Fuentes de Campo Magnético - Física

FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO ?El inmenso cilindro que aparece en esta fotografía, en realidad,...

FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO ?El inmenso cilindro que aparece en esta fotografía, en realidad, es una bobina conduc- METAS DE tora de corriente, o APRENDIZAJE solenoide, que genera Al estudiar este capítulo, un campo magnético usted aprenderá: uniforme en su interior, como parte de un La naturaleza del campo magnético experimento realizado producido por una sola partícula en el Laboratorio con carga en movimiento. Europeo para Física A describir el campo magnético de Partículas (CERN). producido por un elemento de un Si dos de tales solenoi- conductor portador de corriente. des se unieran por sus A calcular el campo magnético extremos, ¿qué tan producido por un alambre largo fuerte sería el campo y recto que conduzca corriente. magnético? Por qué los alambres que conducen corrientes en el mismo sentido se atraen, mientras los E n el capítulo 27 estudiamos las fuerzas ejercidas sobre cargas en movimiento que conducen corrientes en y conductores que transportan corriente en un campo magnético. No interesa sentidos opuestos se repelen. cómo llegó ahí el campo magnético: sólo su existencia como un hecho. Pero, ¿cómo se crean los campos magnéticos? Sabemos que los imanes permanentes y las Cómo calcular el campo magnético corrientes eléctricas en los electroimanes crean campos magnéticos. Ahora estudiare- generado por un alambre portador mos esas fuentes de campo magnético. de corriente doblado en círculo. Vimos que una carga crea un campo eléctrico y que éste ejerce una fuerza sobre Qué es la ley de Ampère y qué una carga. Un campo magnético ejerce una fuerza sólo sobre una carga en movimien- nos dice acerca de los campos to. ¿Es verdad que una carga crea un campo magnético sólo cuando está en movi- magnéticos. miento? En una palabra, sí. Estudiaremos el campo magnético creado por una sola carga puntual en movimiento, lo cual nos servirá para determinar el campo creado por A usar la ley de Ampère para un segmento pequeño de un conductor que transporta corriente. Así, es posible en- calcular el campo magnético contrar el campo magnético producido por un conductor de cualquier forma. de distribuciones simétricas de La ley de Ampère, en el magnetismo, desempeña un papel análogo al de la ley de corriente. Gauss en la electrostática, y permite aprovechar las propiedades de la simetría para relacionar los campos magnéticos con sus fuentes. Las partículas móviles con carga dentro de los átomos responden a los campos magnéticos y actúan como fuentes del campo magnético. Usaremos estas ideas para comprender cómo se emplean ciertos materiales magnéticos para intensificar los campos magnéticos, y por qué algunos ma- teriales, como el hierro, actúan como imanes permanentes. 28.1 Campo magnético de una carga en movimiento Comenzaremos con lo fundamental: el campo magnético de una sola carga puntual q S que se mueve con velocidad constante v. En las aplicaciones prácticas, como la del solenoide que aparece en la fotografía que abre este capítulo, los campos magnéticos son producto de un número enorme de partículas con carga que se desplazan en una corriente. Pero una vez comprendida la forma de calcular el campo debido a una sola carga puntual, basta un pequeño paso para calcular el campo producido por un alam- bre o un conjunto de alambres que transportan corriente. 957 958 C APÍ T U LO 2 8 Fuentes de campo magnético Igual que hicimos en el caso de los campos eléctricos, llamaremos punto de fuen- te a la ubicación de la carga en movimiento en un instante dado, y punto de campo al punto P donde pretendemos calcular el campo. En la sección 21.4 vimos que en un punto de campo Ssituado a una distancia r de una carga puntual q, la magnitud del campo eléctrico E generado por la carga es proporcional a la magnitud de la carga 0 q 0 S y a 1>r2, y la dirección de E (para q positiva) es a lo largo de la línea que une al punto de fuente S con el punto de campo. La relación correspondiente para el campo magné- tico B de una carga puntual q que se mueve con velocidad constante tiene algunas similitudes y ciertas diferencias interesantes. S 28.1 a) Vectores de campo magnético Los experimentos demuestran que la magnitud de B también es proporcional a 0 q 0 debidos a una carga puntual positiva en S S y a 1>r2. Pero la dirección de B no Ses a lo largo de la línea que va del punto de fuente movimiento, q. En cada punto, B es S S perpendicular al plano de r y v, y su al punto de campo. En vez de ello, B es perpendicular al plano que contiene esta línea S magnitud es proporcional al seno del y al vector velocidad, v, de la partícula, como se ilustra en la figura 28.1. Además, la ángulo entre ellos. b) Las líneas de campo magnitud B del campo también es proporcional a la rapidez v de la partícula y al seno magnético en un plano contienen a la del ángulo f. Así, la magnitud del campo magnético en el punto P está dada por carga positiva en movimiento. m0 0 q 0 v sen f B5 (28.1) a) Vista en perspectiva 4p r2 Regla de la mano derecha para el campo donde m0>4π es una constante de proporcionalidad (el símbolo m0 se lee “mu subíndi- magnético