Complex Numbers Past Paper PDF

द्वितीय श्रेणी गणणत 1. i57 + 1/i125 का मान होगा- 1 1 10....

द्वितीय श्रेणी गणणत 1. i57 + 1/i125 का मान होगा- 1 1 10. – का मान होगा- i57 + 1/i125 is equal to – 1– i 1+ i (a) 0 (b) –2i 1 1 (c) 2i (d) 2 The value of – is- 100 1– i 1+ i  –1– i  (a) पूणणतः परिमेय/Purely Rational 2.   बराबर है-  2  (b) पूणणतः काल्पविक/Purely Imaginary 100  –1– i  (c) पूणणतः िास्तविक/Purely real   equals -  2  (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these (a) 1 (b) – i (2 + i)2 (c) i (d) – 1 11 का संयुग्मी होगा- 3 + 4i 3. (–i)–117 का मान है – (2 + i)2 The value of (–i)–117 is - The conjugate of is- 3 + 4i (a) – 1 (b) i (a) 1 (c) 1 (d) – i 4. (i + 1) (i + 1) (i + 1)..........(i + 1) बराबर है- 10 9 8 (b) पूणणतः काल्पविक/purely imaginary (i10 + 1) (i9 + 1) (i8 + 1)..........(i + 1) equals- (c) – 1 (a) – 1 (b) 1 (d) उपयुणक्त में से कोई िही/None of these (c) i (d) 0 3 + 2i 12 का संयुग्मी होगा- 5. i बराबर है- 243 5 – 3i i243 equals - 3 + 2i The conjugate of is equal to- (a) – 1 (b) 1 5 – 3i (c) i (d) – i 1 1 (a) – (9 + 19i) (b) (9 – 19i) 1 + i2 + i3 + i4 + i5 34 34 6. बराबर है- 1+ i 1 1 (c) (19i – 9) (d) (9 + 19i) 1 + i2 + i3 + i4 + i5 34 34 equals - 1+ i ( ) तो कौन-सा कथन सत्य है? 2 13. यदि Z2 = Z (a) 1 – i (b) (1 + i)/2 = ( Z ) , then which statement is true? 2 (c) (1 – i)/2 (d) 1 + i If Z2 7. (1 + i) + (1 – i) , (n  N) का मान शून्य होगा, यदि- 2n 2n The value of (1 + i)2n + (1 – i)2n, (n  N) is zero, if- (a) Z काल्पविक है/Z is Imaginary (a) n विषम है/n is odd (b) Z िास्तविक है/ Z is Real ( ) 2 (b) n, 4 का गुणज है/ n is a multiple of 4 (c) Z = – Z (c) n सम है/n is even n n (d) Z िास्तविक या काल्पविक है/Z is Real or Imaginary (d) विषम है/ is odd 14. वनम्न में कौन-सी सम्म्मश्र संख्या है? 2 2 i592 + i590 + i588 + i586 + i584 Which of the following is a complex number? 8. व्यंजक 582 का मान होगा- i + i580 + i578 + i576 + i574  π (a)  tanπ, tan  The value of the expression  2 i592 + i590 + i588 + i586 + i584 is - (b) ( e,i8 ) i582 + i580 + i578 + i576 + i574 (c) ( 0, –1) (a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) –2 (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/ None of these 5 + 3i 15. वनम्न में से सम्म्मश्र संख्या कौन-सी है? 9. का वास्तववक तथा काल्पवनक भाग है- i–2 Which one is a complex number? 5 + 3i (a) (i4, i5) The real and imaginary parts of are- i–2 (b) (i8, i12) (a) –5/2, 3 (b) –1, – 3/5 (c) ( – 4, 4 ) (c) –7/5, –11/5 (d) 7/5, –11/5 (d) {log 2 , log (–1)} -:: 1 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 16. वनम्न में से सत्य कथन है- (c) Z Z विशुद्ध काल्पविक संख्या है Which of the following is the correct Z Z is purely imaginary number statement? (d) Z Z अऋणात्मक संख्या है (a) 1 – i < 1 + i Z Z is non-negaitve number (b) 2i > i 1+ c +is (c) 2i + 1 > – 2i + 1 25. यदि c2 + s2 = 1, तो = = (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these 1+ c –is 17. a + ib > c + id अथथयुक्त (meaningful) होगा, यदि- 1+ c +is If c2 + s2 = 1, then = = a + ib > c + id is meaningful if- 1+ c –is (a) a = 0, d = 0 (b) a = 0, c = 0 (a) c + is (b) s + ic (c) b = 0, c = 0 (d) d = 0, b = 0 (c) c – is (d) s – ic 3 + 2i 3 – 2i संख्या है- 26. यदि z = 1 + i, तो z2 का गुणन प्रवतलोम है- 18. + 2 – 5i 2 + 5i If z = 1 + i, then multiplicative inverse of z 2 is - (a) 2i (b) – i/2 The number 3 + 2i + 3 – 2i is - 2 – 5i 2 + 5i (c) i/2 (d) 1 – i (a) शून्य/zero 27. सम्म्मश्र संख्या z = –2i (1 – i)2 (1 + i 3 )3 का मापांक होगा- (b) विशुद्ध िास्तविक/Purely real The modulus of complex number (c) विशुद्ध काल्पविक/Purely imaginary z = –2i (1 – i)2 (1 + i 3 )3 is – (d) सम्ममश्र/ complex (a) 32 (b) 0 19. यदि (x + iy) (2 – 3i) = 4 + i, तो- (c) – 32 (d) 1 If (x + iy) (2 – 3i) = 4 + i, then - 28. सम्म्मश्र संख्याओं – 4 + 3i तथा – 8 + 6i के योग का मापांक 5 14 5 14 होगा- (a) x = – ,y= (b) x = ,y=– 13 13 13 13 The modulus of sum of complex numbers 14 5 5 14 – 4 + 3i and – 8 + 6i is- (c) x = ,y= (d) x = ,y= 13 13 13 13 (a) उिके मापांकों के योग के बिाबि 20. यदि z = – 3 + 2i, तो 1/z बराबर है- equal to sum of moduli. If z = – 3 + 2i, then 1/z is equal to- (b) उिके मापांको के योग से अधिक या बिाबि 1 1 greater than or equal to sum of moduli. (a) – (3 + 2i) (b) (3 + 2i) 13 13 (c) उिके मापांकों के योग से कम या बिाबि 1 1 less than or equal to sum of moduli. (c) (3 + 2i) (d) – (3 + 2i) 13 13 (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these. 21. यदि z1, z2  C, तो कौन-सा कथन सत्य है? cosθ – isinθ 29. का मापांक है- If z1, z2  C, then which statement is true? sinθ – icosθ (a) Re(z1–z2) = Re(z1) – Re(z2) cosθ – isinθ Modulus of is- (b) Re(z1/z2) = Re(z1) / Re(z2) sinθ – icosθ (c) Re(z1z2) = Re(z1) Re(z2) (a) 0 (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these (b) 2 22. यदि Z1, Z2  C, तो कौन-सा कथन गलत है? (c) π – 2 If Z1, Z2  C, then wrong statement is? (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these (a) Z1 + Z2 = Z2 + Z1 (b) Z1. Z2 = Z2. Z1 30. यदि z1 एवं z2 कोई िो सम्म्मश्र संख्याएँ हों, तो Z2 + Z1 Z2 – Z1 (c) Z1.Z2 = Z2. Z1 (d) Z1 + Z2 = Z1 – Z2 होगा- z–z If z1 and z2 are any two complex numbers, then 23. यदि z = x + iy, तो का मान है- z+z Z2 + Z1 is - z–z Z2 – Z1 If z = x + iy, then is equal to- z+z (a) < 1 (a) i (y/x) (b) y/x (b) > 1 (c) i (x/y) (d) x/y (c) > – 1 24. वकसी सम्म्मश्र संख्या z के ललए कौन-सा कथन सत्य है? (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these For any complex number z which statement is 31. यदि (–7 –24i)1/2 = x – iy, तो x2 + y2 बराबर है- true? If (– 7 – 24i)1/2 = x – iy, then x2 + y2 is equal to- (a) Z – Z विशुद्ध िास्तविक संख्या है (a) 25 Z – Z is purely real number (b) 25 (b) Z + Z विशुद्ध काल्पविक संख्या है (c) 15 (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these Z + Z is purely imaginary number -:: 2 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 32. यदि z1 तथा z2 िो सम्म्मश्र संख्याएँ हों, तो कौन-सा कथन सत्य | z | = 1, amp (z) = 5π /12 है? (d) | z | = 1, कोणांक (z) = π/12 If z1 and z2 be two complex numbers, then | z | = 1, amp (z) = π/12 which statement is true? 40. ( 1+ i )( 2 + i ) का कोणांक है- (a) |z1 + z2| < |z1| + |z2| (b) |z1 – z2| = |z1| + |z2| 3 –i (c) |z1 + z2| > |z1 – z2| (d) |z1 + z2| > |z1| + |z2| The amplitude of ( 1+ i )( 2 + i ) is- 33. यदि ( 3 + i)100 = 299 (a + ib), तो a2 + b2 का मान होगा- 3 –i (a) – π/3 (b) π/2 If ( 3 + i)100 = 299 (a + ib), then a2 + b2 is equal (c) π/3 (d) – π/2 to- 41. यदि z1, z2 ऐसी िो सम्म्मश्र संख्याएँ हैं वक |z1 + z2| = (a) 2 (b) 1 |z1 – z2| तो कोणांक (z1) – कोणांक (z2) बराबर है- (c) 3 (d) 4 If z1, z2 are two complex numbers such that 34. यदि कोणांक (zi) = i, i = 1, 2, 3; तो, कोणांक  Z 1  |z1 + z2| = |z1 – z2| then amp(z1) – amp(z2) is    Z2 Z3  equal to- बराबर है- (a) π/3 (b) π/2 If amp (zi) = i, i = 1, 2, 3; then amp  Z 1  is (c) π/4 (d) 0   1+ 7i का ध्रुवीय रूप (Polar form) है-  Z2 Z3  42. equal to- ( 2 – i) 2 θ θθ The polar form of 1+ 7i is - (a) (b) 1 2 ( 2 – i) 2 θ2 θ3 θ3 (c) 1 – 2 – 3 (d) 1 – 2 + 3 (a) 2  cos  π 2 – i sin π 2  4 4 ( (b) 2 cos 3π + i sin 3π ) 35. –1 – i 3 का कोणांक होगा- π π (d) 2  cos + i sin  π π The amplitude of –1 – i 3 is- (c) 2  sin + i cos   4 4  4 4 (a) –π/3 (b) π/ 3 43. सम्म्मश्र संख्या 1–i का r (cos  + i sin ) रूप होगा- (c) 2π/3 (d) –2π/3 1+i 36. sin 6π + i  1+ cos 6π  का कोणांक होगा- 5  5  r(cos  + i sin ) form of 1–i is - 1+i The amplitude of sin 6π + i  1+ cos 6π  is- π π 5  5  (a) sin + i cos (a) 3π/5 2 2 π π (b) 9π/10 (b) cos – i sin (c) 3π/10 2 2 (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these π π (c) cos + i sin 37. 