Cours d'Asservissement Linéaire et Régulation PDF

Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Sommaire Introduction Générale................................................................................................................. 3 Chapitre1...

Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Sommaire Introduction Générale................................................................................................................. 3 Chapitre1 : Rappels sur la transformée de Laplace.................................................................... 5 1. Introduction :............................................................................................................... 5 2. Définition :................................................................................................................... 5 3. Propriétés fondamentales de la transformation de Laplace:........................................ 5 4. Transformée de Laplace inverse :................................................................................ 7 5. Transformées de Laplace de quelques signaux usuels :.............................................. 7 7. Exemple 1:................................................................................................................... 9 8. Exemple2 :................................................................................................................. 10 Chapitre 2 : Introduction aux asservissements......................................................................... 11 1. Introduction :............................................................................................................. 11 2. Définition :................................................................................................................. 11 3. Notion de système, Boucle Ouverte (BO), Boucle Fermée (BF) :............................ 11 4. Structure d’un système asservi.................................................................................. 13 5. Exemple de régulation automatique du niveau d’eau dans une cuve avec fuite..... 13 6. Concepts utiles à l’étude des systèmes asservis :...................................................... 14 Chapitre 3 : Modélisation des systèmes asservis linéaires...................................................... 17 1. Introduction :............................................................................................................. 17 2. Exemples de modélisation :....................................................................................... 17 3. Notion de Fonction De Transfert :............................................................................. 21 4. Schéma fonctionnels :................................................................................................ 22 5. Exemple :................................................................................................................... 27 6. Les diagrammes de fluence :..................................................................................... 28 7. Exemple :................................................................................................................... 30 Chapitre 4 : Performances des systèmes linéaires.................................................................... 31 1. Introduction............................................................................................................... 31 2. Réponse temporelle des systèmes linéaire :.............................................................. 31 3. Réponse fréquentielle des systèmes linéaires :......................................................... 37 3.1 Diagramme de BODE:........................................................................................... 37 3.2 Lieu et diagramme de NYQUIST.......................................................................... 42 1 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 3.3 Abaques de Black Nichols :....................................................................................... 44 Chapitre 5 : Stabilité d’un asservissement............................................................................... 46 1. Introduction :............................................................................................................. 46 2. Enoncé du critère de stabilité :.................................................................................. 46 3. Analyse de Stabilité :................................................................................................. 47 3.1 Critère mathématique............................................................................................. 47 3.2 Critère algébrique de Routh:.................................................................................. 48 3.3 Critère géométrique de Nyquist :........................................................................... 51 3.3.3 Contour de Nyquist................................................................................................. 51 3.4 Les marges de stabilité :.................................................................................................... 54 4. Exemples :............................................................................................................................ 56 Chapitre 6 : Précision d'un système asservi............................................................................. 57 1. Introduction :............................................................................................................. 57 2. Erreur statique ou erreur de position :....................................................................... 57 3. Erreur de vitesse ou erreur de trainage:..................................................................... 58 5. Tableau récapitulatif:................................................................................................. 59 6. Exemple 1:................................................................................................................. 60 7. Exemple 2 :................................................................................................................ 61 Chapitre 7 : Lieu des racines (Lieu d’EVANS)....................................................................... 62 1. Introduction:.............................................................................................................. 62 3. Règles de tracé du lieu d’Evans................................................................................. 63 4. Exemple1................................................................................................................... 64 5. Exemple 2 :................................................................................................................ 66 Chapitre8 : Correction des systèmes linéaires asservis............................................................ 67 1. Cahier de charge d’un asservissement :..................................................................... 67 2. Principe général de la correction d’un système :....................................................... 67 3. Action correctives élémentaire (P,I,D) :.................................................................... 