debido a una carga positiva que ce cero”). La razón de escribir la constante en esta forma particular se verá dentro de se mueve a velocidad constante: Apunte el pulgar de su mano derecha en dirección de la poco. En la sección 21.3 hicimos algo similar en relación con la ley de Coulomb. velocidad. Ahora sus dedos se cierran alrededor de la carga en dirección de las líneas del campo Carga en movimiento: Campo vectorial magnético magnético. (Si la carga es negativa, las líneas S del campo van en sentido opuesto.) Es posible incorporar tanto la magnitud como la dirección de B en una sola ecua- ción vectorial utilizando el producto vectorial. Para evitar tener que decir “la di- S S Para estos puntos de campo, r y v rección desde la fuente q al punto P del campo” una y otra vez, introduciremos un quedan en el plano color beige, y vector unitario r^ (“r testada”) que apunte desde el punto de fuente al punto de campo. S B es perpendicular a este plano. P (En la sección 21.4 usamos r^ con el mismo propósito.) Este vector unitario es igual al la fuente al punto de campo dividido entre su magnitud: r^ 5 r /r. Así, S S S S B vector r de S S r el campo B de una carga puntual en movimiento es B S B S v S r^ f S m0 qv 3 r^ (campo magnético de una carga puntual S B5 (28.2) v B50 4p r 2 con velocidad constante) q LaS figura 28.1 muestra la relación que hay entre r^ y P, y también el campo magné- B50 tico B en varios puntos en la vecindad de la carga. En todos los puntos a lo largo de S S una línea que pase por la carga y sea paralela a la velocidad v, el campo es igual a B S cero porque sen f 5 0 en todos ellos. A cualquier distancia r desde q, B alcanza su S B S S magnitud máxima en los puntos localizados en un plano perpendicular a v porque, S en B todos ellos, f 5 90° y sen f 5 1. Si la carga q es negativa, las direcciones de B son SS Para estas líneas de campo, S r y v quedan en opuestas a las que se ilustran en la figura 28.1. el plano color dorado, y B es perpendicular a este plano. Carga en movimiento: Líneas de campo magnético b) Vista desde atrás de la carga Una carga puntual en movimiento también produce un campo eléctrico, con líneas de El símbolo 3 indica campo que irradian hacia fuera desde una carga positiva. Las líneas de campo magné- que la carga se mueve tico son diferentes por completo. El análisis anterior indica que para una carga pun- S hacia el plano de la tual que se mueva con velocidad v, las líneas de campo magnético son círculos con S página (se aleja del centro en la línea de v y que yacen en planos perpendiculares a esta línea. Las direc- lector). ciones de las líneas de campo para una carga positiva están dadas por la siguiente re- gla de la mano derecha, una de las varias que encontraremos en este capítulo para S B determinar la dirección del campo magnético causado por diferentes fuentes. Tome el S vector velocidad v con su mano derecha de manera que su pulgar apunte en dirección S S de v; luego, cierre sus dedos alrededor de la línea de v en el mismo sentido que las lí- neas de campo magnético, suponiendo que q es positiva. La figura 28.1a muestra par- tes de algunas líneas de campo; la figura 28.1b presenta algunas líneas de campo en S S un plano a través de q, perpendiculares a v, como se verían al mirar en dirección de v. Si la carga puntual es negativa, las direcciones del campo y líneas de campo son las opuestas de las que se ilustran en la figura 28.1. S Las ecuaciones (28.1) y (28.2) describen el campo B de una carga puntual que se mueve con velocidad constante. Si la carga acelera, el campo es mucho más compli-  2 8.1 Campo magnético de una carga en movimiento 959 cado. Para nuestros fines, no necesitaremos estos resultados más complejos. (Las par- tículas con carga que constituyen una corriente en un alambre aceleran en los puntos S en que éste se dobla y la dirección de v cambia. Pero como la magnitud vd de la velo- cidad de deriva en un conductor por lo general es muy pequeña, la aceleración v2d / r también lo es, por lo que pueden ignorarse los efectos de la aceleración.) Como se vio en la sección 27.2, la unidad de B es un tesla (1 T): 1 T 5 1 N # s /C # m 5 1 N/ A # m Al usar esto con la ecuación (28.1) o (28.2), se encuentra que las unidades de la cons- tante m0 son 1 N # s2 / C2 5 1 N / A2 5 1 Wb / A # m 5 1 T # m / A En unidades del SI, el valor numérico de m0 es exactamente 4p 3 1027. Por lo tanto, m0 5 4p 3 1027 N # s2 / C2 5 4p 3 1027 Wb / A # m (28.3) 5 4p 3 1027 T # m / A Parece increíble que m0 ¡tenga exactamente este valor numérico! En realidad, éste es un valor definido que surge de la definición de ampere, como veremos en la sec- ción 28.4. En la sección 21.3 se mencionó que la constante 1>4pP0 en la ley de Coulomb está relacionada con la rapidez de la luz, c: 1 k5 5 1 1027 N # s2 / C2 2 c2 4pP0 Cuando estudiemos las ondas electromagnéticas en el capítulo 32, veremos que su ra- pidez de propagación en el vacío, que es igual a la rapidez de la luz, c, está dada por 1 c2 5 (28.4) P0m0 Si despejamos P0 en la ecuación k 5 1>4pP0, luego sustituimos la expresión resul- tante en la ecuación (28.4) y despejamos m0, en verdad obtendremos el valor de m0 que se mencionó poco antes. Este análisis es un poco prematuro, pero da idea de que los