Capítulo 1 Antecedentes de la teoría atómica moderna: el modelo de Bohr PDF

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Capítulo 1 Antecedentes de la teoría atómica moderna: el modelo de Bohr Introducción Para comprender la teoría atómica actual, también llamada teoría atómica mo- derna, será necesario transitar por la historia, recorriendo las distintas ideas y modelos que la humanidad ha creado para comprender el comportamiento de los átomos. En 1913, Niels Bohr desarrolló uno de los modelos atómicos. Este mo- delo, aunque no es el actualmente aceptado como correcto, es bastante sencillo y permite explicar múltiples hechos experimentales. Ahora bien, los antece- dentes que le permitieron elaborar este modelo en la época fueron:  los primeros modelos atómicos  las ideas de Planck y Einstein sobre la cuantización de la energía  los experimentos de la época acerca de los espectros electrónicos Comentaremos brevemente estos hechos para abordar luego el modelo propuesto por Bohr. Los primeros modelos atómicos La primera idea del átomo surge con los griegos, con un grupo de pensa- dores liderado por Demócrito, que propone que la materia está formada por entes indivisibles llamados átomos. Estos átomos se acomodan de manera más o menos compacta para formar todas las cosas; de este modo se introduce además la idea de densidad. Durante varios siglos, el concepto de átomo no volvió a discutirse, ya que predominaron otras ideas filosóficas. Hacia 1808, John Dalton retoma las ideas de los atomistas griegos definiendo a los átomos como la unidad constitutiva de los elementos. Sin embargo, no elabora ninguna hipótesis acerca de su es- tructura interna (Figura 1.1 a). 11  En 1902, Sir Joseph John Thomson y Lord William Thomson Kelvin ela- boran el primer modelo atómico que considera la presencia de partículas subatómicas. Para ello, tienen en cuenta que la materia es eléctricamente neutra y la existencia de los electrones (descubiertos por el mismo J. J. Thomson en 1897). Los electrones, presentes en todos los átomos, son partículas de carga negativa. De alguna forma la carga negativa de los electrones debe ser contra- rrestada por una carga positiva de la misma magnitud. Según el modelo pro- puesto por Thomson y Thomson, los átomos estarían constituidos por una gran esfera de carga positiva dentro de la cual estarían insertos los electrones. A este modelo se lo conoce también como el modelo del “budín de pasas”. El átomo propuesto tendría una carga total nula y los electrones se distribuirían espacialmente dentro de la esfera positiva minimizando las repulsiones entre ellos (Figura 1.1 b). Figura 1.1. Modelo atómico de Dalton (a) y Thomson (b). En 1909, Hans Geiger y Ernest Marsden, se dedicaban a estudiar el com- portamiento de las partículas α (núcleos de helio), haciéndolas incidir sobre una lámina muy fina de oro. En sus experimentos encontraron que dichas par- tículas atravesaban la lámina de oro, mostrando pequeñas deflexiones. Enton- ces, a sugerencia de Rutherford, observan que había partículas que eran deflectadas con un ángulo mayor de 90° (Figura 1.2 a). Figura 1.2. a) Esquema del experimento de Geiger y Mardsen. b) Resultados esperados según el modelo de Thomson, las partículas alfa deberían atravesar la lámina de oro desviándose ligeramente. 12  A la luz del pensamiento de la época, este hallazgo resultó bastante sor- prendente, ya que de ser válido el modelo de Thomson, no sería posible (Figura 1.2 b). A partir de estos resultados, Rutherford elabora un nuevo modelo ató- mico, conocido como modelo planetario (Figura 1.3 a). Según este modelo, el átomo está formado por una carga positiva muy concentrada en un volumen muy pequeño (núcleo) y los electrones se mueven alrededor de él. Los electrones se mantienen en las cercanías del núcleo debido a la atracción electrostática de las cargas de diferente signo (carga positiva del núcleo y carga