Mouvements à Forces Centrales: Physics Lecture Notes PDF

Mouvements à forces centrales Introduction: Jusqu’à présent, on a étudié le mouvement d’un point matériel (où du moins, on a tout ramené à un point matériel) Qu’en est-il si le système est maintenant constitué de N objets (N = 2 à l’infini)? On se limitera ici à 2 objets car en physique, le problè...

Mouvements à forces centrales Introduction: Jusqu’à présent, on a étudié le mouvement d’un point matériel (où du moins, on a tout ramené à un point matériel) Qu’en est-il si le système est maintenant constitué de N objets (N = 2 à l’infini)? On se limitera ici à 2 objets car en physique, le problème à 2 corps est très important ü interaction gravitationnelle entre 2 masses lune terre ü interaction électrique entre 2 charges + - proton électron ü interaction entre 2 atomes: O---O dioxygène O2 I. Centre de masse – centre d’inertie I.1. Définition de l’inertie La masse d’un corps intervient dans les forces de gravitation, mais elle a aussi une influence sur le mouvement de ce corps – plus précisément sur son inertie. masse m ! poids P mouvement = inertie L’inertie est la résistance qu’un corps oppose au changement de son mouvement. Elle rend difficile la mise en mouvement d’un corps, la modification de sa vitesse et son arrêt. l’inertie est directement liée à la masse. + m ↑⇒ + inertie est grande ex: il est plus difficile de lancer une boule de pétanque qu’une balle de pingpong…. Rmq: Par contre, sans influence extérieure, un corps va conserver sa vitesse et aura un mouvement linéaire uniforme I.2. Détermination du centre d’inertie ou centre de masse ! v2 Soient 2 points matériels M1 et M2 de masse respective m1 et m2 ! (éventuellement en interaction) et en v1 G M2 (m2) mouvement dans le un référentiel (R) de centre O. M1 (m1) (R) Le centre d’inertie (ou centre de masse O du système est le barycentre des points M1 et M2 affectés de leur masse. !!!!" !!!!" !!!" Ainsi, si G est le centre d’inertie: m1 OM 1 + m2 OM 2 = ( m1 + m2 ) OG !!!" !!!!" !!!" !!!!" −m1 OG + m1 OM 1 − m2 OG + m2 OM 2 = 0 !!!" !!!!" !!!" !!!!" m1 GO + m1 OM 1 + m2 GO + m2 OM 2 = 0 !!!" !!!!" !!!" !!!!" m1 (GO + OM 1 ) + m2 (GO + OM 2 ) = 0 !!!!" !!!!" m1 GM 1 + m2 GM 2 = 0 I.3. Le moment d’inertie Le moment d’inertie d’un système est une grandeur qui caractérise son inertie vis-à-vis des mouvements de rotation, comme sa masse caractérise son intertie vis-à-vis des mouvements de translation Il reflète la « résistance » qu’oppose un corps à sa mise en mouvement Il s’écrit: I ou 𝐽∆ et son unité: kg.m2 C’est un scalaire! D m1 𝐽∆ = # 𝑚" 𝑟"# m2 " r2 mi-1 𝑟" = 𝐻" 𝑀" distance du point Mi à l’axe de rotation D (Hi désignant la projection de Mi sur D) mi ri H i mN Mi rN Dans le cas d’un corps solide constitué d’une infinité de D points matériels de masse dm 𝐽∆ = ( 𝑟 # 𝑑𝑚 $ G L’énergie cinétique de rotation est alors donnée par: 1 𝐸% = 𝐽∆ 𝜔# où w est la vitesse angulaire de rotation 2 du solide II. La quantité de mouvement II.1. Pour un solide ! La quantité de mouvement d’un solide de masse m et de vitesse du centre d’inertie vG est donnée par ! ! p = m vG ! p § Point d’application: G G ! ! vG § Direction: celle de vG ! m § Sens : celui! de vG ! § Norme: p = m vG II.2. Quantité de mouvement d’un système constitué de plusieurs solides La quantité de mouvement d’un système constitué de plusieurs solides est la somme (vectorielle) des quantités de mouvement des solides qui le constituent, Si système = n solide en mouvement ! ! ! ! p = p1 + p2 +... + pn  ! v2 Si on reprend l’exemple précédent pour la définition du centre de masse: ! !!!!" !!!!" !!!" v1 G m1 OM 1 + m2 OM 2 = ( m1 + m2 ) OG M2 (m2) M (m ) """"! """""! 1 1 ! ! dOM1 ! ! dOM 2 sachant que: p1 = m1v1 = m1 et p2 = m2 v2 = m2 dt dt """"! """""! !!!!" !!!!! " !!!" ! ! ! p = p1 + p2 = m1 dOM1 + m2 dOM 2 = ( d m1 OM1 + m2 OM 2 ) = ( d ( m1 + m2 ) OG ) dt dt dt dt !!!" ! ! ! p = p1 + p2 = ( m1 + m2 ) ( ) d OG ! = ( m1 + m2 ) vG dt La quantité de mouvement totale = produit de la masse totale x vitesse du centre d’inertie L’étude de la trajectoire d’un objet peut donc se résumer à l’étude de son centre de masse, en négligeant les effets de tournoiement (ex: raquette lancée en l’air qui tournoie tandis que son centre d’inertie suit une trajectoire parabolique. Le centre d’inertie (ou centre de masse) se comporte comme si toute la matière de l’objet étudié y était concentrée, ce qui justifie la notion de point matériel.  