Chapitre 4_Analyse_Les fonctions usuelles PDF

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Filière Physique Chimie (PC) – Premier semestre (S1) – Cours Analyse Chapitre 4 : Les fonctions usuelles I. Les fonctions affines : ℝ⟶ℝ Soient 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, on définit la fonction 𝑓: {. 𝑓 est appelé fonction affine. Sa 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 + 𝑏 représentation graphique est une droite. Exemple : 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| − |𝑥| + |𝑥 − 2| est une fonction affine par morceaux. II. Les fonctions polynomiales – Les fonctions rationnelles : ℝ⟶ℝ La fonction puissance entière : pour 𝑛 ∈ ℤ on considère 𝑓: {. 𝑓 est appelée 𝑥 ⟼ 𝑥𝑛 fonction puissance entière. Si 𝑛 ∈ ℤ+ , alors 𝐷𝑓 = ℝ et 𝑓 est dérivable sur son ensemble de définition et 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1. Si 𝑛 ∈ ℤ∗− , alors 𝐷𝑓 = ℝ∗ et 𝑓 est dérivable sur son ensemble de définition et 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1. On appelle fonction polynomiale toute fonction définie sur ℝ par : ℝ⟶ℝ 𝑃: { où 𝑛 ∈ N. 𝑥 ⟼ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 ⋯ , 𝑎0 sont appelés les coefficients du polynôme P et si les coefficients ne sont pas tous nuls le plus grand exposant de 𝑥 avec un coefficient non nul est dit degré de P. On dit que 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑃 𝑠𝑖 𝑃(𝑎) = 0. 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑃 𝑠𝑠𝑖 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥) où Q est une fonction polynomiale. On appelle fonction rationnelle tout quotient d’une fonction polynomiale par une fonction polynomiale non nulle. III. La fonction logarithme népérien: ℝ∗+ ⟶ ℝ Soit la fonction : { 1. 𝑓 est définie, continue sur ℝ∗+ ; elle possède donc 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) = 𝑥 des primitives sur ℝ∗+. On appellera fonction logarithme népérien, et on notera 𝑙𝑛, la primitive de 𝑓 qui s’annule en 1. ℝ∗+ ⟶ ℝ Donc 𝑙𝑛: { est une fonction continue, dérivable sur ℝ∗+ et 𝑥 ⟼ 𝑙𝑛(𝑥) 1 𝑙𝑛′ (𝑥) = 𝑒𝑡 𝑙𝑛(1) = 0. La fonction 𝑙𝑛 est strictement croissante sur son ensemble de 𝑥 définition. Il existe un unique réel noté 𝑒, appelé nombre de Néper, tel que 𝑙𝑛(𝑒) = 1. Représentation graphique de 𝑙𝑛 : Soit 𝑢: 𝐼 ⟶ ℝ∗+ une fonction définie et dérivable sur I, alors ln(𝑢) est dérivable sur I et 𝑢′(𝑥) (𝑙𝑛𝑢)′ (𝑥) =. 𝑢(𝑥) 1  Filière Physique Chimie (PC) – Premier semestre (S1) – Cours Analyse Propriétés algébriques de 𝑙𝑛 : ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ∗+ , ∀𝑛 ∈ ℤ on a : 𝑥 1 ln(𝑥𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦) ; ln ( ) = ln(𝑥) − ln(𝑦) ; ln ( ) = − ln(𝑥) ; ln(𝑥 𝑛 ) = 𝑛𝑙𝑛(𝑥) 𝑦 𝑥 Limites usuelles de ln : ln (𝑥) ln(𝑥) lim ln(𝑥) = −∞ ; lim ln(𝑥) = +∞ ; lim = 0; lim+ 𝑥𝑙𝑛(𝑥) = 0 ; lim =1 ; 𝑥→0+ 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→0 𝑥→1 𝑥−1 ln(𝑥+1) lim = 1. 