negativa de los electrones). El núcleo concentra además la mayor parte de la masa del átomo. Este nuevo modelo explica las observaciones de Geiger y Marsden (Figura 1.3 b). Al encontrarse casi toda la masa atómica concentrada en el núcleo, la mayoría de las partículas α pasan a través de los átomos casi sin deflexión, mientras que una pequeña proporción de ellas chocan con el núcleo y “rebo- tan” en la lámina de oro. Figura 1.3. a) Modelo atómico de Rutherford, también conocido como modelo planetario. b) Resultados del experimento de Geiger y Mardsen para una lámina de oro constituida por átomos de Rutherford. La cuantización de la energía En el mundo que nos rodea estamos acostumbrados a ver que las partí- culas pueden tener cualquier valor de energía. Sin embargo, para todos los fe- nómenos de interacción de la materia con la radiación, los valores de energía no pueden ser cualesquiera, sino que tienen solo algunos valores permitidos. Esto se aplica a partículas como el electrón en determinadas condiciones. De- cimos que la energía se encuentra cuantizada. Esta idea fue propuesta por Max Planck en 1900, quien sostuvo que la energía que se intercambia entre la ma- teria y la luz u otra onda electromagnética, es múltiplo de una magnitud finita: 13  Ecuación de Plank: h es la constante de Planck, 𝜈 es la fre- cuencia de la onda electromagnética. Recuerde además que 𝐸 ℎ𝜈 𝜈 𝑐𝜈̅ , siendo 𝜈̅ el número de onda, λ la longitud de onda y c la velocidad de la luz. En 1905, Albert Einstein retoma esta idea para explicar algunas observa- ciones acerca del efecto fotoeléctrico. ¿De qué se trata el efecto fotoeléctrico? Cuando se hace incidir luz sobre la superficie de un metal, es posible desprender electrones (Figura 1.4 a). Cuando esto sucede, la luz provee la energía suficiente para arrancar los elec- trones de la superficie del metal y para que adquieran energía cinética. Esta energía cinética puede medirse si se coloca en el circuito una fuente de poten- cial eléctrico variable que permite frenar los electrones mediante aplicación de una diferencia de potencial contraria (Figura 1.4 b). Al aumentar esa diferencia de potencial contraria al flujo de electrones, éstos se irán frenando. Cuando se detenga el pasaje de corriente (por haberse frenado hasta el electrón que se movía más rápido) se podrá determinar la energía cinética máxima. Para ello se multiplica la diferencia de potencial necesaria para el frenado por la carga del electrón (𝐸 , á 𝑒∆𝑉). Figura 1.4. Efecto fotoeléctrico. a) La luz incide sobre la superficie metálica causando el desprendimiento de los electrones. b) Los fotoelectrones desprendidos pueden ser frenados por aplicación de una diferencia de potencial contraria al flujo de electrones pudiendo determinar la velocidad cinética máxima cuando cese el pasaje de corriente, medido con el amperímetro (A). La teoría clásica no permitía explicar por qué existía una frecuencia umbral de la luz, por debajo de la cual no se observaba la emisión de electrones (Figura 1.5). Según la física clásica, la energía de una onda está relacionada con la in- tensidad de la misma pero no con su frecuencia. Además, el valor de esa fre- cuencia umbral cambiaba con el metal que se usaba para el experimento. 14  Einstein propuso que la luz estaba compuesta por partículas discretas (fo- tones) de energía igual a h. Cuando esas partículas inciden sobre el metal, una parte de esa energía es usada para vencer las fuerzas que mantienen unido al electrón a la superficie metálica (esta cantidad, E0, se encuentra cuantizada y es característica de cada metal). El resto (cantidad no cuantizada) se transfiere al electrón en forma de energía cinética (Ec, máx). Es decir, la energía de la radiación incidente se podría expresar como: h= E0Ec, máx Figura 1.5. Placa de potasio metálico irradiada con luz de diferentes frecuencias. A partir de cierta frecuencia umbral, ν0 (5,5 x 1014 s –1 para