Chapitre 2 : Transformées Fréquentielles PDF

Chapitre 2 : Transformées Fréquentielles 1- Introduction : - Un analyseur de spectre est un appareil de mesure, qui représente un signal en fonction de sa fréquence. - Alors qu’un oscilloscope représente l’amplitude d’un signal en fonction du temps. - L’analyseu...

Chapitre 2 : Transformées Fréquentielles 1- Introduction : - Un analyseur de spectre est un appareil de mesure, qui représente un signal en fonction de sa fréquence. - Alors qu’un oscilloscope représente l’amplitude d’un signal en fonction du temps. - L’analyseur de spectre représente l’amplitude d’un signal en fonction de sa fréquence. La figure 1, nous fournit un signal à 50 Hz, si on observe l’évolution de la tension en fonction du temps nous observerions le signal suivant : Figure 1. Représentation à l’oscilloscope de la tension. Il s’agit d’un signal à 50 Hz. Si on représente dans le domaine fréquentiel (mesure sous l’analyseur de spectre), nous observerions le signal suivant : Sur la figure suivante, nous observerons la trace temporelle et fréquence d’un signal composée de trois sinusoïdes :  Figure 2. Représentation temporelle et spectrale d’un signal composé de trois fréquences. Dans le cas précédent, la fréquence à 200 Hz est appelée la fondamentale, les fréquences à 400 Hz et 600 Hz sont les harmoniques. La fréquence des harmoniques est toujours une multiple de la fréquence du fondamentale. Ainsi, l’analyseur de spectre représente l’amplitude et chaque fréquence existante dans le signal à mesurer. Le signal étudié est donc constitue d’une somme de signaux sinusoïdaux dont l’amplitude et les fréquences sont déterminées par l’analyseur de spectre. - La représentation spectrale et temporelle donne les mêmes informations. La représentation spectrale représente un signal en fonction de la fréquence (analyseur de spectre) alors que la représentation temporelle représente le même signal en fonction du temps (oscilloscope). La représentation spectrale donne l’amplitude de toutes les fréquences présentes dans le signal temporel, on peut ainsi écrire le signal temporel comme une sommation de signaux sinusoïdaux. 2. Séries de Fourier : 2.1. Définition de la série de Fourier : Les séries de Fourier permettent de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel pour des signaux périodiques, dans le cas contraire, on utilisera la Transformée de Fourier. Nous avons vu qu’un analyseur de spectre permettait de représenter un signal comme sommation de signaux à des fréquences différentes. En fait, la décomposition en série de Fourier permet de représenter un signal comme une somme infinie de signaux sinusoidaux et co-sinusoidaux. Soit x(t) un signal périodique de période T, alors x peut s’écrire de la manière suivante : (1) Avec : (2) Les coefficients an et bn sont appelés les coefficients de la série de Fourier, ωp = 2π fp est la pulsation avec fp=1/T. On peut représenter l’équation (1) par deux spectres, l’un représentant le spectre en cosinus et l’autre le spectre en sinus : où les coefficients an et bn sont positifs ou négatifs. On peut noter : , Vn est l’amplitude observée par l’Analyseur de spectre à la fréquence nfp, fp=1/Tp la fréquence fondamentale. Par définition, Vn est positif, mais an et bn peuvent être négatifs. - Propriétés : a0 représente la tension moyenne, à la fréquence 0*fp donc il est représenté par l’amplitude de la raie observée à la fréquence 0 de l’analyseur de spectre. La tension moyenne est aussi appelée la composante Continue. Notez bien que « Tout signal ayant une composante continue non nulle en temporel présentera une raie à la fréquence 0 d’amplitude égale à la composante continue ». V1 représente l’amplitude de la fondamentale, les amplitudes Vn, n>1 représentent l’amplitude des harmoniques. Vn pour n≥1 représente l’amplitude de la fondamentale et des harmoniques. En factorisant par , on peut écrire (1) selon :  (3) Donc pour résumé, Fonction de Dirac : La fonction de Dirac peut être définie en fréquentiel par δ (f-f1), par une raie à la fréquence f1 et d’amplitude 1. En fait, δ (f) est la fonction de Dirac définie par une amplitude de 1 a 0Hz et une amplitude nulle ailleurs donc δ (f-f1) est représenté par une amplitude de 1 a f-f1=0 Hz et nulle ailleurs. On représente ainsi : La série de Fourier est constituée de plusieurs raies, donc on peut considérer qu’elle est constituée d’un Dirac d’amplitude V0 à 0, d’un Dirac d’amplitude V1 à Fp, d’un Dirac d’amplitude V2 à 2Fp, … Mathématiquement, le module du spectre s’écrit : (3) Prenez bien conscience qu’en temporel le signal s’écrit : 2.2. Calcul de la série de Fourier : Les coefficients sont déterminés à partir des équations d’intégrations précédentes, formules que vous étudierez en mathématique. Nous allons maintenant nous intéresser à la représentation spectrale Unilatérale et Bilatérale. Pour cela, nous allons introduire la notion de signaux complexes. 2.2.1. Représentation Spectrale Unilatérale : )) 2.2.2. Représentation Spectrale Bilatérale : En remplaçant les cosinus et les sinus par l’expression précédente, on peut écrire l’équation 1 de la manière suivante :  En regroupant les termes pour n positif et n négatif, on trouve On pose : et pour n>0 c-n est donc défini pour les indices négatifs. On obtient alors : On remarquera que les coefficients cn sont déterminés de -∞ à +∞. Les coefficients cn peuvent être calculés de la manière suivante : pour n>0 pour n>0 c-n est défini pour les indices négatifs. C0 =a0 On préférera la formulation suivante :  (3) Représenter le spectre du signal x(t) consiste à représenter le signal complexe cn pour les différentes fréquences. La encore, on tracera deux figures, l’une pour la partie réelle et l’autre pour la partie imaginaire (cf. représentation spectrale selon le cosinus et le sinus ou la représentation spectre en module et en phase). 3. Transformée de Fourier : Il s’agit de la transformée de Fourier Inverse.