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Université Mohammed Premier Oujda. Ecole Nationale Des Sciences Appliquées Oujda Département de Mécanique et Mathématique appliquée Filière Génie Civil Eléments de cours : Mécanique des Fluides pour GC3 Rédigé par le Professeur: Farid BOUSHABA Année universitaire: 2017-2018 1  2 Table des Matières 1. Introduction : Propriétés des fluides 1 1.1 Propriétés de fluides............................ 1 1.1.1 Notion de fluides......................... 1 1.1.2 Systèmes d’unités......................... 2 1.1.3 Masse volumique.......................... 3 1.1.4 Densité............................... 3 1.1.5 Poids spécifique.......................... 4 1.1.6 Pression............................... 4 1.1.7 Compressibilité........................... 5 1.1.8 Viscosité.............................. 5 2. Hydraustatique 8 2.1 Equation fondamentale de la statique.................. 8 2.1.1 Introduction............................. 8 2.1.2 Notion de pression d’un fluide................... 8 2.1.3 Relation fondamentale de l’hydraustatique............ 9 2.1.4 Poussée d’un fluide sur des parois................. 11 2.1.5 Théorème D’ARCHIMÈDE.................... 15 3. Equations de la Mécanique des Fluides sous forme Différentielles 17 3.1 Introduction................................. 17 3.2 Equations Navier Stokes.......................... 17 3.2.1 Equation de continuité....................... 18 3.2.2 Déformation d’un élément volume fluide............. 22 3.2.3 Dynamique des fluides : Equation de la quantitée de mouvement 30  3 4. Equations de la Mécanique des Fluides sous forme intégrale 41 4.1 Introduction................................. 41 4.2 Théorème de transport de Reynolds.................... 41 4.3 Equation de continuité........................... 42 4.4 Equation de la quantité de mouvement.................. 44 4.5 Equation Énergétique de Bernoulli pour un fluide parfait........ 44 4.5.1 Interprétation énergétique de l’équation de Bernoulli...... 47 A. Algèbre et analyse Tensorielle 105 A.1 Notion d’espace............................... 105 A.2 Notation d’Einstein............................. 106 A.3 Symbole de Kronecker........................... 106 A.4 Notation de Lévi-Civita.......................... 106 A.5 Notion de tenseur.............................. 107 A.5.1 Remarque.............................. 107 A.5.2 Produit tensoriel.......................... 108 A.5.3 Produit contracté......................... 108 A.5.4 Produit doublement contracté................... 108 A.5.5 L’opérateur gradient........................ 109 A.5.6 L’opérateur divergence....................... 109 A.5.7 L’opérateur laplacien....................... 110 A.5.8 L’operateur rotationnel....................... 110  4 Liste des Figures 1.1 Schématisation des molécules d’un liquide (Les molécules sont représentées par des triangles).............................. 2 1.2 Pression en un point............................ 4 1.3 Ecoulement visqueux entre deux plaques................. 6 2.1 Pression en un point............................ 9 2.2 Elément fluide au repos........................... 10 2.3 Paroi plane................................. 12 2.4 paroi courbe................................. 13 2.5 Poussée d’Archimède............................ 15 3.1 Volume de contrôle............................. 18 3.2 Elément de volume de masse m...................... 19 3.3 Notion de débit............................... 21 3.4 Déformation de particule.......................... 22 3.5 Elongation de particule dans le plan (x,y)................ 24 3.6 Déformation angulaire dans le plan (x,y)................. 26 3.7 Rotation pure dans le plan (x,y)...................... 28 3.8 Déformation angulaire dans le plan (x,y)................. 31 3.9 Vecteur contrainte............................. 32 3.10 Vecteur contrainte sur la facette de normale suivant x.......... 33 3.11 Bilan des forces sur l’élément fluide..................... 38 4.1 Volume de contrôle............................. 42 4.2 Interpretation graphique de la relation de Bernoulli........... 46  5 Liste des Tableaux 1.1 Unité des grandeurs physiques....................... 3  1 Chapitre 1 Introduction : Propriétés des fluides 1.1 Propriétés de fluides 1.1.1 Notion de fluides Il existe trois états de la matière : ˆ Etat solide caractérisé par un réseau ordonné de molécules. les molécules sont très proches les unes des autres (presque entassées) et l’espace qu’elles occupent est faible. On dit qu’elles ont une disposition compacte voir figure (a.1.1). ˆ Etat liquide sous forme de collection dense et désordonnée de molécules. Les molécules sont toujours très proches les unes des autres et forment un ensemble compact. Par contre, les molécules ne sont plus fixes, elles peuvent se déplacer en glissant les unes sur les autres et sont légèrement agitées : elles sont organisées de manière désordonnée voir figure (b.1.1). ˆ Etat gazeux, les molécules sont très dilués et très agitées. Les molécules sont relativement éloignées entre elles et forment un ensemble dispersé. Elle sont  2 fortement agitées et se déplacent très rapidement de manière désordonnée. L’état gazeux est dispersé et désordonné. Figure 1.1: Schématisation des molécules d’un liquide (Les molécules sont représentées par des triangles) Les fluides sont des corps sans forme propore qu’ peuvent s’écouler sous l’action de faibles forces,ils sont répartis en liquide et gaz: ˆ Liquide partiquement incompressible, il occupe un volume bien définits. ˆ Gaz compressible, occupe toujours le volume maximum qui lui est offert. 