campos eléctricos y magnéticos están relacionados íntimamente con la natura- leza de la luz. Ejemplo 28.1 Fuerzas entre dos protones en movimiento Dos protones se mueven paralelos al eje x en sentidos opuestos (figura 28.2 Fuerzas eléctricas y magnéticas entre dos protones 28.2) con la misma rapidez v (pequeña en comparación con la rapidez en movimiento. de la luz, c). En el instante que se ilustra, calcule las fuerzas eléctricas y y magnéticas sobre el protón de la parte superior y determine la razón de sus magnitudes. S SO LUCIÓN FE IDENTIFIC AR: La fuerza eléctrica está dada por la ley de Coulomb. S Para encontrar la fuerza magnética primero debemos determinar el S 2v FB campo magnético que produce el protón de la parte inferior en la po- + sición del de arriba. S q B PLANT EAR: Se usa la ecuación (21.2) que expresa la ley de Coulomb. r La ecuación (28.2) da el campo magnético debido al protón inferior, y la ley de la fuerza magnética, ecuación (27.2), da la fuerza magnética resultante sobre el protón superior. r^ S v + x EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Coulomb, la magnitud de la q fuerza eléctrica sobre el protón de arriba es 2 z 1 q FE 5 4pP0 r 2 continúa 960 C APÍ T U LO 2 8 Fuentes de campo magnético Las fuerzas son de repulsión, y la fuerza sobre el protón superior es La interacción magnética en esta situación también es de repulsión. La vertical hacia arriba (en la dirección 1y). razón de las magnitudes de las dos fuerzas es S Según la regla de la mano derecha para el producto cruz v 3 r^ m0q2v2 / 4pr2 S de la ecuación (28.2), el campo B debido al protón inferior en la posi- FB m0 v2 5 5 5 P0m0 v2 ción del protón superior está en la dirección 1z (véase la figura 28.2). S FE q / 4pP0r 2 2 1 / P0 Según la ecuación (28.2), la magnitud de B es m0 qv Con la relación P0m0 5 1>c2, ecuación (28.4), el resultado se expresa en B5 forma muy sencilla: 4p r 2 puesto que f 5 90°. Alternativamente, de la ecuación (28.2), FB v2 5 2 FE c S m0 q 1 vd^ 2 3 e^ m0 qv B5 5 k^ 4p r2 4p r 2 Cuando v es pequeña en comparación con c, la rapidez de la luz, la S La velocidad del protón superior es 2v y la fuerza magnética sobre fuerza magnética es mucho menor que la fuerza eléctrica. S S S S él es F 5 q 1 2v 2 3 B. Al combinar ésta con las expresiones para B, EVALUAR: Observe que es esencial usar el mismo marco de referencia se tiene para todo el cálculo. Describimos las velocidades y los campos como m0 q 2v 2 los vería un observador estacionario en el sistema de coordenadas de la FB 5 o bien, figura 28.2. En un sistema coordenado que se mueve con una de las 4p r 2 cargas, una de las velocidades sería igual a cero, por lo que no habría S S m0 qv m0 q 2v 2 fuerza magnética. La explicación de esta aparente paradoja tiende uno e^ S FB 5 q 1 2v 2 3 B 5 q 1 2vd^ 2 3 k^ 5 4p r 2 4p r 2 de los caminos que condujeron a la teoría especial de la relatividad. Evalúe su comprensión de la sección 28.1 a) Si dos protones viajan paralelos entre sí en la misma dirección y con igual rapidez, ¿la fuerza magnética entre ellos es i) de atracción o ii) de repulsión? b) ¿La fuerza neta entre ellos es i) de atracción, ii) de repulsión, o iii) igual a cero? (Suponga que la rapidez del protón es mucho menor que la rapidez de la luz.) ❚ 28.2 Campo magnético de un elemento de corriente Igual que para el campo eléctrico, hay un principio de superposición de campos magnéticos: El campo magnético total generado por varias cargas en movimiento es la suma vecto- rial de los campos generados por las cargas individuales. Este principio se puede utilizar con los resultados de la sección 28.1 para encontrar el campo magnético producido por una corriente en un conductor. Comenzamos S con el cálculo del campo magnético ocasionado por un segmento corto d l de un conductor que transporta corriente, como se ilustra en la figura 28.3a. El volumen del segmento es A dl, donde A es el área de la sección transversal del con- ductor. Si hay n partículas con carga en movimiento por unidad de volumen, cada una con una carga q, la carga total dQ que se mueve en el segmento es dQ 5 nqA dl Las cargas en movimiento en este segmento son equivalentes a una sola carga dQ S que viaja con una velocidad igual a la velocidad de deriva vd. (Los campos magnéti- cos debidos a los movimientos al azar de las cargas, en promedio, se cancelarán enS cada punto.) De acuerdo con la ecuación (28.1), la magnitud del campo resultante dB en cualquier punto P es m0 0 dQ 0 vd sen f m0 n 0 q 0 vd A dl sen f dB 5 5 4p r2 4p r2 Pero, de acuerdo con la ecuación (25.2), n 0 q 0 vd A es igual a la corriente I en el ele- mento. Por lo tanto, m0 I dl sen f dB 5 (28.5) 4p r2  28.2 Campo magnético de un elemento de corriente 961 Elemento de corriente: Campo vectorial magnético 28.3 a) Vectores del campo magnético S debido a un elemento de corriente d l. En forma vectorial, usando el vector unitario r^ como en la sección 28.1, se tiene b) Líneas de campo magnético en un planoS S que contiene el elemento de corriente d l. S m0 I d l 3 r^ Compare esta figura con la 28.1 para el dB 5 (campo magnético de un elemento de corriente) (28.6) campo de una carga puntual en 4p r2 movimiento. S donde d l es un vector con longitud dl, en la misma dirección que la corriente en el