Cours de Mécanique Rationnelle - Chapitre 1 PDF

Cours de Mécanique rationnelle Chapitre 1 : Statique d’un point matériel et liaisons 1.1. Rappel sur les grandeurs Scalaires et vectorielles On appelle scalaire une grandeur qui se définit complètement par sa valeur numérique dans un système d’unités choisi et n’est liée à aucun...

Cours de Mécanique rationnelle Chapitre 1 : Statique d’un point matériel et liaisons 1.1. Rappel sur les grandeurs Scalaires et vectorielles On appelle scalaire une grandeur qui se définit complètement par sa valeur numérique dans un système d’unités choisi et n’est liée à aucune direction dans l’espace. Exemple : la masse, le volume, le temps, la température… Au contraire, une grandeur vectorielle ne se définit pas seulement par sa valeur numérique mais aussi par une direction et un sens dans l’espace. Exemple : la force, la vitesse, l’accélération, les contraintes, ce sont des grandeurs représentées par des vecteurs C’est quoi un vecteur ? a) Le vecteur Définition d’un vecteur : Un vecteur est un segment de droite orienté B A Dans la mécanique rationnelle on rencontre plusieurs types de grandeurs caractérisés par des vecteurs : glissants, libres ou liés. - Parmi les vecteurs glissants on cite le vecteur force qui se déplace sur son support. - Parmi les vecteurs libres : on a le vecteur moment d’un couple de force dans l’espace qui se représente par un vecteur libre perpendiculaire au plan d’action du couple. - Parmi les vecteurs liés on trouve le vecteur moment d’une force spatiale par rapport à un point b) Sommation des vecteurs Somme géométrique (résultante) , on peut écrire : On rappelle que la résultante n’est pas toujours la somme géométrique. c) Soustraction des vecteurs Donc : d) Multiplication d’un vecteur par un scalaire Le terme scalaire ici désigne un nombre réel positif ou négatif. Soit un scalaire; soit un vecteur de module ; le produit du vecteur par un scalaire noté. Il est de même support de même sens que si. Par contre si la quantité a le même support mais de sens inverse. 1.2.Statique d’un point matériel : 1ère Définition : On appelle points matériels des corps dont la forme et les dimensions (le volume) n’interviennent pas dans la solution des problèmes posés. Ceci veut dire que toutes les forces appliquées au corps ont le même point d’application, par conséquent il en résulte que chaque force sera définie complètement par sa grandeur (5, 10, 100 N) et son orientation (angle entre la force et la ligne de référence). 2ème définition : Un point matériel est un corps de masse m , très petit, tel que les trajectoires de tous ses points soient indiscernables les une des autres et se réduisent à une courbe unique. Un corps ou un solide est un ensemble de points matériels Un point matériel obéit au principe d’inertie de Galillée et Newton, c'est-à-dire le point matériel est incapable de créer par elle-même un mouvement (on dit que la matière est inerte) 1ère loi de Newton. 1.3 Force : La force est un concept physique qui permet d’exprimer l’action qu’exerce un corps sur un autre (et réciproquement la réaction du 2ème corps sur le premier). La force se rapporte toujours à un certain corps sur lequel elle agit, n’ayant de sens que relativement à ce corps : On ne peut pas imaginer une force seule, dans l’espace, détachée de tout. La force est comme une âme qui ne se voit que par ses actions Exemples : x Les deux forces agissent l’une contre l’autre Sur deux supports différents x Les deux forces agissent l’une contre l’autre sur le même support Si les deux forces ont la même grandeur (même module), même support et deux sens opposés, les deux forces sont en équilibre d’où en tire le premier axiome de la statique. Axiome 1 : Pour que deux forces appliquées à un solide parfait se trouvent en équilibre. Il faut et il suffit qu’elles soient de module égal, de sens contraire et soient portées par la droite joignant leurs points d’application. 