Physique 1 - Dynamique Du Point Matériel PDF

di Table des matières mi 3 Dynamique du point matériel 53...

di Table des matières mi 3 Dynamique du point matériel 53 Ha 1 Principe d’inertie et référentiels galiléens...................... 53 1.1 Point matériel mécaniquement isolé..................... 53 1.2 Énoncé du Principe d’inertie......................... 54 Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi 1.3 Référentiel galiléen.............................. 54 2 Principe de conservation de la quantité de mouvement.............. 55 2.1 Concept de masse............................... 55 2.2 2.3 M. Quantité de mouvement....................... Conservation de la quantité de mouvement..................... 55 56 3 Lois de Newton.................................... 57 3.1 Première loi de Newton : Principe d’inertie................. 57 3.2 Deuxième loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique.... 58 1- 3.3 Troisième loi de Newton : Principe des interactions réciproques...... 59 4 Quelques forces usuelles en dynamique du point matériel............. 60 4.1 Force gravitationnelle............................ 60 4.2 Poids d’un objet au voisinage de la terre.................. 61 4.3 Forces de contact ou forces de liaison.................... 62 e 4.3.1 Force normale............................ 62 qu 4.3.2 Force de frottement solide..................... 63 4.3.3 Tension............................... 65 4.3.4 Frottement visqueux........................ 66 4.4 Force élastique................................ 67 ysi 4.4.1 Ressort horizontal......................... 67 4.4.2 Ressort vertical........................... 69 5 Théorème du moment cinétique........................... 70 5.1 Définition................................... 70 Ph 5.2 Énoncé du Théorème............................ 71 i  Physique 1 - M. Hamidi Ph ysi qu e 1- M. Ha mi di Physique 1 - M. Hamidi  Physique 1 - M. Hamidi Ph ysi qu e 1- M. Ha mi di Physique 1 - M. Hamidi  di Chapitre 3 mi Dynamique du point matériel Ha Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi La dynamique est l’étude des mouvements en tenant compte des causes qui leurs donnent naissance. Le mouvement d’un corps est le résultat direct de ses interactions avec les autres M. corps qui l’entourent. Ces interactions, capables de produire un mouvement ou une déformation, sont décrites par une grandeur vectorielle appelée Force. Malgré leur grande diversité, les forces rencontrées dans la nature sont la manifestation de 4 interactions fondamentales : L’interaction gravitationnelle : se manifeste par une force, à portée infinie entre masses, 1- responsable de la pesanteur, de la marée ou encore des phénomènes astronomiques. L’interaction électromagnétique : se manifeste par une force, à portée infinie entre charges électriques, responsable de l’électricité, du magnétisme, de la lumière ou encore des réac- tions chimiques et biologiques. e L’interaction forte : se manifeste par une force, à courte distance entre les nucléons, respon- qu sable de la cohésion des noyaux atomiques. L’interaction faible : se manifeste par une force, à courte distance entre les différentes par- ticules de la matière (quarks, électrons, neutrinos,...), responsable de la radioactivité β ysi qui permet au soleil de briller. 1 Principe d’inertie et référentiels galiléens Ph 1.1 Point matériel mécaniquement isolé Un point matériel est dit isolé s’il n’est soumis à aucune force extérieure. Un point matériel est dit pseudo-isolé si les forces qui s’exercent sur lui se compensent (leur somme vectorielle est nulle) 1. 1. La notion de point isolé n’est qu’un modèle car il n’existe pas en pratique. 