67 3.1 Correcteur proportionnel :...................................................................................... 68 3.2 Correcteur intégral :............................................................................................... 68 3.3 Correcteur à action dérivée......................................................................................... 69 4 Action proportionnelle intégrale Correcteur à retard de phase.................................. 71 5 Action proportionnelle dérivée –Correcteur à avance de phase................................ 74 2 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Introduction Générale L’objectif du cours est de donner aux étudiants une bonne connaissance des méthodes classiques d'étude des boucles d'asservissement, la modélisation d'un processus physique, l'analyse des performances en boucle ouverte et fermée ainsi que la synthèse des correcteurs. La présentation de cet polycopier respect l’ordre chronologique dans lequel la discipline est en général abordée, et se compose de huit chapitres. Le premier chapitre est consacrée aux quelque rappels nécessaires sur la Transformée de Laplace. Le chapitre 2 présente une introduction sur les asservissements il contient l’ensemble des notions essentielles à l’étude des systèmes asservis : intérêts, notion de systèmes en Boucle Ouverte (BO) et en Boucle Fermée (BF), les asservissements, la représentation générale d’un asservissement, les régulateurs et les systèmes suiveurs. Le troisième chapitre 3 concerne la modélisation des systèmes asservis linéaires, modèles mathématiques : Équations différentielles, pôles et zéros, les réponses fréquentielles (modéliser des systèmes électriques, mécaniques (en translation et rotation), thermiques, fluidiques, et des systèmes mixtes, expliquer les propriétés: linéarité, la causalité, stabilité ; La fonction de transfert, diagrammes fonctionnels et algèbres des diagrammes fonctionnels. On étudie en chapitre 4 les performances des systèmes linéaires : analyse temporelle des systèmes du 1er ordre et du 2e ordre, performances temporelles: temps de montée, temps de réponse, constante du temps, dépassement, le temps de stabilisation, analyse fréquentielle, diagrammes de Bode, de Nyquist et de Black Le chapitre 5 est consacré a l’étude de la Stabilité (définition, explication, critère de Routh, Table de Routh, exemples d’évaluation de la stabilité, les cas particuliers, exemples), ainsi que l’étude des critères de stabilité graphiques (Bode ,Nyquit et black) a travers le critère de Revers (marges de gain et de phases). Dans le chapitre 6, la précision d’un système asservi est détaillée, expression de l’erreur statique, l’erreur en régime permanent, la classe ou le type d’un asservissement (classes 0, 1 et 2), calcul des erreurs correspondant aux entrées canoniques, erreurs de position, de traînage et d’accélération, tableau récapitulatif et conclusions. Le chapitre 7 consacré au lieux des Racines détail de la méthode de construction du lieu de racines, principe de la méthode (Règles pratiques pour la construction et exploitation du lieu des racines, Exemples), règles de construction du lieu (Conditions des angles et des modules, Le nombre des branches, Axe de symétrie, Points de départ et d'arrivée, Directions asymptotiques, parties de l'axe réel appartenant au lieu, points de branchement, Autres propriétés du lieu des racines), application de la méthode sur quelques exemples. 3 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Pour finir, le huitième chapitre c’est des exemples de projet de synthèse (synthèse de correcteurs à avance ou retard de phase, synthèse des régulateurs (les actions Proportionnelle, Intégrale et Dérivée), faire apparaitre leurs influences sur les réponses et l’amélioration des performances des systèmes. Illustration par des exemples. Ce polycopié a été conçu avec le souci de la pédagogie, je formule donc le souhait que tout étudiant en ayant fait l’acquisition puisse y trouver les clés de réussite. 4 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Chapitre1 : Rappels sur la transformée de Laplace 1. Introduction : La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Elle permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui rendent la transformation de Laplace intéressante et populaire auprès des ingénieurs. Cette transformation a donné lieu à la technique du calcul opérationnel ou calcul symbolique qui facilite la résolution des équations différentielles linéaires qui représenteront les systèmes que nous allons étudier. 2. Définition : Considérons une fonction réelle d’une variable réelle s(t) telle que s(t)=0 pour t 𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑝𝑝 (𝑡𝑡) − 𝑠𝑠(𝑡𝑡) < 0.05𝑠𝑠𝑝𝑝 (𝑡𝑡) On applique à l’entrée de ce système un échelon d’amplitude 𝐸𝐸0 , 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐸𝐸0 𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸0 𝑢𝑢(𝑡𝑡) 𝐸𝐸(𝑝𝑝) = (4.5) 𝑝𝑝 31 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O la sortie du système est telle que : 𝐾𝐾𝐸𝐸 0 𝑆𝑆(𝑝𝑝) = 𝐸𝐸(𝑝𝑝)𝑇𝑇(𝑝𝑝) = 𝑃𝑃(1+𝜏𝜏𝜏𝜏) (4.6) 𝑡𝑡 Et par application de TL-1 donc 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝐸𝐸0 (1 − 𝑒𝑒 −𝜏𝜏 ) (4.7) Figure 4.1 : Réponse à un échelon d’un système du premier ordre Sur le tracé ci-dessus (Figure4.1) , on peut noter - 𝑠𝑠(𝜏𝜏) = 0.63 𝐾𝐾𝐸𝐸0 - 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑡𝑡→∞ 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝐸𝐸0 𝐾𝐾𝐸𝐸0 - La tangente à l’origine a une pente de 𝜏𝜏 - Temps de montée ≈ 2𝜏𝜏 - Temps de réponse à 5% ≈ 3𝜏𝜏 𝑠𝑠(𝑡𝑡) On peut tracer la courbe en coordonnées réduites, c'est-à-dire le tracé de 𝑦𝑦 = en fonction 𝐾𝐾 𝐸𝐸0 𝑡𝑡 de 𝑥𝑥 = 𝜏𝜏 qui ne dépend plus de 𝜏𝜏 ni de 𝐾𝐾 ni de l′ amplitude d′ entrée (𝑦𝑦 = 1 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 ) (4.8) 2.2.3 Réponse à une rampe L’entrée est une rampe de pente 𝑎𝑎: 𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡) sa transformée de Laplace est 𝑎𝑎 𝐾𝐾𝐾𝐾 1 𝐸𝐸(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝2 La sortie est donnée par : 𝑆𝑆(𝑝𝑝) =. 1 𝜏𝜏 𝑝𝑝2 (𝑝𝑝+ ) 𝜏𝜏 𝑡𝑡 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾. 𝑎𝑎. (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) + 𝐾𝐾. 𝑎𝑎. 𝜏𝜏. 𝑒𝑒 −𝜏𝜏 (4.9) 32 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Figure 4.2 : Réponse d’un système du premier ordre à une rampe Les caractéristiques de cette réponse sont : - Le régime permanent est 𝑆𝑆𝑝𝑝 (𝑡𝑡) = 𝐾𝐾. 𝑎𝑎. (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) (4.10) - Si 𝐾𝐾 = 1, la sortie 𝑠𝑠(𝑡𝑡) suit l’entrée avec un retard constant (𝜏𝜏) la différence entre la sortie et l’entrée est appelée erreur de traînage et vaut 𝑎𝑎. 𝜏𝜏 - Si 𝐾𝐾 ≠ 1, 𝑠𝑠𝑝𝑝 (𝑡𝑡) et 𝑒𝑒(𝑡𝑡) n’ont pas la même pente. Ils divergent. 