conductor. Las ecuaciones (28.5) y (28.6) constituyen la S ley de Biot y Savart. Esta ley se uti- liza para encontrar el campo magnético total B debido a la corriente en un circuito completo en cualquier punto en el espacio. S Para hacerlo, se integra la ecuación (28.6) con respecto a todos los segmentos d l que conduzcan corriente; en forma simbólica, 3 S S m0 I d l 3 r^ B5 (28.7) 4p r2 En las siguientes secciones se llevará a cabo esta integración vectorial en varios de los ejemplos. Elemento de corriente: Líneas de campo magnético S Como se aprecia en la figura 28.3, los vectores de campo dB y las líneas de campo magnético de un elemento de corriente son exactamente como los que establece una S carga dQ que se desplaza en la dirección de la velocidad de deriva vd. Las líneas de S S campo son círculos en planos perpendiculares a d l y con centro en la línea de d l. Sus direcciones están dadas por la misma regla de la mano derecha que se presentó en la sección 28.1 para cargas puntuales. Las ecuaciones (28.5) o (28.6) no se pueden comprobar directamente porque nun- ca es posible experimentar con un segmento aislado S de un circuito que conduzca co- rriente. Lo que se mide experimentalmente es B total para un circuito completo. S Pero tales ecuaciones sí se verifican de manera indirecta mediante el cálculo de B para va- rias configuraciones de corriente utilizando la ecuación (28.7) y comparando los re- sultados con mediciones experimentales. Si hay materia presente en el espacio alrededor de un conductor que transporte co- rriente, el campo en un punto P del campo en su vecindad tendrá una contribución adi- cional que proviene de la magnetización del material. En la sección 28.8 volveremos a este punto. Sin embargo, a menos que el material sea hierro u otro material ferromag- nético, el campo adicional es pequeño y, por lo general, despreciable. Si hay campos eléctricos o magnéticos presentes que varíen con el tiempo, o si el material es super- conductor, surgen complicaciones adicionales; más adelante volveremos a estos temas. Estrategia para resolver problemas 28.1 Cálculo de campos magnéticos IDENTIFIC AR los conceptos relevantes: La ley de Biot y Savart EJECUTAR la solución como sigue: siempre permite calcular el campo magnético debido a un alambre 1. Utilice S la ecuación (28.5) o (28.6) para expresar el campo magnéti- portador de corriente de la forma que sea. La idea es calcular el cam- co dB en P desde el elementoSde corriente representativo. po debido a un elemento de corriente representativo en el alambre, y 2. Sume todos los elementos dB para obtener elScampo total en el luego combinar las contribuciones de todos los elementos para en- punto P. En ciertas situaciones, los elementos dB en el punto P tie- contrar el campo total. nen la misma dirección con respecto a todos los elementos S de co- PLANT EAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos: rriente; en estos casos, la magnitud del S campo total B es la suma de 1. Elabore un diagrama que muestre un elemento de corriente repre- las magnitudes de los elementos dB. Pero es frecuente que éstos sentativo y el punto P en que va a determinarse el campo (el punto tengan direcciones distintas para elementos diferentes de la co- de campo). rriente. En ese caso se tiene S que establecer un sistema de coordena- S 2. Dibuje el elemento de corriente d l , asegurándose de que apunte en das y representar S cada dB en términos de sus componentes. La la dirección de la corriente. integral para B total queda expresada en términos de una integral 3. Dibuje un vector unitario r^. Observe que su dirección es siempre para cada componente. desde el elemento de corriente (el punto de fuente) al punto P del 3. En ocasiones es posible aprovechar S la simetría de la situación para campo. probar que una componente de B debe desaparecer. Siempre hay 4. Identifique las variables buscadas.SPor lo general serán la magnitud que estar alerta para identificar formas de aprovechar la simetría y dirección del campo magnético B. con la finalidad de simplificar el problema. continúa 962 C APÍ T U LO 2 8 Fuentes de campo magnético 4. Busque maneras de utilizar el principio de superposición de cam- Ejemplos de esto son una espira rectangular y un semicírculo con pos magnéticos. Más adelante, en este capítulo, se determinarán los segmentos rectilíneos en ambos lados. campos producidos por ciertos conductores con formas sencillas; si EVALUAR la respuesta: Con frecuencia, la respuesta será una expre- encuentra un conductor de forma compleja que pueda representarse S sión matemática de B como función de la posición del punto de cam- como una combinación de formas más simples, será posible utilizar po. Compruebe la respuesta examinando su comportamiento en tantos la superposición para obtener el campo de la forma compleja. límites como sea posible. Ejemplo 28.2 Campo magnético de un segmento de corriente Un alambre de cobre conduce una corriente constante de 125 A hacia 28.4 Cálculo del campo magnético en dos puntos debido a un un tanque galvanizado. Calcule el campo magnético generado por un segmento de 1.0 cm de un alambre conductor de corriente (el di- segmento de 1.0 cm de ese alambre en un punto localizado a 1.2 m de bujo no está a escala). él, si ese punto es a) el punto P1, directamente hacia fuera a un costado y del segmento y b) el punto P2, sobre una línea a 30° respecto del seg- mento, como se aprecia en la figura 28.4. P1 SOLUCIÓN IDENTI FIC AR: Aunque en sentido estricto las ecuaciones (28.5) y P2 1.2 m (28.6) se usan sólo con elementos de corriente infinitesimales, se les puede emplear aquí, puesto que la longitud del segmento de 1.0 cm es 1.2 m mucho menor que la distancia de 1.2 m al punto de campo. 