Cours Analyse 3 2023 PDF

Analyse 3 AMAL Youssef ENSAT Google Classroom: mmfn6de [email protected] 1445/2023 Programme du cours Chapitres: 1 Topologie dans Rn 2 Fonction de Plusieurs Variables 3 Calcul Différentiel 4 Calcul d’Intégrales Multiples 5 Calcul d’Intégrales Curvilignes...

Analyse 3 AMAL Youssef ENSAT Google Classroom: mmfn6de [email protected] 1445/2023 Programme du cours Chapitres: 1 Topologie dans Rn 2 Fonction de Plusieurs Variables 3 Calcul Différentiel 4 Calcul d’Intégrales Multiples 5 Calcul d’Intégrales Curvilignes bibliographie: Mathématiques 3, par E. AZOULAY Webographie: Sites web: www.bibmath.net, exo7.emath.fr Note du Module: CC 1 (50%) + CC 2 (50%) AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 2 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Introduction et Espace de Travail Rn La topologie étudie les propriétés de l’espace qui restent inchangées sous des transformations continues, comme étirer ou plier, mais pas déchirer. Un espace vectoriel est une structure algébrique contenant des vecteurs avec des opérations de somme et de multiplication par un scalaire. Une norme sur Rn est une application ∥ · ∥ : Rn → R qui satisfait : Positivité: ∥x∥ ≥ 0 pour tout x ∈ Rn , et ∥x∥ = 0 si et seulement si x = 0. Multiplicativité par un scalaire: ∥cx∥ = |c|∥x∥ pour tout (x, c) ∈ Rn × R. Inégalité triangulaire: ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ pour tous x, y ∈ Rn. Exemple: La valeur absolue |.| est une norme de R. p Pour x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , ∥x∥1 = |x1 | + |x2 |, ∥x∥2 = x21 + x22 et ∥x∥∞ = max(|x1 |, |x2 |) sont des normes sur Rn. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 3 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Équivalence des Normes et Invariance Topologique Équivalence des Normes: Deux normes, ∥ · ∥1 et ∥ · ∥2 , sont dites équivalentes s’il existe des constantes positives c1 et c2 telles que pour tout x ∈ Rn , on a c1 ∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ c2 ∥x∥1. Dans Rn , toutes les normes sont équivalentes du faite qu’il est de dimension fini. Invariance des Propriétés Topologiques: Deux normes équivalentent induisent des propriétés topologiques équivalentes. Quelle que soit la norme choisie, les propriétés topologiques fondamentales restent les mêmes sur Rn. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 4 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Boules Ouvertes et Fermées Boule Ouverte dans Rn : Pour un point a ∈ Rn et un rayon r > 0, la boule ouverte centrée en a de rayon r est définie comme : B(a, r) = {x ∈ Rn | ∥x − a∥ < r} Boule Fermée dans Rn : Pour un point a ∈ Rn et un rayon r ≥ 0, la boule fermée centrée en a de rayon r est définie comme : Bf (a, r) = {x ∈ Rn | ∥x − a∥ ≤ r} AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 5 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Exemple de Boules avec Différentes Normes Exemple: L’intervalle ]-1,1[ est une boule B(a, r) ouverte de R où a=0 et r=1. L’intervalle [-1,3] est une boule B(a, r) fermée de R où a=1 et r=2. Exemple: Considérons a = (0, 0) et r = 1. La boule ouverte centrée en a avec différentes normes est donnée par : Bf,1 (a, 1) = {(x, y) ∈ R2 | |x| + |y| ≤ 1} (Norme 1) p Bf,2 (a, 1) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} (Norme 2) Bf,∞ (a, 1) = {(x, y) ∈ R2 | max(|x|, |y|) ≤ 1} (Norme infinie) Remarque: Bien que la géométrie de ces boules change en fonction de la norme, leur topologie reste la même. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 6 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Parties Ouvertes et Fermées Partie Ouverte dans Rn : Une partie U de Rn est dite ouverte si, pour chaque point a de U , il existe un rayon r > 0 tel que la boule ouverte B(a, r) soit contenue dans U. L’ensemble des ouverts de Rn est noté par O. L’intersection finie de parties ouvertes est ouverte. L’union infinie de parties ouvertes est ouverte. Partie Fermée dans Rn : Une partie F de Rn est dite fermée si son complémentaire Rn \ F est une partie ouverte. L’ensemble des fermés de Rn est noté par F. L’intersection infinie de parties fermées est fermée. L’union finie de parties fermées est fermée. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 7 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Exemples de Parties Ouvertes et Fermées Exemple: U1 = B((0, 0), 1). U2 = R2. U3 =] − ∞, 5[. Exemple: F1 = R2 \ B((0, 0), 1). F2 = {(x, y) ∈ R2 | x = 0 ou y = 0}. F3 = {5}. Exercice: Soit la famille des ouverts (An )n∈N∗ avec An =] − 1/n, 1/n[. Montrer T que An ∈/ O. n∈N∗ AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 8 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Voisinage d’un point: A ∈ V(a) si ∃ r > 0; B(a, r) ⊆ A. Exemple: 1 [0, 1] est un voisinage de 1/2. 2 BF (O, 1) ∈ V((−1/2, 0)), par contre BF (O, 1) ∈ / V((0, 1)). 3 Toute partie ouverte est voisinage de chacun de ses points. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 9 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Intérieur et Adhérence Intérieur d’une Partie: Int(A) = {x ∈ A | ∃ r > 0; B(x, r) ⊆ A} Propriétés de l’Intérieur: Int(A) est une partie ouverte. Int(A) est le plus grand ouvert contenu dans A. Int(A) = A ssi A est ouverte. Exemple: Pour A =]0, 1] dans R, Int(A) =]0, 1[. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 10 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Intérieur et Adhérence (suite) Adhérence d’une Partie: Adh(A) = {x ∈ Rn | ∀ r > 0; B(x, r), B(x, r) ∩ A ̸= ∅} Propriétés de l’Adhérence: Rn \ Adh(A) = Int (Rn \ A). Adh(A) est une partie fermée. Adh(A) est le plus petit fermé contenant A. Adh(A) = A ssi A est fermée. Exemple: Pour A = [0, 1[∪{2} dans R, Adh(A) = [0, 1] ∪ {2}. (Discuter les deux cas r ≤ 2 et r > 2). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 11 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Frontière d’une Partie et Propriétés Frontière d’une Partie: Fr(A) = Adh(A) \ Int(A) Exemples de Frontière: Pour A =]0, 1] ∪ {2} dans R, la frontière Fr(A) est {0, 1, 2}. Propriétés de la Frontière: La frontière Fr(A) est toujours une partie fermée. Fr(A) = Fr(Rn \ A). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 12 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Partie Bornée dans Rn et Exemples Partie Bornée dans Rn : A est bornée ⇐⇒ ∃r > 0 tel que A ⊆ B(0, r) Exemple: A1 =]0, 1] est une partie bornée dans dans R. A2 = {(x, y) | x2 + y 2 > 1 et x2 + y 2 ≤ 2} est une partie bornée de R2. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 13 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Partie Compacte dans Rn et Exemples Partie Compacte dans Rn : Une partie A dans Rn est dite compacte si elle est à la fois fermée et bornée. Exemple: A1 = [0, 1] ∪ {−1} est une partie compacte de R. A2 = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1} est une partie compacte de R2. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 14 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Suites dans Rn , Limite, Convergence, Divergence Suite dans Rn : Une suite dans Rn est une fonction N → Rn , généralement notée (xp ) où xp est le p-ème terme de la suite. Limite d’une Suite: Une suite (xp ) converge vers L dans Rn (notation limn→∞ xp = L) si, pour chaque ε > 0, il existe N tel que pour tout p ≥ N , ∥xp − L∥ < ε. Convergence: Une suite (xp ) converge dans Rn si elle a une limite L dans Rn. Divergence: Une suite (xp ) diverge dans Rn si elle ne converge pas. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 15 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Exemples: Suite Convergente:   1 1 (xp ) = , dans R2 p p Cette suite converge vers (0, 0). Suite Divergente: (yp ) = (p, 0) dans R2 Cette suite diverge car lim ∥yp ∥ = +∞. p→+∞ AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 16 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Propriétés des Limites dans Rn et Exemples Propriétés des Limites dans Rn : Convergence en Coordonnées: Une suite (xp ) converge vers L dans Rn si et seulement si chaque composante de xp converge vers la composante correspon- dante de L. lim xp = L ⇐⇒ lim xp,i = Li pour chaque composante i p→∞ p→∞ Limite de la Norme: Si (xp ) converge vers L dans Rn , alors la norme ∥xp ∥ converge vers ∥L∥. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 17 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Exemples: Convergence en Coordonnées:   1 1 (xp ) = , dans R2 p p Cette suite converge vers (0, 0) car chaque composante converge vers 0. Limite de la Norme:   1p (xp ) = (−1) , dans R2 p 1 La norme ∥xp ∥1 = 1 + p converge vers 1 mais (xp ) n’admet pas de limite. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 18 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Ouvertures et Fermetures dans Rn via Suites Caractérisation séquentielle des fermés: Une partie F de Rn est fermée si et seulement si pour chaque suite convergente (xp ) de points de F , la limite lim xp p→∞ appartient à F. Caractérisation séquentielle des ouverts: Une partie O de Rn est ouvert si et seulement si pour chaque suite convergente (xp ) de points de Oc , la limite lim xp p→∞ appartient à Oc. Exemples: Ensemble Fermé: B = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}. Ensemble Ouvert: A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}. Ensemble Ni Ouvert Ni Fermé: C = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, y = 0}. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 19 / 102  Chapitre 1: Topologie dans Rn Théorème de Bolzano-Weierstrass Théorème: Une partie A de Rn est compacte si et seulement si toute suite (Up )p , à valeurs dans A, admet une sous-suite (Uϕ(p) )p qui converge vers une limite l ∈ A. Exemple: Tout sous-ensemble fermé d’un ensemble compact est compact. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 20 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Fonction, Domaine de définition Définition 2.1 (Fonction scalaire) Une fonction scalaire, de p variables réelles est une application d’une partie D de Rp à valeurs dans R, notée par: f : D ⊂ Rp −→ R (x1 ,..., xp ) 7→ z = f (x1 ,..., xp ) où D est l’ensemble de définition de f , constitué de tout vecteur de Rp dont l’image par f existe dans R. Exemple 2.2 Déterminer le domaine de définition de la fonction f : R2 −→ R p (x, y) 7→ f (x, y) = 1 − x2 − y 2 AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 21 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Fonction, Domaine de définition Représentation graphique f : R2 → R S = {(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y)}. S est le graphe de la fonction f. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 22 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Fonction, Domaine de définition Définition 2.3 (Fonction vectorielle) Une fonction vectorielle de p variables réelles est une application d’une partie D ⊂ Rp à valeurs dans Rq , noté par: f : D ⊂ Rp −→ Rq (x1 ,..., xp ) 7→ (f1 (x1 ,..., xp ),..., fq (x1 ,..., xp )) où D est l’ensemble de définition de f , constitué de tout vecteur de Rp dont l’image par f existe dans Rq. Les fi sont appelées fonctions coordonnées de f. Remarque 2.4 Le domaine de définition de la fonction vectorielle f est: Df = ∩qi=1 Dfi. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 23 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Fonction, Domaine de définition Exemple 2.5 Déterminer le domaine de définition de la fonction vectorielle suivante: f : R2 −→ R3 p 1 (x, y) 7→ f (x, y) = ( 1 − x2 − y 2 , xy, ) x−y AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 24 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Fonction, Domaine de définition Fonction partielle Définition 2.6 Soit f : D ⊂ Rp −→ Rq. Soit a = (a1 ,..., ap ) ∈ D. Pour i = 1,..., p, on appelle i-ème fonction partielle de f en a définie sur le domaine Di = {x ∈ R | (a1 ,..., ai−1 , x, ai+1 ,..., ap ) ∈ D} la fonction suivante : fa,i : Di ⊂ R −→ Rq x 7→ f (a1 ,..., ai−1 , x, ai+1 ,..., ap ) Exemple 2.7 Donner les expressions de la 1-ère et de la 2-ème fonction partielle en a = (1/2, 1) de la fonction suivante: f : B2 (O, 2) −→ R p (x, y) 7→ f (x, y) = 4 − x2 − y 2 AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 25 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Notion de limite Définition 2.8 Soit f une fonction de D ⊂ Rp dans Rq et l ∈ Rq. Soit a ∈ Adh(D). On dit que lim f (x) = l si ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ D (sauf peut être a); x→a 0 =< l1 , l2 >. x→a 3 Dans le cas où q = 1, si l2 ̸= 0 alors lim f (x)/g(x) = l1 /l2. x→a Exemple 2.13 (1 + x2 y 2 ) sin(y) Calculer lim. (x,y)→(0,0) y AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 28 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Techniques de calcul de limites Théorème 2.14 (Théorème des Gendarmes) Soit f , g et h trois fonctions scalaires définies dans un voisinage V ⊂ Rp de a, sauf éventuellement en ce point. Si pour tout x dans V : 1 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 2 lim g(x) = lim h(x) = l x→a x→a Alors lim f (x) = l. x→a Exemple 2.15 x2 y Considérons la fonction f (x, y) =. x2 + y 2 AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 29 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Techniques de calcul de limites Proposition 2.16 (Limite de la composé de deux focntions) Soient f : Df ⊂ Rn → Rp et g : Dg ⊂ Rm → Rn. Supposons que g(Dg ) ⊂ Df , lim g(t) = b et que lim f (x) = l. Alors, lim f ◦ g(t) = l. t→a x→b t→a Exemple 2.17 Calculer lim(x,y)→(0,0) sin(x2 + y). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 30 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Techniques de calcul de limites Définition 2.18 (Changement aux Coordonnées Polaires) Chaque point P (x, y) du plan R2 peut être déterminée par les coordonnées polaires −−→ qui sont la coordonnée radiale r =∥ OP ∥ et la coordonné angulaire θ, suivant l’application suivante: R∗+ × [0, 2π[→ R2 \ (0, 0) (r, θ) 7→ (x, y) = (r cos(θ), r sin(θ)), p où r = x2 + y 2 et tan(θ) = y/x. Remarque 2.19 Si on étudie une limite quand (x, y) → (a, b), on ramène le problème en (0, 0) par translation des variables, x = a + h,y = b + k avec (h, k) → (0, 0). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 31 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Techniques de calcul de limites Exemple 2.20 x3 x2 − y 2 Calculer les limites suivantes: lim , lim et (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x2 + y 2 lim. (x,y)→(0,0) x AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 32 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Continuité Définition 2.21 Une fonction f : D ⊂ Rp → Rq est continue en a ∈ D ssi lim f (x) = f (a). x→a On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout point de D. Proposition 2.22 (Caractérisation séquentielle de la continuité) Une fonction f : D ⊂ Rp → Rq est continue en a ∈ D ssi pour toute suite (xn )n ⊂ D telle que lim xn = a, on a lim f (xn ) = f (a). n→+∞ n→+∞ AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 33 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Continuité Proposition 2.23 Soit f : D ⊂ Rp → Rq une fonction continue au point a = (a1 ,..., ap ) alors les p fonctions partielles fa,i de f sont continues en ai pour tout i = 1,..., p. Exemple 2.24 xy Soit f (x, y) = , ∀(x, y) ̸= (0, 0) et f (0, 0) = 0. x2 + y 2 1 Étudier la continuité des fonctions partielles fO,1 et fO,2 de la fonction f. 2 Que peut dire de la continuité de la fonction f au point (0, 0). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 34 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Continuité Propriété 2.25 Soient f et g deux fonctions définies sur D ⊂ Rp à valeurs dans Rq et continues en a, alors: 1 Pour tout (α, β) ∈ R2 , la fonction αf + βg est continue en a. 2 de même < f, g > et ∥ f ∥ sont continues en a. 3 Dans le cas où q = 1, si g ̸= 0 au voisinage de a alors la fonction f /g est continue en a. 4 la composée de fonctions continues est continue. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 35 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Continuité Exemple 2.26 les fonctions suivantes sont continues: 1 pi : Rp → R avec pi (x1 ,..., xp ) = xi. i 2 f : Rp → R avec f (x1 ,..., xp ) = axi11 xi22...xpp , a ∈ R et i1 ,..., ip ∈ N. 3 les fonctions polynômes définis sur Rp. 4 les applications linéaires définies sur Rp dans Rq (même lipschitzienne). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 36 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Continuité Définition 2.27 (Prolongement par continuité) Soit f : D ⊂ Rp → Rq. Soit a ∈ Adh(D) \ D. Si f a une limite l lorsque x tend vers a, on peut étendre le domaine de définition de f à D ∪ {a} en posant f (a) = l. Et on dit que f est prolongeable par continuité au point a. Exemple 2.28 | x |α y Pour quel paramètre α > 0 la fonction f : (x, y) 7→ est-elle prolongeable x2 + y 2 par continuité au point (0, 0)? AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 37 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Ouverts-Fermés Proposition 2.29 Soit f une fonction définie sur D ⊂ Rp à valeurs dans Rq. Les propriétés suivantes sont équivalentes: 1 f est continue en tout point de D, 2 pour tout ouvert U de Rq , f −1 (U ) = {x ∈ D | f (x) ∈ U } est un ouvert relatif à D. 3 pour tout fermé V de Rq , f −1 (V ) est un fermé relatif à D. Exemple 2.30 √ Montrer que l’ensemble A = {(x, y) ∈ R+ × R | y − x ≤ 0} est fermé de R2. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 38 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Ouverts-Fermés Définition 2.31 (Ouverts et fermés relatifs) Dans Rq , un ensemble A ∈ Rp est dite ouvert relatif à D ∈ Rp si: ∃O ∈ OR p ; A = D ∩ O ou encore ∀x ∈ A, ∃ε > 0; B(x, ε) ∩ D ⊂ A Un ensemble G ∈ Rp est dite fermé relatif à D ∈ Rp si: ∃F ∈ FR p ; G = D ∩ F Exemple 2.32 [0, 1[ est un ouvert realatif à [0, +∞[. ]0, 1] est un fermé realatif à ]0, +∞[. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 39 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Compacité Proposition 2.33 Soit f une fonction continue sur D ⊂ Rp à valeurs dans Rq. Soit A un compact de Rp tel que A ⊂ D. Alors f (A) est un compact de Rq. Exemple 2.34 1 On considère f définie par f (x) = 1 pour tout x ≥ 0. Etudier la compacité de f −1 ({1}). 2 Soient K et C deux compacts de Rp , avec p ∈ N∗. Montrer que l’ensemble G = K + C est un compact de Rp. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 40 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Compacité Proposition 2.35 Soit A un compact de Rp. Soit f une fonction continue sur A ⊂ Rp à valeurs dans R. Alors f est bornée et atteint ses bornes sur A. Exemple 2.36 Soit C = {(x, y) ∈ R2 ; x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. et Soit f : C → R+∗ une fonction continue. Démontrer que inf f (x) > 0. x∈C AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 41 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Connexité Définition 2.37 Soit A ⊂ Rn , avec n ≥ 1. Une séparation de A est une paire (O, O′ ) d’ouverts non vides de Rn tels que: 1 A ⊂ O ∪ O′ 2 A ∩ O ̸= ∅, A ∩ O′ ̸= ∅, 3 A ∩ O ∩ O′ = ∅. Exemple 2.38 Dans R, le paire (] − 1, 1[, ]1/2, 2[) est une séparation de l’ensemble [0, 1/2[∪]1, 3/2]. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 42 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Connexité Définition 2.39 Soit A ⊂ Rn , avec n ≥ 1. A est dit connexe si A n’admet aucune séparation. Exemple 2.40 L’intervalle [0, 1[ est un connexe de R. l’ensemble [0, 1/2[∪]1, 3/2] n’est pas un connexe. Proposition 2.41 Dans R, tout ensemble est connexe si seulement s’il est un intervalle. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 43 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Connexité Définition 2.42 Soient x et y sont deux points de Rn , avec n ≥ 1, on appelle chemin d’origine x et d’extrémité y toute application continue γ : [0, 1] → Rn telle que γ(0) = x et γ(1) = y. Définition 2.43 Une partie A de Rn est dite connexe par arcs si tout couple de points de A est relié par un chemin restant dans A. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 44 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Connexité Définition 2.44 Soit A ⊂ Rn , avec n ≥ 1. A est dit convexe si pour tout a et b de A, le segment [a, b] = {(1 − t)a + tb; t ∈ [0, 1]} est contenu dans A. Exemple 2.45 Dans Rn , toute partie convexe est connexe par arcs tout intervalle de R est convexe et connexe par arcs. Un cercle est un connexe par arcs. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 45 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Connexité Proposition 2.46 Soit p, q ∈ N∗. Soit A une partie connexe (respectivement connexe par arcs) de Rp. Soit f : A → Rq une application continue. Alors f (A) est aussi connexe (respectivement connexe par arcs). Exemple 2.47 Tout chemin continu de [0, 1] vers Rn est un connexe de Rn. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 46 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Connexité Proposition 2.48 Si A ⊂ Rp , avec p ∈ N∗ , est connexe par arc alors A est connexe. G = {(x, sin(x, 1/x)); x > 0} est connexe. Adh(G) = G∪{0}×[−1, 1] est con- nexe. Adh(G) n’est pas connexe par arcs. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 47 / 102 Chapitre 2: Fonctions de Plusieurs Variables Applications: Connexité Exemple 2.49 Tout ensemble convexe est connexe. Application : Théorème des valeurs intermidiaires Soit f une fonction scalaire continue sur une partie D ⊂ Rn connexe par arc. Soient A et B deux points de D. Pour tout nombre réel r compris entre f (A) et f (B) il existe un point C de D tel que f (C) = r. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 48 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Dérivées Partielles Définition 3.1 Soit f : D ∈ ORn → R. On dit que f admet en a = (a1 ,..., ai ,.., an ) une i-ème dérivée partielle si la i-ème application partielle associée à f au point a est ∂f dérivable en ai , on note cette dérivée par (a), et on écrit: ∂xi ∂f fa,i (ai + h) − fa,i (ai ) (a) = lim ∂xi h→0 h Exemple 3.2 xy(x2 − y 2 ) Soit f : R2 → R telle que f (x, y) = si (x, y) ̸= (0, 0) et f (x, y) = 0 x2 + y 2 si (x, y) = (0, 0). ∂f ∂f Calculer (x, y) et (x, y) pour tout (x, y) ∈ R2. ∂x ∂y AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 49 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Dérivées Partielles Définition 3.3 Pour une fonction à valeurs scalaires f : D ⊂ Rp → R dont les dérivées partielles existent, son gradient, noté grad(f ) , est défini par: grad(f ) : D ⊂ R p → Rp  ∂f ∂f x 7→ (x),..., (x) ∂x1 ∂xp AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 50 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Dérivées Partielles Définition 3.4 Soit f : D ∈ ORn → R. On dit que f est de classe C 1 sur D si f admet en tout ∂f ∂f point x ∈ D, n dérivées partielles ,..., continues sur D. L’ensemble des ∂x1 ∂xn fonctions de classe C 1 sur D est noté: C 1 (D, R). f est dite de C k (D, R), avec k ∈ N∗ , si f est de C k−1 (D, R) et admettent des ∂kf dérivées partielles d’ordre k sur D, notées par: avec α1 ,..., αn ∈ N Pn ∂x1...∂xα α1 n n tels que i=1 αi = k, et qui sont continues pour tout αi. Exemple 3.5 xy Soit f : R2 → R telle que f (x, y) = si (x, y) ̸= (0, 0) et f (x, y) = 0 si x2 + y 2 (x, y) = (0, 0). 1 Montrer que f admet des dérivées partielles en (0, 0). 2 f est-elle de classe C 1 en (0, 0). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 51 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Dérivées Partielles Théorème 3.6 (Schwarz) Soit f ∈ C 2 (D, R), avec D ∈ ORn. Alors pour tout a ∈ D et i, j ∈ {1,..., n} on a: ∂2f ∂2f (a) = (a) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Exemple 3.7 xy(x2 − y 2 ) Soit f : R2 → R telle que f (x, y) = si (x, y) ̸= (0, 0) et f (x, y) = 0 si x2 + y 2 (x, y) = (0, 0). ∂2f ∂2f 1 Calculer (0, 0) et (0, 0). ∂x∂y ∂y∂x 2 Que peut-on déduire? AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 52 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Définition 3.8 Soient a ∈ Rp et f : D ⊂ V(a) → Rq. On dit que f est différentiable en a s’il existe une application linéaire dfa ∈ L(Rp , Rq ) telle que lim (f (a + h) − f (a) − dfa (h)) / ∥ h ∥= 0 h→0p dfa s’appelle la différentielle de f en a. Remarque 3.9 Si la différentielle dfa existe elle est unique. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 53 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Théorème 3.10 f est différentiable en a s.s.i. il existe r > 0 tel que si ∥ h ∥< r, alors f (a + h) = f (a) + dfa (h)+ ∥ h ∥ ε(h) où lim ε(h) = 0q. On dit alors que f admet un développement limité à l’ordre 1 h→0p en a. Exemple 3.11 Soit f, g : R2 → R avec f (x, y) = xy et g(x, y) = x + y. Montrer que les fonctions f et g sont différentiables sur R2 et donner leurs différentielles. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 54 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Théorème 3.12 Soient f et g deux fonctions différentiables en a ∈ D. Alors: 1 f est continue en a. 2 f + g est différentiable en a et d(f + g)a = dfa + dga. 3 αf est différentiable en a et d(αf )a = αdfa. Théorème 3.13 Soient a ∈ Rn et f : D ⊂ V(a) → R différentiable en a. Alors f admet n dérivées Pn ∂f partielles en a telles qu’on a: dfa (h) = i=1 (a).hi. ∂xi Remarque 3.14 La réciproque est fausse, par exemple: On considère la fonction f définie par xy f (x, y) = 2 si (x, y) ̸= (0, 0) et f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0). x + y2 AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 55 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Théorème 3.15 Soient a ∈ Rn et f : D ⊂ V(a) → R. Si f est de C 1 sur D alors f est différentiable Pn ∂f en a et on a: dfa (h) = i=1 (a).hi. ∂xi Exemple 3.16 Calculer la différentielle à l’origine de la fonction f définie par: p f (x, y) = 1 + x2 + y 2. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 56 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Théorème 3.17 Soient a ∈ Rp et f : D ⊂ V(a) → Rq telle que f = (f1 ,..., fq ). Alors f est différentiable en a s.s.i. fi est différentiable en a pour  tout i = 1,..., q,  Dans ce cas Pp ∂f1 i=1 (a).hi    ∂xi  on écrit: dfa (h) = (d(f1 )a (h),..., d(fq )a (h)) =  ... .   Pp ∂fq  i=1 (a).hi ∂xi Exemple 3.18 Soit f : R2 → R2 avec f (x, y) = (x + y, xy). Montrer que la fonctions f est différentiable sur R2 et donner sa différentielle. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 57 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Définition 3.19 Soient a ∈ Rp et f : D ⊂ V(a) → Rq telle que f = (f1 ,..., fq ). On appelle Matrice Jacobienne de f en a, la matrice notée Jf (a) définie par: ∂f1 ∂f1    ∂x1 (a)... ∂xp (a) ......   Jf (a) =    ...    ∂fq ∂fq  (a)... (a) ∂x1 ∂xp On écrit ainsi: dfa (h) = Jf (a).h pour tout h ∈ Rp. Proposition 3.20 Soient a ∈ Rp , f : Df ⊂ V(a) → Rn différentiable en a et g : Dg ⊂ V(f (a)) → Rq différentiable en f (a), alors la composée g ◦ f est différentiable en a et d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa. En termes de Jacobiennes, on écrit: Jg◦f (a) = Jg (f (a)).Jf (a). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 58 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Exemple 3.21 Soit f une fonction définie sur R2 dans R telle que f (x, y) = f (y, x) et qu’elle est ∂f ∂f différentiable sur R2. Montrer que (x, y) = (y, x). ∂y ∂x AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 59 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Définition 3.22 Soit f : D ⊂ Rp → R, a ∈ D et u un vecteur non nul de Rp. On dit que f a une dérivée directionnelle, notée par Du f (a), au point a suivant la direction u si f (a + su) − f (a) l’expression: lim existe. s→0 s AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 60 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Fonctions différentiables Proposition 3.23 Soit f : D ⊂ Rp → R différentiable en a ∈ D et u un vecteur non nul de Rp. Alors Du f (a) = ∇f (a).u = dfa (u). Remarque 3.24 L’existence de la dérivée directionnelle de f en a suivant toutes les directions n’implique pas la différentiabilité de f en a. Donner un contre exemple. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 61 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Recherche d’Extrémum Définition 3.25 Soit f , une fonction définie sur une partie D de Rn et à valeur dans R. 1 On dit que la fonction f admet un maximum relatif en un point x0 de D lorsqu’il existe un ouvert O ⊂ D telle que : f (x) ≤ f (x0 ), ∀x ∈ O \ {x0 }. 2 On dit que la fonction f admet un minimum relatif en un point x0 de D lorsqu’il existe un ouvert O ⊂ D telle que : f (x) ≥ f (x0 ), ∀x ∈ O \ {x0 }. 3 On dit que la fonction f admet un maximum absolu en un point x0 de D lorsque: ∀x ∈ D, f (x) ≤ f (x0 ). 4 On dit que la fonction f admet un minimum absolu en un point x0 de D lorsque: ∀x ∈ D, f (x) ≥ f (x0 ). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 62 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Recherche d’Extrémum Définition 3.26 Soit n ∈ N∗ , Ω un ouvert de Rn , a ∈ Ω et f une application de Ω dans R. a est dite point critique de f , si une des conditions suivantes est satisfaite: Une ou plusieurs des dérivées partielles de f n’existent pas au point a. Dans le cas où toutes les dérivées partielles de f existent au point a, on a ∇f (a) = 0. Remarque 3.27 Un point critique peut être un extremum local (minimum ou maximum) ou un point selle. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 63 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Recherche d’Extrémum Définition 3.28 Un point critique a ∈ Rn est appelé point selle de f s’il existe deux vecteurs v1 , v2 ∈ Rn tels que la fonction t 7→ f (a + tv1 ) admet un maximum local stricte en t = 0 et t 7→ f (a + tv2 ) admet un minimum local stricte en t = 0. Exemple 3.29 On considère la fonction f (x, y) = y 2 − x2. Montrer que f admet un point selle au point (0, 0). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 64 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Recherche d’Extrémum Théorème 3.30 Soit x0 = (x10 ,..., xn0 ) ∈ Rn et soit 0 < r. Soit f une fonction de classe C 2 définie sur B(x0 , r) à valeur dans R. Alors le développement limité de f à l’ordre 2 est donné par: n n n X ∂f 1 XX ∂2f f (x0 + h) = f (x0 ) + hi (x0 ) + hi hj (x0 ) i=1 ∂xi 2 i=1 j=1 ∂xi ∂xj 2 + ∥ h ∥ ε(h), ∀ ∥ h ∥< r, h = (h1 ,..., hn ), avec lim ε(h) = 0. h→0 AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 65 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Recherche d’Extrémum Définition 3.31 Soit n ∈ N∗ , Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R, de classe C 2. Soit a ∈ Ω. On appelle matrice hessienne de f en a la matrice à n lignes et n ∂2f colonnes dont le terme à la i-ieme ligne et j-ieme colonne est (a). On note ∂xi ∂xj Hf (a) cette matrice. Remarque 3.32 La matrice hessienne est toujours symétrique. Proposition 3.33 Soit n ∈ N∗ , Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R, de classe C 2. Soit a ∈ Ω. On suppose que ∇f (a) = 0 et que ht.Hf (a).h > 0 pour tout h ∈ Rn , h ̸= 0 (respectivement, ht.Hf (a).h < 0 pour tout h ∈ V(0), h ̸= 0). Alors, f atteint un minimum local en a (respectivement, f atteint un maximum relatif en a). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 66 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Recherche d’Extrémum Théorème 3.34 Soit f une fonction de classe C 2 dans un voisinage de a. Hf (a) est alors une matrice symétrique réelle dont les valeurs propres, nécessairement réelles, sont ordonnées comme suit: λ1 ≤ λ2 ≤... ≤ λn. On alors: 1 Si λi > 0 pour tout i ∈ 1,..., n, f admet un minimum relatif en a. 2 Si λi < 0 pour tout i ∈ 1,..., n, f admet un maximum relatif en a. 3 Si λ1 < 0 et λn > 0, alors f n’admet pas d’extremum relatif en a (Dans R2 , ce point est appelé point selle). 4 S’il existe i ∈ 1,..., n tel que λi = 0, on ne peut rien conclure. Exemple 3.35 On considère la fonction f : R3 → R définie par: f (x, y, z) = z 2 /2 + y 2 /2 + 2zy. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 67 / 102  Chapitre 3: Calcul Différentiel Recherche d’Extrémum Théorème 3.36 (Notation de Monge) Soient f : U ⊂ R2 → R une fonction de classe C 2 sur U ouvert de R2 , et (a, b) ∈ U un point critique de f. On pose ∂2f ∂2f ∂2f r= 2 (a, b), s = (a, b) et t = (a, b). Alors ∂x ∂x∂y ∂y 2 1 si rt − s2 > 0 et r > 0, (a, b) est un minimum local de f sur U , 2 si rt − s2 > 0 et r < 0, (a, b) est un maximum local de f sur U , 3 si rt − s2 < 0 la fonction n’admet pas d’extremum local, on dit alors que (a, b) est un point selle. 4 si rt − s2 = 0, on ne peut rien conclure. Exemple 3.37 On considère la fonction f : R2 → R définie par: f (x, y) = 3xey − x3 − e3y AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 68 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Rappel: Intégrale Simple Définition 4.1 Pour toute fonction f définie sur l’intervalle [a,b], l’intégrale simple de f sur [a,b] est définie par: Z b n X f (x)dx = lim f (ci )∆xi a n→+∞ i=1 à condition que la limite existe et qu’elle est indépendante du choix du ci ∈ [xi−1 , xi ], pour i=1,2,...,n. Dans ce cas, f est dite intégrable sur [a,b]. Surface associée à l’intégrale simple. Surface approchée sur un sous-intervalle [xi−1 , xi ]. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 69 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Intégrale Double sur un rectangle Définition 4.2 Pour toute fonction f (x, y) définie sur le rectangle R = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d}, l’intégrale double de f sur R est définie par: Z Z n X f (x, y) dA = lim f (ui , vi )∆Ai R n→+∞ i=1 à condition que la limite existe et qu’elle est indépendante du choix du (ui , vi ) ∈ Ri , pour i=1,2,...,n. Dans ce cas, f est dite intégrable sur R. Pn La somme i=1 f (ui , vi )∆Ai est appelée somme de Riemann. Approximation du volume par des parallélépipèdes. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 70 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Théorème 4.3 (Théorème de Fubini) Soit f une fonction intégrable sur le rectangle R = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d}. Alors l’intégrale double de f sur R peut être exprimée comme suit: Z Z Z b Z d Z d Z b f (x, y) dA = f (x, y) dydx = f (x, y) dxdy. R a c c a Rb Rd Rd Tranchage du solide parallèlement au plan yz et au plan xz: V = a A(x)dx = c A(y)dy; avec A(x) = c f (x, y) dy et Rb A(y) = a f (x, y) dx. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 71 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Exemple 4.4 Calculer le volume compris entre la surface z = x3 sin(x2 y) et le rectangle √ R = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ π et 0 ≤ y ≤ 1}. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 72 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Intégrale Double sur une région comprise entre deux courbes en x Théorème 4.5 (Théorème de Fubini) Soit f une fonction continue sur la région définie par R = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b et g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)}, où g1 (x) et g2 (x) sont deux fonctions continues avec g1 (x) ≤ g2 (x) pour tout x ∈ [a, b]. Alors: Z Z Z b Z g2 (x) f (x, y) dA = f (x, y) dydx. R a g1 (x) Rb Région comprise entre deux courbes. Volume par tranchage: V = a A(x)dx avec R g (x) A(x) = g12(x) f (x, y) dy. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 73 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Exemple 4.6 Soit R région délimitée par le graphes y = x, y = 0 et x = 4. Calculer l’intégrale Z Z 4 exp(x2 ) dA. R La région R. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 74 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Intégrale Double sur une région comprise entre deux courbes en y Théorème 4.7 (Théorème de Fubini) Soit f une fonction continue sur la région définie par R = {(x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d et h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)}, où h1 (y) et h2 (y) sont deux fonctions continues avec h1 (y) ≤ h2 (y) pour tout y ∈ [c, d]. Alors: Z Z Z d Z h2 (y) f (x, y) dA = f (x, y) dxdy. R c h1 (y) Région comprise entre deux courbes. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 75 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Exemple 4.8 R1R1 Calculer l’intégrale 0 y exp(x2 ) dxdy. La région R. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 76 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Théorème 4.9 (Propriétés) Soit f et g deux fonction intégrable sur la région R ⊂ R2 et soit c une constante réelle. Alors: RR RR 1 R cf (x, y) dA = c f (x, y) dA R RR RR RR 2 R f (x, y) + g(x, y) dA = R f (x, y) dA + R g(x, y) dA RR RR 3 si f ≤ g sur R alors R f (x, y) dA ≤ R g(x, y) dA. RR RR 4 | R f (x, y) dA| ≤ R |f | dA. RR RR 5 si R = R1 ∪ R2 et R̊1 ∩ R̊2 = ∅ alors R f (x, y) dA = R1 f (x, y) dA + RR R2 f (x, y) dA. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 77 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Applications: Aire, Volume, Aire de surface Exemple 4.10 Déterminer le volume du tétraèdre délimité par le plan d’équation 2x + y + z = 2 et les trois plans du repère cartésien. Tétraèdre. La région R. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 78 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Exemple 4.11 Déterminer l’aire de la région délimitée par les graphes: x = y 2 , y − x = 3, y = −3 et y = 2. La région R. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 79 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Théorème 4.12 (Théorème de Fubini) Soit f (r, θ) une fonction continue sur la région R = {(r, θ)| α ≤ θ ≤ β et g1 (θ) ≤ r ≤ g2 (θ)} où g1 et g2 sont deux fonctions continues avec 0 ≤ g1 (θ) ≤ g2 (θ) pour toute θ ∈ [α, β]. Alors, Z Z Z β Z g2 (θ) f (r, θ)dA = f (r, θ)rdrdθ R α g1 (θ) Région polaire élémentaire. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 80 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Exemple 4.13 RR Calculer l’intégrale R sin(θ)dA où R est la zone sombre dans la figure suivante: La région R. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 81 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale Double Théorème 4.14 (Théorème de Fubini) Soit f (r, θ) une fonction continue sur la région R = {(r, θ)| h1 (r) ≤ θ ≤ h2 (r) et 0 ≤ a ≤ r ≤ b} où h1 et h2 sont deux fonctions continues avec h1 (r) ≤ h2 (r) pour toute r ∈ [a, b]. Alors, Z Z Z b Z h2 (r) f (r, θ)dA = f (r, θ)rdθdr R a h1 (r) La région R. Exemple 4.15 RR Reprendre l’intégrale R sin(θ)dA en utilisant le résultat de ce théorème. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 82 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale triple Définition 4.16 Pour toute fonction f (x, y, z) définie sur la région Q, l’intégrale triple de f sur Q est définie par: Z Z Z n X f (x, y, z) dV = lim f (ui , vi , wi )∆Vi. Q n→+∞ i=1 à condition que la limite existe et qu’elle est indépendante du choix du (ui , vi , wi ) ∈ Qi , pour i=1,2,...,n. Dans ce cas, f est dite intégrable sur Q. RRR Si f (x, y, z) est la densité d’un corps Q au point (x,y,z) alors Q f (x, y, z) dV est la masse du corps Q. RRR Q 1 dV est le volume du corps Q. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 83 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale triple Théorème 4.17 (Théorème de Fubini) Soit f une fonction intégrable sur la boite rectangulaire Q = {(x, y, z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d et r ≤ z ≤ s}. Alors l’intégrale triple de f sur R peut être exprimée comme suit: Z Z Z Z b Z d Z s f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dzdydx Q a c r avec toutes les permutations possibles entre les trois intégrales. Exemple 4.18 2xey sin(z) dV avec RRR Calculer l’intégrale triple suivante Q Q = {(x, y, z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 et 0 ≤ z ≤ π} AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 84 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale triple Théorème 4.19 (Théorème de Fubini) Soit f une fonction continue sur le solide défini par Q = {(x, y, z)|(x, y) ∈ R et g1 (x, y) ≤ z ≤ g2 (x, y)}, où g1 (x, y) et g2 (x, y) sont deux fonctions continues avec g1 (x, y) ≤ g2 (x, y) pour tout (x, y) ∈ R. Alors: Z Z Z Z Z Z g2 (x,y) f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dzdA. R R g1 (x,y) Solide compris entre deux surfaces données. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 85 / 102  Chapitre 4: Intégrales Multiples Intégrale triple Exemple 4.20 Trouver la masse du solide Q de densité massique ρ(x, y, z) = 2z et qui est délimité p par les graphes: le cone circulaire droit de surface z = x2 + y 2 et le plan z = 4. Le solide Q et sa projection R sur le plan (xOy). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 86 / 102  Changement de variables dans une intégrale Chapitre 4: Intégrales Multiples multiple Théorème 4.21 On suppose que la région S dans le plan uOv est mis en correspondance à la région R dans le plan xOy par la transformation bijective T définie par: x = g(u, v) et y = h(u, v) où h et g sont supposées de classe C 1. Si f est continue sur R et le Jacobien det(JT ) est non nul sur S alors: ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (g(u, v), h(u, v))|det(JT (u, v))|dudv R S Transformation T de la région S vers la région R. (x = g(u, v), y = h(u, v)) ∈ R ⇔ (u, v) ∈ S. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 87 / 102  Changement de variables dans une intégrale Chapitre 4: Intégrales Multiples multiple Exemple 4.22 Soit R une région comprise entre les droites d’équations: y = 2x + 3, y = 2x + 1, (x2 + 2xy)dA. RR y = 5 − x et y = 2 − x. Calculer l’intégrale R Transformation T de la région S vers la région R. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 88 / 102  Changement de variables dans une intégrale Chapitre 4: Intégrales Multiples multiple Exemple 4.23 En utilisant le théorème précédent, vérifier la formule suivante: ZZ ZZ f (x, y)dA = f (r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ, R S où S décrit la région R en coordonnées polaires. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 89 / 102  Changement de variables dans une intégrale Chapitre 4: Intégrales Multiples multiple Théorème 4.24 On suppose que la région S dans l’espace uvw est mis en correspondance à la région R dans l’espace xyz par la transformation bijective T définie par : x = g(u, v, w), y = h(u, v, w) et z = l(u, v, w) où h, g et l sont supposées de classe C 1. Si f est continue sur R et le Jacobien det(JT ) est non nul sur S alors: ZZZ ZZZ f (x, y, z)dV = f (g(u, v, w), h(u, v, w), l(u, v, w))|det(JT (u, v, w))|dVu,v,w R S Transformation T de la région S vers la région R. (x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = l(u, v, w)) ∈ R ⇔ (u, v, w) ∈ S. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 90 / 102  Changement de variables dans une intégrale Chapitre 4: Intégrales Multiples multiple Exemple 4.25 Trouver le volume de la région enfermée par l’ellipsoïde d’équation: x2 y2 z2 + + = 1. a2 b2 c2 AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 91 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’une fonction Définition 5.1 L’intégrale curviligne de (x, y) 7→ f (x, y) au longue d’une courbe C orientée dans l’espace (xOy), noté R par C f (x, y)dl, est définie par Z n X f (x, y)dl = lim f (x∗i , yi∗ )∆li C n→+∞ i=1 à condition que la limite existe et qu’elle est indépendante du choix de point (x∗i , yi∗ ). R De la même manière on peut définir l’intégrale C f (x, y, z)dl. Interprétation géométrique de l’intégrale curviligne. R Si f (x, y) est la densité massique d’un fil mince C au point (x,y) alors C f (x, y)dl est la masse du fil C. R C 1dl est la longueur du fil C. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 92 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’une fonction Théorème 5.2 On suppose que (x, y) 7→ f (x, y) soit continue sur une région D contenant la courbe C et que C est décrit paramétriquement par (x(t), y(t)), pour t ∈ [a, b] où x(t) et y(t) sont de classe C 1. Alors: Z Z b p f (x, y)dl = f (x(t), y(t)) x′ (t)2 + y ′ (t)2 dt C a R De la même manière on peut définir l’intégrale C f (x, y, z)dl. Exemple 5.3 Trouver la masse du ressort de forme curviligne paramétrée par: x(t) = 2 cos(t), y(t) = t, z = 2 sin(t), pour t ∈ [0, 6π], avec une densité linéique ρ(x, y, z) = 2y. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 93 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’une fonction Théorème 5.4 On suppose que (x, y) 7→ f (x, y) soit continue sur une région Q contenant la courbe C et que C est décrit paramétriquement par (x(t), y(t)), pour t ∈ [a, b] où x(t) et y(t) sont de classe C 1. Alors: Rb f (x, y)dx = a f (x(t), y(t))x′ (t)dt R 1 RC Rb 2 C f (x, y)dy = a f (x(t), y(t))y ′ (t)dt Théorème 5.5 On suppose que (x, y) 7→ f (x, y) est continue sur une région Q contenant une courbe orientée C. Alors si C est de classe C 1 avec C = C1 ∪... ∪ Cn , où C1 ,...,Cn sont de classe C 1 et où le point final du Ci est le même point initial du Ci+1 , pour i = 1,..., n − 1, Alors: R R 1 f (x, y)dl = C f (x, y)dl. R−C R R R 2 f (x, y)dx = − C f (x, y)dx et −C f (x, y)dy = − C f (x, y)dy R−C R R R 3 C f (x, y)dl = C1 f (x, y)dl + C2 f (x, y)dl +... + Cn f (x, y)dl. Exemple 5.6 8xydl, où C est la partie du parabole y = x2 de (0, 0) au (2, 4). R Calculer l’intégrale curviligne C AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 94 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’une fonction Exemple 5.7 R Calculer l’intégrale curviligne C 3x − ydl où C est le segment entre (1, 2) et (3, 3) suivie par la partie du cercle x2 + y 2 = 18 définie entre le point (3, 3) et le point (3, −3) orientée au sens des aiguilles du montre. Le chemin C. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 95 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’une fonction Remarque 5.8 Tous les résultats obtenus pour une fonction à deux variables peuvent être généralisés pour une fonction à trois variables (x, y, z) 7→ f (x, y, z). Exemple 5.9 R Calculer l’intégrale curviligne C 4xdy + 2ydz où C est composé du segment du (0, 1, 0) au (0, 1, 1) suivie par le segment du (0, 1, 1) au (2, 1, 1) et suivie par le segment du (2, 1, 1) au (2, 4, 1). Le chemin C. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 96 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs Définition 5.10 → − Un champ de vecteurs sur D ⊂ Rp est une application qui à tout point M de D associe un vecteur F (M ) de Rp. → − → − → − En particulier, soit { i , j } un repère orthonormé de R2 , alors un champ de vecteurs F (x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2 est donné par deux fonctions P et Q sur D à valeurs réelles: → − → − → − F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j → − On dit que le champ de vecteurs F est de classe C p sur D si P et Q sont de classe C p. Champ de vecteurs F (x, y) = (y, −x). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 97 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs Définition 5.11 Soit (x, y) 7→ F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) continue sur une région D contenant la courbe C et que C est décrit paramétriquement par (x(t), y(t)), pour t ∈ [a, b] où x(t) et y(t) sont de classe C 1 par morceaux. L’intégrale curviligne du champs de vecteurs F sur la courbe orientée C dans R2 est donnée par: − → → − Z Z Z F.dr = P (x, y)dx + Q(x, y)dy C C C Z b Z b = P (x(t), y(t))x′ (t)dt + Q(x(t), y(t))y ′ (t)dt a a R →− →− En physique, W = C F.dr est interprété par le Travail fourni par le champ de force F exercé sur un objet qui se déplace au long du chemin C. Exemple 5.12 Calculer le Travail effectué par le champ de force F (x, y) = (y, −x) de la parabole y = x2 − 1 du point (1, 0) au point (−2, 3). AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 98 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs Définition 5.13 Un champ de vecteurs F est un champ gradient s’il existe f de D ⊂ Rn dans R telle que F = ∇f sur D. f est dite le potentiel du champ de vecteurs F. Exemple 5.14 Le champ de vecteurs F (x, y) = (y, x) est un champ gradient. Le champ de vecteurs F (x, y) = (y, −x) n’est pas un champ gradient. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 99 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs Théorème 5.15 Soit F un champ de vecteurs continu sur un ouvert D ⊂ R2 connexe par arcs. Alors R →− →− F est un champ de gradient s.s.i. C F.dr ne dépend que des extrémités de C, pour toute courbe C ⊂ D fermée de C 1 par morceaux ; F est dite conservative sur D. Théorème 5.16 Soit F un champ de vecteurs continu sur un ouvert D ⊂ R2 connexe par arcs. Alors R→− →− F.dr = 0, pour toute courbe C ⊂ D fermée de C 1 par morceaux s.s.i. F est C conservative sur D. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 100 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs Théorème 5.17 Soit F = (P, Q) un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert D ⊂ R2. Alors: ∂P ∂Q F est un champ de gradient =⇒ =. ∂y ∂x Théorème 5.18 Soit F = (P, Q) un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert D ⊂ R2 simple- ment connexe par arcs (c.à.d connexe par arcs sans trou). Alors: ∂P ∂Q = sur D s.s.i. F est un champ de gradient sur D. ∂y ∂x Exemple 5.19 Soit F (x, y) = (2xy 3 , 1 + 3x2 y 2 ). F est-il un champ de gradient? si oui, trouver son potentiel f. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 101 / 102  Chapitre 5: Intégrale curviligne Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs Théorème 5.20 (Green-Riemann) Soit D une partie de R2 limitée par une courbe C de classe C 1 par morceaux, fermé et simple, orienté positivement. P, Q : D → R des fonctions de classe C 1. On a I Z Z ∂Q(x, y) ∂P (x, y) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = − dA. C D ∂x ∂y Exemple 5.21 (2xy − x2 )dx + (x + y 2 )dy avec C une H On considère l’intégrale curviligne I = C courbe fermée constituée par les deux arcs de parabole y = x2 et x = y 2 orientée positivement. 1 Calculer l’intégrale curviligne I. 2 Vérifier le résultat en utilisant la formule de Green-Riemann. AMAL Youssef Analyse 3 1445/2023 102 / 102