1.1.2 Systèmes d’unités Un système d’unités est un ensemble d’unités de mesure couramment employées dans de divers domaines. Dans la suite on utilise le système métrique force longueur temps(F.L.T) ou bien masse longueur et temps(M.L.T).  3 Symbole Grandeur Dimension l Longueur L t Temps dynamique T m Masse M F Force M LT −2 σ Contrainte M L−1 T −2 S Surface L2 V Volume L3 ν Viscosité cinématique LT −2 ε Déformation 1 ρ Masse volumique M L−3 E module de Young M L−1 T −2 µ Viscosité dynamique M L−1 T −1 g Pesanteur LT −2 Tableau 1.1: Unité des grandeurs physiques 1.1.3 Masse volumique La masse volumique d’un corps est la masse contenue dans l’unité de volume, ou bien le rapport entre la masse et le volume occupé. Noté par ρ, elle s’exprime en kg/m3 de dimension M L−3. Pour un fuide incompressible, elle est constante. La masse 3 volumique de l’eau est de 1000kg/m à la température ordinaire. 1.1.4 Densité La densité noté d est le rapport de la masse (ou poids) d’un certain volume du corps en question à la masse (ou poids) d’une substance de référence à volume égale. Généralement la substance de référence pour les liquides et solides est l’eau, tandis que les substances gazeuses, on considère l’oxygène comme une référence pour calculer la densité. Il s’agit par conséquent d’une grandeur sans dimension, et par définition, la densité de l’eau vaut 1. Celle du mercure vaut dHg = 13, 6.  4 1.1.5 Poids spécifique Noté ϖ = ρg est la force d’attraction que la terre exerce sur l’unité de volume, de dimension M L−2 T −2 et d’unité N m3. 1.1.6 Pression Dans un fluide au repos, la pression désigne la force par unité de surface qui s’exerce perpendiculairement sur un éléments de surface ds. Figure 1.2: Pression en un point On note : −→ dF = −P ds− → n (1.1) P est la pression régnant au un point. La force de pression agit toujour vers l’interieur du volume délimité par l’élément de surface ds. L’unité internationale de pression est le N/m2 ou Pascal (Pa). Remarques : ˆ 1P a correspond à une pression très faible. On utilise couramment le bar : 1bar = 105 P a ˆ La valeur moyenne de la pression atmosphérique de l’air est de 1atm = 1, 013125bar ˆ On mesure souvent la pression à l’aide de manomètres à colonne de mercure, 1atm en HCL correspond à 760mmHg.  5 1.1.7 Compressibilité La compressibilité d’un corps est liée à la variation de son volume suite à une variation de pression. On définit le module de compressibilité sous une température constante comme étant la variation relative de volume pour une variation absolue de pression, noté : ∆V 1 χT = − (1.2) V ∆P Remarques : ˆ Si ∆P > 0 on s’attend à ce que le volume diminue, ce qui définit un module de compressibilité positif ˆ L’unité de ce module est le P a−1 ˆ Pour l’eau on a χT = 5.10−10 P a−1 On note que Le mercure est 13.3 fois plus compressible et l’alcool éthylique est 2.3 fois moins compressible que l’eau. D’une manière générale, les liquides sont très peu compressibles. 1.1.8 Viscosité La viscosité est la résistance du fluide qui s’oppose au mouvement, la résistance dont on parle concerne la contrainte de cisaillement. Sous l’effet des forces d’attraction moléculaires de fluides et fores d’interaction entre molecules de fluides et celles de la paroi, et à cause de la viscosité, on a un mouvement de fluide par couches les unes sur les autres. On peut observer l’effet de la viscosité sur l’exemple suivant : Si on considère un fluide visqueux placé entre deux plaques P1 et P2 , tel que la − → plaque P1 est fixe et la plaque P2 est animée d’une vitesse V2. Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On distingue la viscosité dynamique et la viscosité cinématique.  6 Figure 1.3: Ecoulement visqueux entre deux plaques Viscosité dynamique La viscosité dynamique exprime un rapport entre la contrainte de cisaillement qu’il faut exercer sur une plaque lorsqu’elle est plongée dans un courant et la variation de vitesse des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. La contrainte de cisaille- ment à pour effet de reproduire un gradient de vitesse d’écoulement dans la matière caractérisée pas un coefficient de viscosité dynamique.On donne : τxz µ= ∂V (1.3) ∂z L’unité de µ est le Pa.s ou Poiseuille. Pour un fluide parfait, µ = 0, pour un fluide newtonien µ = cste. La viscosité varie avec la température et avec la pression. Quelques exemples de viscosité dynamique ˆ L’eau : µeau = 0.001P a.s ˆ Huile de graissage : µ = 0, 02P a.s ˆ Essence :µ = 0, 006P a.s  7 Viscosité cinematique On définit également la viscosité cinématique ν comme le rapport entre le coeffi- cient de viscosité dynamique µ et la masse volumique ρ. La différence entre les deux viscosités est : La viscosité cinématique caractérise le temps