𝑠 −1 ভবদগ ভর়োদির স়োদথ 45° ভক়োর্ কযর ওপ়োযরর উদেদশয। য়োত্র়ো করল। নদীর 1.5 𝑘𝑚 প্রশস্ত এবং ভর়োদির ভবগ 5 𝑚𝑠 −1 ওপ়োযর। ভপৌে়োদি ভনৌক়োর প্রযয়়োজনীয় সময় কি? [উত্তর: 3.92 min.] প্রয়োকটিস CQ ক়োদিস ণ ীয় স্থ়োন়োঙ্ক বযবস্থ়োয় বিনটি ববন্দ ু (0, 0, 0), 𝑃(2, 4, 2) এবং 𝑄(2,4, −4) (গ) 𝑃𝑄 এর ম়োন বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) 𝑃 ও 𝑄 এর অবস্থ়োন ভেক্টরিয় পরস্পর লম্ব হদব বক-ন়ো য়োচ়োই কর। [উত্তর: 3.92 min.] 𝐹1 = 8𝑁 𝐹2 = 8𝑁 𝛼 = 60° 𝑂 𝑥 (গ) বল দটু ির লবি 𝑋 −অদের স়োদথ ভয ভক়োদর্ বক্রয়়োশীল ি়ো বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) বল দটু ির লবির অনুেূবমক উপ়োংশ ও উলম্ব উপ়োংদশর মদধয ভক়োনটি ভববশ? ভি়োম়োর মি়োমি গ়োবর্বিক যবু িসহ দ়োও। সূচীপদত্র ভেরি  𝑌 𝐴(1.2) 𝑋 𝑋 𝑂 𝐵(2. −4) 𝑌′ (গ) উেীপদকর 𝑂𝐴 ভেক্টরটি 𝑌 অদের স়োদথ কি ভক়োর্ উৎপন্ন করদব? (র্ঘ) উেীপদকর 𝑂𝐴 এবং 𝑂𝐵 ভেক্টরিয় পরস্পর লম্ব বকন়ো? গ়োবর্বিকে়োদব 𝜃2 = 30° 𝐹1 = 4𝑁 𝐹2 = 4𝑁 𝜃1 = 60° 𝑊 𝐸 𝜃3 = 45° 𝑂 𝐹3 = 4𝑁 𝑆 (গ) 𝐹Ԧ ও 𝐹Ԧ ভেক্টর দটু ি একটি স়োম়োন্তবরদকর দটু ি ব়োহু বনদদশ ণ করদল স়োম়োন্তবরকটির ভেত্রেল বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) 𝐹1 , 𝐹Ԧ2 ও 𝐹Ԧ3 ভেক্টর বিনটির বমবলি েল ভক়োন বদদক বক্রয়়ো করদব? গ়োবর্বিক ববদের্র্পূবক ণ মন্তবয কর। সূচীপদত্র ভেরি  Y P(1,3,2) Q(2,1,3) X Z বচদত্রর 𝑃 ও 𝑄 ববন্দরু অবস্থ়োন ভেক্টর যথ়োক্রদম 𝑃Ԧ ও 𝑄. (গ) ∆ 𝑂𝑃𝑄 এর ভেত্রেল বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) 𝑃Ԧ + 𝑄 ও 𝑃Ԧ − 𝑄 ভেক্টরিয় + 𝑌 অদের স়োদথ সম়োন ভক়োর্ উৎপন্ন কযর বক-ন়ো? গ়োবনবিক ববদের্র্পূবক ণ মি়োমি দ়োও। বত্রম়োবত্রক স্থ়োন়োংক বযবস্থ়োয় দটু ি ববন্দরু স্থ়োন়োংক যথ়োক্রদম 𝑃(1.2.1) ও 𝑄(2,1,1) । ববন্দ ু দটু ির জনয সৃষ্ট অবস্থ়োন ভেক্টর যথ়োক্রদম 𝑂𝑃 ও 𝑂𝑄। অবস্থ়োন ভেক্টরিয়দক সবন্নবহি ব়োহু ধযর স়োম়োন্তবরক অংকন করদল 𝑅 ববন্দরু স্থ়োন়োংক 𝑅(1,1,2) হয়। 