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Conjectures célèbres{} 1-Définition d'une conjecture Une conjecture est un énoncé raisonnable aux yeux de celui qui le formule et qui le propose comme un candidat à la démonstration, en d'autres termes, on peut dire que c'est un ''candidat-théorème''. Pour un mathématicien donné, la conject...

Conjectures célèbres{} 1-Définition d'une conjecture Une conjecture est un énoncé raisonnable aux yeux de celui qui le formule et qui le propose comme un candidat à la démonstration, en d'autres termes, on peut dire que c'est un ''candidat-théorème''. Pour un mathématicien donné, la conjecture représente la ''conviction intime'' de ce qu'est la réponse à une question donnée, sans qu'il dispose, provisoirement, de la possibilité d'apporter la preuve de sa véracité. G. Polya () résume l'importance de la conjecture dans l'activité mathématique : ''d'abord imaginer, ensuite prouver''. Les conjectures célèbres jalonnent l'histoire des mathématiques, mais un domaine où elles "fleurissent" plus qu'ailleurs est la théorie des nombres. 2-Conjecture de Goldbach En remarquant que Goldbach (1690-1764) a conjecturé en 1742 que : ''Tout entier pair est la somme de deux nombres premiers''. Cette affirmation a donné naissance à de nombreux travaux et bien que des progrès considérables aient été faits actuellement (vérifiée sur plus de cent millions d'entiers pairs), elle demeure néanmoins un problème ouvert. Le premier progrès sérieux vers la solution du problème fut obtenue par le mathématicien russe vinogradov en 1937. Ce dernier a montré que pour suffisamment grand, tout nombre impair supérieur à est la somme de trois nombres premiers. Les théorèmes de ce type sont intéressants dans le cas où l'on peut trouver une borne supérieure raisonnable car on on pourrait alors vérifier vérifier si la propriété est satisfaite ou non pour les nombres inférieurs à cette borne. Dans le cas présent, la valeur de est tellement grande que les nombres restants ne peuvent tous être vérifier. 3-Les nombres parfaits Depuis l'antiquité grecque, un nombre entier est dit parfait s'il est égale à la somme de ses diviseurs propres. Quatre nombres parfaits seulement furent découvert par les grecs: A partir de ces quatre nombres , il fut conjecturé: 1) Le nième nombre parfait s'écrit avec chiffres. 2) Les nombres parfaits pairs se terminent alternativement par et La découverte de au moyen-âge refutait la première conjecture mais confirmait la deuxième. La découverte de refutait la deuxième conjecture. Cependant, au vu des données accummulées, il fut conjecturé : 2') Les nombres parfaits pairs se terminent par ou. Un progrès décisif fut obtenu par Euler (1707-1783) au dix-huitième siècle en établissant que tout nombre parfait pair est de la forme où est premier. Ainsi Le résultat d'Euler permet de prouver l'exactitude de la conjecture 2'.  Les nombres parfaits occupent une place de choix dans l'arithmétique ancienne. L'exposé le plus détaillé est l'oeuvre du mathématicien grec Nicomaque, au début du second siècle. Celui-ci décrit trois types de nombres : abondants, déficients et parfaits. Un nombre abondant est un entier naturel tel que la somme de ses diviseurs propres lui est supérieure, autrement dit, c'est un nombre riche en diviseurs. Par exemple, 12 est un nombre abondant car la somme de ses diviseurs propres vaut Un nombre déficient est un entier tel que la somme de ses diviseurs propres lui est inférieure. Par exemple 15 est déficient car la somme de ses diviseurs propres (1, 3, 5) vaut Le nombre parfait est présenté ensuite comme une forme d'équilibre entre les deux types, l'un et l'autre conçus comme imparfaits. Actuellement parmi les questions ouvertes concernant les nombres parfaits, on peut citer celle de l'existence ou non des nombres parfaits impairs. Nicomaque avait ''conjecturé'' (plutôt affirmé) que tous les nombres parfaits sont pairs. Aujourd'hui, à défaut d'exhiber un nombre parfait impair, et donc de démontrer l'existence, ou de prouver leur inexistence, on détermine des conditions de plus en plus nombreuses, auxquelles son existence doit être soumise. Les tableaux suivants donnent une idée des étapes successives de cette recherche. Nombre de facteurs premiers distincts requis pour un nombre parfait impair Tableau 1.2 Borne minimun des nombres parfaits impairs Tableau 1.3 Ainsi on voit s'aggrandir, et de plus en plus rapidement, les zones de l'ensemble des entiers naturels où il n'y a pas de nombres parfaits impairs: Le plus petit nombre parfait impair s'il existe s'écrira avec au moins 160 chiffres et devra admettre au moins huit diviseurs : ceci incite à conjecturer leur inexistence. 