125 A 125 A 308 x PLANT EAR: En la figura 28.4 se muestra con color rojo el elemento z 1.0 cm de corriente, y apunta en la dirección 2x (la dirección de la corriente). S El vector unitario r^ correspondiente a cada punto de campo está dirigi- b) En el punto P2, la dirección de B otra vez es hacia el plano xy de S do desde el elemento de corriente hacia ese punto: r^ está en la direc- la figura. El ángulo entre d l y r^ es de 30°, y ción 1y en el caso del punto P1 y forma un ángulo de 30° por arriba de 1 125 A 2 1 1.0 3 1022 m 2 1 sen 30° 2 la dirección 2x en el caso del punto P2. B 5 1 1027 T # m / A 2 S 1 1.2 m 2 2 E JECUTAR: a) Según la regla de la mano derecha, la dirección de B en 28 P1 es hacia el plano xy de la figura 28.4. O bien, utilizando vectores 5 4.3 3 10 T S S unitarios, se observa que d l 5 dl 1 2 d^ 2. En el punto P1, r^ 5 e^, por lo EVALUAR: Los resultados para la dirección de B se comprueban com- que en la ecuación (28.6), parándolos con la figura 28.3. El plano xy de la figura 28.4 corresponde S al plano color beige de la figura 28.3. Sin embargo, en este ejemplo la d l 3 r^ 5 dl 1 2 d^ 2 3 e^ 5 dl 1 2 k^ 2 S dirección de la corriente y, por lo tanto, de d l es la contraria de la di- rección que se ilustra en la figura 28.3, por lo que la dirección del cam- La dirección negativa de z es hacia el plano. S po magnético también se invierte. De aquí que el campo en puntos del Para obtener la magnitud de B, se emplea la ecuación (28.5). En el plano xy en la figura 28.4 debe apuntar hacia el plano, y no hacia fuera S punto P1, el ángulo entre d l y r^ es de 90°, por lo que de él. Ésta es exactamente la conclusión a la que habíamos llegado. m0 I dl sen f Note que estas magnitudes del campo magnético son muy peque- B5 ñas; en comparación, el campo magnético de la Tierra es del orden de 4p r2 1024 T. También observe que los valores no son los campos totales en 1 125 A 2 1 1.0 3 1022 m 2 1 sen 90° 2 los puntos P1 y P2, sino sólo las contribuciones del segmento corto del 5 1 1027 T # m / A 2 conductor descrito. 1 1.2 m 2 2 28 5 8.7 3 10 T Evalúe su comprensión de la sección 28.2 Un elemento infinitesimal de corriente localizado en el origen (x 5 y 5 z 5 0) conduce corriente I en la dirección positiva de y. Clasifique las siguientes ubicaciones en orden decreciente de la intensidad del campo magnético que el elemento de corriente produce en cada sitio. i) x 5 L, y 5 0, z 5 0; ii) x 5 0, y 5 L, z 5 0; iii) x 5 0, y 5 0, z 5 L; iv) x 5 L / "2 , y 5 L / "2 , z 5 0. ❚ 28.3 Campo magnético de un conductor que transporta corriente ONLINE Una aplicación importante de la ley de Biot y Savart es la obtención del campo mag- nético producido por un conductor recto que conduce corriente. Este resultado es útil 13.1 Campo magnético de un alambre debido a que prácticamente en todos los aparatos eléctricos y electrónicos se encuen-  28.3 Campo magnético de un conductor que transporta corriente 963 tran alambres conductores rectos. La figura 28.5Smuestra un conductor con longitud 28.5 Campo magnético producido por un 2a que conduce una corriente I. Encontraremos B en un punto a una distancia x del conductor recto portador de corriente de conductor, sobre su bisectriz perpendicular. longitud 2a. Primero S usamos la ley de Biot y Savart, ecuación (28.5) para encontrar el cam- y po dB generado por el elemento de conductor con longitud dl 5 dy que se ilustra en la figura 28.5. De acuerdo con la figura, r 5 "x2 1 y2 y sen f 5 sen (p 2 f) 5 a S x> "x2 1 y2. La regla de la mano derecha para el producto vectorial d l 3 r^ indica f S S que la dirección de dB es hacia el plano de la figura, perpendicular al plano; además, dl r^ S las direcciones de los dB’s generados por todos los elementos del conductor son las r x2 y2 p2f mismas. Así, para Sintegrar la ecuación (28.7), simplemente se suman las magnitudes y P de los elementos dB’s, una simplificación significativa. x S O x S Al reunir los elementos, se encuentra que la magnitud total del campo B es dB S 3 m0I a x dy En el punto P, el campo dB B5 I causado por cada elemento 4p 2a 1 x2 1 y2 2 3/2 del conductor apunta hacia el 2a plano de la página, S al igual Podemos integrar esto por sustitución trigonométrica o con ayuda de una tabla de in- que el campo total B. tegrales. El resultado final es m0I 2a B5 (28.8) 4p x"x2 1 a2 Cuando la longitud 2a del conductor es muy grande en comparación con su distan- cia x desde el punto P, se puede considerar infinitamente larga. Cuando a es mucho mayor que x, "x2 1 a2 es aproximadamente igual a a; de aquí que en el límite, a S `, y la ecuación (28.8) se convierte en m0 I B5 2px S La situación física tiene simetría axial con respecto del eje y. Por lo tanto, B debe tener la misma magnitud en todos los puntos de un círculo con S centro en el