III. Conservation de la quantité de mouvement III.1. Lois de conservation Considérons maintenant un système isolé (ou pseudo-isolé), ! ! ! ! d v d p Le principe d’inertie (ou 2nd loi de Newton): ∑ Fext = m a = m = dt dt ! ! Si le système est isolé, i.e. au repos ou en translation uniforme: ∑ Fext = 0 ! ! ! ! donc d p p = m v ne varie pas au cours du temps =0 dt La quantité de mouvement d’un système (pseudo-) isolé est conservée au cours du temps (elle est constante et ne varie pas) Loi universelle, i.e. elle est vérifiée pour tous les systèmes (pseudo-) isolés qu’on a pu trouver. C’est une loi fondamentale de la physique = principe d’inertie De plus, si le système est isolé, il y a également conservation de l’énergie cinétique. 2 1 En effet: Ec = m v = 2 p ! = cste si p est constante 2 2m III.2. Application 1: Explosion d’un système en 2 fragments ! ! pi = 0 0 m1+m2 x ! ! ! ! ! ! ! p1 p f = p1 + p2 = m1v1 + m2 v2 p2 0 ! m1 ! x v1 m2 v2 § Système étudié: masses m1 et m2 sur un rail § Référentiel: terrestre repéré par son axe Ox, ! ! § Forces extérieurs: P et R qui se compensent à système pseudo-isolé Il y a donc conservation de la quantité de mouvement ! ! ! ! ! pi = p f p i la quantité de mouvement avant séparation pi = 0 avec ! ! ! ! p f la quantité de mouvement après séparation p f = p1 + p2 ! ! = m1v1 + m2 v2 § Projection sur l’axe Ox: pix = 0 et p fx = −m1v1 + m2 v2 donc 0 = −m1v1 + m2 v2 m1v1 = m2 v2 Si m2= 10 m1 v1 = 10 v2  III.3. Application 2: Etude des collisions Lorsqu’il y a collision entre 2 objets, il est très compliquer de décrire et exprimer les forces au moment de l’impact, car les objets ne sont pas des points matériels. Il faudrait pouvoir connaître: la surface de contact, les déformations des objets, forces microscopiques, ! … ! ! dp Donc ∑ Fext = ma = difficile à utiliser dt conservation de la quantité de mouvement + conservation de l’énergie mécanique et/ou cinétique en fonction du type de collision a) Les collisions élastiques On appelle collision élastique, une collision lors de laquelle l’énergie cinétique du système reste constante (en plus de la conservation de la quantité de mouvement). Exemple 1: Collision frontale entre 2 boules m1 m avant le choc (i) ! ! 2 ! v1 v2 = 0 après le choc (f) ! ! v1' v 2'  m1 m avant le choc (i) ! ! 2 ! ! ! v1 v2 = 0 v1' et v2' sont des variables inconnues après le choc (f) ! ! v1' v 2' !' ! Attention: le sens de v1 et v2' est purement arbitraire. Ne pas tenir compte du signe pour les composantes ! ! La conservation de la quantité de mouvement: pi = p f m1v1 = m1v1' + m2 v2' (1) 1 1 1 La conservation de l’énergie cinétique: Eci = Ecf m1v12 = m1v1'2 + m2 v2'2 ( 2) 2 2 2 Système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre m (1) v1' = v1 − 2 v2' m1 m22 '2 m2 '2 '2 (2) m1v12 = m1v12 − 2m2 v1v2' + v2 + m2 v2'2 2v1v2' = v2 + v2 m1 m1 m + m1 ' 2m1 2v1 = 2 v2 v2' = v1 m1 m2 + m1 et donc v1' = v1 − m2 × 2m1 v1 v1' = m1 − m2 v1 m1 m2 + m1 m1 + m2  2m1 m1 − m2 v2' = v1 v1' = v1 m2 + m1 m1 + m2 ü Si m1 > m2 v1' = v1 et v2' = 2v1 après le choc (f) ! ! ! ! v1' = v1 v2' = 2 v1 le projectile incident continu à la même vitesse Exemple 2: Collision élastique non frontale entre 2 boules m1 ! v2 m2 ! ⎛ v1 ⎞ ! ⎛ v2 ⎞ avant le choc (i) ! v1 ⎜ ⎟ v2 ⎜ ⎟ v2 < 0 v1 ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ (R) ! v1' O ! ' ⎛ v2 x ⎞ ! ' ⎛ v1x ⎞ v2 ⎜ ⎟ après le choc (f) v1 ⎜ ⎟ ⎝ v1y ⎠ ⎝ v2 y ⎠ ! v 2' ' m1v1 + m2 v2 = m1v1x + m2 v'2 x ! ! La conservation de la quantité de mouvement: pi = p f ' 0 = m1v1y + m2 v'2 y 1 1 1 1 La conservation de l’énergie cinétique: Eci = Ecf m1v12 + m2 v22 = m1v1'2 + m2 v2'2 2 2 2 2 La résolution est ici plus complexe car il y a 4 inconnues et seulement 3 équations…. b) Les collisions inélastiques Une collision est dite inélastique si l’énergie mécanique (et donc l’énergie cinétique) varie au cours de la collision. Cette perte d’énergie peut être liée à un échauffement et/ou une déformation permanente (ex: 2 voitures qui s’entrechocs) collision complétement inélastique est collision partiellement inélastique est une collision où les 2 corps restent collés une collision où les 2 corps ne restent pas collés m1 m2 ! ! avant le choc (i) ! ! ! pi = m1v1 v1 v2 = 0 ! ! après le choc (f) ! p f = ( m1 + m2 ) v 2' m1+m2 v 2' Par contre, la conservation de la quantité de mouvement est toujours vérifiée: ! ! pi = p f m1v1 = ( m1 + m2 ) v'2