el potasio), la energía cinética máxima varía proporcionalmente con la frecuencia de la luz. a) Variación de la velocidad (vmáx) de los fotoelectrones al aumentar la frecuencia de la luz incidente (desde rojo hasta violeta, de izquierda a derecha, en la figura). b) Variación de la energía cinética máxima (Ec, máx) de los fotoelectrones con la frecuencia de la luz incidente. Esta idea, a pesar de que explicaba perfectamente lo observado experi- mentalmente, fue muy resistida por la comunidad científica ya que proponía que la luz (que presentaba un comportamiento típicamente ondulatorio) estaba compuesta por partículas capaces de chocar cediendo su energía (comporta- miento típicamente corpuscular o de partícula material). Esta idea de que la luz puede comportarse como onda o como partícula se conoce como dualidad onda- partícula. 15  Los espectros electrónicos El modelo atómico ideal debe ser capaz de explicar y predecir todas las observaciones experimentales. La emisión y absorción de luz por parte de los átomos fueron evidencias cruciales en este sentido, debido a que existía una gran experiencia en espectroscopía y no se disponía de un modelo atómico adecuado capaz de explicar el comportamiento observado. Figura 1.6. Esquema de la obtención de un espectro de: a) absorción y b) emisión. En ambos casos la luz que llega a la rendija se filtra y se dirige hacia un prisma que separa la radiación según su longitud de onda. En un espectro de absorción se registran los valores de energía que absorben los átomos en una muestra, cuando se hace incidir luz policromática (que con- tiene un continuo de energías o longitudes de onda) sobre ella. Cada átomo puede absorber solo ciertos valores de energía característicos, lo que genera un conjunto de líneas oscuras en en el espectro que se observa mediante el detec- tor (Figura 1.6 a). En un espectro de emisión se excita (mediante una descarga eléctrica, por ejemplo) un conjunto de átomos de una muestra y se registran 16 los valores de las energías emitidas por esos átomos excitados. En este caso los valores de energía emitidos son también característicos de cada átomo y se observan como un conjunto de líneas luminosas en el espectro (Figura 1.6 b). Hacia 1880 se había realizado una gran cantidad de mediciones de longi- tudes de onda e intensidades emitidas o absorbidas por múltiples elementos gaseosos. Sin embargo, no se había progresado en lo absoluto en la explicación de por qué la emisión y absorción ocurre de forma discontinua. En un intento de generalizar la información obtenida, se comenzó una búsqueda de relacio- nes numéricas entre las líneas espectroscópicas. Varios científicos se dedicaron a ello y en su honor las series de líneas de los espectros llevan sus nombres. En 1890 Johannes Robert Rydberg generalizó los resultados obtenidos y comprobó que los valores de energía emitidos por el átomo de hidrógeno es- taban relacionados entre sí por la ecuación: 1 1 Ecuación de Rydberg: RH es la constante de Rydberg, n2 y n1 𝜈̅ 𝑅 𝑛 𝑛 son números enteros mayores que 1 y n1 > n2. Para cada valor de n2 elegido fue posible obtener los valores de número de onda correspondientes a cada una de las series (variando n1 se obtiene cada una de las líneas observadas) conocidas para el átomo de hidrógeno. Estas series llevan los nombres de los científicos que se dedicaron a su estudio: serie de Lyman: n2 = 1, Balmer: n2 = 2, Paschen: n2 = 3, Brackett: n2 = 4, etc. Esta ecuación es totalmente empírica y fue capaz de reproducir todas las líneas de los espectros experimentales, aunque fue desarrollada sin un modelo atómico adecuado. Habría que esperar al modelo de Bohr (1913) para lograr una justificación a la ecuación de Rydberg (1890). Postulados de Bohr Bohr enunció una serie de postulados, cuya validación es a posteriori, es de- cir, por coincidencia con los resultados experimentales. Primer postulado: los átomos monoelectrónicos (H, He+, Li2+, etc.) están constituidos por un núcleo de carga Ze (Z es el número atómico del elemento, e es la magnitud de la carga de un electrón o de un protón), y un electrón que gira alrededor del núcleo en una órbita circular de radio r. Este postulado está basado en el modelo de Rutherford, incorporándose la idea de una órbita cir- cular (Figura 1.7). ¿Cuáles son las consecuencias de este postulado? Para que el electrón se mantenga en una órbita circular, la fuerza centrífuga, Fc, (que lo haría alejarse 17 del núcleo) debe ser de igual módulo que la fuerza eléctrica, Fe, (que lo atrae hacia el núcleo de carga opuesta): Primer postulado de Bohr: m es la masa del electrón, v 𝑚𝑣 𝑘𝑍𝑒 𝐹 𝐹 es la velocidad del electrón, k es la constante de 𝑟 𝑟 Coulomb (Sistema Internacional de Unidades). Figura 1.7. Representación del primer postulado de Bohr aplicado al átomo de hidrógeno. Además, la energía del electrón (ET) estará dada por la suma de la energía potencial eléctrica, 𝐸 (atracción hacia el núcleo) y la energía cinética: 𝐸. Combinando las ecuaciones basadas únicamente en el primer postulado con estas ecuaciones clásicas de energía, es posible obtener la siguiente relación (llamada Teorema del Virial): 𝐸 𝐸 𝐸 2 Es decir que, conociendo la energía cinética del electrón, es posible tam- bién conocer la energía potencial de atracción al núcleo y la energía total, ET. Nótese además que la energía cinética posee un valor positivo, mientras que la energía potencial y la energía total poseen valores negativos. Segundo postulado: La cantidad de movimiento angular o momento an- gular (mvr) del electrón está cuantizada. De los infinitos movimientos orbitales existentes de acuerdo al primer postulado, solo son posibles aquellos para los cuales el momento angular sea un múltiplo de : 18  Segundo postulado de Bohr: n es un número entero mayor que ℎ 𝑚𝑣𝑟 𝑛 cero. Es decir que puede tomar los valores n = 1, 2, 3, … 2𝜋 hasta infinito. Este segundo postulado toma la idea de cuantización de Planck y Einstein y la aplica al momento angular del electrón. Como consecuencia, tanto la ener- gía como la posición del electrón quedan cuantizadas. El electrón no puede girar en órbitas de cualquier valor de radio ni puede tener cualquier valor de energía. Este punto resultará fundamental en la explicación de los espectros discontinuos de los elementos. Trabajando con las ecuaciones del primer y segundo postulado, es posible encontrar expresiones matemáticas para la energía, la velocidad y el radio de la órbita del electrón en un átomo monoelectrónico. 2𝑘 𝑍 𝑒 𝜋 𝑚 𝐸 𝑛 ℎ Expresiones cuantizadas de energía, velocidad y radio 2𝜋𝑘𝑍𝑒 𝑣 de la órbita de Bohr para átomos monoelectrónicos: n 𝑛ℎ puede tomar los valores: 1, 2, 3, … hasta infinito. 𝑛 ℎ 𝑟 4𝜋 𝑚𝑘𝑍𝑒 Vemos que la energía total, la velocidad (y por ende la energía cinética), así como la posición del electrón (y su energía potencial) dependen de varias constantes físicas conocidas y del número cuántico principal. Este número cuántico n define los valores de energía permitidos. Por ejemplo, cuando n vale 1 (deci- mos que el electrón se encuentra en el estado fundamental), la energía tiene el mínimo valor posible, la velocidad es la máxima y el radio de la órbita es el menor. Si el electrón se encontrara en el primer estado excitado (n = 2), tendría un radio mayor de giro, encontrándose más lejos del núcleo, su velocidad sería menor y su energía mayor (véase que su energía cinética sería menor ya que la velocidad es menor y su energía potencial es mayor debido a que el radio de la órbita es mayor). Además, a medida que n crece, los niveles permitidos de ener- gía se encuentran cada vez más próximos entre sí. Es decir que podemos pen- sar en un diagrama de energías permitidas para el electrón como el que se muestra en la Figura 1.8. 