Algorithmique Avancé et Complexité (PDF)

Université Ferhat Abbas – Setif 1- Faculté des sciences Département d’informatique Algorithmique Avancé et Complexité Dr. Hadi Fairouz Maitre de conférences [email protected]  Chapitre 6 Paradigme Divi...

Université Ferhat Abbas – Setif 1- Faculté des sciences Département d’informatique Algorithmique Avancé et Complexité Dr. Hadi Fairouz Maitre de conférences [email protected]  Chapitre 6 Paradigme Diviser pour Régner Contenu du chapitre  Notions de récursivité  Présentation du paradigme "diviser pour régner"  Structure générale d'un algorithme "diviser pour régner"  Forme générale des relations de récurrence  Le théorème de Master  Analyse de la Complexité des Algorithmes "Diviser pour Régner"  Exemple d'Analyse de Complexité : La Recherche Binaire Chapitre 6 paradigme diviser pour régner Introduction Dans le domaine de l'informatique, la recherche de solutions efficaces à des problèmes complexes est un enjeu majeur. Parmi les nombreuses stratégies algorithmiques, le paradigme "diviser pour régner" se distingue par son approche élégante et puissante. Ce paradigme repose sur l'idée fondamentale de décomposer un problème en sous-problèmes plus petits et plus maniables, de les résoudre de manière récursive, puis de combiner leurs solutions pour obtenir une réponse au problème initial. Ce cours a pour objectif d'explorer en profondeur le paradigme "diviser pour régner". Nous aborderons d'abord les notions de récursivité, qui sont essentielles à la compréhension de cette approche. Ensuite, nous présenterons les caractéristiques spécifiques du paradigme, ainsi que la structure générale des algorithmes qui en découlent. Nous discuterons également du théorème de Master, un outil crucial pour analyser la complexité des algorithmes basés sur ce paradigme. 1. Notions de récursivité La récursivité est une technique où une fonction s’appelle elle-même pour résoudre un problème. Exemples : Calcul de la factorielle def factorial(n): if n == 0: return 1 else: return n * factorial(n - 1)  Récursivité vs Itération La récursivité et l'itération sont deux paradigmes fondamentaux en programmation qui permettent de résoudre des problèmes de manière efficace, mais avec des approches distinctes. La récursivité consiste à définir une fonction qui s'appelle elle-même pour résoudre des sous- problèmes, permettant souvent une expression élégante et concise des algorithmes, surtout dans des contextes comme le "diviser pour régner". Cependant, elle peut entraîner des coûts en mémoire en raison de l'utilisation de la pile d'appels. 1 Chapitre 6 paradigme diviser pour régner En revanche, l'itération utilise des boucles pour répéter un bloc de code jusqu'à ce qu'une condition soit atteinte. Elle est généralement plus efficace en termes d'utilisation de la mémoire, car elle évite la surcharge de la pile d'appels. Avantages Inconvénients Récursivité Code plus propre et plus intuitif pour Consommation de mémoire due à la pile certains problèmes. d'appels ; risque de débordement de pile. Itération Généralement plus efficace en termes de Peut-être moins intuitif et rendre le code mémoire ; pas de frais de gestion de la pile. plus complexe. Table 6.1 : Récursivité vs Itération 2. Présentation du paradigme "diviser pour régner" Le paradigme "diviser pour régner" (divide and conquer), on dit aussi "diviser pour résoudre" consiste à diviser un problème en sous-problèmes, à les résoudre indépendamment, puis à combiner les résultats pour obtenir la solution finale. L'étape de subdivision est appliquée récursivement. Figure 6.1 : principe de diviser pour régner. 3. Structure générale d'un algorithme "diviser pour régner" - Diviser : Identifier comment le problème peut être divisé (ex. : en moitiés, en quartes, etc.). - Régner : Résoudre les sous-problèmes récursivement. -Combiner : Combiner les résultats des sous-problèmes pour former la solution complète. 2 Chapitre 6 paradigme diviser pour régner Les différentes étapes de diviser pour régner peut-être résumé comme suit : 1. Initialisation de S. 2. Vérification du cas de base.  Si petit, résoudre directement. 3. Division du problème en sous-problèmes. 4. Résolution récursive des sous-problèmes. 