𝑌 𝑄(2,1,2) 𝑅 (1,1.2) 𝛼 𝑋 𝑂 𝑃(1,2.1) (গ) 𝛼 ভক়োদর্র ম়োন বনর্য়ণ কর।। (র্ঘ) উেীপদকর ∆𝐴𝑃𝑄𝑅 সমদক়োর্ী বত্রেু জ গিন কযর বক-ন়ো গ়োবর্বিক বয়োখয়ো কর। সূচীপদত্র ভেরি  90° 10𝑘𝑚 𝛼 10 𝑘𝑚 প্রন্থবববশষ্ট একটি নদীদি ভর়োদির ভবগ 5 𝑘𝑚ℎ−1 । প্রথম ম়োবি 10 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ ভর়োদির স়োদথ 𝛼 ভক়োদর্ এবং ২য় ম়োবি 10 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ ভর়োদির স়োদথ লম্বে়োদব নদী প়োর হদি য়োত্র়ো করল। (গ) 𝛼 ভক়োদর্র ম়োন কি হদল ১ম ম়োবি ভস়োজ়োসুবজ নদীর অপর প়োদড় ভপৌৌঁে়োদব? (র্ঘ) ভক়োন ম়োবি নদীর অপর প়োদড় আদগ ভপৌৌঁে়োদি প়োরদব? গ়োবর্বিক ববদের্র্সহ মি়োমি দ়োও। B D C 110° A স্করারতর স্কবগ 2𝑘𝑚ℎ−1 বচদত্র ভর়োদির নদীদি একজন ভল়োক এক প়োড় হদি অপর প়োদড় য়োওয়়োর জনয 4𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ 𝐴𝐶 বর়োবর ভনৌক়ো চ়োল়োদন়ো শুরু কযর। ভস অপর প়োদড় D ববন্দদু ি ভপৌৌঁদে। 𝐵𝐷 = 0.5 𝑘𝑚, নদীর প্রস্থ = 𝐴𝐵 (গ) নদীর প্রস্থ AB বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) AC বর়োবর ভনৌক়ো চ়োল়োদন়ো শুরু করদল অপর প়োদড় ভপৌৌঁে়োদি ভয সময় ল়োদগ এই ভবদগ AB বর়োবর ভনৌক়ো চ়োল়োদন়ো শুরু করদল অপর প়োদড় ভপৌৌঁে়োদি ি়োর ভচযয় কম ন়োবক ভববশ সময় ল়োগদব? গ়োবর্বিক ববদের্র্পূবক ণ উত্তযরর সপদে মি়োমি দ়োও। সূচীপদত্র ভেরি 500𝑚 প্রদস্থর একটি নদীদি 6 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ ভর়োি প্রব়োবহি হদছে। এই নদীটি ম়োহীর ও বনবধ প্রবিদয়োবগি়োর উদেদশয স়োৌঁি়োর ভকদি প়োর হওয়়োর বসদ্ধ়োন্ত বনদল়ো। ম়োহীর 10 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ ভর়োদির স়োদথ ভক়োদর্ এবং বনবধ 9 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ ভর়োদির স়োদথ লম্বে়োদব স়োৌঁি়োর ক়োিদি শুরু করল। (গ) 𝛼 ভক়োদর্র ম়োন কি হদল ম়োহীর ভস়োজ়োসুবজ নদীর অপর প়োদড় ভপৌৌঁে়োদব? (র্ঘ) উেীপক অনুস়োযর ভক বজিদব? গ়োবর্বিক ববদের্র্সহ মি়োমি দ়োও। 