d’écoulement d’un liquide. Par contre, la viscosité dynamique correspond à la réalité physique du comportement d’un fluide soumis à une sollicitation (effort). En d’autre terme, cette dernière exprime la rigidité d’un fluide à une vitesse de déformation en cisaillement. On note : µ ν= (1.4) ρ La viscosité peut être sensible au facteur temps, comme fonction de la vitesse d’écoulement du fluide (peu visqueux à grande vitesse, très visqueux à faible vitesse : c’est le comportement thixotrope des peintures, yaourt, ketchup, boues de forage), ou comme fonction de la vitesse à laquelle la sollicitation est appliquée (solide fragile et élastique à vitesse de sollicitation élevée, fluide visqueux à vitesse de sollicitation faible : c’est le comportement viscoélastique des polymères, pâte à pain, sable mouillé).  8 Chapitre 2 Hydraustatique 2.1 Equation fondamentale de la statique 2.1.1 Introduction Ce chapitre est consacré à l’étude des fluides au repos. On établit Les lois et théorèmes fondamentaux en statique des fluides, la notion de pression, le théorème de Pascal, le principe d’Archimède et la relation fondamentale de l’hydrostatique. On détermine les forces de pression et leurs points d’application. 2.1.2 Notion de pression d’un fluide La pression est une grandeur scalaire. C’est le rapport de l’intensité de la com- posante normale de la force qu’exerce le fluide sur l’unité de surface. Elle est définie en un point A d’un fluide par l’expression suivante : dF PA = (2.1) dS  9 Figure 2.1: Pression en un point ˆ dS : Surface élémentaire de la facette de centre A(en mètre carré), ˆ ⃗n : Vecteur unitaire en A de la normale extérieure à la surface, ˆ dF⃗ : Composante normale de la force élémentaire de pression qui s’exerce sur la surface, ˆ PA : Pression en A −→ La force de pression élémentaire dF qui s’excerse sur la surface de centre A, d’aire dS, orientée par sa normale extérieure ⃗n , s’exprime par : −→ dF = −P ds− → n (2.2) 2.1.3 Relation fondamentale de l’hydraustatique On considère un élément de volume fluide de forme parallélépipèdique de volume dV = dxdydz dans un repère cartisien. Le bilan des forces qui s’appliquent sur cet élément de volume : ˆ Forces de volume (poids) ˆ Forces de surface (forces de pression)  10 z n=ez y n=-ez x Figure 2.2: Elément fluide au repos dP⃗ = ρ⃗g dV (2.3) dF⃗ = dFx − → ex + dFy − → ey + dFz − → ez (2.4) On raisonne en terme de projection suivant − → ez , donc : dFz = (P (z) − P (z + dz))dxdy (2.5) Par un développement au premier ordre, on a : ∂P P (z + dz) = P (z) + dz (2.6) ∂z d’ou ∂P dFz = − dV (2.7) ∂z Par analogie, sur les deux autres axes : ∂P dFx = − dV (2.8) ∂x ∂P dFy = − dV (2.9) ∂y  11 Finalement : ∂P − → ∂P − → ∂P − → dF⃗ = −( ex + ey + ez )dV (2.10) ∂x ∂y ∂z ou bien : −−→ dF⃗ = −grad(P )dV (2.11) On applique le principe fondamental de la dynamique à l’élément de volume dV: − → dV(ρ− → g − ∇P − ρ− → a)=′ (2.12) Le fluide est au repos ⃗a = ⃗0, on obtient l’equation locale d’equilibre : − → ∇P = ρ⃗g (2.13) or ⃗g = −g − → ez et P (x, y, z) = P (z) , ce qui conduit à : dP = −ρg (2.14) dz Si on considère un fluide incompressible (ρ = cste), on obtient l’equation de Pascal, après intégration : P (z) = −ρgz + c (2.15) la constance c est calculé en fonction de la condition au limite de pression. 2.1.4 Poussée d’un fluide sur des parois Poussée d’un fluide sur des parois planes On considère une paroi plane plangée dans un fluide de de masse volumique ρ. Puisque l’équation fondamentale de la statique des fluides permet d’évaluer la pression en tout point d’un fluide, il est possible de calculer les forces s’exerant sur les parois d’un solide totalement ou partiellement immergé. On sait que la force de pression agissant sur un élément de surface s’exprime sur une surface immergée comme suit : dF⃗ = −P dS − → n (2.16)  12 o Z 1 n Z 2 Figure 2.3: Paroi plane En intégrant l’équation par rapport à la surface et on remplace P = ρgz, on suppose que la pression atmosphérique s’exerce de part et d’autre de la paroi (elle agit notamment du côté immergé par l’intermédiaire de la surface libre), donc : ∫ − → F = −− → n ρg zdS (2.17) or : ∫ zdS = ZG S (2.18) ZG est la profondeur du barycentre de la surface de la paroi. Finalement, la force de poussée est : − → F = −ρgZG S − → n (2.19) Centre de poussée : Pour déterminer le centre de poussée, on doit calculer le moment de la force par rapport à un point O, puis par identification de ce moment par rapport à la résultante des moments élémentaires à ce même point O, on peut écrire :  13 ∫ −→ − → −−→ ⃗ OA ∧ F = OM dF (2.20) s Après calcul : Iox YCp = (2.21) SYG Avec Iox le moment quadratique par rapport à l’axe ox passant par la surface libre de l’eau : ∫ IOx = y 2 ds (2.22) s Poussée d’un fluide sur des parois courbes on considère une paroi courbe AB retenant un fluide de masse volumique ρ. Fluide A dSx C x z dF dFz dSz dS dFx B Z Figure 2.4: paroi courbe ˆ La force dFx agit sur l’élément de surface dSz qui est la projection sur l’axe z de l’élément de surface dS. ˆ La force dFz agit sur l’élément de surface dSx qui est la projection sur l’axe x de l’élément de surface dS.  14 En effet : dF = ρgzdS (2.23) et dFx = dF