𝑥→0 𝑥 Inégalité de convexité : ∀𝑥 ∈ ]−1, +∞[, ln(1 + 𝑥) ≤ 𝑥 (𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 ∀𝑡 > 0, ln (𝑡) ≤ 𝑡 − 1 ). IV. La fonction exponentielle népérienne : La fonction ln est une bijection de ℝ∗+ 𝑠𝑢𝑟 ℝ. Sa bijection réciproque est appelée exponentielle népérienne et est notée exp. C’est une fonction continue, dérivable strictement croissante sur ℝ. ℝ ⟶ ℝ∗+ exp: {. ∀𝑦 ∈ ℝ∗+ , ∀𝑥 ∈ ℝ, (exp(𝑥) = 𝑦 ⟺ ln(𝑦) = 𝑥) 𝑥 ⟼ 𝑒𝑥𝑝(𝑥) exp(0) = 1; exp(1) = 𝑒; 𝑒𝑥𝑝′ (𝑥) = exp (𝑥). Soit 𝑢: 𝐼 ⟶ ℝ une fonction définie et dérivable sur I, alors exp(𝑢) est dérivable sur I et (exp(𝑢))′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥)exp (𝑢(𝑥)). Représentation graphique de 𝑒𝑥𝑝 : Propriétés algébriques de 𝑒𝑥𝑝 : ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ , ∀𝑛 ∈ ℤ on a : 1 exp(𝑥 + 𝑦) = exp(𝑥) × exp(𝑦) ; exp(−𝑥) = ; exp(𝑛𝑥) = (exp(𝑥))𝑛 exp (𝑥) On notera exp(𝑥) = 𝑒 𝑥. Limites usuelles de exp : 𝑙𝑖𝑚 𝑒 𝑥 = +∞; 𝑙𝑖𝑚 𝑒 𝑥 = 0 ; 𝑥→+∞ 𝑥→−∞ 𝑒𝑥 𝑒 𝑥 −1 lim 𝑥 𝑒 𝑥 = 0 ; lim = +∞; lim = 1. 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→0 𝑥 Inégalité de convexité : ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒 ≥ 𝑥 + 1. 𝑥 V. Fonctions logarithmes et exponentielles en base 𝑎: Soit 𝑎 ∈ ℝ∗+ \{1}. 𝑙𝑛(𝑥) On définit la fonction logarithme en base 𝑎 notée 𝑙𝑜𝑔𝑎 par : ∀𝑥 > 0, 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) =. 𝑙𝑛(𝑎) ∗+ La fonction 𝑙𝑜𝑔𝑎 est strictement croissante sur ℝ si 𝑎 > 1, et strictement décroissante sur ℝ∗+ si 𝑎 < 1. Dans les deux cas elle réalise une bijection de ℝ∗+ vers ℝ. Elle vérifie la propriété : ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ∗+ , 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥 × 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) + 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑦). On définit aussi la fonction exponentielle en base 𝑎 notée 𝑒𝑥𝑝𝑎 par : ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒𝑥𝑝𝑎 (𝑥) = 𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛(𝑎). Les fonction 𝑙𝑜𝑔𝑎 et 𝑒𝑥𝑝𝑎 sont réciproques l’une de l’autre. On a donc : ∀𝑥 > 0, 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) = 𝑥 et ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎 𝑥 ) = 𝑥 2  Filière Physique Chimie (PC) – Premier semestre (S1) – Cours Analyse VI. La fonction puissance: On définit la fonction 𝑓𝑎 : { ℝ∗+ ⟶ ℝ∗+ 𝑜ù 𝑎 ∈ ℝ 𝑥 ⟼ 𝑥 𝑎 = 𝑒 𝑎𝑙𝑛(𝑥) 𝑓𝑎 est appelée fonction puissance d’exposant 𝑎. 𝑓𝑎 est continue, dérivable sur ℝ∗+ et 𝑓𝑎 ′ (𝑥) = 𝑎𝑥 𝑎−1. 0 𝑠𝑖 𝑎 > 0 On a : lim 𝑓𝑎 (𝑥) = {. Donc : 𝑥→0 +∞ 𝑠𝑖 𝑎 < 0 si 𝑎 > 0 on prolonge par continuité en posant 𝑓𝑎 (𝑥) = 0𝑎 = 0. si 𝑎 < 0 on a une asymptote verticale en 0. 