𝐵 𝑣 = 5 𝑘𝑚ℎ−1 𝐴 স্করারতর স্কবগ, 𝑢 = 3 𝑘𝑚ℎ−1 ষ্টিত্র-১ 𝐵 AB নদীর প্রস্থ = 2.2 𝑘𝑚 𝐴 𝑢 = 3 𝑘𝑚ℎ−1 ষ্টিত্র-২ 2.2 𝑘𝑚 প্রদস্থর একটি নদীদি ভর়োদির ভবগ 3 𝑘𝑚ℎ−1 । স়োৌঁি়োর প্রবিদয়োবগি়োয় নদী প়োবড় ভদওয়়োর লদেয প্রথম স়োৌঁি়োরু 5 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ বচত্র-১ অনুস়োযর এবং বিিীয় স়োৌঁি়োরু একই ভবদগ বচত্র-২ অনুস়োযর স়োৌঁি়োর আরম্ভ করল। (গ) প্রথম স়োৌঁি়োরুর লবি ভবগ বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) উি স়োৌঁি়োর প্রবিদয়োবগি়োর েল়োেল গ়োবর্বিকে়োদব ববদের্র্ কর। সূচীপদত্র ভেরি  বরুণ মাষ্টি অরুণ মাষ্টি 8𝑘𝑚ℎ −1 - 3𝑘𝑚ℎ−1 - অরুর্ ম়োবি 8 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ ভনৌক়ো চ়োবলযয় নদীর প্রস্থ বর়োবর প়োর হয়। বরুর্ ম়োবি একই ভবদগ নদীর প্রস্থ বর়োবর ভনৌক়ো চ়োল়োয়। নদীর প্রস্থ 2𝑘𝑚। (গ) উেীপদক অরুর্ ম়োবিদক ভক়োন বদদক ভনৌক়ো চ়োল়োদি হযয়বেল? (র্ঘ) উেীপদকর ভক়োন ম়োবি কম সমযয় নদী প়োর হদব? গ়োবর্বিকে়োদব। বয়োখয়ো কর। বৃটষ্ট ও ে়োি়ো বৃটষ্টর ভবগ 𝑣 এবং ভল়োকটির ভবগ 𝑢 হদল বৃটষ্ট হদি রে়োদপদি ে়োি়ো ধরদি হদব, ভক়োদর্ 𝑢 𝜃 = tan−1 𝑣 বৃটষ্টর ভে়োি়ো ভল়োকটির গ়োযয় 𝜃 ভক়োদর্ পড়দল 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑢+ 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼 ভক়োন এক বদন 30𝑚𝑠 −1 গবিদি উল্লম্বে়োদব বৃটষ্ট পড়বেল। যবদ ব়োয়ু 10 𝑚𝑠 −1 গবিদি উত্তর ভথদক দবেদর্ বইদি শুরু কযর। ি়োহদল বৃটষ্ট ভথদক রে়ো ভপদি ভি়োম়োর ে়োি়ো ভক়োন বদদক ভমদল ধরদি হদব ভবর কর। [BUET: '06-07] সম়োধ়োন : আমরা জাষ্টন, −𝑄 10𝑚𝑠 −1 𝑄 𝑄sin 𝛼 𝛼 tan 𝜃 = 𝜃 𝑃+𝑄cos 𝛼 10sin 90∘ = 10𝑚𝑠 −1 30+10cos 90∘ 1 𝑃 = 3 1 ∴ 𝜃 = tan = 18.43∘ সূচীপদত্র ভেরি 3 4 𝑚𝑠 −1 ভবদগ ভদৌদড় য়োব়োর সময় একজন ভল়োক 6 𝑚𝑠 −1 ভবদগ লম্বে়োদব পবিি বৃটষ্টর সম্মখ ু ীন হদল়ো। বৃটষ্ট হদি রে়ো ভপদি হদল ি়োদক কি ভক়োদর্ ে়োি়ো ধরদি হদব? [উত্তর. 33.7°] স়োবদক 5 𝑚𝑠 −1 ভবদগ হ়োৌঁিবেল, বৃটষ্ট উল্লম্বে়োদব 7 𝑚𝑠 −1 ভবদগ পড়বেল। স়োবদদকর বৃটষ্ট ভথদক ব়োৌঁচদি কি ভক়োদর্ ে়োি়ো ধরদি হদব? [উত্তর. 