53  54 Dynamique du point matériel 1.2 Énoncé du Principe d’inertie Énoncé pour la première fois par Galilée, le principe 2 d’inertie prévoit les situations suivantes : di Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme s’il est isolé ou pseudo-isolé. mi Ainsi, pour un corps n’étant soumis à aucune force extérieure ou sur lequel s’exercent des forces qui se compensent : Si vinitiale = 0, alors le corps reste immobile. Si vinitiale = v0 6= 0, alors le corps a un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v0. Ha Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi 1.3 Référentiel galiléen Le mouvement étant une notion relative, le principe d’inertie ne peut être valable pour tous les observateurs. M. On définit un référentiel galiléen comme un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié. Si R est un référentiel galiléen, alors tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à R est aussi galiléen. 1- Exemples de référentiels Galiléens Référentiel héliocentrique : On l’appelle aussi référentiel de Copernic. C’est un référentiel dont l’origine est le barycentre du système solaire et dont les 3 axes orthonormés sont dirigés vers trois e étoiles, hors de notre galaxie, qui ne présentent pas de mouvement apparent par rapport à notre galaxie, étoiles que l’on dit fixes par abus de langage. qu Ce référentiel est celui qui se rapproche le plus de la définition du référentiel galiléen, du moins pour tous les problèmes classiques concernant notre galaxie. ysi Référentiel géocentrique : C’est un référentiel dont l’origine est le barycentre de la Terre et dont les 3 axes sont parallèles à ceux du référentiel héliocentrique. Le référentiel géocentrique est en mouvement de translation elliptique (que l’on peut en première approche considérer comme une translation circulaire) par rapport au référentiel héliocentrique (les systèmes d’axes des deux référentiels sont parallèles par définition). Ce n’est donc pas en Ph toute rigueur un référentiel galiléen (La Terre est en mouvement de rotation dans ce référentiel). Il s’en approche toutefois sous certaines conditions : distances caractéristiques très faibles devant la dimension de l’orbite terrestre et durées de mouvement faibles par rapport à la durée d’une révolution terrestre (1 an). 2. Un principe ne se démontre pas. Il résulte de l’observation.  2. Principe de conservation de la quantité de mouvement 55 Référentiel terrestre : C’est un référentiel lié à la Terre. Il n’est pas rigoureusement galiléen car il est en rotation par rapport aux référentiels géocentrique ou héliocentrique, mais on pourra l’approximer sous certaines conditions à un référentiel galiléen : distances caractéristiques très faibles devant la dimension de l’orbite terrestre et durées de mouvement faibles par rapport à la durée d’une rotation terrestre (1 jour). di Si l’on fait l’approximation galiléenne pour le référentiel terrestre, et seulement à cette condition, on pourra considérer que n’importe quel référentiel centré sur un point quelconque de la surface terrestre est galiléen. mi 2 Principe de conservation de la quantité de mouvement Ha 2.1 Concept de masse Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi La masse, associée à un point matériel caractérisant un objet, est une grandeur qui pousse cet objet à résister à sa mise en mouvement s’il était initialement au repos ou à s’arrêter s’il était initialement en mouvement. M. Prenons l’exemple d’un ballon de football et d’un rocher de même taille. Il est facile d’envoyer un ballon sur une longue distance avec un simple coup de pied dans ce ballon. Si l’on donnait le même coup de pied sur le rocher, il ne bougerait pas ou au mieux roulerait sur une très petite distance. L’expérience inverse qui consiste à arrêter un ballon et un rocher initialement 1- en mouvement à la même vitesse montre qu’il est plu aisé d’immobilier le ballon contrairement au rocher. La masse est donc la grandeur qui va déterminer la force nécessaire pour mettre un corps en mouvement, ou s’opposer au mouvement du corps (l’objectif étant le même : modifier la vitesse de ce corps). e Ainsi, on peut considérer la masse d’un corps comme une mesure de l’inertie car plus elle qu sera grande, plus il sera difficile de modifier la vitesse de ce corps. Cette masse, venant de la définition du principe d’inertie, se nomme donc masse inerte. 