sin(α) (2.24) = ρgzsin(α)dS (2.25) = ρgzdSz (2.26) pour calculer la force Fx , on intègre par rapport à la surface : ∫ Fx = ρgzdSz (2.27) ∫ = ρg zdSz (2.28) = ρgzG Sz (2.29) on peut conclure que la composante horizontale Fx = FH est la force de pression sur une surface plane verticale. De même pour la composante verticale, on a : dFz = dF cos(α) (2.30) = ρgzcos(α)dS (2.31) = ρgzdSx (2.32) pour calculer la force Fz , on intègre par rapport à la surface : ∫ Fz = ρgzdSx (2.33)  15 ∫ = ρg zdSx (2.34) ∫ = ρg dϑ (2.35) Avec ϑ volume délimité par la courbe AB, la surface libre du fluide et les deux verticles menées des deux extrémités A et B de la surface. On peut conclure que la composante verticale Fz = FV est le poids du fluide représenté par le volume déplacé par la surface AB. 2.1.5 Théorème D’ARCHIMÈDE Soit un solide immergé dans un fluide de masse volumique ρ, la force exercée par le fluide sur le solide immergé s’exprime come suit : ∫ − → F = −P − → n dS (2.36) S Figure 2.5: Poussée d’Archimède La formule de gradient permet de passer d’un intégrale de surface à un intégrale  16 de volume : ∫ ∫ ∫ ∫ −P − → n dS = −∇P dV (2.37) S D’après l’équation de la statique on : ∇P = ρ− → g (2.38) On remplace (2.38) dans (2.37) on obtient : ∫ − → F = −− → g ρdV (2.39) S La force d’Archimède est égale au poids du volume de fluide déplacé par le solide. Donc pour conclure : tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale, vers le haut dont l’intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps). On admettera que le point d’application de la poussée d’Archimède est le centre de masse de la partie immmergée du solide.  17 Chapitre 3 Equations de la Mécanique des Fluides sous forme Différentielles 3.1 Introduction Les Equations de la Mecanique des Fluides connus sous le nom de Navier-Stokes (Elles sont nommées d’après deux scientifiques, le mathématicien des Ponts, Henri Navier, et le physicien George Gabriel Stokes) sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent le mouvement des fluides newtoniens (liquide et gaz visqueux ordinaires). 3.2 Equations Navier Stokes La description eulérienne d’un système fluide consiste à fixer un volume Ω dans l’espace réel et à déterminer les proptiétés du fluide qui occupe instantanément Ω. Le volume Ω est appelé volume de contrôle et sa frontière Γ est appelée surface de contrôle:  18 Figure 3.1: Volume de contrôle 3.2.1 Equation de continuité l’équation de continuité traduit le principe de la conservation de la masse, la variation de la masse pendant un temps dt d’un élément de volume fluide doit être égale à la somme des masses entrant diminuée de celle de fluide sortant. Soit un él ément fluide de masse m et de volume : dV = dxdydz (3.1) m = ρdxdydz (3.2) La variation de la masse pendant dt est : ∂m dm = dt (3.3) ∂t ∂ρ = dxdydzdt (3.4) ∂t dV est fixe dans le temps.  19 dm doit être égal à : ˆ La somme des masses de fluide entrant et sortant de dV ˆ La somme des masses fluides détruites (puits) ou crèes (sources) dans dV Dans la suite on suppose que le fluide est conservatif (pas de sources ni puits de matières). Figure 3.2: Elément de volume de masse m Par soucis de simplification, on détermine le bilan massique uniquement suivant − → ey , le fluide entre avec la vitesse vy composnate de la vitesse V suivant l’axe y, et sort avec la vitesse vy+dy , par conséquent la masse entrante pendant le temps dt s’exprime: ρvy dxdzdt (3.5) On a par ailleurs, pour la masse sortante : ρvy+dy dxdzdt (3.6)  20 Le bilan suivant l’axe y donne : [(ρv)y − (ρv)y+dy ]dxdzdt (3.7) Un développement au premier ordre permet d’écrire : ∂ρv (ρv)y+dy = (ρv)y + dy (3.8) ∂y Il reste alors suivant y : ∂(ρv) − dxdydzdt (3.9) ∂y Et par analogie suivant les deux autres axe : ˆ Suivant ⃗ex : ∂(ρu) − dxdydzdt (3.10) ∂x ˆ Suivant ⃗ez : ∂(ρw) − dxdydzdt (3.11) ∂z Donc : ∂ρ dm = dxdydzdt (3.12) ∂t ∂(ρu) ∂(ρv) ∂(ρw) = −[ + + ]dxdydzdt (3.13) ∂x ∂y ∂z Finalement : ∂ρ ∂(ρu) ∂(ρv) ∂(ρw) + + + =0 (3.14) ∂t ∂x ∂y ∂z ou bien sous forme vectorielle : ∂ρ − → + ∇.(ρ V ) = 0 (3.15) ∂t Cas particuliers : − → ˆ Ecoulement permanent ∂ ∂t = 0 conduit à ∇.(ρ V ) = 0 − → ˆ Ecoulement d’un fluide incompressible ρ = cste conduit à ∇. V = 0  21 Débit A traves la surface S, le débit masique de fluide est donnée par : ∫ − →→ qm = ρV − n ds (3.16) S Figure 3.3: Notion de débit Le débit volumique : ∫ − →− qv = V→n ds (3.17) S Si l’écoulement est permanent : ˆ Le débit massique est conservé qm (S1 ) = qm (S2 ) (le débit dans la section S1 est le même que la section S2 ) ˆ Si le fluide est incompressible, alors le débit volumique est conservé.  