𝟑𝟓. 𝟓𝟑°] শ়োন্ত ব়োি়োদস 6𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ বৃটষ্ট পড়দে। এ সমযয় স়োইদকদল চদড় আববদ 8 𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ ব়োবড় বেরদে। হি়োৎ আববদদর চল়োর ববপরীি বদদক 2𝑘𝑚ℎ−1 ভবদগ ব়োি়োস প্রব়োবহি হদি ল়োগল। উেয় ভেদত্র বৃটষ্ট ভথদক ব়োৌঁচদি আববদ ে়োি়ো বযবহ়োর করল। (গ) বস্থর ব়োি়োদস বৃটষ্টর লবি ভবগ বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) ব়োি়োস প্রব়োবহি হওয়়োর আদগ ও পযর একইে়োদব ে়োি়ো ধরদল আববদ বৃটষ্ট ভথদক রে়ো প়োদব বক-ন়ো? গ়োবর্বিকে়োদব য়োচ়োই কর। সূচীপদত্র ভেরি ভক়োদন়ো একবদন 10𝑚𝑠 −1 ভবদগ খ়োড়়োে়োদব বৃটষ্ট পড়বেল। এ সময় একজন বযবি 20𝑚𝑠 −1 ভবদগ গ়োবড় চ়োবলযয় য়োবছেদলন। (গ) গ়োবড় চ়োলক বৃটষ্টর ভবগ কি পবরলবেি করদবন? (র্ঘ) যবদ গ়োবড়র গবির ববপরীি বদদক 25𝑚𝑠 −1 ভবদগ ব়োয়ুপ্রব়োহ চদল িদব ঐ বযবি দইু ভেদত্র বৃটষ্ট ভবৌঁদক পড়়োর পবরম়োপ একই পবরলবেি করদবন বক? গ়োবর্বিক ববদের্দর্র ম়োধযদম মি়োমি উপস্থ়োপন কর। সম়োধ়োন : এখারন, গাষ্টের স্কবগ, 𝑉𝐶 = 20 𝑚𝑠 −1 (অনু েূষ্টমক বরাবর) বাতারসর স্কবগ,𝑉𝐴 = −25𝑚𝑠 −1 (গাষ্টের গষ্টতর ষ্টবেরীত ষ্টদরক) এবং বৃ ষ্টির স্কবগ, 𝑉𝑅 = 10 𝑚𝑠 −1 (উল্লম্বোরব) এখন, বা ু প্রবাহ না থাকা অবস্থা : −𝑉𝐶 𝑉𝐶 = 20ms −1 𝑉𝑅𝐶 𝜃1 𝑉𝑅 𝑉𝑅𝐶 𝜃1 𝑉𝑅 = 10ms −1 𝑉𝐶 এখারন, গাষ্টের সারেরে বৃ ষ্টির আরেষ্টেক স্কবগ 𝑉𝑅𝐶 হরল, 𝑉𝑅𝐶 = 𝑉𝑅 − 𝑉𝐶 এবং এই স্কবগ উল্লরম্বর সারথ 𝜃1 স্ককাণ উৎেি কররল, ষ্টত্রেুজ হরত আমরা োই, 𝑣𝐶 20 tan 𝜃1 = = 𝑣𝑅 10 20 ∴ 𝜃1 = tan−1 = 63.43∘ 10 বা ু প্রবাহ থাকা অবস্থা : বৃ ষ্টি ও বাতারসর লষ্টি স্কবগ, VRA হরল, 𝑣𝑅𝐴 = 𝑣𝑅2 + 𝑣𝐴2 + 2𝑣𝑅 𝑣Λ cos 𝛼 সূচীপদত্র ভেরি = 102 + 252 + 2 × 10 × 25 × cos 90∘ = 26.926 ms −1 এখারন, 𝑉𝐴 বৃ ষ্টির স্কবগ, 𝑉𝑅 = 10𝑚𝑠 −1 বাতারসর স্কবগ, 𝑉𝐴 = 10𝑚𝑠 −1 𝜃1 বৃ ষ্টি ও বাতারসর স্কবরগর 𝑉𝑅 𝑉𝑅𝐴 মধ্যবতবী স্ককাণ, 𝜃 = 90° বৃ ষ্টি ও বাতারসর লষ্টি স্কবগ 𝜃 উল্লরম্বর