conductor y que yace en un plano perpendicular a él, y la dirección de B debe ser tangente a to- do ese círculo. Así, en todos los puntos de un círculo de radio r alrededor del conduc- tor, la magnitud B es m0I B5 (cerca de un conductor largo y recto portador de corriente) (28.9) 2pr En la figura 28.6 se ilustra parte del campo magnético alrededor de un conductor largo, recto y portador de corriente. La geometría de este problema es similar a la del ejemplo 21.11 (sección 21.5), en 28.6 Campo magnético alrededor de el que resolvimos el problema del campo eléctrico generado por una línea infinita de un conductor largo y recto portador carga. En ambos problemas aparece la misma integral,S y en ellos las magnitudes del de corriente. Las líneas de campo son campo son proporcionales a 1>r. Pero las líneas deSB en el problema del magnetismo círculos, con direcciones determinadas tienen formas completamente diferentes de las de E en el problema eléctrico análogo. por la regla de la mano derecha. Las líneas de campo eléctrico irradian hacia fuera desde una distribución lineal de Regla de la mano derecha para el campo carga positiva (hacia dentro en el caso de cargas negativas). En contraste, las líneas magnético alrededor de un alambre que de campo magnético circundan la corriente que actúa como su fuente. Las líneas de conduce corriente: Apunte el pulgar de su campo eléctrico debidas a las cargas comienzan y terminan en otras cargas, pero las mano derecha en dirección de la corriente. líneas del campo magnético forman espiras cerradas y nunca tienen extremos, sin im- Cierre sus dedos alrededor del alambre en dirección de las líneas del campo magnético. portar la forma del conductor portador de corriente que genera el campo. Como se vio en la sección 27.3, ésta es una consecuencia de la ley de Gauss para el magnetismo, que plantea que el flujo magnético total a través de cualquier superficie cerrada siem- S S B I pre es igual a cero: B S B C B dA 5 0 (flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada) # S S (28.10) I S B S S B B Esto implica que no hay cargas magnéticas aisladas ni monopolos magnéticos. Cual- quier línea de campo magnético que entre a una superficie cerrada debe salir de ella. 964 C APÍ T U LO 2 8 Fuentes de campo magnético Ejemplo 28.3 Campo magnético de un solo alambre Un conductor largo y recto conduce una corriente de 1.0 A. ¿A qué dis- EJECUTAR: Se despeja r en la ecuación (28.8) y se sustituyen los nú- tancia del eje del conductor, el campo magnético generado por la co- meros apropiados: rriente tiene igual magnitud que el campo magnético terrestre en m0 I Pittsburgh (alrededor de 0.5 3 1024 T)? r5 2pB 1 4p 3 1027 T # m / A 2 1 1.0 A 2 SOLUCIÓN 5 5 4 3 1023 m 5 4 mm 1 2p 2 1 0.5 3 1024 T 2 IDENTI FIC AR: El conductor recto se describe como largo, lo que sig- nifica que es mucho mayor que la distancia desde el conductor con res- EVALUAR: Las corrientes de alrededor de un ampere son representativas pecto al cual se mide el campo. Por ello, podemos utilizar las ideas de de las que se encuentran en los alambres de los aparatos electrodomésti- esta sección. cos. Este ejemplo muestra que los campos magnéticos producidos por estos aparatos son muy débiles incluso en puntos muy cercanos al alam- PLANT EAR: La geometría es la misma que en la figura 28.6, por lo bre. A distancias mayores, el campo se debilita aún más; por ejemplo, a que empleamos la ecuación (28.8). Se conocen todas las cantidades en una distancia cinco veces mayor (r 5 20 mm 5 2 cm 5 2 3 1022 m), esta ecuación, excepto la variable buscada, la distancia r. el campo tiene la quinta parte de intensidad (B 5 0.1 3 1024 T). Ejemplo 28.4 Campo magnético de dos alambres S La figura 28.7a es la vista de los extremos de dos alambres largos, rec- La regla de la mano derecha indica que B1 está en la dirección y nega- S tos y paralelos, que son perpendiculares al plano xy, cada uno de los tiva, y que B2 está en la dirección y positiva. Como B1 es la magnitud S S S cuales conduce una corriente I pero en sentidos opuestos. a) Calcule mayor, el campo total Btotal 5 B1 1 B2 está en la dirección y negativa, S la magnitud y dirección de B en los puntos P1, P2 y P3. b) Encuentre la con magnitud S magnitud y dirección de B en cualquier punto del eje x a la derecha del alambre 2 en términos de la coordenada x del punto. m0 I m0 I m0I Btotal 5 B1 2 B2 5 2 5 (punto P1) 4pd 8pd 8pd SOLUCIÓN S S En el punto P2, una distancia d a partir de ambos alambres, B1 y B2 tie- IDENTI FIC AR: Con las ideas de esta sección es posible encontrar los nen ambos la dirección y positiva, y los dos tienen la misma magnitud: S S campos magnéticos B1 y B2 debidos a cada alambre. El principio de su- perposición de los campos magnéticos dice que el campo magnético m0I S S S B1 5 B2 5 total B es la suma vectorial de B1 y B2. 