19  Figura 1.8. Diagrama de energías permitidas para el átomo monoelectrónico de Bohr. En los procesos de absorción se emplea energía para promover al electrón a un nivel con n mayor. En los procesos de emisión ocurre lo contrario. Cada una de las series de líneas se nombran de acuerdo a los científicos que contribuyeron en su estudio. Se puede observar que las líneas de absorción también aparecen en el espectro de emisión (aquellas que llegan al estado fundamental, n = 1). Tercer postulado: Las órbitas determinadas por el segundo postulado son tales que solo cuando el átomo cambia de un estado (A) con mayor energía a otro (B) con menor, se emite radiación monocromática cuyo número de onda viene dado por: Tercer postulado de Bohr: EA es la energía del estado (A), 𝜈̅ EB es la energía del estado (B), c es la velocidad de la luz y h es la constante de Planck. Este postulado resultó fundamental para la interpretación de los espectros electrónicos. En efecto, combinando la ecuación anterior con la expresión de energía cuantizada de Bohr, se obtiene la ecuación de Rydberg 𝜈̅ 𝑅. ¿Qué nos deja el modelo de Bohr?  A partir de un modelo teórico lograron explicarse muchas observacio- nes experimentales. Fue posible entender el comportamiento del hidrógeno y de los átomos hidrogenoides (monoelectrónicos). 20   Sin embargo, aún restan muchas preguntas por responder. Los espec- tros de los átomos con más de un electrón no pudieron ser explicados por este modelo. Las longitudes de onda predichas por este modelo no concuerdan con los datos experimentales. Será necesario entonces seguir avanzando. Preguntas de autoevaluación Preguntas a desarrollo 1- Explique cómo se manifiestan la dualidad onda-partícula y la cuantiza- ción de la energía en el efecto fotoeléctrico. 2- Explique cómo se relacionan la longitud de onda de la luz que incide sobre una superficie lisa de un metal y la energía cinética de los foto- electrones desprendidos. 3- Explique cómo se introduce la cuantización en el modelo de Bohr. 4- Explique cuáles son los aciertos y limitaciones del modelo de Bohr. 5- ¿Qué son los espectros de absorción y de emisión? ¿Cuál es su relación con la cuantización de la energía? Preguntas de múltiple opción 1- En relación al efecto fotoeléctrico, indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a. la energía mínima necesaria para producir la emisión de elec- trones es independiente del metal. b. cuando diferentes metales se irradian con fotones de la misma frecuencia, la energía cinética máxima de los fotoelec- trones emitidos es la misma para todos los metales. c. la energía cinética máxima de los fotoelectrones desprendi- dos aumenta conforme aumenta la intensidad del haz de irra- diación. d. la energía cinética máxima de los fotoelectrones desprendi- dos aumenta conforme aumenta la longitud de onda del haz de irradiación. e. ninguna de las anteriores. 21 2- Indique cuál de las siguientes afirmaciones referidas al modelo de Bohr es correcta: a. postula que la energía potencial electrostática del electrón es igual a su energía cinética. b. permite explicar satisfactoriamente los espectros de emisión de todos los átomos. c. cuando el átomo pasa del estado fundamental a un estado ex- citado aumenta la velocidad del electrón. d. el radio de la órbita es inversamente proporcional a n. e. ninguna de las anteriores. 3- Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a. cada línea de un espectro de emisión corresponde a la transi- ción electrónica desde un estado a otro de mayor energía. b. la energía absorbida en una transición electrónica de un átomo hidrogenoide es directamente proporcional a la longi- tud de onda de la radiación absorbida. c. para un átomo hidrogenoide cuyo electrón se encuentra en el nivel n = 2, el número máximo de líneas que aparecerán en el espectro de absorción es 2. d. para un átomo hidrogenoide que se encuentra en el estado excitado n = 3 el número máximo de líneas que pueden apa- recer en el espectro de emisión es 3. e. ninguna de las anteriores. 22