2.2 Quantité de mouvement ysi La quantité de mouvement d’un point matériel, de masse m et en mouvement par rapport à un référentiel R avec une vitesse → − v , est une grandeur vectorielle notée → − p et définie par : Ph → − p =m·→ − v La quantité de mouvement est une notion physique très importante car elle combine les deux éléments qui caractérisent l’état dynamique d’une particule : sa masse et sa vitesse. La quantité de mouvement a la même direction et le même sens que la vitesse. Dans le système international, l’unité de la quantité de mouvement est : Kg · m · s−1.  56 Dynamique du point matériel Si un système est composé de plusieurs particules i de masses différentes mi et ayant des vecteurs vitesses différents → − v i , la quantité de mouvement totale de ce système est la somme des quantités de mouvement de toutes les particules : n n di → − → − mi · → − X X p T otale = pi= vi i=1 i=1 Le principe d’inertie peut alors s’énoncer comme suit : mi Tout corps persévère dans son état de repos ou se déplace avec une quantité de mou- vement constante s’il est isolé ou pseudo-isolé. Ha 2.3 Conservation de la quantité de mouvement Prenons le cas de deux particules qui ne sont soumises qu’aux influences mutuelles entre elles. Si l’on considère que ces deux particules forment un seul système, celui-ci sera considéré Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi comme isolé car n’étant soumis à aucune force extérieure (les interactions mutuelles étant des forces internes). M. L’expérience montre que le vecteur quantité de mouvement totale de ce système isolé → − p (t) = m1 · → − v 1 (t) + m2 · → − v 2 (t) reste constant. C’est le principe de conservation de la quantité de mouvement. Il constitue un des principes les plus fondamentaux et les plus universels de la physique. Il est 1- valable pour tout système isolé formé d’un nombre N quelconque de particules : i=N → − X → − −→ p T otal = p i = C te i=1 e Remarques qu Les systèmes isolés parfaits n’existent pas. Cependant, lorsque les actions du milieu extérieur sont négligeables, on peut les considérer comme tels. Dans un système isolé formé de N particules, le vecteur quantité de mouvement de chaque particule ysi peut varier mais le vecteur quantité de mouvement totale reste constant. Pour un système isolé formé de 2 particules en interaction, et pour deux instants donnés t1 (avant interaction) et t2 (après interaction) : → − p 1 (t1 ) + → − p 2 (t1 ) = → − p 1 (t2 ) + → − p 2 (t2 ) =⇒ → − p 1 (t2 ) − → − p 1 (t1 ) = → − p 2 (t1 ) − → − p 2 (t2 ) Ph soit : ∆→ − p 1 = −∆→ − p2 La variation de la quantité de mouvement d’une particule (en interaction avec une autre particule) au cours d’un intervalle de temps (qui peut représenter la durée de cette interaction) est égale et de sens opposé à la variation de la quantité de mouvement de l’autre particule au cours de ce même intervalle de temps. Autrement dit, la quantité de mouvement perdue par l’une des deux particules est gagnée par l’autre particule.  