2pd S PLANT EAR: Se utiliza la ecuación (28.9) para encontrar la magnitud por lo que Btotal también está en la dirección y positiva y su magnitud es S S de los campos B1 (debido al alambre 1) y B2 (debido al alambre 2) en m0 I cualquier punto. Las direcciones de estos campos se encuentran con la Btotal 5 B1 1 B2 5 (punto P2) regla de la mano derecha. El campo magnético total en el punto en pd S S S cuestión es Btotal 5 B1 1 B2. Por último, en el punto P3 la regla de la mano derecha indica que B1 S S EJECUTAR: a) El punto P1 está más cerca del alambre 1 (distancia 2d) está en la dirección y positiva y B2 en la dirección y negativa. Este pun- que del alambre 2 (distancia 4d), por lo que en este punto la magnitud to está más lejos del alambre 1 (distancia 3d) que del alambre 2 (dis- B1 es mayor que la magnitud B2: tancia d), por lo que B1 es menor que B2: m0I m0 I m0I m0 I m0I m0 I m0 I B1 5 5 B2 5 5 B1 5 5 B2 5 2p 1 2d 2 4pd 2p 1 4d 2 8pd 2p 1 3d 2 6pd 2pd 28.7 a) Dos conductores largos y rectos portan corrientes iguales en sentidos opuestos.Los conductores se observan desde sus extremos. b) Mapa del campo magnético producido por los dos conductores. Las líneas de campo están lo más próximas unas de otras entre los conductores, donde el campo tiene la intensidad máxima. a) y b) S Btotal S S B1 B2 S B2 S P1 Alambre 1 Alambre 2 B1 x S I P2 I P3 Btotal I I S d d B1 S S Btotal B 3d 2d S B2  28.4 Fuerza entre alambres paralelos 965 S El campo total está en la dirección y negativa, igual que B2 , y tiene una EVALUAR: En los puntos muy alejados de los alambres, x es mucho magnitud mayor que d, y el término d2 en el denominador resulta despreciable, por lo que m0 I m0 I m0I Btotal 5 B2 2 B1 5 2 5 (punto P3) m0 Id 2pd 6pd 3pd Btotal 5 px2 Usted deberá ser capaz de utilizar la regla de la mano derecha para ve- Como se deduce de la ecuación (28.9), la magnitud del campo magné- S S rificar las direcciones de B1 y B2 en cada punto. tico para un solo alambre disminuye con la distancia en proporción a S S S S En la figura 28.7a se ilustran los campos B1, B2 y Btotal en cada uno 1>x; en el caso de dos alambres que conducen corrientes opuestas, B1 S S S de los tres puntos. Para encontrar Btotal en cualquier punto se utiliza la y B2 se cancelan entre sí parcialmente, por lo que la magnitud Btotal dis- misma técnica; para puntos fuera del eje x se debe tener precaución minuye con más rapidez, en proporción a 1>x2. Este efecto se utiliza en S S con la suma de los vectores, ya que B1 y B2 ya no necesitan ser simple- sistemas de comunicación, como redes telefónicas o de computadoras. El mente paralelos o antiparalelos (véase el problema 28.60). La figura cableado se dispone de manera que un conductor lleva una señal en un 28.7b muestra algunas de las líneas de campo magnético debidas a es- sentido y el otro conduce la señal de regreso, y ambos se encuentran lado ta combinación de alambres. a lado, como en la figura 28.7a, o entrelazados (figura 28.8). Como resul- b) En cualquier punto a la derecha del alambre 2 (es decir, para tado, el campo magnético producido afuera de los conductores por estas S S x. d), B1 y B2 están en las mismas direcciones que en P3. Conforme x señales se reduce considerablemente, y es menos probable que ejerza S S aumenta, tanto B1 como B2 disminuyen en magnitud, por lo que fuerzas indeseables en otras corrientes portadoras de información. S también Btotal debe disminuir. Las magnitudes de los campos debidos a cada alambre son 28.8 Los cables de computadora o de equipos para audio y video crean poco o ningún campo magnético. Esto se debe a que dentro de m0I m0 I B1 5 y B2 5 cada cable hay alambres muy cercanos entre sí que llevan corriente 2p 1 x 1 d 2 2p 1 x 2 d 2 en ambos sentidos a lo largo del cable. Los campos magnéticos generados por estas corrientes opuestas se cancelan entre sí. En cualquier punto de campo a la derecha del alambre 2, este último S está más próximo que el alambre 1, por lo que B2. B1. Así, Btotal tiene S la dirección y negativa, igual que B2 , y tiene la siguiente magnitud: m0 I m0 I m0Id Btotal 5 B2 2 B1 5 2 5 2p 1 x 2 d 2 2p 1 x 1 d 2 p 1 x2 2 d 2 2 donde los dos términos se han combinado mediante un denominador común. ¿Cuál Interruptor Evalúe su comprensión de la sección 28.3 La figura de la derecha muestra un orientación? circuito que se encuentra sobre una mesa horizontal, sobre el cual se coloca una brújula, como se ilustra. Va a conectarse una batería en el circuito, de manera que cuando el A B La aguja N interruptor se cierre, la aguja de la brújula tenga una desviación en sentido antihorario. tiene + ¿En cuál orientación, A o B, debe colocarse la batería en el circuito? una O E desviación + en sentido S antihorario. ❚ 28.4 Fuerza entre alambres paralelos En el ejemplo 28.4 (sección 28.3) se mostró cómo usar el principio de superposición de campos magnéticos para obtener el campo total debido a dos conductores largos portadores de corriente. Otro aspecto importante de esta configuración es la fuerza de interacción entre los conductores. Esta fuerza desempeña un papel importante en mu- chas situaciones prácticas en las que los alambres portadores de la corriente se hallan muy cerca uno del otro, y también tiene importancia esencial en relación con la defi- nición de ampere. La figura 28.9 presenta segmentos de dos conductores largos, rec- tos y paralelos, separados por una distancia r y que portan las corrientes I e I9 en el mismo sentido. Cada conductor se encuentra en el campo magnético producido por el otro, por lo que cada uno experimenta una fuerza. El diagrama ilustra algunas de las líneas de campo generadas por la corriente en el conductor de la parte inferior. S