3 – 8 का कोणांक है- 2 2 The amplitude of 3 – 8 is - (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/ None of these (a) 0 (b) π/2 44. – 3 – 4i बराबर है- – 3 – 4i equals - (c) π d) – π/2 38. 1/i का कोणांक है- (a) 5e  i π–tan–1(3/4)  (b) 5e   –i π–tan–1(4/3) The amplitude of 1/i is equal to- (c) 5e  i π–tan–1(4/3)  (d) 5e   –i π–tan–1(3/4) (a) π (b) π/2 45. यदि एक सम्म्मश्र संख्या का मापांक एवं कोणांक क्रमशः 2 तथा (c) – π/2 (d) 0 2/3 हो, तो वह संख्या है- 39. यदि z = ( 1+ i ) 3 – ( 1– i ) हो, तो- If modulus and amplitude of a complex 2 2 number are 2 and 2/3 respectively, then the If z = ( 1+ i ) 3 – ( 1– i ) , then - number is- 2 2 (a) 1 – i 3 (b) 1 + i 3 (a) | z | = 1, कोणांक (z) = – π/4 (c) – 1 + i 3 (d) – 1 – i 3 | z | = 1, amp (z) = – π/4 46. 8 – 6i का वगथमूल है- (b) | z | = 1, कोणांक (z) = π/4 The square root of 8 – 6i is - | z | = 1, amp (z) = π/4 (a) ± (1 + 3i) (b) ± (3 – i) (c) | z | = 1, कोणांक (z) = 5π/12 (c) ± (1 – 3i) (d) ± (3 + i) -:: 3 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 47. i का वगथमूल है- 3π  Modulus of 1+ itan   π     is- The square root of i is -  2  1 1 (a) – sec (b) sec (a) ± (1 + i) (b) ± (1 – i) 2 2 (c) cot (d) – cos 55. (1+  –  )(1–  +  ) का मान है- 2 2 (c) ± 2 (1 – i) (d) ± 2 (1 + i) The value of (1+  – 2 )(1–  + 2 ) is- 48. –7 + 24i का वगथमूल है- The square root of –7 + 24i is - (a) – 4 (b) – 2 (a) ± (3 + 4i) (b) ± (–3 + 4i) (c) 4 (d) 2 (c) ± (–4 + 3i) (d) ± (4 + 3i) 56. (x + y + z)(x + y + z2 )(x + y2 + z) का मान है- 49. यदि  इकाई का घनमूल हो, तो The value of (x + y + z)(x + y + z2 )(x + y2 + z) a + b + c a + b + c is- 2 2 + का मान होगा- b + c + a c + a + b 2 2 (a) x3 + y3 + z3 – 3xyz (b) x3 + y3 + z3 + 3xyz If  is cube root of unity, then the value of (c) – x3 – y3 – z3 + 3xyz (d) – (x3 + y3 + z3 + 3xyz) a + b + c a + b + c 2 2 57. विघात समीकरण x2 +px + q = 0 का एक मूल 3 + 4i हो + is- b + c + a c + a + b 2 2 तो- (a) 1 (b) 0 If one root of quadratic equation x2 +px + q = 0 (c) – 1 (d) 2 is 3 + 4i then- 6 6 5 5  –1+ i 3   –1– i 3   –1+ i 3   –1– i 3  (a) p = 6, q = 25 (b) p = 6, q = 7 50.   +  +  +  =?  2   2   2   2  (c) p = – 6, q = 7 (d) p = – 6, q = 25 (a) 1 (1+ i)(2 + i) 58. सम्म्मश्र संख्या का मापांक होगा - (b) –1 3 +i (c) 2 (1+ i)(2 + i) Modulus of complex number is - (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these 3 +i 51. 3 – 2i का संयुग्मी होगा- (a) – 1 (b) 1 5 – 3i 1 2 (c) (d) Conjugate of 3 – 2i is- 3 3 5 – 3i a + ib 1 1 59. सम्म्मश्र संख्या का मापांक होगा - (a) – (21 + i) (b) (21 + i) a – ib 34 34 a + ib 1 1 Modulus of complex number is- (c) (1 + 21i) (d) (21 – i) a – ib 34 34 (a) a2 + b2 (b) a2 +b2 1+ i 52. का कोणांक हैं- a2 + b2 1– i (c) 1 (d) a2 – b2 1+ i Argument of is- 60. 3 + 4i का वगथमूल होगा - 1– i π π Square root of 3 + 4i is- (a) (b) (a) ±(1+ 2i) (b) ±(2 + i) 4 2 3π (c) ±(2 – i) (d) ±(1– 2i) (c) (d) 0 2 61. (– i) बराबर हैं - 119 z + 5i (– i)119 is equal to- 53. यदि z = x – iy तथा = 1 हो तो z स्स्थत होगा- z – 5i (a) i (b) – i z + 5i (c) 1 (d) – 1 If z = x – iy and = 1 then z lies on- z – 5i 1 62. यदि z = – 3 + 2i हो तो होगा - (a) x अक्ष पि/On the x-axis z (b) y अक्ष पि / On the y-axis 1 If z = – 3 + 2i then is - (c) िेखा y = 5 पि / On the line y = 5 z (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these 1 1 (a) (3 + 2i) (b) (3 – 2i)  3π  13 13 54. 