3. Lois de Newton 57 Exemple Une boule A de masse mA = 4 Kg en mouvement rectiligne uniforme, dans le sens positif de l’axe Ox, arrivant avec une vitesse vAx = 5 m · s−1 , heurte une boule B de masse mB = 2 Kg initialement au repos. di Sachant que, après la collision, la boule B est en mouvement rectiligne uniforme, dans le sens positif de 0 l’axe Ox, avec une vitesse vBx = 4 m · s−1 , déterminons la nouvelle vitesse de la boule A suite à cette collision. En considérant le système isolé formé par les deux boules A et B, nous avons : mi avant la collision : → − → − p = mA · vAx i après la collision : → − 0 →− p 0 = mA · → − v 0A + mB · vBx i Ha D’après le principe de conservation de la quantité de mouvement : → − → − 0 →− p =→ − p 0 =⇒ mA · vAx i = mA · → − v 0A + mB · vBx i Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi il vient : 0 → − mA · vAx − mB · vBx → − → − v 0A = i =3 i mA Ox avec une vitesse vAx 0 = 3 m · s−1. M. Après la collision, la boule A est en mouvement rectiligne uniforme, dans le sens positif de l’axe y 1- − v→ A − v→ A ′ − v→ B ′ b b mA mB mA mB x avant collision après collision e qu 3 Lois de Newton ysi Les lois de Newton 3 , au nombre de trois, constituent les fondements de la mécanique classique et plus particulièrement de la dynamique. Ph 3.1 Première loi de Newton : Principe d’inertie Longtemps avant Newton, les physiciens se sont demandés ce qui provoquait le mouvement et si un mouvement pouvait exister sans force. Galilée et Descartes ont fait avancer la question en introduisant la notion d’inertie. Galilée a énoncé le principe d’inertie, que Newton a repris dans sa première loi. 3. Ces lois sont énoncées pour la première fois par Isaac Newton dans son ouvrage Philosopiae Naturalis Principia Mathematica en 1687.  58 Dynamique du point matériel Dans son énoncé original, Newton écrit : Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne di le contraigne à changer d’état. L’énoncé moderne de cette loi peut être comme suit : mi Dans un référentiel galiléen, tout point matériel isolé ou pseudo-isolé persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme. Dans sa forme mathématique, cette loi est décrite par l’équivalence suivante : X→ − → − −→ Ha F ext = 0 ⇐⇒ → − v = C te 3.2 Deuxième loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi L’énoncé original de la deuxième loi de Newton est comme suit : M. Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne dans laquelle cette force a été imprimée. En langage moderne, cela signifie que : Dans un référentiel galiléen, la vitesse d’un point matériel varie de manière proportionnelle à la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées et in- 1- versement proportionnelle à sa masse. Dans sa forme mathématique, celle-ci s’écrit comme suit : X→ − d→ −v F ext = m · =m·→ − a dt e où → − a est l’accélération du point matériel. qu Cette deuxième loi de Newton constitue ce que l’on appelle communément le Principe Fon- damental de la Dynamique (PFD) qui peut s’énoncer comme suit : Dans un référentiel galiléen, la variation du vecteur quantité de mouvement d’un ysi point matériel est égale à la somme vectorielle des forces extérieures qui lui sont appliquées. Dans sa forme mathématique, le PFD peut donc s’écrire comme : d→ − Ph X→ − p F ext = dt soit, pour une masse, associée au point matériel, invariante au cours du temps : X→ − d→ −p d d→ −v F ext = = (m · → − v)=m· =m·→ − a dt dt dt  3. Lois de Newton 59 Remarques On définit la force totale moyenne à laquelle est soumis un point matériel pendant un intervalle de temps ∆t comme : X→ − ∆→ −p di F moy = ∆t Si la somme vectorielle des forces appliquées sur une particule est nulle, alors : X→ − → − d→ −p −→ −→ mi F ext = 0 =⇒ = 0 =⇒ → − p = C te =⇒ → − v = C te dt Ainsi le principe d’inertie constitue un cas particulier du principe fondamental de la dynamique. Ha 3.3 Troisième loi de Newton : Principe des interactions réciproques L’énoncé original de la troisième loi de Newton est comme suit : Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi L’action est toujours égale à la réaction ; c’est-à-dire que les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales, et dans des directions contraires. M. En langage moderne, cette loi constitue le principe des interactions réciproques : Les actions réciproques, ou action et réaction, sont des forces colinéaires, d’in- tensité égale et de sens contraire. Pour expliciter cette loi dans sa forme