সারথ স্ককাণ উৎেি কররল, 𝑣𝐴 tan 𝜃 = 𝑣𝑅 25 𝜃 = tan−1 10 = 68.2∘ স্কেরহতু গাষ্টে িালরকর সারেরে বা ু প্রবাহ থাকা অবস্থা েেন্ত বৃ ষ্টির লষ্টি স্কবগ ষ্টনণব কররত হরব স্কসরহতু গাষ্টের িালরকর স্কবরগর মান শূ নয কররত হরব। স্কসজনয 𝑉𝐶 এর সারথ −𝑉𝐶 স্কোগ কষ্টর এবং 𝑉𝑅𝐴 স্কক মূ লষ্টবন্দু O স্কত স্থােন কষ্টর। 𝑉𝑅𝐴 −𝑉𝐶 𝜃 𝑉𝐶 𝛼 68.2° 𝑉𝑅𝐴 গাষ্টের সারেরে বৃ ষ্টি ও বাতারসর লষ্টি স্কবগ অনু েূষ্টমরকর সারথ 𝜃 ′ স্ককাণ উৎেি কররল, 𝑣𝑅Λ sin 𝛼 tan 𝜃 ′ = 𝑣𝐶 +𝑣𝑅𝐴 cos 𝛼 সূচীপদত্র ভেরি  26.926sin 21.8∘ এখারন, বৃ ষ্টি ও বাতারসর লষ্টি = 20+26.926cos 21.8∘ স্কবগ, 𝑣𝑅𝐴 = 26.926 𝑚𝑠 −1 = 0.222 বৃ ষ্টি ও বাতারসর লষ্টি স্কবরগর ∴ 𝜃 ′ = tan−1 (0.222) সারথ −𝑣𝐶 এর মধ্যবতবী স্ককাণ = 12.53∘ 𝛼 ′ = 90° − 68.2° ∴ উল্লরম্বর সারথ স্ককাণ = 90° − 12.53° = 21.8° = 77.47° গাষ্টের স্কবগ, 𝑣𝐶 = 20𝑚𝑠 −1 সু তরাং, গাষ্টেরত বসা বযষ্টি দুইরেরত্র বৃ ষ্টি স্কবাঁরক েোর েষ্টরমাণ ষ্টেি েষ্টরলেণ কররবন। ভক়োন একবদন ভসবলম ও মুর়োদ ভক়োদন়ো স্থ়োদন দন্ড়োয়ম়োন বেল। িখন ব়োি়োদসর ভবগ 5𝑚𝑠 −1 য়ো দবের্ ভথদক উত্তযর প্রব়োবহি হবছেল। এমন সময় 3 𝑚𝑠 −1 ভবদগ বৃটষ্ট পড়দি শুরু করল। বৃটষ্ট শুরু হব়োর পর ভসবলম দবের্ ভথদক উত্তযর এবং মুর়োদ উত্তর ভথদক দবেদর্ সম়োন 7 𝑚𝑠 −1 ভবদগ চলদি শুরু করল। (গ) দন্ড়োয়ম়োন অবস্থ়োয় বৃটষ্ট ি়োদদর গ়োযয় কি ভবদগ আর্ঘ়োি করদব? (র্ঘ) চলম়োন অবস্থ়োয় বৃটষ্ট ভথদক রে়ো ভপদি দইু বন্ধুদক একই ভক়োদর্ ে়োি়ো ধরদি হদব বকন়ো গ়োবর্বিকে়োদব বয়োখয়ো কর। সূচীপদত্র ভেরি  বিক্টনি কযালকুলাি ইদাসিিং এই টসপক বেনক িানলাই প্রশ্ন আিনতনছ । তাই িূেগুনলা বদনখ বেশ সকছু মযাে প্রযাকটিি কনি াাও । GRADIENT 𝜵 𝒇 SCALAR FIELD TO VECTOR FIELD 𝛻 DIVERGENCE 𝜵. 