1+ itan   π     का मापांक होगा -  2  1 1 (c) – (3 + 2i) (d) – (3 – 2i) 13 13 -:: 4 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 1– i (a) 8 63. का ध्रुवीय मान होगा- 2 (b) 4 1– i (c) 2 Polar form of is- 2 (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these 1  π π 1  π π 70. यदि z1 तथा z2 िो सम्म्मश्र संख्या इस प्रकार है वक (a) cos + i sin (b)  cos – i sin  2 4 4 2 4 4 z1 + z2 = z1 + z2 , तो Arg z1 – Arg z2 =  π π  π π (c) cos + i sin  (d) cos – i sin  If z1 and z2 are two complex numbers such that  4 4  4 4 1 1 z1 + z2 = z1 + z2 , then Arg z1 – Arg z2 = 64. यदि x + = 2cosθ तब, x + n बराबर हैं- n x x π (a) – π (b) – 1 1 2 If x + = 2cosθ then, xn + n is equal to- x x π (c) 0 (d) (a) 2 cos n (b) 2 sin n 2 (c) cos n (d) sin n 71. 3 – 4i का मान हैं - 65. यदि z = x + iy तथा w = (1– iz)/(z – i), w = 1 हो तो z The value of 3 – 4i is- होगा- (a) 2 + i If z = x + iy and w = (1– iz)/(z – i), w = 1 then z (b) 1 + i is- (c) 1 – i (a) z काल्पविक अक्ष पि स्स्ित होगा। (d) 2 – i z lies on imaginary axis 3 – 2i 72. यदि A + iB = हो, तो A – B का मान हैं - (b) z िास्तविक अक्ष पि स्स्ित होगा।/z lies on real axis 7 + 4i (c) z िृत्त पि स्स्ित होगा।/ z lies on circle 3 – 2i If A + iB = , then the value of A – B is - (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/ None of these 7 + 4i 1– i 3 1 2 66. का कोणांक होगा- (a) (b) 1+ i 3 5 5 1– i 3 3 1 Argument of is- (c) (d) – 1+ i 3 5 5 (a) 210˚ (b) 90˚ 73. सम्म्मश्र संख्या – 1 – 3 i का कोणांक होगा- (c) 240˚ (d) 45˚ Argument of complex number – 1 – 3 i is- 67. यदि   1 इकाई का घनमूल हो तो (1+ ω2 ) = (1+ ω 4 )n के π 2π ललए n का न्यूनतम मान होगा- (a) (b) 3 3 If   1 is cube root of unity then the minimum 4π 5π (c) (d) value of n for (1+ ω2 ) = (1+ ω 4 )n is- 3 3 (a) 2 (b) 3 1/3 x y 74. यदि (x + iy) = a + ib, तो + बराबर होगा- (c) 5 (d) 10 a b 1 x y 68. वकसी सम्म्मश्र संख्या का संयुग्मी हो तो सम्म्मश्र संख्या If (x + iy)1/3 = a + ib, then + is equal to- i–1 a b होगी- (a) 4 ( a + b ) 2 2 1 If i–1 is a conjugate of a complex number, (b) 4 ( a2 – b2 ) then the complex number will be- (c) 4 ( b2 – a2 ) 1 1 (a) – (b) (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these i–1 i+1 1 1 75. यदि A +iB = tan(x +iy) हो तो tan2x का मान हैं- (c) – (d) i+1 i–1 If A +iB = tan(x +iy), then the value of tan2x is n  1+ i  2A 69. सम्म्मश्र संख्या   के वास्तववक मान के ललए n का (a)  1– i  1+ A 2 +B2 न्यूनतम मान होगा- 2A (b) For the real value of the complex number 1– A 2 + B2 n 2A  1+ i  (c)   , the minimum value of n will be- 1– A 2 – B2  1– i  (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of these -:: 5 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 76. लघुतम धनात्मक पूणाांक n क्या है, जजसके ललए 1– i 3 n2 81. सम्म्मश्र संख्या , जहाँ i = – 1 है, का कोणांक क्या  1– i  1+ i 3   = 1 है, जहाँ i = – 1 हैं?  1+ i  हैं? The smallest positive integer n for which What is the argument of the complex number  1– i  n2 1– i 3 = 1 ; where i = – 1 , is? , where i = –1?   1+ i 3  1+ i  (a) 2 (b) 4 (a) 240° (b) 210° (c) 120° (d) 60° (c) 6 (d) 8 cosθ + isinθ 2 82. सम्म्मश्र संख्या , जहाँ i = – 1 है, का 77. यदि Z = 1+ i है, जह ाँ i = – 1 है, तो Z + क म प ांक cosθ – isinθ Z मापांक क्या हैं? क्य हैं? What is the modulus of the complex number If Z = 1+ i , where i = – 1 then what is the cosθ + isinθ , where i = – 1 ? 2 cosθ – isinθ modulus of Z + ? Z 1 (a) (b) 1 (a) 1 (b) 2 2 3 (c) 3 (d) 4 (c) (d) 2 2 78. एक सम्ममश्र सांख्य Z के सांिर्भ में निमिलिखित पर निच र 1+ 2i कीजजए- 83. z= का मापांक क्या हैं? 