mathématiques, → − considérons deux points matériels M1 et M2 en inter- F 2/1 b 1- action (c.a.d : l’état de mouvement ou de repos de l’un M1 dépend de l’existence de l’autre). Cette interaction sup- → − F 1/2 pose deux actions réciproques : la force appliquée par b → − M2 M1 sur M2 ( F 1/2 ) et la force appliquée par M2 sur M1 → − ( F 2/1 ). On a alors : e → − → − F 1/2 = − F 2/1 qu → − → − Les deux forces F 1/2 et F 2/1 agissent le long de la droite (M1 M2 ), appelée ligne d’action, joignant les deux points matériels. Elles sont de même nature et n’agissent pas sur le même corps. ysi Exemple → − Interaction à distance Terre/Lune : La Terre attire la Lune avec une force F T /L. Réciproquement, → − Ph la Lune attire la Terre avec une force égale et opposée F L/T : → − → − F T /L = − F L/T − → F T /L − → F L/T Lune Terre  60 Dynamique du point matériel Interaction de contact Solide/Sol : Un objet solide M posé sur le sol fait que le solide applique sur → − → − le sol une force F M/Sol pendant que le sol applique sur l’objet une force F Sol/M : → − → − F M/Sol = − F Sol/M di − → F Sol/M M mi b − → F M/Sol Ha Remarque Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi Dans le cas où le système {M1 , M2 } est isolé (dans un référentiel galiléen R) : → − d→ − p2 → − d→ − p1 F 1/2 = et F 2/1 = dt dt soit : M. → − → − d → → − F 1/2 = − F 2/1 =⇒ (−p1+→ − p 2) = 0 dt Pour un système isolé, Le principe des interaction réciproques n’est qu’une reformulation du principe de conservation de la quantité de mouvement. 1- 4 Quelques forces usuelles en dynamique du point matériel 4.1 Force gravitationnelle Nous avons déjà cité, en introduction, la gravitation comme étant l’une des quatre forces fon- e damentales de la nature. Énoncée par Newton, la loi de la gravitation a été d’une importance historique puisqu’elle a permis d’unifier les théories de la chute des corps et du mouvement qu des planètes et des astres (formulée par Kepler). Newton a été le premier à comprendre que la chute d’une pomme d’un arbre et le mouvement de la lune autour de la terre étaient de même nature (même origine). La différence principale réside dans le fait que la lune possède ysi une vitesse initiale horizontale suffisante pour l’empêcher de tomber sur la surface de la terre. − → Fg b Soient deux masses ponctuelles m1 et m2 distantes de Ph r m2 r. → − Il existe une force exercée par m1 sur m2 (et récipro- b u quement par m2 sur m1 d’après le principe des inter- m1 actions réciproques) appelée force gravitationnelle, − → notée Fg telle que : − → m1 · m2 → − Fg = −G · u r2  4. Quelques forces usuelles en dynamique du point matériel 61 → − u est le vecteur unitaire porté par la droite reliant les deux masses et orienté de m1 vers m2. G est la constante de gravitation universelle. Dans le système MKSA : G = 6.67×10−11 m3 · kg−1 · s−2. La force gravitationnelle est toujours attractive et son intensité est très faible pour les corps de di petite masse. 4.2 Poids d’un objet au voisinage de la terre mi − → h P b − → u Ha m RT Terre Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi → − Le poids, noté P , d’un objet de masse m au voisinage de la terre (d’altitude h par rapport à M. la surface de la terre) est le résultat de l’interaction gravitationnelle exercée par la terre (de masse MT et de rayon RT ) sur cet objet : → − MT · m → − → − P = −G · 2 u = −m · g (h) (RT + h) 1- avec : → − MT → − g (h) = −G · 2 u (RT + h) → −u est le vecteur unitaire orienté du centre de la terre vers l’objet de masse m. → −g est le vecteur accélération terrestre, orienté vers le centre de la terre, dont le module dépend de l’altitude h. → − e g est aussi appelé champ de pesanteur ou champ de gravitation terrestre. qu Complément ysi À la surface de la terre (h ' 0) et en faisant l’approximation d’une forme parfaitement sphérique de la terre (RT = 6371 km et MT = 5, 98 · 1024 Kg) : MT h ' 0 =⇒ g0 = G · = 9.8 m.s−2 RT2 Ph À une altitude h : −2 G · MT  MT h g (h) = G · 2 = 2 = g0 1 + (RT + h) RT  RT2 1 + RhT Pour des altitudes très petites devant le rayon de la terre :   h 2h  1 =⇒ g (h) = g0 1 − ' g0 = 9.8 m.s−2 RT RT par exemple, pour une altitude h = 32 km, c’est-à-dire un rapport 2h/RT = 1/100, la variation  62 Dynamique du point matériel relative du champ de gravitation terrestre est ∆g/g = 1%. On peut donc considérer le champ de pesanteur comme localement uniforme. − → di g − → g − → − → g g − → g − → g − → − → g mi g − → g − → g Surface terrestre − → g − → g → − Ha g Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi 4.3 Forces de contact ou forces de liaison M. Les forces de contact traduisent une interaction de contact entre deux corps matériels ou plus. Ces forces existent par le principe de l’action réciproque entre deux corps en contact (3ème loi de Newton). 1- 4.3.1 Force normale La force normale est la force exercée par une surface sur un corps en contact avec elle, em- pêchant ainsi leur interpénétration. La surface, qui joue le rôle de support ou d’appui, applique une force de poussée perpendiculaire à la surface et orienté vers le corps en appui sur elle. e Il est important de préciser que la force normale ne peut être évaluée directement à l’aide d’une formule. Sa mise en évidence, selon la situation, peut se faire à l’aide du PFD. qu − → Prenons la situation d’un cube solide de masse m, posé sur une Cn table horizontale. Les forces qui s’exercent sur ce corps sont : m b → − Le poids P = m → − b g ; ysi → − une force normale globale C n que la table applique sur le m− → g cube. La seconde loi de Newton permet de déterminer la force normale appliquée par la table sur le Ph cube : → − → − → − → − → − P + C n = 0 =⇒ C n = − P  4. Quelques forces usuelles en dynamique du point matériel 63 Remarques → − C n > 0 : Condition de contact entre le cube et la table. → − C n = 0 : Le contact cesse. di → − Selon le principe des interactions réciproques, la force normale C n exercée par la table sur le corps − →0 → − n’est qu’une réaction à une action C n = − C n qui est la force de contact que les molécules du cube exercent sur la table, d’où l’appellation de Réaction (de la table dans notre exemple) souvent mi affectée à cette force de contact. − → Il est important de préciser que l’action C 0 n du cube sur la surface de la table n’est pas le poids → − du cube. Le poids P est, en fait, l’action de la terre sur le cube ! Ha 4.3.2 Force de frottement solide Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi Le frottement solide de surface est une force de contact exercée par une surface qui tend à → − s’opposer au glissement d’un objet sur cette surface. cette force notée C t , qui vient s’ajouter l’objet par rapport à la surface. M. à la force normale, est parallèle à la surface et dans le sens opposé au mouvement relatif de y − → → − Ct + Cn Comme pour la force normale, sa mise en évidence peut se faire à l’aide du PFD. → − Cn − → Ct Absence de glissement 1- Plaçons-nous dans la situation précédente du cube solide de x m− → g masse m sur une table horizontale. α < α0 En soulevant progressivement le plan de la table, on constate que pour tout angle α < α0 , le solide reste immobile : e → − → − → − m→ − g + Ct + Cn = 0 qu soit : → − → − C t + C n = −m · → − g → − → − → − ysi Le PFD détermine la résultante des forces de contact ( C = C t + C n ) qui reste constante, égale et opposée au poids. La projection de la relation ci-dessus sur l’axe parallèle à la table (Ox) et perpendiculaire à la table (Oy) donne : Ph → − Ct = m g sin α → − Cn = m g cos α → − → − Quand α augmente, C t augmente au détriment de C n. Ainsi, la force de frottement s’adapte pour maintenir l’état d’équilibre de l’objet. Comme ce dernier reste immobile sur le → − plan incliné, on dit que C t est une force de frottement statique.  