22 3.2.2 Déformation d’un élément volume fluide Une particule fluide en mouvement subit des changements de position d’oriontation et de forme. Considérons deux points appartenant à la même particule fluide, le vecteur vitesse du pointM , en fonction de la vitesse du point M est: Figure 3.4: Déformation de particule −−→ −→ − → VM ′ = VM + d V (3.18) Effectuant un développement du premier ordre des trois composantes de la vitesse : ∂u ∂u ∂u u′ = u + dx + dy + dz (3.19) ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v v′ = v + dx + dy + dz (3.20) ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w w′ = w + dx + dy + dz (3.21) ∂x ∂y ∂z En écriture vectorielle − →− − → − →→ − → V (→ r + dr) = V (− r ) + Gdr (3.22)  23 Avec G le tenseur des taux de déformation de rang 2 :   ∂u ∂u ∂u  ∂x ∂y ∂z     ∂v ∂v ∂v  (3.23)  ∂x ∂y ∂z    ∂w ∂w ∂w ∂x ∂y ∂z les composantes du vecteur orientation sont :     dx       → −  dr dy  (3.24)         dz  Signification physique du tenseur de taux de déformation Termes diagonaux : Pour montrer la signification physique des termes diagonnaux, on suppose une configuration ou les termes hors diagonale sont nuls :   ∂u  ∂x 0 0    G=  0 ∂v 0  (3.25)  ∂y    ∂w 0 0 ∂z Cela conduit au champ vitesse du point M ′ : ∂u u′ = u + dx (3.26) ∂x ∂v v′ = v + dy (3.27) ∂y ∂w w′ = w + dz (3.28) ∂z Pour des raisons de simplifications, on considére un écoulement plan raporté au repère (o, x, y) à l’instant t on pose le champ de vitesse suivant : − → ˆ V A de composantes (u; v) − → ˆ V B de composantes (u + ∂u∂x dx; v)  24 Figure 3.5: Elongation de particule dans le plan (x,y) − → ˆ V C de composantes (u; v + ∂v ∂y dy) − → ˆ V D de composantes (u + ∂u ∂x dx; v + ∂v ∂y dy) Le champ des vitesses des point A;B;C et D réalise les déplacements en A′ ;B ′ ;C ′ et D′ à l’instant t + dt avec les coordonnées suivant : ˆ A′ de coordonnées (udt; vdt) ˆ B ′ de composantes (dx + udt + ∂u ∂x dxdt; vdt) ˆ C ′ de composantes (udt; dy + vdt + ∂v ∂y dydt) ˆ D′ de composantes (dx + udt + ∂u ∂x dxdt; dy + vdt + ∂v ∂y dydt) On constate une translation globle de udt suivant x et vdt suivant y, mais la particule fluide est également déformée puisqu il y a élogation ou contraction de ∂u ∂v ∂x dxdt suivant x et de ∂y dxdt suivant y. l’accroissement relatif de la longueur est : d(AB) A′ B ′ − AB = (3.29) AB AB  25 ∂u = dt (3.30) ∂x ∂v De même suivant y , on trouve : ∂y dt donc les termes diagonaux du tenseur taux de déformation sont les taux d’elongations. La variation relative de la surface est : d(S) S′ − S = (3.31) S S ∂u ∂v = ( + )dt (3.32) ∂x ∂y On néglige les termes de puissance supérieurs 1.En généralisant à 3 dimension, la variation relative de volume d’une particle fluide s’exprime : d(V ) ∂u ∂v ∂w = ( + + )dt (3.33) V ∂x ∂y ∂z − → = ∇. V dt (3.34) = T r(G)dt (3.35) La trace de G correspond au taux d’expansion du volume. Si le fluide est incom- − → pressible et que l’écoulement est conservatif alors ∇. V = 0, cela signifie pas de variation de volume. Termes hors diagonale : On pose nul tous les termes diagonaux, il reste :   ∂u ∂u  0 ∂y ∂z     ∂v 0 ∂v  (3.36)  ∂x ∂z    ∂w ∂w ∂x ∂y 0 Cela conduit au champ vitesse du point M ′ :  26 ∂u ∂u u′ = u + dy + dz (3.37) ∂y ∂z ∂v ∂v v′ = v + dx + dz (3.38) ∂x ∂z ∂w ∂w w′ = w + dx + dy (3.39) ∂x ∂y Pour des raisons de simplifications on considére un écoulement plan raporté au repère (o; x; y) Figure 3.6: Déformation angulaire dans le plan (x,y) à l’instant t on pose le champ de vitesse suivant : − → ˆ V A de composantes (u; v) − → ˆ V B de composantes (u; v + ∂v ∂x dx) − → ˆ V C de composantes (u + ∂u ∂y dy; v) − → ˆ V D de composantes (u + ∂u ∂y dy; v + ∂v ∂x dx)  27 Le champ des vitesses des point A;B;C et D réalise les déplacements en A′ ;B ′ ;C ′ et D′ à l’instant t + dt avec les coordonnées suivant : ˆ A′ de coordonnées (udt; vdt) ˆ B ′ de composantes (dx + udt; vdt + ∂v ∂x dxdt) ˆ C ′ de composantes (udt + ∂u ∂y dydt; dy + vdt) ˆ D′ de composantes (dx + udt + ∂u ∂y dydt; dy + vdt + ∂v ∂x dxdt) On constate une translation globle de udt suivant x et vdt suivant y, plus une déformation angulaire de la particule. La déformation angulaire est : ∂v ∂x dxdt tan(dα) = (3.40) dx ∂v = dt (3.41) ∂x = dα (3.42) De même, on trouve : ∂u tan(dβ) = dt (3.43) ∂y On conclut que : dβ dt ≈ ∂u ∂y et dα dt ≈ ∂v ∂x ∂u ∂v Si le tenseur taux de déformation G est symétrique c’est à dire : ∂y = ∂x , cela conduit à : tan(dα) = tan(dβ). Dans ce cas, il s’agit d’une déformation angulaire pure. Soit γ = (BAC) dγ γ′ − γ = (3.44) dt dt (γ − dα − dβ) − γ = (3.45) dt 2dα = − (3.46) dt 2∂u = − (3.47) ∂y 2∂v = − (3.48) ∂x  28 Si le tenseur taux de déformation G est antisymétrique c’est à dire : ∂u ∂y = − ∂x ∂v , cela conduit à : tan(dα) = − tan(dβ). Dans ce cas, il s’agit d’une rotation pure : dγ γ′ − γ = (3.49) dt dt = 0 (3.50) Figure 3.7: Rotation pure dans le plan (x,y) On peut alors définir une vitesse angulaire de rotation : dα ∂v = (3.51) dt ∂x −∂u = (3.52) ∂y 1 ∂v ∂u = ( − ) (3.53) 2 ∂x ∂y 1 − → = (∇ ∧ V )z (3.54) 2  29 Avec :     ∂w − ∂v       − →  ∂y ∂z  ∇∧ V = ∂u − ∂x ∂w (3.55)   ∂z        ∂v − ∂u  ∂x ∂y Il s’agit bien d’une rotation autour de l’axe z, en généralisant, on définit : − → 1 − → Ω = ∇∧ V (3.56) 2 vecteur vitesse angulaire de rotation ou vecteur tourbillon. Le bilan : les termes diagonaux representent la déformation sous forme d’élongation ou contraction pure, et les termes hors diagonale signifient les déformations angulaires pure(partie symétrique du tenseur taux de déformation) et rotation pure(partie antisymétrique du tenseur). On peut toujours décomposer le tenseur en deux et en faire la somme; tenseur symétrique et antisymétrique : ¯ = ¯ē + w̄ Ḡ ¯ (3.57) de telle sorte : − →− − →→ − → V (→ r + d− → r ) = V (− r ) + dV (3.58) − →→ = V (− ¯ d− r ) + Ḡ → r (3.59) Donc − → ¯ − d V = Ḡ d→ r (3.60) Le tenseur des taux de déformation pure ¯ē s’écrit :   ∂u 1 ∂u ∂v 1 ∂u ∂w  ∂x ( 2 ∂y + ∂x ) ( 2 ∂z + ∂x )     1 ( ∂u + ∂v ) ∂v 1 ∂v ( + ∂w )  (3.61)  2 ∂y ∂x ∂y 2 ∂z ∂y    1 ∂u ∂w 1 ∂v ∂w ∂w ( 2 ∂z + ∂x ) ( 2 ∂z + ∂y ) ∂z  30 ¯ s’ écrit : Le tenseur des taux de rotation pure w̄    0 1 ∂u ( 2 ∂y − ∂v ∂x ) 1 ∂u ( 2 ∂z − ∂w ∂x )     1 (− ∂u + ∂v ) 0 1 ∂v ( − ∂w )  (3.62)  2 ∂y ∂x 2 ∂z ∂y    1 2 (− ∂u ∂z + ∂w ∂x ) 1 2 (− ∂v ∂z + ∂w ∂y ) 0 On peut en effet remarquer que les éléments tensoriels du tenseur taux de rotation pure peut s’ecrire en fonction des vecteurs tourbillon :    0 −Ωz Ωy     Ωz 0 −Ωx  (3.63)     −Ωy Ωx 0 Par conséquent : ¯ d− w̄ → ⃗ ∧ d− r =Ω → r (3.64) Finalement : − → ¯ d− → d V = Ḡ r (3.65) = ¯ēd− → ¯ d− r + w̄ → r (3.66) − → = ¯ēd− → r + Ω ∧ d− → r (3.67) 3.2.3 Dynamique des fluides : Equation de la quantitée de mouvement Le principe de la conservation de la quantité de mouvement, stipule que le taux de variation de la quantité de mouvement par rapport au temps, d’une particule fluide est égal à la résultante de toutes les forces extérieures qui s’exercent sur cette particule fluide. Les forces auxquelles peut être soumis un fluide en écoulement à surface libre ou en charge peuvent être dues à des causes très diverses :  31 Figure 3.8: Déformation angulaire dans le plan (x,y) 1. Gravité ; 2. Energie solaire provoquant l’évaporation, qui entraı̂ne le transport atmosphérique par le vent et donc une production d’un gradient de pression ; 3. Gradient thermique terrestre ; 4. Frottement du vent sur la surface de l’eau ; 5. Influence de la force de Coriolis. On peut classer ces forces en deux catégories : 1. Forces de volume : ce sont des forces à distance (gravité, force de Coriolis...) et elles s’exercent sur tout le volume fluide. Appelons f⃗ la densité massique des forces de volume, la résultante de ces forces s’écrit : ∫ ρf⃗ dΩ (3.68) Ω  32 2. Forces de contact : elles s’appliquent sur la surface du volume fluide (forces de pression, forces de frottement...) ; elles ont pour résultante : ∫ σ · ⃗n dΓ (3.69) Γ où σ est le tenseur de contraintes. Tenseur des contraintes visqueuse On considère un écoulement réel(visqueux)en mouvement, l’effet de la viscosité (frottement) induit des contraintes tangentielles de cohésiont. Soit un point M en- tourné d’un élement de surface ds, la force élémentaire de surface s’exprime comme suit : Figure 3.9: Vecteur contrainte − → − → d F = Tn ds (3.70)  33 − → On appelle Tn le vecteur contrainte au point M , à l’instant t, et dans la direction de ⃗n. Si on intéresse de très près au petit élément de la surface S concentrée autour − → du point M , on s’apercoit que l’on peut décomposer Tn en deux vecteurs distincts : ˆ Une composante normale, colinéaire au vecteur ⃗n, que l’on appellera contrainte normale ˆ Une composante tangentielle, normale à ⃗n et appartenant au plan tangent à la surface S au point M Pour déterminer les composntes du vecteur contrainte, on considère en premier lieu une facette perpendiculaire à l’axe x de normale ⃗n = e⃗x Figure 3.10: Vecteur contrainte sur la facette de normale suivant x La composante excercée sur cette facette est : − → Tx = σxx e⃗x + τyx e⃗y + τzx e⃗z (3.71) σxx est la contrainte normale. τyx et τzx sont les contraintes tangentielles.  34 Avec le même raisonement, on définit : ˆ Suivant e⃗y : − → Ty = σyy e⃗y + τxy e⃗x + τzy e⃗z (3.72) ˆ Suivant e⃗z : − → Tz = σzz e⃗z + τxz e⃗x + τyz e⃗y (3.73) On considère une surface d’orientation ⃗n dans un repère cartésien : ⃗n = nx e⃗x + ny e⃗y + nz e⃗z (3.74) donc : − → − → − → − → Tn = Tx nx + Ty ny + Tz nz (3.75) Ce qui revient à effectuer le produit d’une matrice par la normale :    σxx τxy τxz  nx − →   Tn =   τyx σyy τyz   ny (3.76)   τzx τzy σzz nz Finalement : − → Tn = T ⃗n (3.77) T est le tenseur des contraintes. On peut décomposer le tenseur en la somme d’un tenseur sphérique et un tenseur de trace nulle : T = αI + T ′ (3.78) avec :    1 0 0    I=  0 1 0  (3.79)     0 0 1  35 et   ′  σxx τxy τxz    T′ =  τyx ′ σyy τyz  (3.80)     ′ τzx τzy σzz ainsi : ′ σxx = α + σxx (3.81) ′ σyy = α + σyy (3.82) ′ σzz = α + σzz (3.83) et ′ ′ ′ σxx + σyy + σzz = 0 (3.84) = −3α + σxx + σyy + σzz (3.85) d’ou 1 α = (σxx + σyy + σzz ) (3.86) 3 1 = (T r(T )) (3.87) 3 et : − → Tn = T ⃗n (3.88) = αI⃗n + T ′⃗n (3.89) = α⃗n + T ′⃗n (3.90) La force de surface élémentaire s’écrit donc :  36 dF⃗ = T⃗n ds (3.91) = α⃗nds + T ′ ds⃗n (3.92) On pose α = −p, finalement : dF⃗ = −p⃗nds + T ′ ds⃗n (3.93) Le terme −p⃗nds est la force normale à la surface, il presente la force de pression hydraustatique. Le terme T ′ ds⃗n represente les forces de frottement visqueuses tangen- tilles. Equation générale du mouvement De la même façon, on applique le principe fondamentale de la dynamique à un élement de volume de fluide en mouvement. Soit l’équation de la dynamique : dF⃗ = dF⃗s + dF⃗v (3.94) dV⃗ = ρdv (3.95) dt avec dF⃗s les forces de surfaces de composantes : dF⃗s = dFsx e⃗x + dFsy ⃗ey + dFsz ⃗ez (3.96) et dF⃗v la force de volume d’expression ρdv⃗g. Pour des raisons de simplifications on projette l’équation de la dynamique suivant l’axe y. On part de l’equation :    σxx τxy τxz    dF⃗S =  τyx σyy τyz   ⃗ndS (3.97)   τzx τzy σzz  37 Effectuant le bilan des forces de contactes suivant l’axe y x+dx dFSy = (τyx − τyx x z+dz )dydz + (τyz − τyz z y+dy )dydx + (σyy − σyy y )dxdz (3.98) Le développement en serie de taylor au premier ordre est : x+dx x ∂τyx τyx = τyx + dx (3.99) ∂x On remplace (3.99) dans (3.98) et on déduit ∂τyx ∂σyy ∂τyz dFSy = ( + + )dΩ (3.100) ∂x ∂y ∂z Par analogie, suivant les autres axes : ∂τxy ∂σxx ∂τxz dFSx = ( + + )dΩ (3.101) ∂y ∂x ∂z ∂τzx ∂σzz ∂τzy dFSz = ( + + )dΩ (3.102) ∂x ∂z ∂y Finalement :    σxx τxy τxz    dF⃗S = ∇.   