5. Combinaison des solutions des sous-problèmes. 6. Retour de la solution finale. 4. Forme générale des relations de récurrence Les relations de récurrence typiques pour les algorithmes "diviser pour régner" sont de la forme : 𝑛 𝑇(𝑛) = 𝑎. 𝑇 ( ) + 𝑓(𝑛) 𝑏 où : T(n) : le temps d'exécution pour un problème de taille n. a : le nombre de sous-problèmes. 𝑛 b : le facteur de réduction de la taille du problème (chaque sous-problème a une taille 𝑏 ). f(n) : le coût de la combinaison des résultats des sous-problèmes pour reconstituer la solution du problème principal P 5. Le théorème de Master Le théorème de Master est un outil fondamental en algorithmique, particulièrement utile pour analyser la complexité des algorithmes qui suivent le paradigme "diviser pour régner". De nombreux algorithmes "diviser pour régner" peuvent être modélisés par des relations de récurrence. Ces relations décrivent comment le temps d'exécution d'un problème de taille n dépend du temps d'exécution de ses sous-problèmes. 3 Chapitre 6 paradigme diviser pour régner Le théorème de Master permet de résoudre ces relations de manière directe, offrant une méthode systématique pour déterminer la complexité temporelle des algorithmes.  Hypothèses du Théorème de Master  Comparaison avec 𝒏𝒍𝒐𝒈𝒃𝒂 :  Le terme 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 représente le coût de la résolution des sous-problèmes.  Les hypothèses du théorème comparent f(n) avec 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 afin de déterminer la complexité asymptotique de T(n).  Types d'Hypothèses Le théorème de Master se divise généralement en trois cas, basés sur la relation entre f(n) et 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 où 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 est le logarithme de a en base b : Cas 1 : f(n) est polynomialement plus faible que 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎. Condition : Il existe une constante  > 0 telle que 𝑓(𝑛) = 𝑂(𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎−𝜀 ) Conclusion : 𝑇(𝑛) = (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎−𝜀 ) Cas 2 : f(n) est asymptotiquement égal à 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎. Condition : 𝑓 (𝑛) = (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 ) Conclusion : 𝑇(𝑛) = (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 log 𝑛) Cas 3 : f(n) est polynomialement plus grand que𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎. Condition : Il existe une constante  > 0 telle que 𝑓 (𝑛) =  (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎+𝜀 ) 𝑛 et que 𝑎. 𝑓 ( 𝑏 ) ≤ 𝑐. 𝑓(𝑛) pour une certaine constante c < 1 et pour suffisamment grand n. Conclusion : 𝑇(𝑛) = (𝑓(𝑛)) 4 Chapitre 6 paradigme diviser pour régner 6. Analyse de la Complexité des Algorithmes "Diviser pour Régner" L'analyse de la complexité permet d'évaluer l'efficacité d'un algorithme en termes de temps et d'espace nécessaires pour exécuter une tâche. Comprendre la complexité aide à anticiper le comportement de l'algorithme avec des entrées de différentes tailles, ce qui est crucial pour le choix de l'algorithme approprié dans un contexte donné. L'analyse de la complexité des algorithmes "diviser pour régner" est essentielle pour évaluer leur efficacité en termes de temps d'exécution et d'utilisation de la mémoire. En modélisant ces algorithmes par des relations de récurrence, on peut déterminer la complexité temporelle à l'aide du théorème de Master, qui compare le coût de la combinaison des sous- problèmes avec le coût de leur résolution. Cette méthode d'analyse est particulièrement bénéfique car elle permet d'identifier rapidement les performances d'un algorithme sans avoir à le coder intégralement. L'analyse de la complexité permet également de choisir l'algorithme approprié en fonction des contextes d'application spécifiques, en anticipant le comportement des algorithmes face à des entrées de différentes tailles et en identifiant les scénarios où un algorithme particulier excelle. Par exemple, dans des applications de traitement d'images ou d'analyse de données massives, il est crucial de sélectionner des algorithmes qui équilibrent bien la rapidité et l'utilisation de la mémoire. De plus, comprendre l'utilisation