1– ( 1– i ) 2 Consider the following in respect of a complex number Z- 1+ 2i What is the modulus of z = ? ( ) ( ) –1 1– ( 1– i ) 2 2 1. Z–1 = Z 2. ZZ–1 = Z (a) 4 (b) 2 उपयुथक्त में से कौन-सा सही हैं? 1 Which of the above is/are correct? (c) 1 (d) 2 (a) केिल 1/Only 1 1+ 2i (b) केिल 2/Only 2 84. z= का मुख्य कोणांक क्या है? 1– ( 1– i ) 2 (c) 1 औि 2 दोिों/ Both 1 and 2 What is the principal argument of (d) ि तो 1 औि ि ही 2/Neither 1 nor 2 1+ 2i 79. नकसी स्िेच्छ सम्ममश्र सांख्य Z के सांिर्भ में निमिलिखित कथिों z= ? 1– ( 1– i ) 2 पर निच र कीजजए- Consider the following statements in respect π (a) 0 (b) of an arbitrary complex number Z- 4 π 1. Z और इसके सांयुग्मी क अांतर एक अधिकल्पपत सांख्य है। (c) (d) π 2 The difference of Z and its conjugate is an 3n 3n  –1+ i 3   –1– i 3  imaginary number. 85.   +  का मान क्या है, जहाँ i = –1  2   2  2. Z और इसके संयुग्मी का योगफल एक वास्तववक संख्या हैं। The sum of Z and its conjugate is a real है? 3n 3n     number. What is the value of  –1+ i 3  +  –1– i 3  , उपयुथक्त कथनों में से कौन-सा सही हैं?  2   2  Which of the above statements is/are correct? where i = – 1 ? (a) केिल 1/ Only 1 (a) 3 (b) 2 (b) केिल 2/ Only 2 (c) 1 (d) 0 (c) 1 औि 2 दोिों/Both 1 and 2 86. इकाई (यूवनटी) के घनमूलों के संबंध में वनम्नललखित में से क्या (d) ि तो 1 औि ि ही 2/Neither 1 nor 2 सही हैं? 80. सम्ममश्र सांख्य i2n+1 (– i)2n–1 क म प ांक क्य है, जह ाँ Which of the following is correct in respect of the Cube Roots of Unity? n  N और i = – 1 हैं? (a) ये संिेख होते हैं/They are collinear. What is the modulus of the complex number (b) ये 3 विज्या िाले एक िृत्त पि होते हैं i2n+1 (– i)2n–1, where n  N and i = –1 ? They lie on a circle of radius 3 (a) –1 (b) 1 (c) ये एक समबाहु विभुज बिाते हैं (c) 2 (d) 2 They form an equilateral triangle. (d) उपयुणक्त में से कोई िहीं/None of the above. -:: 6 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 87. – 1 – i, जहाँ i = – 1 है, का मुख्य कोणांक क्या है? (a) 0 (b) 1 What is the principal argument of – 1 – i, where (c) i (d) – i n n i = –1?  –1+ i 3   –1– i 3  95.   +  जहाँ n, 3 का गुभणत नहीं है और π π  2   2  (a) (b) – 4 4 –3π 3π i = – 1 है, का मान है- (c) (d) n n 4 4  –1+ i 3   –1– i 3  The Value of   +  where n is 88. यदि  और  भभन्न-भभन्न सम्म्मश्र संख्याएँ हैं जहाँ ||= 1 हैं,  2   2   – तो वकसके बराबर है? not a multiple of 3 and i = – 1 is- 1–  (a) 1 (b) – 1 If  and  are different complex numbers with (c) i (d) – i  – ||= 1 then what is equal to? 96. यदि 1, , 2 इकाई के घनमूल हैं, तो 1–  (1 + ) (1 + 2) (1 + 3) (1 +  + 2) वकसके बराबर हैै़? (a) || (b) 2 If 1, , 2 are the cube roots of unity, then (c) 1 (d) 0 (1 + ) (1 + 2) (1 + 3) (1 +  + 2) is equal to- 89. i1000 + i1001 + i1002 + i1003 वकसके बराबर है, जहाँ i = – 1 ? (a) – 2 (b) – 1 What is i1000 + i1001 + i1002 + i1003 equal to, (c) 0 (d) 2 where i = –1? 1+ 2i (a) 0 (b) i 97. सम्म्मश्र संख्या के मापांक व मुख्य कोणांक हैं, 1– (1– i)2 (c) – i (d) 1 क्रमश:- 90. 3 +i , जहाँ i = – 1 है, का मापांक-कोणांक रूप है- The modulus and principal argument of the The modulus-amplitude form of 3 +i , where 1+ 2i complex number are respectively- i = – 1 is - 1– (1– i)2  π π  π π (a) 1, 0 (b) 1, 1 (a) 2  cos +isin  (b) 2  cos +isin  (c) 2, 0 (d) 2, 1  3 3  6 6 π π π π 98. यदि |z + 4|  3 है, तो |z + 1| का अधधकतम मान क्या है?   (c) 4  cos +isin  (d) 4  cos +isin  If |z + 4|  3, then the maximum value of  3 3  6 6 11 |z + 1| is- 91. योगफल  (i n= 2 n +in+1 ) , जहाँ i = – 1 है, का मान क्या है? (a) 0 (b) 4 11 (c) 6 (d) 10 What is the value of the sum  (i n +in+1 ) ,where  3 i 107  3 i 107 n= 2 99. यदि z= +  + –  है, तो z का  2 2   2 2 i = –1 (a) i (b) 2i अधधकल्ल्पत भाग वकसके बराबर है? 