64 Dynamique du point matériel On définit alors un coefficient de frottement statique, noté µs , entre la surface de l’objet et celle du plan tel que : → − → − C t ≤ µs C n di Si α0 est l’angle critique au delà duquel, le corps commence à glisser, le coefficient µs est alors : → − C 0t mi µs = → − = tan α0 C 0n où C0t , C0n sont, respectivement, les valeurs de la force de frottement et la force normale juste à la rupture de l’équilibre. Ha L’expérience montre que : si on surcharge le cube, par exemple avec d’autres cubes posés au dessus, la valeur de α0 sera pratiquement la même que pour le cube seul. Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi si, par contre, on change la nature des surfaces en contact, l’angle limite α0 changera. Le frottement est fortement lié à la nature de la surface. M. y− → → − Ct + Cn Cas du glissement Si on poursuit l’expérience de départ en augmentant l’angle α − → Cn − → d’une très petite quantité au-delà de α0 , le solide se met à glisser. Ct −a → 1- Le PFD permet de déterminer les forces de contact : X→ − → − → − F ext = m →−g + Ct + Cn = m·→ −a x m− → g α > α0 La projection sur les deux axes Ox et Oy donne : → − e Ct = m g sin α − m a → − qu Cn = m g cos α On notera que la force de frottement a diminué de la quantité m a par rapport à sa valeur dans l’état statique, tandis que la force normale est restée égale à m g cos α. ysi − → k C tk Le rapport− → restant constant au cours du mouvement, on définit le coefficient de frot- k C nk tement dynamique ou de glissement, noté µd ou µg , tel que : → − Ct Ph µd = µg = → − Cn L’expérience montre que : De façon générale, µd < µs. µd est sensiblement indépendant de la vitesse. µd est sensiblement indépendant des superficies des surfaces en contact et ne dépend que de leur nature.  4. Quelques forces usuelles en dynamique du point matériel 65 4.3.3 Tension → − La tension est le nom donné à la force, notée T , appliquée par une corde sur un objet accroché à cette corde, donc en contact avec elle. La corde n’étant pas rigide, elle ne peut pas pousser di l’objet. Par conséquent, elle doit être tendue. La tension est toujours parallèle à la corde et orientée vers l’extérieur de l’objet afin de tirer sur ce dernier. mi Comme pour les forces de contact précédentes, la tension ne peut être évaluée, selon la situation, qu’à partir du PFD. Prenons la situation d’un bloc de masse m accroché à deux cordes Ha orientés avec un angle α par rapport à la verticale. Les tensions appliquées par chaque corde sur le bloc sont déterminées par l’application du PFD : − α α − → → T1 T2 Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi b b X→ − → − → − → − F ext = m → − g + T1+ T2= 0 b x M. Par projection sur les deux axes, horizontal Ox et vertical Oy, on écrit : m− → g  → − → −  T2 − T1 sin α = 0 y  →− → −  T1 + T2 cos α = m g 1- il vient : → − → − mg T1 = T2 = 2 cos α Exemple e Un bloc de masse m = 10 Kg, est en équilibre sur un plan horizontal rugueux. On désire déplacer le bloc qu par l’application d’une force de traction à l’aide d’une corde orientée avec un angle α = 30◦ par rapport à l’horizontale. Sachant qu’une force minimale de 20 N d’intensité est nécessaire pour déplacer le bloc, déterminons le coefficient de frottement µs : ysi Pour une force de traction T ≤ 20 N, le bloc est en état d’équilibre. Le PFD donne : X→ − → − → − → − → − F ext = m · → −g + Cn + Ct + T = 0 Par projection sur les deux axes Ox et Oy, on obtient le système d’équations suivant : Ph Ct = T · cos α Cn + T · sin α = m·g soit : Ct T · cos α µs = = =⇒ µs ' 0, 2 Cn m · g − T · sin α Pour une force de traction T = 30 N, le bloc se met en mouvement avec une accélération a = 2 m · s−1. Déterminons le coefficient de frottement dynamique µd : Le PFD donne : X→ − → − → − → − F ext = m · → − g + Cn + Ct + T = m·→ −a  66 Dynamique du point matériel