2.2.4 Réponse à une impulsion : L’entrée est donnée par 𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸0 𝛿𝛿(𝑡𝑡) En Laplace𝐸𝐸(𝑝𝑝) = 𝐸𝐸0. La sortie est donnée par 𝐾𝐾𝐸𝐸 𝐾𝐾𝐸𝐸0 0 𝑆𝑆(𝑝𝑝) = 1+𝜏𝜏𝜏𝜏 ⇒ 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = (4.11) 𝜏𝜏 Figure4.3 : Réponse d’un système du premier ordre à une impulsion 33 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 2.3 Réponse des systèmes du second ordre 2.3.1 Fonction de transfert L’équation différentielle la plus générale de second ordre est : 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑 2 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑 2 𝑒𝑒(𝑡𝑡) 𝑏𝑏0 𝑠𝑠(𝑡𝑡) + 𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎 0 𝑒𝑒(𝑡𝑡) + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎 2 (4.12) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 Dans ce paragraphe, nous n’étudierons que les systèmes tels que les dérivées de l’entrée n’interviennent pas (𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎1 = 0). La fonction de transfert de ces systèmes peut se mettre sous la forme canonique : 𝐾𝐾 𝑇𝑇(𝑝𝑝) = 2𝜉𝜉𝜉𝜉 𝑝𝑝2 (4.13) 1+ + 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝜔𝜔2𝑛𝑛 Avec 𝐾𝐾 le gain statique du système 1 𝜔𝜔𝑛𝑛 La pulsation naturelle (en rd/s). On pourra poser 𝜏𝜏𝑛𝑛 = 𝜔𝜔. 𝑛𝑛 𝜉𝜉 Le coefficient d’amortissement. 2𝜉𝜉𝜉𝜉 𝑝𝑝2 Si on cherche les pôles de la fonction de transfert : 1 + 𝜔𝜔𝑛𝑛 + 𝜔𝜔2 = 0 𝑛𝑛 ∆′ = 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝜉𝜉 2 − 1 On distingue trois cas possibles : - 𝜉𝜉 > 1 dans ce cas les pôles sont réels : −𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 ∓ 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝜉𝜉 2 − 1 - 𝜉𝜉 = 1 les deux pôles sont égaux et réels. Ils valent −𝜔𝜔𝑛𝑛 - 𝜉𝜉 < 1 les deux pôles sont des complexes conjugués. Ils sont à partie réelle négatives si 𝜉𝜉 > 0 2.3.2 Réponse à un échelon pour 𝝃𝝃 > 1 On parle de système à fort amortissement. Les deux pôles réels p1 et p2 donnent une réponse 𝐸𝐸0 qui sera la somme de deux exponentielles. Pour une entrée 𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸0 𝑢𝑢(𝑡𝑡) → 𝐸𝐸(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝 2 𝐾𝐾𝐸𝐸0 𝜔𝜔𝑛𝑛 la sortie est donnée par : 𝑆𝑆(𝑝𝑝) = (4.14) 𝑝𝑝(𝑝𝑝−𝑝𝑝1 )(𝑝𝑝−𝑝𝑝2 ) 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝜏𝜏1 − 𝜏𝜏2 − 1 1 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝐸𝐸0 1 − 𝜏𝜏 𝑒𝑒 𝜏𝜏1 + 𝜏𝜏 𝑒𝑒 𝜏𝜏2 𝑢𝑢(𝑡𝑡) Avec 𝑝𝑝1 = − 𝜏𝜏 et 𝑝𝑝2 = − 𝜏𝜏 (4.15) 1 −𝜏𝜏2 1 −𝜏𝜏2 1 2 Figure 4.4 : Réponse indicielle d’un second ordre à forte amortissement 34 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Les caractéristiques de cette réponse sont : Le régime permanent est 𝑠𝑠𝑝𝑝 (𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝐸𝐸0 A l’origine, la tangente est horizontale 2.3.3 Réponse à un échelon pour 𝝃𝝃 = 𝟏𝟏 Par rapport au paragraphe précédent, les pôles sont confondus. 𝐾𝐾𝜔𝜔 2 𝑇𝑇(𝑝𝑝) = (𝑝𝑝+𝜔𝜔𝑛𝑛 )2 (4.16) 𝑛𝑛 𝑡𝑡 − 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝐸𝐸0 1 − (1 + 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡)𝑒𝑒 𝜏𝜏𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑡𝑡) (4.17) La courbe de réponse ressemble à la courbe obtenue au paragraphe précédent, mais la croissance est plus rapide. 2.3.4 Réponse à l’échelon pour 𝝃𝝃 < 1 On parle de système à faible amortissement. Les pôles sont complexes conjugués 1 temporelles est : 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝐸𝐸0 [1 − 𝑒𝑒 −𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 1 − 𝜉𝜉 2 𝑡𝑡 + 𝜑𝜑 (4.18) 1−𝜉𝜉 2 1−𝜉𝜉 2 Avec 𝜑𝜑 = 𝜉𝜉 Figure 4.5 : Réponse indicielle d’un second ordre à faible amortissement Les caractéristiques de cette réponse sont : Régime permanent 𝑠𝑠𝑝𝑝 (𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝐸𝐸0 A l’origine, la tangente est horizontale Pulsation propre amortie : 𝜔𝜔𝑝𝑝 = 𝜔𝜔𝑛𝑛 1 − 𝜉𝜉 2 2𝜋𝜋 Pseudo-période des oscillations : 𝑇𝑇𝑝𝑝 = 𝜔𝜔 𝑝𝑝 Temps de montée (temps au bout duquel s(t) atteint pour la première fois 𝑠𝑠𝑝𝑝 (𝑡𝑡)) 35 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 𝑇𝑇𝑝𝑝 𝜑𝜑 𝑡𝑡𝑚𝑚 = 1 − 𝜋𝜋 (4.19) 2 𝑇𝑇𝑝𝑝 𝜋𝜋 Temps de pic 𝑡𝑡𝑝𝑝 = = 𝜔𝜔 2 𝑝𝑝 Temps de réponse à 5% c’est le temps au bout duquel la sortie atteint le régime permanent à 5% près et y reste. L’abaque ci-joint donne ce temps en fonction des caractéristiques de la fonction de transfert. une approximation pour 𝜉𝜉 ≪ 1 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜏𝜏𝑛𝑛 3 𝑡𝑡𝑟𝑟 = 3 = 𝜉𝜉𝜔𝜔 (4.20) 𝜉𝜉 𝑛𝑛 Qui est le temps de réponse de l’enveloppe exponentielle. Le dépassement 𝐷𝐷 = 𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑝𝑝 − 𝐾𝐾𝐸𝐸0 le calcul donne 𝜉𝜉𝜉𝜉 − 1−𝜉𝜉2 𝐷𝐷 = 𝐾𝐾. 𝐸𝐸0 𝑒𝑒 (4.21) On peut aussi définir le dépassement relatif (sans unité) : 𝜉𝜉𝜉𝜉 − 𝐷𝐷 1−𝜉𝜉2 𝐷𝐷𝑟𝑟 = 𝐾𝐾𝐸𝐸 = 𝑒𝑒 (4.22) 0 Dépassement successifs : le rapport entre deux dépassements successifs de même signe peut permettre d’identifier l’amortissement 𝜉𝜉 𝐷𝐷 −2𝜉𝜉𝜉𝜉 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷2 = (4.23) 1 1−𝜉𝜉 2 2.4 Réponse d’un système du second ordre à une rampe 𝑎𝑎 L’entrée est une rampe de pente a, 𝐸𝐸(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝2. On en déduit la sortie 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑆𝑆(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝2 (𝑝𝑝2 +2𝜉𝜉𝜔𝜔 2 (4.24) 𝑛𝑛 𝑝𝑝+𝜔𝜔𝑛𝑛 ) 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝜏𝜏12 − 𝜏𝜏22 − Pour 𝜉𝜉 > 1 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾. 𝑎𝑎 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏1 − 𝜏𝜏2 + 𝜏𝜏 𝑒𝑒 𝜏𝜏1 − 𝜏𝜏 𝑒𝑒 𝜏𝜏2 (4.25) 1 −𝜏𝜏2 1 −𝜏𝜏2 𝜉𝜉𝜉𝜉 − 2𝜉𝜉 𝑒𝑒 𝜏𝜏𝑛𝑛 Pour 𝜉𝜉 < 1 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾. 𝑎𝑎 𝑡𝑡 − 𝜔𝜔 + sin(𝜔𝜔𝑝𝑝 𝑡𝑡 − 𝜓𝜓 (4.26) 𝑛𝑛 𝜔𝜔𝑝𝑝 1−𝜉𝜉 2 Avec 𝜓𝜓 = −2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜉𝜉 Dans les deux cas le régime stationnaire est une droite de pente Ka dans le cas 𝜉𝜉 < 1 Le régime transitoire est oscillant. 36  Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 3. Réponse fréquentielle des systèmes linéaires : L’étude de la réponse en fréquence concerne l’étude de la réponse du système lorsqu’il est soumis aux entrées sinusoïdales de fréquences différentes. La réponse en fréquences peut être regardée de deux manières : par l'intermédiaire du diagramme de Bode ou diagramme de Nyquist. 3.1 Diagramme de BODE: Le diagramme de Bode permet d’étudier la réponse en fréquences d’un système linéaire de fonction de transfert G(p). Pour ce faire, on remplace 𝑝𝑝 par 𝑗𝑗𝑗𝑗, ce qui permet d’écrire la fonction de transfert sous la forme suivante: 𝐺𝐺(𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝐴𝐴(𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜔𝜔). Dans cette expression, on considère le module A(ω ) et l’argument ϕ(ω) de la fonction complexe paramétrée par la pulsation 𝜔𝜔. Le diagramme de Bode est obtenu en traçant (asymptotiquement) les fonctions suivantes de 𝐴𝐴(𝜔𝜔) et ϕ(ω) sur des échelles logarithmiques en abscisse 𝜔𝜔 (Figure 4.6) 𝐴𝐴|𝑑𝑑𝑑𝑑 = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙10 |𝐺𝐺(𝑗𝑗𝑗𝑗)| et 𝜑𝜑 = arg(𝐺𝐺(𝑗𝑗𝑗𝑗) (4.27) 20log(𝐺𝐺(𝜔𝜔)) 20dB 𝐺𝐺(𝜔𝜔) = 10 0 𝜔𝜔 0.01 0.1 1 10 10 1000 - 𝐺𝐺(𝜔𝜔) = 0.1 Figure 4.6 : Echelle logarithmique du diagramme de Bode On notera que l’un des avantages du diagramme de Bode est que le diagramme global est la somme algébrique des digrammes partiels. On donnera quelques exemples de tracés des courbes de Bode. 3.1.1 Exemple 1 On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte : G(p) = p (4.28) Pour étudier la réponse en fréquences de ce système, on remplace 𝑝𝑝 = 𝑗𝑗𝑗𝑗, D’où : G(jω)= jω (4.29) Pour utiliser la représentation de Bode, on cherche les expressions du gain et de la phase de la fonction de transfert. Le gain est : 𝐺𝐺|𝑑𝑑𝑑𝑑 = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙10 |𝑗𝑗𝑗𝑗| ( 4.30) 37 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O D’où : 𝐺𝐺|𝑑𝑑𝑑𝑑 = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙10 𝜔𝜔 (4.31) C’est cette courbe qu’il faut tracer asymptotiquement. Il s’agit d’une droite de pente égale à : +20dB/décade (décade=[𝜔𝜔 10𝜔𝜔]) π La phase est : ϕ =arg(ω ) = arg(∞) = , elle est constante (90°). (4.32) 0 2 La courbe asymptotique est donnée par la figure 4.7 𝐺𝐺𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜔𝜔 𝜑𝜑 90° 𝜔𝜔 Figure 4.7 : Diagramme de Bode asymptotique de G(p)=p 3.1.2 Exemple 2 On considère le système de fonction de transfert : 1 𝐺𝐺(𝑝𝑝) = 1+𝜏𝜏𝜏𝜏 (4.33) 𝜏𝜏 est une constante positive (la constante de temps). 