107 107 (c) – 2i (d) 1 + i  3 i  3 i If z =  +  + –  , then what is the 4 92. यदि z – =2 है, तो |z| का अधधकतम मान बराबर है-  2 2  2 2 z imaginary part of z equal to? 4 1 If z – =2 , then the maximum value of |z| is (a) 0 (b) z 2 equal to- 3 (a) 1+ 3 (b) 1+ 5 (c) (d) 1 2 (c) 1– 5 (d) 5 – 1 100. zz + (3 – i)z + (3 + i)z + 1 = 0, एक वृत्त को वनरूवपत 93. Re(z2 – i) = 2 जहाँ i = – 1 है और Re वास्तववक अंश है, करता है, जजसका- ज्याधमतीय रूप से क्या वनरूवपत करता है? zz + (3 – i)z + (3 + i)z + 1 = 0, represent a circle Geometrically Re (z2 – i) = 2, where i = – 1 and with- Re is the real part, represents- (a) केन्र (– 3, – 1) औि विज्या 3 है (a) िृत्त/Circle centre (– 3, – 1) and radius 3 (b) दीर्णिृत्त/Ellipse (c)आयताकाि अवतपििलय/Rectangular hyperbola (b) केन्र (– 3, 1) औि विज्या 3 है (d) पििलय/Parabola centre (– 3, 1) and radius 3 (c) केन्र (– 3, – 1) औि विज्या 4 है 94. i2n + i2n+1 + i2n+2 + i2n+3, जहाँ i = – 1 है, का मान है- centre (– 3, – 1) and radius 4 The value of i2n + i2n+1 + i2n+2 + i2n+3, where (d) केन्र (– 3, 1) औि विज्या 4 है i = – 1 is- centre (– 3, 1) and radius 4 -:: 7 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 1+ i 3 1 + i sinθ 101. यदि z = जहाँ i = – 1 है, तो z का कोणांक क्या है? If z = , where i = – 1 , then What is 1– i 3 1 – i sinθ 1+ i 3 angle  such that z is purely real? If z = where i = – 1 , then what is the 1– i 3 nπ (a) argument of z? 2 (a) π (b) 2π ( 2n + 1) π (b) 3 3 2 4π 5π (c) nπ (c) (d) 3 6 (d) केिल 2nπ, जहााँ n एक पूणाांक है z–1 102. यदि z एक ऐसी सम्म्मश्र संख्या है वक शुद्धतः Only 2nπ, Where n is an interger z+1 1 + i sinθ अधधकल्ल्पत है, तो | z | वकसके बराबर है? 107. यदि z = , जहाँ i = – 1 हो, तो कोण  क्या है z–1 1 – i sinθ If z is a complex number such that is तावक z शुद्धत: अधधकल्ल्पत है? z+1 purely imaginary, then what is | z | equal to? 1 + i sinθ If z = , where i = – 1 , then What is 1 2 1 – i sinθ (a) (b) 2 3 angle  such that z is purely imaginary? (c) 1 (d) 2 nπ (a) 1–  2 103. यदि , 1 का एक अवास्तववक घनमूल है, तो का  + 2 ( 2n + 1) π (b) मान क्या है ? 2 If  is a non-real cube root of 1, then what is (c) nπ 1–  (d) 2nπ, जहााँ n एक पूणाांक है the value of ?  + 2 2nπ, Where n is an interger (a) 3 2 (b) 1 108. का मुख्य कोणांक क्या हैं, जहाँ i = – 1 है? 4 1+ i (c) 1 (d) 3 1 104. यदि  और  समीकरण x – x + 1 = 0 के भभन्न मूल हैं, तो 2 What is the principal argument of , where 1+ i 100 + 100 का मान क्या होगा? i= –1 ? 100 – 100 3π π If  and  are the distinct roots of equation (a) – (b) – 4 4 x2 – x + 1 = 0, then what is the value of π 3π 100 + 100 (c) (d) ? 4 4 100 – 100 200 (a) 3 (b) 2  –3 1  109.  –  का मापांक क्या है ? (c) 1 (d) 1  2 2 3 200  –3 1  1 + i sinθ What is the modulus of  –  105. यदि z = , जहाँ i = – 1 हो, तो z का मापांक  2 2 1 – i sinθ क्या है? (a) 1/4 (b) 1/2 1 + i sinθ (c) 1 (d) 2200 If z = , where i = – 1 , then what is 110. यदि  का न्यूनतम और अधधकतम वास्तववक मान, जजसके 1 – i sinθ the modulus of z? ललए समीकरण z + |z – 1| + 2i = 0, (z  C तथा i = – 1 ) का हल क्रमशः p और q हैं; तो 4(p2 + q2) = ? (a) 1 (b) 2 2 If the least and the largest real values of , for 1+ sin θ (c) 1 + sin  2 (d) which the equation z + |z – 1|+ 2i = 0, (z  C and 2 1– sin θ i = –1 ) has a solution, are p and q respectively; 1 + i sinθ 106. यदि z = , जहाँ i = – 1 हो, तो कोण  क्या है then 4(p2 + q2) = ? 