τyx σyy τyz  dΩ  = ∇.T dΩ (3.103)   τzx τzy σzz Par conséquent : dV⃗ dF⃗s + dF⃗v = ρdΩ (3.104) dt dV⃗ ∇.T dΩ + ρ⃗g dΩ = ρdΩ (3.105) dt dV⃗ ∇.T + ρ⃗g = ρ (3.106) dt  38 Avec : T = −P I + T ′ (3.107) Soit finalement : dV⃗ ρ = −∇P + ∇T ′ + ρ⃗g (3.108) dt z6 τyx dydz  ∂τyz (τyz + ∂z dz)dydx τyz dxdy XX XXX XXX ?   Xz     -   ∂σyy y σyy dxdz -(σyy + ∂y dy)dxdz *        x   ∂τ yx (τyx + ∂x dx)dydz Figure 3.11: Bilan des forces sur l’élément fluide. Fluide Neutonien Equation de Navier Stokes Par définition, un fluide Neutonien est un fluide dont les composantes du tenseur des contraintes dépendent linéairement des éléments tensoriels du taux de déformation pure e. on considère les éléments tensoriels de e : 1 ∂vi ∂vj eij = ( + ) (3.109) 2 ∂xj ∂xi Avec eij = eji  39 On admettra alors pour un fluide isotrope, les éléments tensoriels de T ′ et e sont liés par la relation suivante : σij′ = 2µeij + µ′ (exx + eyy + ezz )δij (3.110) avec µ la viscosité dynamique, µ′ la viscosité de dilatation et δij symbole de Kronecker. On a : exx + eyy + ezz = ∇.V⃗ (3.111) Si le fluide est incompressible ∇.V⃗ = 0, l’ équation de comportement du fluide Neu- tonien devient : σij′ = 2µeij (3.112) ou bien sous forme de tenseur : T ′ = 2µe (3.113) On reprend l’équation fondamentale de la dynamique : dV⃗ ρ = −∇p + ∇T ′ + ρ⃗g (3.114) dt On remplace le tenseur T ′ par (3.113), on obtient : dV⃗ ρ= −∇p + 2µ∇e + ρ⃗g (3.115) dt On écrit ∇e sous forme indicielle : ∑ ∑ ∂eij ∇.e = ( )⃗ei (3.116) i j ∂xj ou 1 ∂vi ∂vj eij = ( + ) (3.117) 2 ∂xj ∂xi Après developpement : ∑∑ 1 ∂ 2 vi 1 ∂ 2 vj ∇.e = ( + )⃗ei (3.118) i j 2 ∂x2j 2 ∂xj ∂xi 1 ∑ ∑ ∂ 2 vi 1 ∑ ∂ ∑ ∂vj = ( 2 )⃗ ei + ( )⃗ei (3.119) 2 i j ∂xj 2 i ∂xi j ∂xj 1 ⃗ 1 = ∆V + ∇(∇.V⃗ ) (3.120) 2 2  40 Si notre fluide est incompressible ∇.V⃗ = 0, il rest alors : 1 ∇.e = ∆V⃗ (3.121) 2 Ce qui conduit à l’équation fondamentale de la dynamique pour un fluide incompress- ible : dV⃗ ρ = −∇p + µ∆V⃗ + ρ⃗g (3.122) dt ⃗ Le premier terme dV dt est la dérivée particulaire appliquée à un champ vectoriel V⃗ définit par l’expression suivante : dV⃗ ∂ V⃗ = + (gradV⃗ )V⃗ (3.123) dt ∂t Le premier terme de l’équation (3.123) est la variation temporelle de V⃗ en ce point fixe et à cet instant précis, le deuxième terme est le terme convectif. Finalement l’équation de Navier Stokes sous forme locale est : ∂ V⃗ ρ( + (V⃗ ∇)V⃗ ) = −∇p + µ∆V⃗ + ρ⃗g (3.124) ∂t En projection suivants les trois axes : ∂u ∂u ∂u ∂u ∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ρ( +u +v +w ) = − + µ( 2 + 2 + 2 ) + ρgx (3.125) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂v ∂p ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ρ( +u +v +w ) = − + µ( 2 + 2 + 2 ) + ρgy (3.126) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∂w ∂p ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w ρ( +u +v +w ) = − + µ( 2 + + ) + ρgz (3.127) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y 2 ∂z 2  41 Chapitre 4 Equations de la Mécanique des Fluides sous forme intégrale 4.1 Introduction Dans ce chapitre, on exprime les principes physiques des conservation (masse, quantité de mouvement, énergie) pour des systèmes fluides, avec une formulation intégrale sur un volume de contrôle (formulation dite globale). 4.2 Théorème de transport de Reynolds On considère une grandeur scalaire fonction des coordonnées de l’espace et du temps f (⃗r, t). l’integrale de f (⃗r, t) sur un volume V s : ∫ ∫ ∫ F = f (⃗r, t)dΩ (4.1) Vs Le calcul de la variation de f dans l’espace temps est : dF d ∫ ∫ ∫ = f (⃗r, t)dΩ (4.2) dt dt Vs  42 On suppose que le volume de controle V s est fixe, et délimité par la surface de controle S s , à travèrs laquelle passe un flux de fluide f. Figure 4.1: Volume de contrôle ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dF ∂f = dΩ + f V⃗ ⃗ndS (4.3) dt V s ∂t Ss Le premier terme du second membre de l’équation (4.3) est la dérivée locale, il signifie physiquement la variation instantanée de F dans le volume de contrôle. Le deuxième terme est la dérivée convective, il présente le flux de F à travèrs la surface de contrôle. 