Les projections donnent : T · cos α − Ct = m·a Cn + T · sin α = m·g di soit : Ct T · cos α − m · a µd = = =⇒ µd ' 0, 07 Cn m · g − T · sin α mi y − → a − → Cn − → T − → Ha Ct α x m− → g Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi 4.3.4 Frottement visqueux M. Lorsqu’un objet solide se déplace dans un fluide (gaz ou liquide), il subit de la part du fluide, des forces de frottements. Quand la vitesse du solide est petite, la résultante de ces forces est donnée par : → − f = −k → −v 1- Le coefficient k, dit coefficient de frottement, est une constante positive qui dépend de la nature du fluide (caractérisé par sa viscosité 4 η) et de la forme du solide en mouvement. e Remarques qu Pour une sphère de rayon R, k = 6π · R · η , l’expression de la force de frottement est a : → − f = −6π R η → − v Pour des vitesses plus importantes, le frottement fluide devient proportionnel au carré de la vitesse ysi et peut s’écrire b : f~ = −α v ~v α coefficient réel et positif a. Cette loi est connue sous le nom de Loi de Stockes b. Pour de plus amples détails, se référer à Cours de Physique : Mécanique du point, A. Gibaud et M. Ph Henry, Dunod (2007) deuxième édition (Page 67). 4. La viscosité d’un fluide traduit les frottements internes entre les différentes couches en mouvements avec des vitesses différentes dans le fluide. Elle dépend de la pression et de la température.  4. Quelques forces usuelles en dynamique du point matériel 67 Exemple Un bille en acier, de masse m, est plongée dans un liquide visqueux et en mouvement par rapport à celui-ci. On néglige la poussée d’Archimède et on suppose que la force de frottement visqueux exercée par le fluide → − sur la bille en mouvement est de la forme f = −k · → − di v , k constante positive. Déterminons l’équation horaire de la vitesse. Le PFD donne : X→ − → − F ext = m · → −g + f =m·→ − a mi Par projection sur un axe vertical parallèle au mouvement, on obtient : dv m·g−k·v =m·a=m· Ha dt soit : dv k + ·v =g dt m Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi On aboutit à une équation différentielle du premier ordre pour la vitesse et dont la solution est de la forme : τ= k M.  v(t) = vlim 1 − exp −  t τ  : est une constante de temps caractéristique du régime transitoire du mouvement de chute. m C’est le temps au bout duquel la vitesse atteint 63 % de sa valeur maximale : v(t = τ ) = vlim [1 − exp (−1)] = 0, 63 vlim 1- On peut la déterminer graphiquement comme l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine de la courbe v (t) et de l’asymptote horizontale à la courbe v (t) lorsque t → ∞ mg vlim = : est la vitesse limite atteinte par la bille dans le régime permanent du mouvement de k chute (au bout d’un temps t ' 5τ ). e v(t) qu vlim − → x1 f b ysi − → a m− → g τ t z Ph 4.4 Force élastique 4.4.1 Ressort horizontal Soit un ressort horizontal de masse négligeable, de longueur au repos `0. Si le ressort s’allonge ou se comprime, sa longueur devient `. Cette variation de longueur produit une force de rappel  68 Dynamique du point matériel élastique f~ telle que : f~ = −k (` − `0 ) ~u où ~u est un vecteur unitaire orienté suivant le sens de l’allongement du ressort et k est la di constante de raideur du ressort. − → u mi ℓ0 − → f1 Ha ℓ1 − → f2 Physique 1 - M. Hamidi Physique 1 - M. Hamidi ℓ2 M. Un corps de masse m accroché à ce ressort est donc soumis à cette force de rappel élastique. Lors de l’allongement du ressort : `1 > `0 =⇒La force f~1 est dans le sens opposé à ~u. Lors de la compression du ressort : `2 < `0 =⇒La force f~2 est dans le sens de ~u. La force de rappel tend à ramener le ressort vers sa position d’équilibre (état de repos). 1- Étude dynamique Le corps, de masse m, accroché au ressort horizontal, est écartée de sa position d’équilibre (le ressort est allongé d’une distance xm ) puis abandonnée sur un plan horizontal sans frottements. e qu −