1 𝐺𝐺(𝑗𝑗𝑗𝑗) = 1+𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 (4.34) Le gain en dB 1 G𝑑𝑑𝑑𝑑 = −20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙10 (1 + 𝜏𝜏 2 𝜔𝜔2 ) 2 = −10𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙10 (1 + 𝜏𝜏 2 𝜔𝜔2 ) (4.35) Et la phase : ϕ = − arctan(τω ) ( 4.36) Le diagramme asymptotique est obtenu par le raisonnement suivant. On étudie le gain aux basses fréquences et aux hautes fréquences. Les basses et hautes fréquences sont déterminées par rapport à une fréquence de coupure 𝜔𝜔𝑐𝑐 qui est définie par : 𝜏𝜏𝜔𝜔𝑐𝑐 = 1. --Si 𝜔𝜔 ≪ 𝜔𝜔𝑐𝑐 , le gain en basses fréquences est : G𝑑𝑑𝑑𝑑 =−10log10(1) =0dB. Donc en basse fréquences : de 𝜔𝜔 = 0 jusqu’à 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 le gain en décibel est nul. --Si 𝜔𝜔 ≫ 𝜔𝜔𝑐𝑐 , , le gain en hautes fréquences est : G dB = −20. log10 (τ.ω ). Donc en hautes fréquences : de 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 jusqu’à 𝜔𝜔=infinie, le gain est asymptotiquement linéaire. 38 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O De même, pour le déphasage, --Si 𝜔𝜔 ≪ 𝜔𝜔𝑐𝑐 , le déphasage en basses fréquences est : ϕ =−arg(0)=0°. Donc en basse fréquences : de w=0 jusqu’à 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 , le déphasage en décibel est pratiquement nul. --Si 𝜔𝜔 ≫ 𝜔𝜔𝑐𝑐 , le déphasage en hautes fréquences est : ϕ =−arg(∞)=−90°. Donc en hautes fréquences : de 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 jusqu’à 𝜔𝜔 = infinie, le déphasage est asymptotiquement égale à 90°.. Ayant déterminé le comportement asymptotique, il reste à préciser les valeurs du gain et du déphasage au voisinage de la fréquence de coupure. Ceci est obtenu en posant 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝑐𝑐. On en déduit le gain qui vaut -3 dB. 1 G(ω =ωc )=−20log10(1+τ 2ωc2) 2 =20.log10(2)=−3dB (4.37) Pour le déphasage à la fréquence de coupure, on a: ϕ =−arg(τωc )=−arg(1)=−45°. (4.38) Le diagramme de Bode Asymptotique est donné par la figure 𝐺𝐺𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝜏𝜏 𝜔𝜔 -20dB 𝜑𝜑 𝜔𝜔 -90° Figure 4.7 : Diagramme de Bode asymptotique d’un système du premier ordre 3.1.3 Exemple 3 : Système du second ordre : Soit le système de fonction de transfert : G ( p ) = ω n2 avec 0< ξ 0 Système instable ∆𝐺𝐺 < 0, ∆𝜑𝜑 < 0 Figure 5.13 : stabilité à partir des diagrammes de Bode Remarque : Un système qui a une marge de gain ou une marge de phase positive est un système stable. Un système qui a une marge de gain ou une marge de phase négative est un système instable. Un système qui a une marge de gain ou une marge de phase nulle est un système à la limite de stabilité. Les valeurs usuelles des marges de stabilité permettant un réglage correct des boucles d’asservissement sont : 55 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Marge de gain : 10dB à 15dB Marge de phase: 40° à 45° Lorsque la fonction de transfert en boucle ouverte est explicitement connue, il est possible de déterminer algébriquement les marges de stabilité. Dans le cas contraire, on utilise le tracé expérimental. 4. Exemples : 8.1 Exemple 1 (critère algébrique): En utilisant le critère de ROUTH, discuter la position des racines des polynômes suivants dans le plan complexe ∁ : a) 𝑝𝑝4 + 10𝑝𝑝3 + 35𝑝𝑝2 + 50𝑝𝑝 + 24 = 0 b) 𝑝𝑝3 − 4𝑝𝑝2 − 7𝑝𝑝 + 10 = 0 c) 𝑝𝑝5 + 2𝑝𝑝4 + 15𝑝𝑝3 + 30𝑝𝑝2 − 20𝑝𝑝 − 40 = 0 d) 𝑝𝑝3 − 3𝑝𝑝 + 2 = 0 Exemple 2 (critère algébrique): Soit le polynôme: 𝑝𝑝4 + 𝑝𝑝3 + 𝑝𝑝2 + 𝑝𝑝 + 𝑘𝑘 = 0 Quelle est la condition sur k pour que touts les racines de ce polynôme soient à gauche de plan complexe ∁ ? Exemple 3 (critère graphique): Soit 𝐻𝐻 (𝑝𝑝) la fonction de transfert d’un système asservi en boucle ouverte : 22.8 𝐻𝐻 (𝑝𝑝) = (𝑝𝑝 + 1)(𝑝𝑝 + 2)(𝑝𝑝 + 3) 1) Normaliser 𝐻𝐻 (𝑝𝑝) et tracer sur papier semi-log les courbes de gain et de phase de 𝐻𝐻 (𝑝𝑝) ? 2) Trouver graphiquement la marge de gain et la marge de phase ? 3) Tracer le lieu de transfert de 𝐻𝐻 (𝑝𝑝) dans la plan de Nyquist à partir des courbes de Bode ? 4) Calculer les valeurs précises de MG et Mɸ, est ce que le système est stable ? 56 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Chapitre 6 : Précision d'un système asservi 1. Introduction : Nous supposerons dans l'étude qui suit que les systèmes asservis étudiés sont stables. La précision d'un système est définie à partie de l'erreur entre la grandeur de consigne E et la grandeur de sortie S (Figure 6.1) nous analyserons la précision statique qui caractérise la limite de l'erreur 𝜀𝜀 au bout d'un temps infini pour une entrée donnée, c'est-à-dire le régime permanent. 𝜀𝜀(𝑝𝑝) E(p S(p) G(p) Figure 6.1 Schéma d'un asservissement a retour unitaire 2. Erreur statique ou erreur de position : Soit un système bouclé de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) et de fonction de transfert en boucle fermée H(p). On appelle erreur statique, le paramètre 𝜀𝜀𝑝𝑝 défini par : 𝜀𝜀𝑝𝑝 = lim 𝜀𝜀(𝑡𝑡) lorsque e(t)=u(t) échelon unitaire. 𝑡𝑡→∞ En invoquant le théorème de la valeur finale, on a: 𝜀𝜀𝑝𝑝 = lim 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) = lim 𝑝𝑝[𝐸𝐸(𝑝𝑝) − 𝑆𝑆(𝑝𝑝)] = lim 𝑝𝑝[𝐸𝐸(𝑝𝑝) − 𝐻𝐻(𝑝𝑝)𝐸𝐸(𝑝𝑝)] (6.1) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 Puisque l'entrée est un échelon unitaire, on a 1 𝐻𝐻(𝑝𝑝) 1 𝜀𝜀𝑝𝑝 = lim 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) = lim 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − = lim 1 − 𝐻𝐻(𝑝𝑝) = lim 1+𝐺𝐺(𝑝𝑝) (6.2) 𝑝𝑝→0 𝑛𝑛→∞ 𝑝𝑝 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 Donc 1 𝜀𝜀𝑝𝑝 = (6.3) 1 + lim 𝐺𝐺(𝑝𝑝) 𝑝𝑝→0 lim 𝐺𝐺(𝑝𝑝) = 𝐾𝐾𝑝𝑝 (6.4) 𝑝𝑝→0 Est le coefficient de l'erreur de position 𝐾𝐾 1+𝑎𝑎1 𝑝𝑝+𝑎𝑎2 𝑝𝑝+⋯.. Soit 𝐺𝐺(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝𝑛𝑛 1+𝑏𝑏1 𝑝𝑝+𝑏𝑏2 𝑝𝑝+⋯ n est appeler la classe du système Pour n=0 le système de classe 0, 𝐾𝐾𝑝𝑝 = lim 𝐺𝐺(𝑝𝑝) = 𝐾𝐾 le gain statique de F.T.B.O 𝑝𝑝→0 Donc 57 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 1 𝜀𝜀𝑝𝑝 = (6.5) 1 + 𝐾𝐾 Nous pouvons en conclure que la précision est d'autant meilleure que le gain statique est important. Remarque : Pour un système de classe 1 et plus l'erreur de position est nulle. Cela revient à dire que de tels systèmes sont caractérisés par une précision statique parfaite. 