𝒇 (VECTOR FIELD TO SCALAR FIELD) CURL 𝜵 × 𝒇 (VECTOR FIELD TO VECTOR FIELD) 𝑑𝑖𝑣 𝑉 = 0 𝑑𝑖𝑣 𝑉 < 0 𝑑𝑖𝑣 𝑉 > 0 PARALLEL CONVERGENT DIVERGENT সষ্টলনর ড 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑉 = 0 হরল, 𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑉 ≠ 0 হলল, স্কেত্রষ্টট অর্ঘূ ণবনশীল স্কেত্রষ্টট র্ঘূ ণবনশীল সূচীপদত্র ভেরি যবদ 𝜑 = 2𝑥𝑦 4 − 𝑥 2 𝑧 হয়, িদব (2, −1, 2) ববন্দদু ি 𝜵 𝜑 বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, 𝜑 = 2𝑥𝑦 4 − 𝑥 2 𝑧 ᪄ = 𝑖ƶ 𝜕𝜑 + ƶj 𝜕𝜑 + kƶ 𝜕𝜑 ∇𝜑 𝜕x 𝜕y 𝜕z 𝜕 𝜕 𝜕 = 𝑖ƶ 2𝑥𝑦 4 − 𝑥 2 𝑧 + 𝑗ƶ 2𝑥𝑦 4 − 𝑥 2 𝑧 + 𝑘ƶ 2𝑥𝑦 4 − 𝑥 2 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = ƶi 2y 4 − 2xz + ƶj 8xy 3 + kƶ −x 2 2, −1,2 ষ্টবন্দুরত ∇𝜑 = 𝑖ƶ 2(−1)4 − 2.2.2 + 𝑗ƶ 8.2 ⋅ (−1)3 + ƶ 𝑘{−(2)2 ൟ = 𝑖ƶ(2 − 8) + 𝑗(−16) ƶ − 4𝑘ƶ = −6𝑖ƶ − 16𝑗ƶ − 4𝑘ƶ ƶ = −(6𝑖ƶ + 16𝑗ƶ + 4𝑘) যবদ 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥𝑦 2 𝑧 3 − 4𝑥𝑦 হয়, িদব ∇𝜑 ভবর কর। (2, −1, 1) ববন্দদু ি বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥𝑦 2 𝑧 3 − 4𝑥𝑦 𝜕 𝜕 𝜕 আমরা জাষ্টন, ∇𝜑 = ƶi 𝜑 + ƶj 𝜑 + kƶ 𝜑 𝜕x 𝜕y 𝜕z 𝜕 𝜕 সু তরাং, ∇𝜑 = 𝑖ƶ 3𝑥𝑦 2 𝑧 3 − 4𝑥𝑦 + 𝑗ƶ 3𝑥𝑦 2 𝑧 3 − 4𝑥𝑦 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝑘ƶ 3𝑥𝑦 2 𝑧 3 −4𝑥𝑦 𝜕𝑧 = 𝑖ƶ 3𝑦 2 𝑧 3 − 4𝑦 + 𝑗ƶ 6𝑥𝑦𝑧 3 − 4𝑥 + 𝑘ƶ 9𝑥𝑦 2 𝑧 2 (2, −1,1) ষ্টবন্দুরত, ∇𝜑 = ƶi 3 ⋅ (−1)2 13 − 4 ⋅ (−1) + ƶj ቄ 6 ⋅ 2 ⋅ (−1) ⋅ 13 − 4 ⋅ 2 + ƶ ⋅ 2 ⋅ (−1)2 ⋅ 1} k{9 = ƶi(3 + 4) + ƶj(−12 − 8) + 18kƶ = 7ƶi − 20ƶj + 18kƶ যবদ 𝐫Ԧ = xƶi + yƶj + zkƶ হয় িদব ∇ ⋅ 𝐫Ԧ ভবর কর। সম়োধ়োন : এখারন, rԦ = xƶi + yƶj + zkƶ 𝜕 𝜕 𝜕 ∇ ⋅ rԦ = ƶi + ƶj + kƶ ƶ ⋅ (xƶi + yƶj + zk) 𝜕x 𝜕y 𝜕z 𝜕 𝜕 𝜕 = (x) + (y) + (z) 𝜕x 𝜕y 𝜕z =1+1+1 =3 যবদ = 3𝑥 2 𝑧 𝑖ƶ + (𝑥𝑦𝑧)𝑗ƶ − 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 𝑘ƶ হয়, িদব (2, −1, 2) ববন্দদু ি 𝛻 ⋅ 𝑟Ԧ বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, rԦ = 3𝑥 2 𝑧 𝑖ƶ + (𝑥𝑦𝑧)𝑗ƶ − 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 𝑘ƶ 𝜕 𝜕 𝜕 ∇ ⋅ 𝑟Ԧ = 𝑖ƶ + 𝑗ƶ + 𝑘ƶ ⋅ ቄ 3𝑥 2 𝑧 𝑖ƶ + (𝑥𝑦𝑧)𝑗ƶ − 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 