1 – i sinθ (a) 10 (b) 20 तावक z शुद्धत: वास्तववक है? (c) 30 (d) 40 -:: 8 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत ( –1+ i 3 ) ( 1+ i 3 ) 116. मान लीजजए z और w िो सम्म्मश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं वक 21 21 111. माना i = – 1 , यदि + = k और z +i ( 1– i) 24 ( 1+ i ) 24 w = zz – 2z + 2, = 1 और Re(w) का मान न्यूनतम n = [|k|], |k| का महत्तम पूणाांक हो। तब z – 3i n+5 n+5 है। तो nN का न्यूनतम मान जजसके ललए wn वास्तववक है,  ( j + 5) –  ( j + 5) = ? 2 j=0 j=0 होगा- Let z and w be two complex numbers such that ( –1+ i 3 ) ( 1+ i 3 ) 21 21 Let i = – 1 , If + = k and n = z +i ( 1– i) 24 ( 1+ i ) 24 w = zz – 2z + 2, =1 and Re(w) has z – 3i [|k|] be the greatest integral part of |k|. Then n+5 n+5 minimum value. Then, the minimum value of  ( j + 5) –  ( j + 5) = ? 2 j=0 j=0 nN for which wn is real, is equal to- (a) 300 (b) 310 (a) 1 (b) 4 (c) 320 (d) 330 (c) 3 (d) 2 112. माना रेिाएँ (2 –i)z = (2 +i)z और 117. |z| का न्यूनतम मान जहाँ z सम्म्मश्र संख्या है जो असधमका (2 +i)z + (i – 2)z – 4i = 0 , (जहाँ i = –1) एक वृत्त C के 2  ( z + 3 )( z – 1)  exp  loge 2   log 5 7 + 9i , अभभलम्ब है। यदि रेिा iz + z + 1+ i = 0 इस वृत्त C की  ( z + 1)  2 स्पशथरेिा है, तो इसकी विज्या है- i = –1 को संतुष्ट करती होगा- Let the lines (2 –i)z = (2 +i)z and The least value of |z| where z is complex (2 +i)z + (i – 2)z – 4i = 0 , (where i2 = –1) be normal number which satisfies the inequality to a circle C. If the line iz + z + 1+ i = 0 is tangent  ( z + 3 )( z – 1)  to this circle C, then its radius is- exp  loge 2   log 5 7 + 9i ,  ( z + 1)  2 (a) 3/ 2 (b) 3 2 i = –1 , is equal to- (c) 3/2 2 (d) 1/2 2 113. समीकरण x – 2x + 2x – 1 = 0 के मूलों की 162 वीं घातों का 3 2 (a) 3 (b) 5 योग है- (c) 2 (d) 8 The sum of 162th power of the roots of the 118. शीर्थ A(z), B(iz) और C(z + iz) वाले विभुज का क्षेिफल है- equation x3 – 2x2 + 2x – 1 = 0 is- The area of the triangle with vertices A(z), B(iz) (a) 1 (b) 2 and C(z + iz) is- (c) 3 (d) 4 (a) 1 (b) (1/2)|z|2 114. मान लीजजए z वे सम्म्मश्र संख्याएँ हैं जो |z + 5| ≤ 4 तथा (c) 1/2 (d) (1/2)|z + iz|2 z(1+ i) + z(1– i)  –10, i = –1 को संतुष्ट करती हैं। यदि 119. माना वक S1, S2 और S3 को तीन समुच्चय |z + 1|2 का अधधकतम मान  +  2 है, तो ( + ) =? Let z be those complex number which satisfy  S1 = z  C :|z – 1| 2  |z + 5| ≤ 4 and z(1+ i) + z(1– i)  –10, i = –1. If the S2 = z  C :Re ( ( 1– i) z )  1 maximum value of |z + 1|2 is  +  2 , then S3 = z  C :Im(z)  1 ( + ) = ? के रूप में पररभावर्त वकया गया है तो समुच्चय S1S2S3 होगा (a) 48 (b) 46 Let S1, S2 and S3 be three sets defined as (c) 42 (d) 44  S1 = z  C :|z – 1| 2   |z|+11  115. माना एक सम्म्मश्र संख्या z, |z|  1, log 1  2 S2 = z  C :Re ( ( 1– i) z )  1  ( z – 1)2  2   S3 = z  C :Im(z)  1. को संतुष्ट करें। तो |z| का उच्चतम मान =? Let a complex number z, |z|  1, satisfy Then the set S1S2S3 -  |z|+11  (a) एकल समुच्चय /is a singleton log 1    2. Then the largest value of (b) ठीक दो अियि हैं/has exactly two elements  2  ( z – 1)  2  (c) अपरिधमत रूप से अिेक अियि होते हैं |z| =? has infinitely many elements (a) 8 (b) 7 (d) ठीक तीि अियि हैं /has exactly three elements (c) 6 (d) 5 -:: 9 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 2 120. यदि समीकरण a z + z + z + d = 0 एक वृत्त को 7π  7π  126. सम्म्मश्र संख्या sin + i  1 + cos  का कोणांक है – वनरूवपत करती है जहाँ a, d वास्तववक अचर हैं, तो 5  5  वनम्नललखित में से कौन-सी स्स्थवत सही है? Amplitude of complex number 2 7π  7π  If the equation a z + z + z + d = 0 represents sin + i  1 + cos  is– [School Lecturer 2022] 5  5  a circle where a, d are real constants, then which −π −3π of the following condition is correct? (a) (b) 10 10 (a) ||2 – ad  0 −π 3π (b) ||2 – ad > 0, a  R – {0} (c) (d) 5 10 (c) ||2 – ad ≥ 0, a  R 127. यदि z = x + iy, तो |z – 3| + |z – 4| का न्यूनतम मान है – (d)  = 0, a, d  R+ If z = x + iy, then minimum value of 121. यदि z1, z2 समीकरण z2 + az + 12 = 0 के मूल है तथा मूल |z – 3| + |z – 4| is – [School Lecturer 2022] वबन्ु, z1, z2 के साथ एक समबाहु विभुज बनाता हैं। तो |a| (a) 0 (b) 1 =? (c) 2 (d) 3 Let z1, z2 be the roots of the equation 8 8 z2 + az + 12 = 0 and z1, z2 form an equilateral  1+ i   1– i  128.   +  बराबर है- triangle with origin. Then |a| =?  2  2 (a) 3 (b) 4 8 8  1+ i   1– i  (c) 5 (d) 6   +  equals to- 122. मान लीजजए वक एक सम्म्मश्र संख्या w = 1– 3i है। एक अन्य  2  2 [Senior Teacher (Special Edu.)2018] सम्म्मश्र संख्या z इस प्रकार है की |zw|= 1 और arg(z) – (a) 1 (b) 2 arg(w) = /2 तो शीर्थ मूल बबिंु, z और w वाले विभुज का (c) 3 (d) 4 क्षेिफल बराबर है- 4n+3 Let a complex number be w = 1– 3i. Let 129. धनात्मक पूणाांक n के ललए – –1 ( ) बराबर है- another complex number z be such that |zw|= 1 4n+3 and arg(z) – arg(w) = /2. Then the area of the For n being a positive integer, – –1 ( ) triangle with vertices origin, z and w is equal to- equals- [Senior Teacher (Special Edu.)2018] (a) 4 (b) 1/2 (a) 1 (b) – 1 (c) 1/4 (d) 2 (c) i (d) – i 123. समीकरण z + z = 0, z = x + iy के हलों की संख्या है- 2 130. वनम्न में सत्य कथन है- The number of solutions of the equation The true statement is- z2 + z = 0, z = x + iy is- [Senior Teacher 2022] [Senior Teacher (Special Edu.)2018] (a) 2 (b) 3 (a) |z1 + z2|2 < |z1|2 + |z2|2 + 2R (z1 z2) (c) 4 (d) 1 (b) |z1 – z2|2 > |z1|2 + |z2|2 – 2R (z1 z2) m 1+ i  (c) |z1 + z2|2 + |z1 – z2|2 = 2 (|z1|2+|z2|2) 124. यदि   = 1 हो, तो m का न्यूनतम धनात्मक पूणाांक  1– i  (d) |z1| +| z2| < |z1 + z2| मान है- 131. यदि x = – 5 + 2 – 4 , तो (x4 + 9x3 + 35x 2 – x + 4) m 1+ i  बराबर है- If   = 1 then the least positive integer  1– i  If x = – 5 + 2 – 4 ,then the value of value of m is- [Senior Teacher (Sanskrit) 2022] (x4 + 9x3 + 35x 2 – x + 4) is- (a) 4 (b) 3 [Senior Teacher (Special Edu.)2018] (c) 2 (d) 1 (a) 160 (b) 240 125. यदि  तथा  िो ऐसी अशून्य सम्म्मश्र संख्याएँ हैं वक (c) –160 (d) 4   =   तथा कोणांक () + कोणांक () = π, तब  132. यदि  इकाई का सम्म्मश्र घन मूल हो तो बराबर है- (1 +  + 2 + …. + 100) बराबर है- If  and  are two non zero complex numbers If  is a complex cube root of unity, then such that   =   and arg() + arg() = π, then (1 +  + 2 + …. + 100) equals-  is equal to- [Senior Teacher (Sanskrit) 2022] [Senior Teacher (Sanskrit) 2018] (a)  (b) –  (a) –  2 (b) –  (c)  (d) –  (c) – 1 (d) 0 -:: 10 ::-  द्वितीय श्रेणी गणणत 3 π 133. 2 ( ) 3 – i का चर घातांकीय रूप है- (a) nπ – 2 (b) nπ nπ π 3 (c) (d) nπ + The exponential form of 2 ( 3 – i is-) 2 2 139. माना z = x + iy एक ऐसी सम्म्मश्र संख्या है जजसमें x तथा y [Senior Teacher (Sanskrit) 2018] पूणाांक है। उस आयत का क्षेिफल जजसके शीर्थ बबिंु समीकरण (a) 3e (b) 2e iπ/6 –iπ /2 zz3 + zz3 = 350 के मूल है, वनम्न है - (c) 3e (d) 3e –i π/ 6 iπ/3 Let z = x + iy is a complex number in which x 134. यदि z = x + iy, तो एक विभुज जजसके तीन शीर्थ वबन्ु z, iz and y are integers, area of rectangle, whose तथा z + iz हैं, का क्षेिफल होगा- vertex points are given by the equation If z = x + iy then area of the triangle whose zz3 + zz3 = 350 is as follows- vertices are z, iz and z + iz is- [Senior Teacher (Special Edu) 2015] [Senior Teacher 2018] 2 1 2 (a) 48 (b) 32 (a) 2 z (b) z 2 (c) 40 (d) 80 2 3 2 140. यदि z = x + iy, तो समीकरण 2z – 1 = z – 2 प्रिर्शिंत करती (c) z (d) z 2 है - 135. यदि a = cos  + i sin , b = cos  + i sin , c = cos  b c a If z = x + iy, then the equation 2z – 1 = z – 2 + i sin  तथा + + = 1 हो, तो [cos ( – ) + cos (