3. Erreur de vitesse ou erreur de trainage: Soit un système bouclé de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) et de fonction de transfert en boucle fermée H(p). On appelle erreur de vitesse ou erreur de trainage, le paramètre 𝜀𝜀𝑣𝑣 défini par : 𝜀𝜀𝑣𝑣 = lim 𝜀𝜀(𝑡𝑡) lorsque e(t)=t rampe unitaire 𝑡𝑡→∞ En invoquant le théorème de la valeur finale, on a: 𝜀𝜀𝑣𝑣 = lim 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) = lim 𝑝𝑝[𝐸𝐸(𝑝𝑝) − 𝑆𝑆(𝑝𝑝)] = lim 𝑝𝑝[𝐸𝐸(𝑝𝑝) − 𝐻𝐻(𝑝𝑝)𝐸𝐸(𝑝𝑝)] (6.6) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 Puisque l'entrée est une rampe unitaire, on a 1 𝐻𝐻(𝑝𝑝) 1 − 𝐻𝐻(𝑝𝑝) 1 1 𝜀𝜀𝑣𝑣 = lim 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) = lim 𝑝𝑝 2 − 2 = lim = lim = lim 𝑝𝑝→0 𝑛𝑛→∞ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) Donc 1 𝜀𝜀𝑣𝑣 = lim (6.7) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) Avec 1 𝐾𝐾𝑣𝑣 = lim 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) ⇒ 𝜀𝜀𝑣𝑣 = 𝐾𝐾 (6.8) 𝑝𝑝→0 𝑣𝑣 𝐾𝐾𝑣𝑣 : Le coefficient de l'erreur de vitesse Pour un système de classe 0 l'erreur de vitesse 𝜀𝜀𝑣𝑣 → ∞ 1 Pour un système de classe 1 l'erreur de vitesse 𝜀𝜀𝑣𝑣 = 𝐾𝐾 Pour un système de classe > 1 l'erreur de vitesse 𝜀𝜀𝑣𝑣 = 0 4. Erreur d'accélération : Soit un système bouclé de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) et de fonction de transfert en boucle fermée H(p). On appelle erreur d'accélération, le paramètre 𝜀𝜀𝑎𝑎 défini par : 𝜀𝜀𝑎𝑎 = lim 𝜀𝜀(𝑡𝑡) lorsque e(t)=t2 parabole unitaire 𝑡𝑡→∞ 58 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O En invoquant le théorème de la valeur finale, on a: 𝜀𝜀𝑎𝑎 = lim 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) = lim 𝑝𝑝[𝐸𝐸(𝑝𝑝) − 𝑆𝑆(𝑝𝑝)] = lim 𝑝𝑝[𝐸𝐸(𝑝𝑝) − 𝐻𝐻(𝑝𝑝)𝐸𝐸(𝑝𝑝)] (6.9) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 Puisque l'entrée est une parabole unitaire, on a 1 𝐻𝐻(𝑝𝑝) 𝜀𝜀𝑎𝑎 = lim 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) = lim 𝑝𝑝 3 − 3 𝑝𝑝→0 𝑛𝑛→∞ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 1 − 𝐻𝐻(𝑝𝑝) 1 1 = lim 2 = lim 2 2 = lim 2 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 𝐺𝐺(𝑝𝑝) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝 𝐺𝐺(𝑝𝑝) Donc 1 𝜀𝜀𝑎𝑎 = lim (6.10) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝 2 𝐺𝐺(𝑝𝑝) Avec 1 𝐾𝐾𝑎𝑎 = lim 𝑝𝑝2 𝐺𝐺(𝑝𝑝) ⇒ 𝜀𝜀𝑎𝑎 = 𝐾𝐾 ( 6.11) 𝑝𝑝→0 𝑎𝑎 𝐾𝐾𝑣𝑣 : Le coefficient de l'erreur d'accélération. Pour un système de classe 0 l'erreur d'accélération 𝜀𝜀𝑎𝑎 → ∞ Pour un système de classe 1 l'erreur d'accélération 𝜀𝜀𝑎𝑎 → ∞ 1 Pour un système de classe 2 l'erreur d'accélération 𝜀𝜀𝑎𝑎 = 𝐾𝐾 Pour un système de classe >2 l'erreur d'accélération 𝜀𝜀𝑎𝑎 =0 5. Tableau récapitulatif: Classe 𝑲𝑲𝒑𝒑 𝑲𝑲𝒗𝒗 𝑲𝑲𝒂𝒂 𝜺𝜺𝒑𝒑 𝜺𝜺𝒗𝒗 𝜺𝜺𝒂𝒂 0 K 0 0 𝟏𝟏 ∞ ∞ 𝟏𝟏 + 𝑲𝑲 1 ∞ K 0 0 𝟏𝟏 ∞ 𝑲𝑲 2 ∞ ∞ K 0 0 𝟏𝟏 𝑲𝑲 3 ∞ ∞ ∞ 0 0 0 4 ∞ ∞ ∞ 0 0 0 Tableau 6.1 : Tableau récapitulatif 59 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 6. Exemple 1: Soit le système asservi suivant : E + S H(p) - Figure 6.2 : système en boucle fermée On donne la fonction de transfert en BF 𝐾𝐾 𝐹𝐹(𝑝𝑝) = 𝑀𝑀𝑝𝑝2 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝐾𝐾 1) Quelle est la classe de ce système ? 2) Si l’entée du système est une rampe de pente 1, calculer l’erreur en fonction de K, M et N. Commenter vos résultats? 3) Confirmer vos résultats en utilisant les constantes d’erreurs ? 𝐻𝐻(𝑝𝑝) 𝐾𝐾 Solution : 𝐹𝐹(𝑝𝑝) = 1+𝐻𝐻(𝑝𝑝) = 𝑀𝑀𝑝𝑝2 +𝑁𝑁𝑁𝑁+𝐾𝐾 → 𝐻𝐻(𝑝𝑝)𝑀𝑀𝑝𝑝2 + 𝐻𝐻(𝑝𝑝)𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝐻𝐻(𝑝𝑝)𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 + 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑝𝑝) 𝐾𝐾 → 𝐻𝐻(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝(𝑀𝑀𝑀𝑀+𝑁𝑁) Donc le système est de classe 1 ; l’erreur de position sera nulle et l’erreur de vitesse=cte. 1 2) l’entée du système est une rampe de pente 1 c.à.d. 𝐸𝐸(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝2 𝜀𝜀(𝑝𝑝) 1 1 𝑀𝑀𝑝𝑝2 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 → = = = 𝐸𝐸(𝑝𝑝) 1 + 𝐻𝐻(𝑝𝑝) 1 + 𝐾𝐾 𝑀𝑀𝑝𝑝2 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝐾𝐾 𝑝𝑝(𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝑁𝑁) 1 𝑀𝑀𝑝𝑝2 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝜀𝜀𝑣𝑣 (𝑝𝑝) =. (6.14) 𝑝𝑝2 𝑀𝑀𝑝𝑝2 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝐾𝐾 𝑁𝑁 𝜀𝜀𝑣𝑣 (𝑡𝑡 → ∞) = lim 𝑝𝑝. 𝜀𝜀𝑣𝑣 (𝑝𝑝) = 𝐾𝐾 𝑝𝑝→0 La valeur de l’erreur ne dépend pas de M. Pour diminuer la valeur de l’erreur on ne peut qu’agir sur la valeur de N et K (augmenter K, diminuer N). 3) Pour confirmer notre résultats on utilise la constante d’erreur 𝐾𝐾𝑣𝑣 : 𝐾𝐾 𝐾𝐾 𝐾𝐾𝑣𝑣 = lim 𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑝𝑝) = lim 𝑝𝑝 𝑝𝑝(𝑀𝑀𝑀𝑀+𝑁𝑁) = 𝑁𝑁 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 60 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 7. Exemple 2 : Un système asservi à retour unitaire et sa fonction de transfert en boucle ouverte H(p) (H(p) est quelconque). E + H(p) S - On applique à l’entrée de ce S.A une commande de la forme 𝛾𝛾 𝑒𝑒(𝑡𝑡 ) = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝑡𝑡 2 2 1) Donner l’expression de l’erreur en fonction de H(p) et des constantes d’erreurs, quand t ∞. 2) Quelle est la classe du système pour que l’erreur soit 𝜀𝜀 ≠ ∞ Solution : 1) l’expression de l’erreur en fonction de H(p) : 𝛾𝛾 L’entrée du système est : 𝑒𝑒(𝑡𝑡 ) = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝑡𝑡 2. 2 L’entrée est la somme d’une constante, d’une rampe et d’une parabole donc l’erreur sera la somme des erreurs comme la suite : 𝛼𝛼 𝛽𝛽 𝛾𝛾 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀𝑝𝑝 + 𝜀𝜀𝑣𝑣 + 𝜀𝜀𝑎𝑎 Alors 𝜀𝜀(𝑡𝑡)𝑡𝑡→∞ = + + 1+𝐾𝐾𝑝𝑝 𝐾𝐾𝑣𝑣 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛼𝛼 𝛽𝛽 𝛾𝛾 𝜀𝜀(𝑡𝑡)𝑡𝑡→∞ = + + 1 + lim 𝐻𝐻(𝑝𝑝) lim𝑝𝑝 𝐻𝐻(𝑝𝑝) lim 𝑝𝑝2 𝐻𝐻(𝑝𝑝) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 2) pour que l’erreur soit ≠∞ : Il faut que H(p) soit de classe 2 61 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Chapitre 7 : Lieu des racines (Lieu d’EVANS) 1. Introduction: Les propriétés caractéristiques d'un système asservi sont directement liées à la position des pôles et des zéros de la fonction de transfert en boucle fermée dans le plan complexe. La technique du lieu d'Evans introduite par (W.R.EVANS 1950) permet de voir l'influence d'un gain K intervenant dans la chaîne directe sur l'évolution de la position des pôles dans le plan complexe. De ce fait cette méthode permet de tracer les racines de l’équation caractéristique pour tout valeur du paramètre de réglage (K varie de 0 → ∞). 2. Constitution de lieu d'Evans: a. Généralités : Si l’équation caractéristique est de degré n, elle à n racines, qui peuvent être réelles ou complexes. Par conséquences, le lieu comprend n branches, chacune d’elles correspondante à une racine de l’équation caractéristique. Puisque les racines réelles sont représentées par des points de l’axe réel, les branches correspondant aux racines seront des portions de l’axe réel. Puisque les coefficients de l’équation caractéristique sont réels, les racines imaginaires sont groupées par couples, et les branches du lieu correspondant aux racines sont symétriques par rapport à l’axe réel. Le lieu d’Evans tout entier est, par conséquent, symétrique par rapport à l’axe du réel. L’équation caractéristique 1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑝𝑝) = 0 ( 7.1) 𝑁𝑁(𝑝𝑝) Avec 𝐺𝐺(𝑝𝑝) = 𝐷𝐷(𝑝𝑝) FTBO 𝑁𝑁(𝑝𝑝) = 𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑚𝑚 + 𝑎𝑎𝑚𝑚−1 𝑝𝑝𝑚𝑚−1 +.. +𝑎𝑎0 𝑝𝑝0 (7.2) 𝐷𝐷(𝑝𝑝) = 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛−1 𝑝𝑝𝑛𝑛−1 +.. +𝑏𝑏0 𝑝𝑝0 (7.3) Les racines de N(p) sont les zéros de la FTBO (KG(p)) Les racines de D(p) sont les pôles de la FTBO (KG(p)) 𝐸𝐸(𝑝𝑝) 𝑆𝑆(𝑝𝑝) K G(p) Figure 7.1 : Schéma fonctionnel d’un asservissement en boucle f é 62  Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 3. Règles de tracé du lieu d’Evans Nous allons indiquer les règles principales utilisées pour le tracé des lieux d'Evans : a. Points de départs (k=0): 