𝑘ƶ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕 𝜕 𝜕 = 3𝑥 2 𝑧 + (𝑥𝑦𝑧) + −𝑥 3 𝑦 2 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = 6𝑥𝑧 + 𝑥𝑧 − 𝑥 3 𝑦 2 (2. −1,2) ষ্টবন্দুরত, ᪄ 𝑟᪄ = 6.2.2 + 2.2 − 23 (−1)2 ∇. = 24 + 4 − 8 = 20 সূচীপদত্র ভেরি যবদ 𝐴Ԧ = 4𝑥𝑦𝑧𝑖ƶ + 2𝑥 2 𝑦𝑗ƶ − 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 𝑘ƶ হয়, িদব (2, −2, −1 ববন্দদু ি) ∇ × 𝑟Ԧ বনর্য়ণ কর। সম়োধ়োন : এখারন, 𝐴Ԧ = 4𝑥𝑦𝑧𝑖ƶ + 2𝑥 2 𝑦𝑗ƶ − 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 𝑘ƶ 𝜕 𝜕 𝜕 ∇ ⋅ 𝑟Ԧ = 𝑖ƶ + 𝑗ƶ + 𝑘ƶ ⋅ 4𝑥𝑦𝑧𝑖ƶ + 2𝑥 2 𝑦𝑗ƶ − 𝑥 2 𝑦 2 𝑧𝑘ƶ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑖ƶ 𝑗ƶ 𝑘ƶ 𝜕 𝜕 𝜕 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2 2 2 4𝑥𝑦𝑧 2𝑥 𝑦 −𝑥 𝑦 𝑧 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 = −𝑥 2 𝑦 2 𝑧 − 2𝑥 2 𝑦 𝑖ƶ + (4𝑥𝑦𝑧) − −𝑥 2 𝑦 2 𝑧 𝑗ƶ 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕 𝜕 + 2𝑥 2 𝑦 − (4𝑥𝑦𝑧) 𝑘ƶ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = −2𝑥 2 𝑦𝑧𝑖ƶ + 4𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 2 𝑧 𝑗ƶ + (4𝑥𝑦 − 𝑥𝑧)𝑘ƶ এখন, (2, −2, −1) ষ্টবন্দুরত ∇ × A = −2 ⋅ 22 ⋅ (−2) ⋅ (−1)ƶi + 4 ⋅ 2(−2) + 2 ⋅ 2(−2)2 ⋅ (−1) + {4 ⋅ 2(−2) − 4 ⋅ 2(−1)}𝑘ƶ = −16ƶi − 32ƶj − 8kƶ ƶ = −(16ƶi + 32ƶj + 8k) 𝑝 এর ম়োন কি হদল ভেক্টর 𝑉 = (5𝑥 + 2𝑦)Ԧ𝑖 + (2𝑝𝑦 − 𝑧)Ԧ𝑗 + (𝑥 − 2𝑧)𝑘 সবলনয়ি়োল হদব? [RUET: 15-16] সম়োধ়োন : স্ককান অবস্থান স্কেক্টররর ডাইোররজন্স শূ নয হরল ঐ স্কেক্টর স্কেত্রষ্টটরক সষ্টলন ডাল বরল। 𝑉 = (5𝑥 + 2𝑦)Ԧ𝑖 + (2𝑝𝑦 − 𝑧)Ԧ𝑗 + (𝑥 − 2𝑧)𝑘 𝜕(5𝑥+2𝑦) 𝜕(2𝑝𝑦−𝑧) 𝜕(𝑥−2𝑧) ⇒∇⋅𝑉 = + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⇒ 5 + 2𝑝 − 2 = 0 3 ⇒𝑝=− 2 প্রয়োকটিস প্রবদলম যবদ 𝐀 = 2𝑥 2 𝑖ƶ + 3𝑦𝑧𝑗ƶ − 𝑥𝑧 2 𝑘ƶ এবং 𝜑 = 2𝑧 − 𝑥 3 𝑦 হয়, ি়োহদল (1, 1, −1) ববন্দদু ি 𝐀. ∇𝜑 বনর্য়ণ কর। [উত্তর: −𝟓] যবদ 𝜑 = 2𝑥𝑧 4 − 𝑥 2 𝑦 হয় িদব (2, −2, −1) ববন্দদু ি ∇ 𝜑 এবং এর ম়োন ভবর কর। উত্তর: 𝟏𝟎𝒊ƶ − 𝟒𝒋ƶ − 𝟏𝟔𝒌; ƶ 𝟑𝟕𝟐 যবদ 𝐀 = 2x 2 𝐢ƶ + 3yz𝐣ƶ − xz 2 𝐤 ƶ এবং 𝜑 = 2z − x 3 y হয়, ি়োহদল (1, 1, −1) ববন্দদু ি 𝐀. ∇ 𝜑 বনর্য়ণ কর। [উত্তর:−5] যবদ 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3x𝑦 2 𝑧 3 − 4𝑥𝑦 হয় ∇𝜑 (ভিি 𝜑)ভবর - কর। (2, 1, 1) ববন্দদু ি ∇𝜑 কি হদব? [উত্তর: -𝒊ƶ + 𝟒𝒋ƶ + 𝟏𝟖𝒌] ƶ ৭৬. যবদ 𝜑 = 2x𝑧 4 − 𝑥 2 𝑦 হয় িদব (2, −2, −1) ববন্দদু ি ∇𝜑 এবং এর ম়োন ভবর কর। [উত্তর: 𝟏𝟎𝒊Ƹ − 𝟒𝒋Ƹ − 𝟏𝟔𝒌; ෡ 𝟑𝟕𝟐] প্রয়োকটিস CQ 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦 4 − 𝑥 2 𝑧 একটি স্কেল়োর র়োবশ এবং 𝐴Ԧ = (2𝑥 + 𝑦)𝑖ƶ + 3𝑦 + 𝑧 2 𝑗ƶ + (−5𝑧 + 𝑥)𝑘ƶ একটি ভেক্টর র়োবশ এবং 𝐵 = 6𝑥𝑦 + 𝑧 3 𝑖ƶ + 3𝑥 2 − 𝑧 𝑗ƶ + 3𝑥𝑧 2 − 𝑦 𝑘ƶ অপর একটি ভেক্টর র়োবশ। (গ) (2, −1, −2) ববন্দদু ি 𝑝 এর ভিবিযয়ন্ি বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) উেীপদক বর্র্িি 𝐴Ԧ ও 𝐵 ভেক্টরিযয়র মদধয ভক়োনটি সবলনয়ি়োল এবং ভক়োনটি অর্ঘূর্শীল ণ ি়ো গ়োবর্বিক ববদের্দর্র ম়োধযদম য়োচ়োই কর। ভদওয়়ো আদে একটি ভেক্টর ভেত্র- = 6𝑥𝑦 + 𝑧 3 𝑖Ƹ + 3𝑥 2 − 𝑧 𝑗Ƹ + 3𝑥𝑧 2 − 𝑦 𝑘෠ (গ) (2,1, −1) ববন্দদু ি 𝐴এর Ԧ ি়োইে়োরদজন্স বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) গ়োবর্বিক ববদের্দর্র স়োহ়োদযয ভদখ়োও ভযন 𝐴Ԧ ভেক্টরটি সবলনযয়ি়োল ন়োবক সংরের্শীল হদব? একবদন এক়োি সংলর ি়োপম়োত্র়ো ও ব়োি়োদসর ভবগ প়োওয়়ো ভগদল়ো যথ়োক্রদম, 𝑄 = 2𝑥𝑦 2 𝑧 3 − 4𝑥𝑦 ও 𝑉 = 𝑦 2 cos 𝑥 + 𝑧 3 𝑖ƶ + (2𝑦sin 𝑥 − 4)𝑗ƶ + (3𝑥𝑧 2 + ƶ 2)𝑘. (গ) ববন্দদু ি ঐ অঞ্চদলর ি়োপম়োত্র়োর ভিবিযয়ন্ি বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) ঐবদন ঐ অঞ্চদলর ব়োি়োদস ভক়োদন়ো র্ঘূর্নণ বেদল়ো বকন়ো ি়ো গ়োবর্বিক ববদের্দর্র ম়োধযদম মি দ়োও। বিনটি ভেক্টর র়োবশ যথ়োক্রদম 𝐴Ԧ = 2𝑖ƶ + 2𝑗ƶ − 𝑘, ƶ 𝐵 = 6𝑖ƶ − 3𝑗Ƹ + 2𝑘෠ এবং 𝐶Ԧ = 6𝑥𝑦 + 𝑧 3 𝑖ƶ − 3𝑥 2 − 𝑧 𝑗ƶ + 3𝑥𝑧 2 − 𝑦 𝑘ƶ (গ) 𝐴Ԧ ও 𝐵 ভেক্টরিযয়র লম্ববদদক একক ভেক্টর বনর্য়ণ কর। (র্ঘ) উেীপদক 𝐶Ԧ ভেক্টরটি অর্ঘূর্নশীল ণ বক ন়ো য়োচ়োই কর। সূচীপদত্র ভেরি