4-Les nombres de Fermat Fermat (1601-1665), au dix-septième siècle, a remarqué que les nombres de la forme sont premiers pour En effet, sont tous premiers. Dans une lettre adressée à Mersenne (1588-1648) en 1640, Fermat écrivait : ''J'ai trouvé que les nombres de la forme sont toujours premiers, et depuis j'ai souvent fait connaître aux analystes la vérité de ce théorème''. Probablement, Fermat avait tenté de pousser plus loin son investigation, mais vu l'ordre de grandeur des nombres, il aurait arrêté (les nombres de Fermat croient de manière exponentielle). Les travaux ultérieurs n'ont fait que montrer à quel point Fermat se trompait. Euler, en 1732, réfutait l'affirmation de Fermat en montrant que possède un diviseur; précisemment, En 1880, Landry a montré que etait composé ( s'écrit avec 20 chiffres), et une fois de plus un facteur premier a été trouvé à savoir 274177. En 1905, Morhead et Western ont prouvé sans trouver de facteur premier que (qui a 37 chiffres) est composé, de même qu'ils ont montré que (qui s'écrit avec 78 chiffres) est non premier. Certains mathématiciens ont conjecturé qu'il devait exister une infinité de nombres de premiers, d'autrs pensent le contraire. Or, devient très vite extrêmement grand, a 309 chiffres et le mathématicien français E. Lucas (1842-1891) disait, au sujet de que ‹‹la bande de papier qui le contiendrait ferait le tour de la terre ››. En fait, à ce jour on n'a pas trouvé un autre nombre de Fermat qui soit premier (autre que les cinq nombres connus par Fermat) et on a démontré que est non premier pour Actuellement, on conjecture que est non premier pour tout 5-Distribution des nombres premiers Beaucoup des premiers travaux du mathématicien allemand Gauss (1777-1855) sont dus à son habitude de faire des calculs et d'observer les résultats comme c'est le cas dans sa recherche de loi de distribution des nombres premiers. Lorsqu'on examine une liste de nombres premiers, on remarque que leur distribution est très irrégulière. Il n'existe par exemple aucun nombre premier entre 114 et 126, alors qu'il y en a cinq entre 97 et 109. Aucun ordre ne semble les régir. Est-ce vraiment le cas, ou bien existe-t-il un ordre subtil qu'une étude approffondie pourrait révéler ? Cest l'une des principales questions que les mathématiciens se sont posées à propos des nombres premiers, et à laquelle les réponses ne sont à ce jour que partielles. La raréfaction des nombres premiers est une propriété assez bien comprise aujourd'hui. On désigne par le nombre de nombres premiers ne dépassant pas A défaut de trouver la valeur exacte de pour un donné, le problème demeure toujours ouvert , les mathématiciens essayent de comparer cette fonction à d'autres qu'ils connaissaient déjà. Vers 1785, le mathématicien français Legendre donne à partir de tables de nombres premiers une approximation empirique de Il compare sur des tables de nombres premiers inférieurs à un million, le nombre avec la précision lui paraît très satisfaisante, les erreurs relatives sont inférieures à 1.5 Dès 1798, en examinant des tables étendues de valeurs de obtenues par lui-même et et par d'autres, le mathématicien allemand Gauss affirmait avoir observé que les valeurs de la fonction étaient approximativement celles de la fonction particuliérement pour assez grand. D'où la conjecture de Gauss: Le tableau (1.4) met en évidence qu'en passant d'une puissance de 10 à la suivante , la quantité augmente approximativement de 2.3 ( ). Or ceci n'apparaît clairement que pour supérieur à 10000 et laisse entrevoir la quantité énorme de calculs auquels Gauss dut se livrer et son ingéniosité pour conjecturer un tel résultat. 10 4 2.5 2.3 100 25 4.0 4.6 1000 168 6.0 6.9 10000 1229 8.1 9.2 100000 9592 10.4 11.5 1000000 78498 12.7 13.8 10000000 664579 15.0 16.1 100000000 57614555 17.4 18.4 1000000000 50847534 19.7 20.7 10000000000 455052512 22.0 23.0 Tableau 1.4 La conjecture de Gauss est appelée aujourd'hui : le théorème des nombres premiers. La première étape importante vers la démonstration du théorème à été l'oeuvre du mathématicien russe Tchebyshev (1821-1894) qui établit en 1850 l'existence de constantes positives et telles que: En particulier, pour En 1896, le mathématiciens français Hadamard (1865-1963) et le mathématicien belge La Vallé-Poussin (1866-1962) ont démontré, indépendamment l'un de l'autre, le théorème en utilisant des notions poussées d'analyse complexe. Ce n'est qu'en 1948 qu'une démonstration arithmétique en est donnée par Erdos et Selberg. Le théorème des nombres premiers a pour conséquence la loi de raréfaction des nombres premiers : La densité des nombres premiers tend vers zéro ''à l'infini''. En quelque sorte, lorsque l'on avance vers les entiers de plus en plus grands les nombres premiers se font de plus en plus rares bien qu'il y en ait toujours une infinité.  Tabeau 1.5 Ce tableau montre que sur les cent premiers nombres entiers % sont premiers et ce taux diminue à 5% pour les nombres compris entre un et un milliard. De même, on sait qu'il existe 168 nombres premiers compris entre 0 et 1000, il y a 106 entre 10000 et 11000, 81 entre 100000 et 101000,... et seulement 2 entre 10 et 10 Avant que le problème de la distribution des nombres premiers ne soit étudié par Gauss, peu de résultats sont connus à ce sujet. Les mathématiciens avant Gauss ont surtout tenté de trouver des fonctions polynômiales qui devraient générer exclusivement des nombres premiers. Ainsi, au moyen âge, certains mathématiciens étaient convaincus que le polynôme ne prend que des nombres premiers pour valeurs. On a Tableau 1.6 Bien que cela soit effectivement vérifié pour n'est pas premier. Il est démontré par la suite que tout polynôme à coefficients entiers doit prendre au moins une valeur composée (un nombre non premier). This document created by Scientific WorkPlace 4.0.