4.3 Equation de continuité Pour exprimer l’équation de la conservation de la masse sous forme intégrale, on pose : ρ(⃗r, t) = f (⃗r, t) (4.4)  43 ρ(⃗r, t) est la masse volumique, de même on pose La masse du volume de controle V s : ∫ ∫ ∫ M =F = ρ(⃗r, t)dΩ (4.5) Vs La variation de la masse par rapport au temps est : ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dM ∂ρ = dΩ + ρV⃗ ⃗ndS (4.6) dt V s ∂t Ss Le premier terme du second membre de l’équation (4.6) est la variation instan- tanée de ρ dans le volume de contrôle. Le deuxième terme est la variation de la masse due au flux massique à travèrs la surface de contrôle. L’équation (4.6)constitue la dM forme intégrale de l’équation de la conservation de la masse dt = 0. Si l’écoulement est permanent et conservatif, on retrouve l’équation de continuité : ∫ ∫ ρV⃗ ⃗ndS = 0 (4.7) Ss Si le fluide est incompressible ρ = cste : ∫ ∫ V⃗ ⃗ndS = 0 (4.8) Ss Pour retrouver l’équation locale, on reprend l’équation (4.6), et pour transformer l’intégral de surface en volume, on utilise le théorème d’Ostrogradski (voir annexe). Il s’ensuit : ∫ ∫ ∫ dM ∂ρ = ( + ∇.(ρV⃗ ))dΩ (4.9) dt V s ∂t Une solution triviale est de : ∂ρ + ∇.(ρV⃗ ) = 0 (4.10) ∂t On retrouve exactement l’équation de continuité sous la forme locale  44 4.4 Equation de la quantité de mouvement Soit l’écoulement d’un fluide, la quantité de mouvement de ce système de fluide de volume S s est : ∫ ∫ ∫ (ρV⃗ )dΩ (4.11) Vs Le principe fondamental de la dynamique stipule que la variation de la quantité de mouvement par rapport au temps doit être égale à la somme des forces agissant sur le système : d ∫ ∫ ∫ (ρV⃗ )dΩ = T⃗ + R ⃗ (4.12) dt Vs Le premier terme du second membre de l’équation (4.12)represent les forces de surface ∫∫ ∫∫∫ S s T ⃗ndS, et le deuxième terme represente les forces de volumes V s ρ⃗g dΩ. Avec : T = pI + T ′ (4.13) ˆ Si T ′ = 0 le fluide est parfait, il s’agit des équations d’Euler ˆ Si T ′ = 2µe, il s’agit d’équation de Navier-Stockes On applique à l’équation (4.12) le théorème de transport : ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∂(ρV⃗ ) dΩ + (ρV⃗ )V⃗.⃗ndS = T⃗ + R ⃗ (4.14) V s ∂t Ss Le premier terme du premier membre de l’équation (4.14) est la variation instan- tanée de la quantité de mouvement dans le volume de contrôle. Le deuxième terme est le débit de la quantité de mouvement à travèrs la surface de contrôle. Si l’écoulement est permanent (stationnaire), la dérivée instantanée est nulle, donc : ∫ ∫ T⃗ + R ⃗ = (ρV⃗ )V⃗.⃗ndS (4.15) Ss 4.5 Equation Énergétique de Bernoulli pour un fluide parfait Dans cette section, on développe l’équation de Bernoulli pour le cas des fluides parfaits. Les particules d’un fluide parfait, glissent les unes sur les autres sans opposer  45 de frottement, il s’agit d’un fluide de viscosité nulle. Donc le fluide parfait ne dissipe aucune énergie lors de sa déformation. Pour établir l’équation de Bernoulli, on reprend l’équation de Navier-Stockses : ∂ V⃗ ρ( + V⃗ ∇V⃗ ) = −∇p + µ∆V⃗ + ρ⃗g (4.16) ∂t On suppose l’écoulement stationnaire, non visqueux, cela conduit à l’équation suivante: ρV⃗ ∇V⃗ = −∇p + ρ⃗g (4.17) ⃗g dérive d’un potentiel gravitaire, donc : ρ⃗g = −ρg⃗ez = −∇(ρgz) (4.18) ρ(V⃗ ∇)V⃗ verifie l’égalité vectorielle suivante : 1 ρ(V⃗ ∇)V⃗ = ∇(ρV⃗ V⃗ ) − ρV⃗ ∧ (∇ ∧ V⃗ ) (4.19) 2 Si l’écoulement est irrotationnel ∇ ∧ V⃗ = ⃗0, on remplace dans l’équation (4.17) les expressions des équations (4.18) et (4.19), on trouve : 1 ∇( ρV 2 + P + ρgz) = ρV⃗ ∧ (∇ ∧ V⃗ ) (4.20) 2 ⃗ = ∇ ∧ V⃗ = 0, on déduit que : Si l’écoulement est irrotationnel Ω 1 2 ρV + P + ρgz = cste (4.21) 2 est l’équation de Bernoulli établit en vérifiant les hypothèses suivantes : ˆ Le fluide est parfait (c’est-a-dire non visqueux) ˆ La densité volumique des forces extérieures dérive d’un potentiel, c’est le cas des forces de gravité ˆ Le fluide est incompressible ˆ L’écoulement est stationnaire  46 On peut écrire l’équation de Bernoulli sous la forme suivante en devisant (4.21) par ρg: V2 P + + z = cste (4.22) 2g ρg V2 ˆ 2g P + ρg + z est une grandeur homogène à une hauteur de liquide, c’est la charge totale, ˆ P ρg + z est appelée la charge piézométrique (ou hauteur piézométrique), ˆ z est l’altitude Le théorème de Bernoulli peut alors s’interpréter graphiquement à partir des évolutions des différentes hauteurs le long de la ligne de courant. Comme l’illustre la figure (4.2), quand on suit l’unité de poids de fluide dans son mouvement le long de la trajectoire, on peut tracer trois lignes différentes : Figure 4.2: Interpretation graphique de la relation de Bernoulli  47 ˆ La ligne d’altitude qui représente la trajectoire du fluide, ˆ La ligne piézométrique, distante de la trajectoire de quantite P ρg + z, V2 ˆ La ligne de charge, obtenue en ajoutant 2g à la ligne piézométrique. Le théorème de Bernoulli conduit à une ligne de charge horizontale (charge totale = cte). Il n’y a pas de perte de charge dans l’écoulement d’un fluide parfait. 4.5.1 Interprétation énergétique de l’équation de Bernoulli On considère l’équation de Bernoulli sous la forme : 1 2 ρV + P + ρgz = cste (4.23) 2 Multiplions tous les termes de l’équation de Bernoulli par un volume V : 1 ρV V 2 + P V + ρV gz = cteV (4.24) 2 Par conséquent, cet équation correspond à une énergie mécanique. L’énergie mécanique reste alors constante le long d’une ligne de courant (il n’y a pas de dissipation d’énergie). Les differentes termes de cet équation représente respectivement : ˆ P V est le travail des forces de pression, c’est l’énergie potentielle due aux forces de pression, ˆ ρV gz = mgz est l’énergie potentielle due aux forces de pesanteur, ˆ 1 2 ρV V 2 = 12 mV 2 est l’énergie