𝐷𝐷(𝑝𝑝) + 𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑝𝑝) = 0 (7.4) 𝐷𝐷(𝑝𝑝) = 0 Sont les pôles de FTBO b. Points d’arrivées (𝑲𝑲 → ∞) 𝑁𝑁(𝑝𝑝) = 0 Sont les zéros de la FTBO c. Le nombre de branches ou directions asymptotique 𝒏𝒏 − 𝒎𝒎 d. Les branches asymptotiques présentent des déviations 𝝋𝝋𝒊𝒊 𝜋𝜋(2𝜆𝜆+1) 𝜑𝜑𝑖𝑖 = ± 𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝜆𝜆 = 1,2,3, …. (7.5) N.B 𝜆𝜆 = 0 Correspond à l’asymptote avec la plus faible déviation par rapport à l’axe des réels, bien que 𝜆𝜆 est supposé évolué (𝜆𝜆 ↗ ) l’angle de déviation se répète. e. Les branches asymptotiques se rejoignent sur l’axe des réels au point de l’abscisse 𝒙𝒙𝒊𝒊 telle que : ∑ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺(𝑝𝑝) − ∑ 𝑧𝑧é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺(𝑝𝑝) 𝑥𝑥𝑖𝑖 = (7.6) 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 f. Les branches du lieu sur l’axe réel : Elle sont déterminées par le lieu entre les pôles et les zéros de la FTBO pour cela, positionner un point de test entre chaque pôles et zéros de l’axe des réels, puis calculer le nombre de pôles et zéros réels à droite de ce point de test si ce nombre est impair ce point de test appartient au lieu et sinon le point de test n’appartient pas au lieu. g. Points de séparations et de rencontre Figure 7.2 : Les points de séparations et de rencontres 63  Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Les points de séparations et de rencontres ont pour abscisses : 1 1 = (7.7) 𝜎𝜎 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝜎𝜎 − 𝑧𝑧𝑖𝑖 h. Intersection du lieu avec l’axe des imaginaires : Les points d’intersection du lieu avec l’axe 𝑗𝑗𝑗𝑗 peuvent être déterminés facilement soit en utilisant le critère de stabilité de ROUTH, soit en posant 𝑝𝑝 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 dans l’équation caractéristique, en égalant les parties imaginaires et réelle de cette équation à zéro, et en calculant 𝜔𝜔et 𝐾𝐾. Les couples de valeurs ((𝜔𝜔, 𝐾𝐾) trouvés donnent les fréquences et les gains pour lesquelles le lieu coupe l’axe imaginaire. i. Angles de départs (d’arrivées) du lieu des racines à partir des pôles complexes (zéros complexes : Figure 7.3 : Angle de départ à partir d’un pôle complexe Angle de départ d’un pôle complexe=180°- (∑ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐é 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 ) + (∑ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐é 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) (7.8) Angle de d’arrivée d’un zéros complexe=180°- (∑ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑧𝑧é𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐é 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑧𝑧é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ) + (∑ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑧𝑧é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐é 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) (7.9) 4. Exemple1 Soit la fonction de transfert en boucle ouverte : 𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑝𝑝) = (7.10) 𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 2)(𝑝𝑝 + 4) 64 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Tracer du lieu des pôles : 1- les points de départs et d’arrivées : On à 3 points de départ (les pôles du FTBO) : 𝑝𝑝1 = 0 ; 𝑝𝑝2 = −2 ; 𝑝𝑝3 = −4. Il n’y a pas des points d’arrivée (les zéros du FTBO) 2-Directions asymptotiques: 𝜋𝜋(2𝜆𝜆 + 1) 𝜑𝜑𝑖𝑖 = ± 𝜆𝜆 = 1,2,3, …. (7.11) 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 𝜋𝜋 3 𝜑𝜑𝑖𝑖 = 𝜋𝜋 𝜋𝜋 −3 3- Intersection des asymptotes avec l’axe Réel : ∑𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑗𝑗 𝑝𝑝𝑗𝑗 − ∑𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 −2 − 4 𝑥𝑥 = = = −2 (7.12) 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 3 4- Portion de l’axe Réel qui appartient au lien : On laisse un nombre impair de pôle et de zéro à droite on obtient : La portion [-2,0] 5- Intersection du lien avec l’axe Réel : 1 1 = (7.13) 𝑥𝑥 − 𝑝𝑝𝑗𝑗 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑖𝑖 1 1 1 −0,845 ↔ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥+2 + 𝑥𝑥+4 = 0 ↔ 3𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 8 = 0 ↔ 𝑥𝑥 = −3,154 Le point d’intersection est 𝑥𝑥 = −0,845 ; puisque l’autre valeur n’appartient pas au lien. 6- Intersection du lien avec l’axe imaginaire : On fait l’égalité avec 0 du polynôme caractéristique de la fonction de transfert en boucle fermé : 𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 2)(𝑝𝑝 + 4) + 𝑘𝑘 = 0 ↔ 𝑝𝑝3 + 6𝑝𝑝2 + 8𝑝𝑝 + 𝐾𝐾 = 0 ↔−𝑗𝑗𝑤𝑤 3 − 6𝑤𝑤 2 + 8𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑘𝑘 = 0 −𝑗𝑗𝑤𝑤 3 + 8𝑗𝑗𝑗𝑗 = 0 𝑤𝑤 2 = 8 ↔ ↔ −6𝑤𝑤 2 + 𝑘𝑘 = 0 𝑘𝑘 = 𝐾𝐾𝑙𝑙 = 48 65 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 𝑗𝑗𝑗𝑗 w = √8 et 𝐾𝐾𝑙𝑙 = 48 𝐾𝐾 = 0 𝐾𝐾 = 0 𝐾𝐾 = 0 Re -4 -2 -0,845 𝐾𝐾 Figure 7.4 : Lieu d’Evans de la FT :𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝(𝑝𝑝+2)(𝑝𝑝+4) 5. Exemple 2 : Soit la fonction de transfert suivante : 𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 (𝑝𝑝) = 𝑝𝑝(𝑝𝑝2 + 6𝑝𝑝 + 25) 1) Tracer son lieu des pôles ? 2) Préciser les valeurs de 𝐾𝐾 et 𝜔𝜔 à la limite de la stabilité ? 3) Préciser les angles aux points de départ ? 66 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Chapitre8 : Correction des systèmes linéaires asservis (Exemples de projet de synthèse) 1. Cahier de charge d’un asservissement : En règle générale, le cahier de charge d’une boucle de régulation impose en boucle fermée quatre performances : La précision (𝜀𝜀𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜀𝜀𝑣𝑣 ) La rapidité (𝑡𝑡𝑚𝑚 < 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) La marge de stabilité (∆𝜑𝜑 > 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) La limitation du dépassement (𝑑𝑑% < 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) 2. Principe général de la correction d’un système : L’idée consiste à introduire dans la chaine directe, en amont du système 𝐴𝐴(𝑝𝑝), un dispositif supplémentaire de fonction de transfert 𝐶𝐶(𝑝𝑝), appelé correcteur et dont le rôle essentiel doit consister à modifier les performances du système initial. E(p) 𝜺𝜺(𝒑𝒑) S(p) C(p) A(p) B(p) Figure8.1 : Schéma général d’une boucle de régulation Tout l’art de la correction des systèmes consiste à choisir la bonne fonction de transfert 𝐶𝐶(𝑝𝑝) pour ce correcteur de manière à régler chaque performance sur sa valeur requise sans perturber, bien sûr, le fonctionnement du système. 3. Action correctives élémentaire (P,I,D) : Il existe trois actions correctives élémentaires qui permettent, individuellement, de corriger telle ou telle performance. Elles sont relativement simples à réaliser mais en général, dégrade d’autre performances, elles sont utilisables lorsque le cahier de charge est peut exigeant. Dans le cas contraire il faut envisager de combiner ces différentes actions au sain d’un correcteur plus complexe. 67 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 3.1 Correcteur proportionnel : Le correcteur est un simple amplificateur de gain réglable 𝐶𝐶(𝑝𝑝) = 𝐾𝐾 qui a pour mission de modifier le gain statique initial du système. Si K1, on améliore la rapidité et la précision du système en boucle fermée mais on diminue la stabilité, et on accroît son dépassement. 