𝑥 𝑎 −0 0 𝑠𝑖 𝑎 > 1 Lorsque 𝑎 > 0 on a : lim = 𝑒 (𝑎−1)𝑙𝑛(𝑥) = {. Donc : 𝑥→0 𝑥 +∞ 𝑠𝑖 0 < 𝑎 < 1 si 𝑎 > 1 on a une tangente horizontal en 0. si 𝑎 < 0 on a une tangente verticale en 0. Représentation graphique de 𝑓𝑎 : Propriétés algébriques de la fonction puissance : ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ∗+ on a : 1 𝑥 𝑎+𝑏 = 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 ; (𝑥 𝑎 )𝑏 = 𝑥 𝑎𝑏 ; (𝑥𝑦)𝑎 = 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 ; 𝑥 −𝑎 = ; ln(𝑥 𝑎 ) = 𝑎 ln(𝑥) ; 𝑥 0 = 1; 1𝑎 = 1. 𝑥𝑎 Quelques limites importantes : ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ∗+ , (𝑙𝑛𝑥)𝛼 lim = 0; lim 𝑥 𝛼 |𝑙𝑛𝑥|𝛽 = 0; 𝑥→+∞ 𝑥𝛽 𝑥→0 𝑒 𝛼𝑥 lim = +∞; lim |𝑥|𝛽 𝑒 𝛼𝑥 = 0 𝑥→+∞ 𝑥 𝛽 𝑥→−∞ VII. Les fonctions trigonométriques réciproques: La fonction Arcsinus: ℝ ⟶ [−1,1] Soit la fonction sin: {. Elle est continue, dérivable sur ℝ , 𝑥 ⟼ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 2𝜋-périodique, impaire et 𝑠𝑖𝑛′ (𝑥) = cos (𝑥). 3  Filière Physique Chimie (PC) – Premier semestre (S1) – Cours Analyse −𝜋 𝜋 La restriction de la fonction sinus sur [ , ] est continue, strictement croissante, 2 2 −𝜋 𝜋 donc elle réalise une bijection de [ , ] sur [−1,1]. Sa bijection réciproque est 2 2 notée Arcsin. −𝜋 𝜋 [−1,1] ⟶ [ , ] Arcsin: { 2 2 𝑥 ⟼ 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 𝑦 −𝜋 𝜋 ∀𝑥 ∈ [−1,1], ∀𝑦 ∈ [ , ] , (𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 𝑦 ⟺ sin(𝑦) = 𝑥) 2 2 1 Arcsin est dérivable sur ]−1,1[ et 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛′ (𝑥) = ; √1−𝑥 2 Si u est une fonction dérivable à valeurs dans ]−1,1[ alors Arcsin(u) est dérivable 𝑢′ et on a :[𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑢)]′ =. √1−𝑢2 Représentation graphique de Arcsin : La fonction Arccosinus: ℝ ⟶ [−1,1] Soit la fonction cos: {. Elle est continue, dérivable sur ℝ , 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 2𝜋-périodique, paire et 𝑐𝑜𝑠 ′ (𝑥) = −sin(𝑥). La restriction de la fonction cosinus sur [0, 𝜋] est continue, strictement décroissante, donc elle réalise une bijection de [0, 𝜋] sur [−1,1]. Sa bijection réciproque est notée Arccos. [−1,1] ⟶ [0, 𝜋] Arccos: { 𝑥 ⟼ 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑦 ∀𝑥 ∈ [−1,1], ∀𝑦 ∈ [0, 𝜋], (𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑦 ⟺ cos(𝑦) = 𝑥) −1 Arccos est dérivable sur ]−1,1[ et 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠′(𝑥) =. √1−𝑥 2 Si u est une fonction dérivable à valeurs dans ]−1,1[ alors Arccos(u) est −𝑢′ dérivable et on a :[𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑢)]′ = 2. √1−𝑢 Représentation graphique de Arccos : La fonction Arctangente: 𝜋 ℝ\ { + 𝑘𝜋/𝑘 ∈ ℤ} ⟶ ℝ Soit la fonction tan: { 2. Elle est continue, dérivable sur 𝑥 ⟼ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝜋 1 ℝ\ { + 𝑘𝜋/𝑘 ∈ ℤ} , 𝜋-périodique, impaire et 𝑡𝑎𝑛′ (𝑥) = 1 + tan2 ( 𝑥) =. 2 cos2 ( 𝑥) 4  Filière Physique Chimie (PC) – Premier semestre (S1) – Cours Analyse 𝜋 𝜋 La restriction de la fonction tangente sur ]− , [ est continue, strictement 2 2 𝜋 𝜋 croissante, elle réalise donc une bijection de ]− , [ sur ℝ. Sa bijection 2 2 réciproque est notée Arctan. 