de la mémoire, notamment en raison de la récursion, est crucial pour optimiser les performances et éviter des problèmes de surcharge de la pile d'appels. Les algorithmes récursifs, bien qu'élégants, peuvent parfois entraîner une consommation excessive de mémoire, ce qui peut affecter leur efficacité, surtout pour des entrées de grande taille. Finalement, une analyse rigoureuse de la complexité aide à faire des choix éclairés pour garantir l'efficacité et la réactivité des systèmes informatiques face aux exigences des utilisateurs. Cela permet non seulement d'optimiser les performances, mais aussi d'assurer la scalabilité des solutions développées, ce qui est essentiel dans un monde de plus en plus axé sur la donnée et la rapidité de traitement. 5 Chapitre 6 paradigme diviser pour régner 7. Exemple d'Analyse de Complexité : La Recherche Binaire  Description de l'Algorithme de Recherche Binaire La recherche binaire est utilisée pour trouver un élément dans un tableau trié. L'algorithme fonctionne comme suit : 1. On compare l'élément recherché avec l'élément du milieu du tableau. 2. Si l'élément recherché est égal à l'élément du milieu, la recherche est terminée. 3. Si l'élément recherché est plus petit que l'élément du milieu, on continue la recherche dans la moitié gauche du tableau. 4. Si l'élément recherché est plus grand, on continue dans la moitié droite. Relation de Récurrence La relation de récurrence pour la recherche binaire peut être formulée comme suit :  La taille du tableau est réduite de moitié à chaque appel.  Le coût de la recherche à chaque niveau (comparaison) est constant, soit f(n)=O(1). Ainsi, la relation de récurrence est : 𝑛 𝑇 (𝑛 ) = 𝑇 ( ) + 𝑂 (1 ) 2  Application du Théorème de Master Calcul de (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 ) : - Ici, 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔2 1 = 0. - Ainsi, (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏21 )= n0 = 1. Nous avons f(n) = O (1), qui est asymptotiquement égal à n0. Selon le cas 2 du théorème de Master, où f(n) est asymptotiquement égal à (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 ), nous concluons que : 𝑇(𝑛) = (log 𝑛) Interprétation : Ici, le coût de la combinaison est d'un ordre de grandeur similaire à celui du travail des sous-problèmes. On obtient donc un terme logarithmique supplémentaire dans la complexité finale. 6 Chapitre 6 paradigme diviser pour régner Ainsi, la recherche binaire a une complexité temporelle de O (log n), ce qui en fait une méthode très efficace pour rechercher des éléments dans des tableaux triés. Conclusion Le paradigme "diviser pour régner" est une approche algorithmique puissante et polyvalente qui consiste à décomposer un problème complexe en sous-problèmes plus simples, à les résoudre indépendamment, puis à combiner leurs solutions pour obtenir la solution globale. Ce paradigme est à la base de nombreux algorithmes efficaces, tels que la recherche binaire, l'algorithme de Karatsuba, le tri fusion et le tri rapide. Points Clés Abordés : 1. Notions de Récursivité : La récursivité est essentielle dans le paradigme "diviser pour régner", permettant de redéfinir un problème en fonction de ses sous-problèmes. 2. Structure Générale d'un Algorithme : Nous avons examiné la structure typique d'un algorithme "diviser pour régner", qui inclut la division, la résolution des sous- problèmes, et la combinaison des résultats. 3. Théorème de Master : Ce théorème fournit un cadre pour analyser la complexité des algorithmes "diviser pour régner". Nous avons étudié ses trois cas, permettant de déterminer facilement la complexité asymptotique en fonction de la relation entre le coût des sous-problèmes et le coût de la combinaison. 4. Analyse de la Complexité : À travers des exemples comme la recherche binaire et l'algorithme de Karatsuba, nous avons illustré comment établir et résoudre des relations de récurrence pour évaluer l'efficacité des algorithmes. 5. Applications Pratiques : Les algorithmes fondés sur le paradigme "diviser pour régner" sont omniprésents dans les systèmes modernes, de la recherche dans les bases de données aux algorithmes de traitement d'images, montrant ainsi leur pertinence dans le monde réel. 7