3.2 Correcteur intégral : 3.2.1 Définition : Le correcteur est un intégrateur de fonction de transfert : 𝐶𝐶(𝑝𝑝) = 1 𝑝𝑝 qui a pour mission d’ajouter un pôle nul à la fonction de transfert en boucle ouverte (Nous savons déjà qu’un système dont la FTBO possède un pôle nul sera caractérisé par une erreur de position nulle) Le correcteur à action intégrale est donc censé améliorer la précision du système asservi. 3.2.2 Influence sur les autres performances : Les modifications apportées à la fonction de transfert modifient sans aucun doute les autres performances du système. Considérons un système quelconque de fonction de transfert en boucle ouverte 𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝑝𝑝) , les graphes représentent respectivement : 𝐺𝐺𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝜔𝜔) (8.1) 𝜑𝜑𝑖𝑖 (𝜔𝜔) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝑗𝑗𝑗𝑗) (8.2) Et les graphes correspond à la fonction de transfert corrigée de déduisent facilement des graphes initiaux (voir figure8.2)) 𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝜔𝜔) 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑐𝑐 (𝜔𝜔) = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝜔𝜔) − 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (8.3) 𝜔𝜔 𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝜔𝜔) 𝜋𝜋 𝜑𝜑𝑐𝑐 (𝜔𝜔) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐺𝐺𝑐𝑐 (𝜔𝜔) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜑𝜑𝑖𝑖 (𝜔𝜔) − (8.4) 𝑗𝑗𝑗𝑗 2 On passe donc de la courbe de gain initiale 𝐺𝐺𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 à la courbe corrigée 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 en « retranchant » à chaque segment l’équivalent d’un segment de pente , autrement dit en décrémentant chaque pente initiale d’une unité, à la pulsation 𝜔𝜔 = 10, le gain à chuté de 𝜋𝜋 20dB. Le diagramme de phase, quant à lui, est translaté de 2 vers le bas. 68 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) 𝐺𝐺𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 20dB 𝜔𝜔𝑐𝑐0 𝜔𝜔 1 10 𝜑𝜑(𝜔𝜔) 𝜔𝜔 − 𝜋𝜋⁄2 −𝜋𝜋 ∆𝜑𝜑 Figure 8.2 : Influence d’un intégrateur sur les performances On remarque que la pulsation de coupure à 0dB diminue 3 Compte tenus que : 𝑡𝑡𝑚𝑚 ≈ 𝜔𝜔 (8.5) 𝑐𝑐0 On peut en déduire que le temps de montée augmente, l’intégrateur aura donc tendance de ralentir le système en boucle fermée. De plus, la marge de phase à diminuer, la stabilité et la limitation du dépassement se trouve dégradées. En conclusion seule la précision du système est améliorée par l’introduction d’un correcteur à action intégrale, toutes les autres performances sont diminuées. 3.3 Correcteur à action dérivée Le correcteur est un dérivateur de fonction de transfert 𝐶𝐶(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝 (8.6) Qui à pour mission d’ajouter un zéros nul à la fonction de transfert en boucle ouverte. L’action de ce correcteur et l’inverse de celle de l’intégrateur. 69 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) 𝐺𝐺𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 20dB 𝜔𝜔𝑐𝑐0 𝜔𝜔 1 10 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜑𝜑(𝜔𝜔) + 𝜋𝜋⁄2 𝜔𝜔 ∆𝜑𝜑 −𝜋𝜋 Figure 8.3 : influence d’un intégrateur sur les Considérons à nouveau un système quelconque de fonction de transfert en boucle ouverte 𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝑝𝑝) , les graphes représentent respectivement : 𝐺𝐺𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝜔𝜔) (8.7) 𝜑𝜑𝑖𝑖 (𝜔𝜔) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝑗𝑗𝑗𝑗) (8.8) Et les graphes correspond à la fonction de transfert corrigée de déduisent facilement des graphes initiaux (voir figure3) 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑐𝑐 (𝜔𝜔) = 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝜔𝜔))=20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝜔𝜔) + 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (8.9) 𝜋𝜋 𝜑𝜑𝑐𝑐 (𝜔𝜔) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐺𝐺𝑐𝑐 (𝜔𝜔) = arg 𝜔𝜔𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝜔𝜔) = 𝜑𝜑𝑖𝑖 (𝜔𝜔) + 2 (8.10) On passe donc de la courbe de gain initiale 𝐺𝐺𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 à la courbe corrigée 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 en « ajoutant » à chaque segment l’équivalent d’un segment de pente 1, autrement dit en incrémentant chaque pente initiale d’une unité, à la pulsation 𝜔𝜔 = 10, le gain à augmenté de 20dB. Le 𝜋𝜋 diagramme de phase, quant à lui, est translaté de 2 vers le haut. 70 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 3 On remarque que la pulsation de coupure à 0dB augmente, Compte tenus que 𝑡𝑡𝑚𝑚 ≈ 𝜔𝜔 𝑐𝑐0 On peut en déduire que le temps de montée diminue, le dérivateur aura donc tendance d’accélérer le système en boucle fermée. L’augmentation de 𝜔𝜔𝑐𝑐0influe également sur la marge de phase mais cette influence dépond de l’ordre du système (peut rendre le système instable). La précision du système, liée au gain statique va être dégradée par l’action dérivée puisque le gain en basse fréquence diminue fortement en conclusion seule la rapidité du système est améliorée par l’introduction d’un correcteur à action dérivée. 4 Action proportionnelle intégrale Correcteur à retard de phase 4.1 Définition : Le correcteur à retard de phase est un correcteur qui, comme son nom ne l’indique pas, permet d’augmenter le gain uniquement aux basses fréquences. Il sera donc utilisé pour améliorer la précision d’un système asservi Sa fonction de transfert est : 𝑎𝑎(1 + 𝑇𝑇𝑇𝑇) 𝐶𝐶(𝑝𝑝) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 > 1 (8.11) 1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 Pour mieux comprendre l’action de ce correcteur, traçons son diagramme de Bode. Il ya deux pulsation de coupure 1 𝑇𝑇 𝑒𝑒𝑒𝑒 1 𝑎𝑎𝑎𝑎 Telles que : 1 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 1 𝑇𝑇 𝑎𝑎√1+𝑇𝑇 2 𝜔𝜔2 On a 𝐶𝐶(𝜔𝜔) = √1+𝑎𝑎2 (8.12) 𝑇𝑇 2 𝜔𝜔2 Et 𝜑𝜑(𝜔𝜔) = arctan 𝑇𝑇𝑇𝑇 − arctan 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (8.13) Lorsque 𝜔𝜔 → 0 , on a 𝐶𝐶(𝜔𝜔) → 𝑎𝑎 (8.14) Lorsque 𝜔𝜔 → ∞, on a 20 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) → 0𝑑𝑑𝑑𝑑 (8.15) 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 20𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜔𝜔 1 10 0 1 1 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑇𝑇 𝜑𝜑(𝜔𝜔) 𝜔𝜔 𝜑𝜑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜋𝜋 − 2 71 Figure 8.4 : Diagramme de Bode d’un correcteur à retard de phase Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O L’examen du diagramme de Bode nous permet de prévoir l’action de ce correcteur. Lorsque celui-ci sera placé en cascade avec le système à corriger, dans la chaine directe les deux diagrammes de Bode s’additionnerons le gain statique et donc bien augmenté de 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 , ce qui améliore la précision , en réglant le paramètre T, sur une valeur suffisamment faible, cette correction n’a d’influence qu’aux basses fréquences, le gain en hautes fréquences n’est pratiquement pas affecté. Le déphasage négatif supplémentaire introduit par le correcteur se situe également aux basses fréquences. Il n’a donc pas d’influence sur la marge de stabilité. Pour régler le correcteur à retard de phase, on choisira la valeur de a qui permet d’obtenir le 1 gain statique résultant voulu et on