𝜋 𝜋 ℝ ⟶ ]− , [ Arctan: { 2 2 𝑥 ⟼ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 𝑦 𝜋 𝜋 ∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ]− , [ , (𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 𝑦 ⟺ tan(𝑦) = 𝑥) 2 2 1 Arctan est dérivable sur ℝ et 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛′(𝑥) =. 1+𝑥 2 Si u est une fonction dérivable alors Arctan(u) est dérivable et on a : 𝑢′ [𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢)]′ = 2. 1+𝑢 Représentation graphique de Arctan : Quelques égalités classiques : ∀𝑥 ∈ [−1,1], cos(𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥)) = sin (𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = √1 − 𝑥 2 ; 𝜋 ∀𝑥 ∈ [−1,1], 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 2 ; 𝜋 1 𝑠𝑖 𝑥 > 0 ∗ 2 ∀𝑥 ∈ ℝ , 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) = { 𝜋. 𝑥 − 𝑠𝑖 𝑥 < 0 2 VIII. Les fonctions hyperboliques: Les fonctions cosinus et sinus hyperboliques: ℝ⟶ℝ ℝ⟶ℝ Soient les fonctions 𝑐ℎ { 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 et 𝑠ℎ { 𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥. 𝑥 ⟼ 𝑐ℎ(𝑥) = 𝑥 ⟼ 𝑠ℎ(𝑥) = 2 2 La fonction ch est continue, dérivable sur ℝ , paire et 𝑐ℎ′ (𝑥) = sh(𝑥). La fonction sh est continue, dérivable sur ℝ , impaire et 𝑠ℎ′ (𝑥) = ch(𝑥). ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑐ℎ(𝑥) + 𝑠ℎ(𝑥) = 𝑒 𝑥 ; 𝑐ℎ(𝑥) − 𝑠ℎ(𝑥) = 𝑒 −𝑥 ; 𝑐ℎ2 (𝑥) − 𝑠ℎ2 (𝑥) = 1. Limites usuelles : lim 𝑐ℎ(𝑥) = +∞; lim 𝑠ℎ(𝑥) = −∞; lim 𝑠ℎ(𝑥) = +∞; 𝑥→±∞ 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ 𝑠ℎ(𝑥) 𝑐ℎ(𝑥)−1 𝑐ℎ(𝑥) 𝑠ℎ(𝑥) lim = 1; lim = 0; lim = lim = +∞. 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥 Représentation graphique de ch : 5  Filière Physique Chimie (PC) – Premier semestre (S1) – Cours Analyse Représentation graphique de sh : La fonction tangente hyperbolique: ℝ⟶ℝ Soit la fonction 𝑡ℎ: { 𝑥 ⟼ 𝑡ℎ(𝑥) = 𝑠ℎ(𝑥). La fonction th est continue, 𝑐ℎ(𝑥) ′ (𝑥) 1 dérivable sur ℝ , impaire et 𝑡ℎ = 1 − 𝑡ℎ2 (𝑥) =. 𝑐ℎ 2 (𝑥) Limites usuelles : 𝑡ℎ(𝑥) lim 𝑡ℎ(𝑥) = −1; lim 𝑡ℎ(𝑥) = 1; lim =1. 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ 𝑥→0 𝑥 Représentation graphique de th : IX. Fonctions à valeurs complexes : 𝐷⊂ℝ⟶ℂ ❖ Soit la fonction 𝑓: { où 𝑥(𝑡) 𝑒𝑡 𝑦(𝑡) sont des fonctions 𝑡 ⟼ 𝑓(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡) réelles de 𝐷 ⊂ ℝ ⟶ ℝ. ❖ La fonction 𝑓 est dérivable si les fonctions 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 sont dérivables et on a : 𝑓 ′ (𝑡) = 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑖𝑦 ′ (𝑡) ❖ Soient 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 deux fonctions à valeurs complexes dérivables, alors on a : 𝑓 𝑓 ′𝑔−𝑓𝑔′ (𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓 ′ +𝑔′ ; (𝑓 × 𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′ ;( )′ =. 𝑔 𝑔2 ❖ Soit 𝜑 ∈ D(𝐷, ℂ) , alors 𝑒 𝜑 est dérivable et on a (𝑒 𝜑 )′ = 𝜑′ × 𝑒 𝜑. En particulier si 𝑎 ∈ ℂ, (𝑒 𝑎𝑡 )′ = 𝑎 × 𝑒 𝑎𝑡. 6