1.3.Composition et décomposition des forces 1.4. a) Compositiondes forces On peut remplacer les deux forces et appliquées au point par une force unique appelée résultante. A partir du schéma ci –dessus on peut tirer la relation suivante nommée règle des sinus: ; donc : Il faut faire attention ici par exemple si on a ( ) ceci ne veut pas dire que Mais Ceci fait la différence entre les grandeurs vectorielles (force, vitesse, accélération, …) dont la sommation se fait selon la règle des parallélogrammes et les grandeurs scalaires qui se somment algébriquement. b) Décomposition des forces : 1er cas : Si on connait les deux directions des composantes, on peut facilement décomposer la force résultante en deux composantes. Si non on peut formuler une infinité de composantes 2ème cas : Si on connait une composante , il est plus facile de déterminer la deuxième composante par le tracé du parallélogramme de diagonale F et de cotés et. 1.5. Composante rectangulaire d’une force P=FcosQ=Fsin , , , Exemple : Si F = 800 N, ; on trouve : , , 1.6.Projection des forces dans l’espace , , , Ce qu’on appelle double projection D’autre part : or ; ; Module de F : 1.7.Théorème des trois forces Enoncé du théorème : Si un solide est en équilibre sous l’action de trois forces du même plan (coplanaires) non parallèles, les directions de ces forces concourent en un même point. - même support - même module - sens opposé Remarque : Ce théorème est applicable, notamment dans le cas des liaisons (réaction inconnue auparavant qui se dirige vers l’intersection des deux autres forces) 1.8.Forces intérieures Les forces intérieures agissant dans un solide parfait constituent un système de forces équilibré et n’interviennent jamais dans les conditions d’équilibre du solide (l’étude de ces forces f ait partie de la spécialité de la résistance des matériaux RDM où on a recours à des coupes intérieures). Dans notre module (mécanique rationnelle) on travaille seulement avec des forces extérieures. 1.9.Forces extérieures On appelle forces extérieures, toutes actions exercées sur un solide par d’autres corps. Exemple : Forces magnétiques, forces électriques (attractives, ou répulsives), forces de contacts entre les corps. Dans ce module on ne s’intéresse qu’aux forces de contacts entre les corps, pour cette raison on évoque le problème des liaisons (problème des actions et des réactions). Dans ce contexte on rappelle l’axiome de Newton qui porte le nom de principe d’égalité de l’action et de la réaction. « les forces exercées par deux solides l’un sur l’autre sont toujours de même module, de même direction et de sens opposé ». 1.9.1. Corps lié et corps libre - Un corps libre, est un corps qui peut se mouvoir dans toutes les directions (translation suivant Ox, Oy , Oz) et rotation autour de (Ox, Oy , Oz), c’est un corps qui a six degrés de liberté ( exemple : un ballon dans l’air). - Un corps lié est un solde qui ne peut se mouvoir en toute liberté dans certaines directions à cause d’un obstacle (exemple : la brosse sur le bureau (contact) la porte de l’amphi (articulation) le tableau (encastrement). Dans ces problèmes de la statique l’obstacle s’appelle liaison, il exerce une force nommée « force de réaction » ou réaction de la liaison. Réaction Action En équilibre  Attention : En équilibre , pour cette raison on dit que dans la statique des corps en contact, on a toujours la même réponse pour deux questions différentes, c’est-à-dire la recherche de la force d’action (pression) ou la force de la réaction (même chose). C'est-à-dire trouver la réaction au point A ou bien la pression au point A c’est la même chose 1.9.2. Types de liaisons ou a) Solide en contact ponctuel ou La tangente à la surface d’appui Surface d’appui Surface glissante : Réaction normale = Poutre Surface d’appui Remarque : Dans ces points de contacts, la force de frottement est nulle (on a une seule composante normale). b) Appui à rouleau Notation : A Surface d’appui : Une seule composante normale Perpendiculaire à la surface d’appui Reste à trouver la grandeur de selon le problème posé. Exemple : machine à laver, cuisinière (roulement) c) Articulation cylindrique Notation : A A La réaction est inconnue en module et en sens et se détermine après la résolution du problème posé. Exemple : la porte qui tourne autour de l’articulation cylindrique d) Articulation sphérique Notation : A B C Pression Jeu La réaction est inconnue en module et en sens, elle prend toutes les directions et sa valeur (module) se détermine selon le problème posé. Exemple : rotule de la direction de la voiture. e) Encastrement Notation :  (Moment d’encastrement) (Réaction d’encastrement) sont les deux inconnues en module et en sens et trouvent leurs solutions d’après le problème posé. Exemple : le tableau est encastré au mur f) Liaisons flexibles Réaction Notation Si je coupe le poids Action La direction de la tension se trouve toujours sur le support (câble, corde,..) et se dirige vers le point de fixation. Exemple : les ponts suspendus, corps de construction en génie civil. Exercice d’application : Trouver la direction de la réaction RA dans la rotule (appliquer le théorème des 03 forces) ? A En équilibre se dirige forcement vers le point de concourt des supports de P et