choisira ensuite T de sorte que 𝑇𝑇 ≪ 𝜔𝜔𝑐𝑐0 4.1 Exemple : Considérons un système de fonction de transfert 𝐺𝐺(𝑝𝑝) placé dans une boucle à retour unitaire, 𝐾𝐾 𝐺𝐺(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝 (8.16) (1+ )3 10 Le paramètre𝐾𝐾, gain statique du système en boucle ouverte est positif et réglable, on souhaite que le système présente en boucle fermée une erreur de position 𝜀𝜀𝑝𝑝 = 5% , tout en ayant une marge de phase ∆𝜑𝜑 = 45° On commence par régler 𝐾𝐾 pour satisfaire à la condition sur la marge de phase : 𝐾𝐾 Comme 𝐺𝐺(𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑗𝑗𝑗𝑗 3 (8.17) (1+ ) 10 𝜔𝜔𝑐𝑐0 𝜋𝜋 On a: ∆𝜑𝜑 = 𝜋𝜋 − 3 arctan = (8.18) 10 4 Soit 𝜔𝜔𝑐𝑐0 = 10 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 (8.19) 𝐾𝐾 On a donc 𝐺𝐺(𝜔𝜔𝑐𝑐0 ) = 3 (8.20) 𝜔𝜔 2 1+ 𝑐𝑐0 100 3 D’où 𝐾𝐾 = √2 = 2.8 ⇒ 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 8.9𝑑𝑑𝑑𝑑 (8.21) Calculons à présent l’erreur de position obtenue en boucle fermée dans ces conditions : 𝐾𝐾 𝜀𝜀𝑝𝑝 = lim [1 − 𝐻𝐻(𝑝𝑝)] = lim 1 − (8.22) 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝→0 𝑝𝑝 3 𝐾𝐾 + 1 + 10 1 Soit 𝜀𝜀𝑝𝑝 = 1+𝐾𝐾 = 0.26 = 26% (8.23) 72 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O La précision constatée ne satisfait pas le cahier de charge, pour obtenir une erreur de position de 5% il est nécessaire de disposer d’un gain statique 𝐾𝐾 ′ tel que : 1 𝜀𝜀𝑝𝑝 = = 0.05 ⇒ 𝐾𝐾 ′ = 19 ⇒ 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐾𝐾 ′ = 25.6𝑑𝑑𝑑𝑑 (8.24) 1 + 𝐾𝐾′ Introduisons un correcteur à retard de phase dans la chaine directe (voir figure) E(p) 𝜀𝜀(p) S(p) C(p) G(p) Figure 8.5: Introduction d’un correcteur à retard de phase dans la chaine directe 𝑎𝑎(1 + 𝑇𝑇𝑇𝑇)) 𝐶𝐶(𝑝𝑝) = (8.25) 1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 La nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte est : 𝑎𝑎(1 + 𝑇𝑇𝑇𝑇)) 2.8 𝐺𝐺𝑐𝑐 (𝑝𝑝) = 𝐶𝐶(𝑝𝑝)𝐺𝐺(𝑝𝑝) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 > 1 (8.26) 1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 3 1 + 10 Le nouveau gain statique est : 𝐾𝐾 ′ = 2.8𝑎𝑎 (8.27) Par conséquence il faut régler le paramètre a de sorte que : 19 𝑎𝑎 = = 6.8 ⇒ 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 16.7𝑑𝑑𝑑𝑑 (8.28) 2.8 1 Il suffit pour finir, de choisir T de manière à ce que 𝑇𝑇 soit très inférieur à la pulsation de coupure à 0dB 6.8(1+10𝑝𝑝)) On a finalement : 𝐶𝐶(𝑝𝑝) = (8.29) 1+68𝑝𝑝 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) 25.6dB 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) 16.7dB 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑐𝑐 (𝜔𝜔) 𝜔𝜔 0.015 0.1 1 10 -3 73 Figure 8.6 : Diagramme de Bode corrigé en basse fréquence Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 5 Action proportionnelle dérivée –Correcteur à avance de phase 5.1 Définition : Le correcteur à avance de phase, est un correcteur qui, comme son non l’indique, permet d’augmenter la marge de phase d’un système, il s’agit de compenser un trop faible déphasage autour de la pulsation de coupure à 0dB. On prend : 1+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐶𝐶(𝑝𝑝) = 1+𝑇𝑇𝑇𝑇 avec 𝑎𝑎 > 1 (8.30) Pour mieux comprendre l’action de ce correcteur, traçant le diagramme de Bode. Il ya deux pulsation de coupure : 1 𝑇𝑇 𝑒𝑒𝑒𝑒 1 𝑎𝑎𝑎𝑎 avec : 1 < 1 (8.31) 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑇𝑇 √1+𝑎𝑎2 𝑇𝑇 2 𝜔𝜔2 On a 𝐶𝐶(𝜔𝜔) = et 𝜑𝜑(𝜔𝜔) = arctan 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (8.32) √1+𝑇𝑇 2 𝜔𝜔2 Lorsque 𝜔𝜔 → 0 ⇒ 𝐶𝐶(𝜔𝜔) → 1 Lorsque 𝜔𝜔 → ∞ ⇒ 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) → 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 L’intérêt de ce correcteur est visible sur son diagramme de phase : à la pulsation 1 𝜔𝜔𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (8.33) 𝑇𝑇√𝑎𝑎 Présente un maximum que nous pouvons facilement calculer : 𝑎𝑎−1 𝜑𝜑𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎+1 (8.34) 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) 1 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜔𝜔 1 1 𝑇𝑇 𝜑𝜑(𝜔𝜔) 𝜋𝜋 2 𝜑𝜑𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝜔𝜔 𝜔𝜔𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Figure8.7 : Diagramme de Bode d’un correcteur à avance de phase 74 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O Le principe de l’action corrective consiste à faire coïncider 𝜔𝜔𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 avec la pulsation de coupure à 0dB 𝜔𝜔𝑐𝑐0 du système à corriger et à régler 𝜑𝜑𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 que l’on appelle la remontée de phase, de manière à obtenir la marge de phase voulue. 5.2 Exemple : Considérons un système de fonction de transfert 𝐺𝐺(𝑝𝑝) placé dans une boucle à retour unitaire, avec : 100 𝐺𝐺(𝑝𝑝) = (8.35) (𝑝𝑝 + 1)2 On souhaite corriger ce système de manière à ce que la marge de phase soit égale à 45°. Calculerons sa marge de phase avant correction : On a 100 𝐺𝐺(𝜔𝜔) = =1 (8.36) 1 + 𝜔𝜔 2 D’où 𝜔𝜔𝑐𝑐0 = √99 = 0.95 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 ⇒ ∆𝜑𝜑 = 𝜋𝜋 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝜔𝜔𝑐𝑐0 = 0.2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 11° La marge de phase est insuffisante. Pour la corriger, nous devons procéder à une remontée de phase de 34° à la pulsation𝜔𝜔𝑐𝑐0. On introduit donc un correcteur à avance de phase que l’on règle de manière à ce que : 1 𝑎𝑎−1 𝑇𝑇 √𝑎𝑎 = 𝜔𝜔𝑐𝑐0 = 9.95 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 et ∆𝜑𝜑 = 34° = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎+1 (8.37) 𝑎𝑎−1 1+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠34° On a donc 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎+1 = 34° ⇒ 𝑎𝑎 = 1−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠34° = 3.54 ⇒ 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 11 (8.38) 1 1 Puis : 𝑇𝑇 = 𝜔𝜔𝑐𝑐0 ⇒ 𝑇𝑇 = 9.95√3.54 = 0.053𝑠𝑠 (8.39) √𝑎𝑎 1 1 Soit 𝑇𝑇 = 18.9rad/s et 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 5.3𝑠𝑠 (8.40) Finalement 1 + 0.19𝑝𝑝 𝐶𝐶(𝑝𝑝) = (8.41) 1 + 0.053 La nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte est : 1 + 0.19𝑝𝑝 100 𝐺𝐺𝑐𝑐 (𝑝𝑝) = (8.42) 1 + 0.053 (𝑝𝑝 + 1)2 75 Cours d’Asservissement Linéaire et Régulation /Licence Electronique /Dr.Bourebia.O 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜔𝜔) 20 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑐𝑐 (𝜔𝜔) 11dB 18.9 5.3 𝜔𝜔 1 𝜑𝜑(𝜔𝜔) 𝜋𝜋 2 𝜑𝜑𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝜔𝜔 ∆𝜑𝜑 Figure 8.8 : Diagramme de Bode du système corrigé La figure 8.8 présente les diagrammes de Bode comparés du système initial et du système corrigé. Rappelons que les diagrammes de Bode de G(p) et de C (p) s’additionnent pour former celui du système corrigé Gc(p).Dans la cas du correcteur à avance de phase, l’action corrective est parfaitement visible sur le diagramme de phase. Remarque: le correcteur à avance de phase, a une influence sur le diagramme de gain du système. Cette influence et visible sur la figure 8 autour de la pulsation de coupure à 0 dB : la pulsation de coupure à 0 dB du système corrigé est légèrement plus grande que celle du système non corrigé.par conséquent, la remontée de phase maximal que l’on a calculée ne se produit plus véritablement à 𝜔𝜔𝑐𝑐0.On a alors le choix de négliger cette augmentation ou encore de l’anticiper en majorant la remonté de phase calculée de quelque degrés. 76