De acuerdo con la ecuación (28.9), el conductor inferior produce un campo B que, en la posición del conductor de arriba, tiene una magnitud m0 I B5 2pr De acuerdo con la ecuación (27.19), S la fuerza S S que ejerce este campo S sobre una longi- tud L del conductor superior es F 5 I9L 3 B, donde el vector L está en dirección de 966 C APÍ T U LO 2 8 Fuentes de campo magnético S 28.9 Los conductores paralelos que la corriente I9 y tieneSmagnitud L. Como B es perpendicular a la longitud del conduc- transportan corrientes en el mismo sentido tor y, por lo tanto, a L, la magnitud de esta fuerza es se atraen uno al otro. Los diagramas S muestran cómo el campo magnético B m0II rL causado por la corriente del conductor F 5 IrLB 5 S 2pr inferior ejerce una fuerza F sobre el conductor superior. Y la fuerza por unidad de longitud F>L es El campo magnético del alambre inferior F m0IIr ejerce una fuerza de atracción sobre el alambre 5 (dos conductores largos, paralelos y portadores de corriente) (28.11) L 2pr superior. De igual modo, el alambre superior S S S atrae al de abajo. La aplicación de la regla de la mano derecha a F 5 I9L 3 B indica que la fuerza so- bre el conductor de arriba está dirigida hacia abajo. Si los conductores transportaran corrientes en sentidos opuestos, se repelerían uno al otro. La corriente en el conductor superior también origina un campo en la posición del inferior. Dos aplicaciones sucesivas de la regla de laSmano derecha para productos vec- I toriales (una para encontrar la dirección del campo B debido al conductor superior, co- L mo en la sección 28.2, y otra para determinar la dirección de la fuerza que ejerce este S campo sobre el conductor de abajo, como en la sección 27.6) demuestran que la fuerza I B I sobre el conductor inferior va hacia arriba. Así, dos conductores paralelos que trans- S portan corrientes en el mismo sentido se atraen uno al otro. Si se invierte el sentido de r F cualquiera de las corrientes, las fuerzas también se invertirán. Dos conductores parale- los que transportan corrientes en sentido opuestos se repelen entre sí. I Las fuerzas magnéticas y la definición de ampere La atracción o repulsión entre dos conductores rectos, paralelos y portadores de co- rriente es la base de la definición oficial del ampere en el SI: S Un ampere es la corriente invariable que, si está presente en dos conductores paralelos B I de longitud infinita y separados por una distancia de un metro de espacio vacío, S B L provoca que cada conductor experimente una fuerza de exactamente 2 3 1027 S S S F B newtons por metro de longitud. I S B F I De acuerdo con la ecuación (28.11), se ve que esta definición de ampere es lo que hi- zo que eligiéramos el valor de 4p 3 1027 T # m / A para m0. También constituye la ba- r I se de la definición del SI para el coulomb, que es la cantidad de carga transferida en un segundo por una corriente de un ampere. S S B B S Ésta es una definición operacional; nos da un procedimiento experimental concre- S B to para medir la corriente y definir una unidad de corriente. En principio, es posible B utilizar esta definición para calibrar un amperímetro utilizando sólo una regla de me- dir y una balanza de resortes. Para una estandarización de mucha precisión del ampe- re, se utilizan bobinas de alambre en vez de alambres rectos, y su separación es de unos cuantos centímetros. Mediciones aún más precisas del ampere estandarizado son posibles empleando una versión del efecto Hall (véase la sección 27.9). Existen fuerzas de atracción no sólo entre alambres que conducen corrientes en el mismo sentido, sino también entre los elementos longitudinales de un solo conductor que transporte corriente. Si el conductor es un líquido o un gas ionizado (un plasma), estas fuerzas dan como resultado una contracción del conductor, como si su superficie estuviera sometida a una presión dirigida hacia dentro. La contracción del conductor se llama reostricción. Las altas temperaturas que produce la reostricción en un plas- ma se han utilizado en una técnica para lograr la fusión nuclear. Ejemplo 28.5 Fuerzas entre alambres paralelos Dos alambres rectos, paralelos y superconductores, separados por una 28.10 Diagrama para este problema. distancia de 4.5 mm, conducen corrientes de 15,000 A en sentidos opuestos. ¿Hay que preocuparse por la resistencia mecánica de estos alambres? SOLUCIÓN IDENTI FIC AR: Si hay razón o no para preocuparse por la resistencia mecánica de los alambres depende de cuánta fuerza magnética ejerza uno sobre el otro.  28.5 Campo magnético de una espira circular de corriente 967 PLANT EAR: La figura 28.10 muestra la situación. La variable que EVALUAR: Ésta es una fuerza grande: más de una tonelada por metro. buscamos es la fuerza magnética por unidad de longitud de alambre, la Así que las resistencias mecánicas de los conductores y de los materia- cual se encuentra mediante la ecuación (28.11). les aislantes deben ser una consideración de relevancia. Las corrientes EJECUTAR: Como las corrientes van en sentidos opuestos, los dos y las separaciones de esta magnitud se utilizan en electroimanes super- conductores se repelen entre sí. De la ecuación (28.11), la fuerza por conductores de los aceleradores de partículas, y el análisis de esfuerzos unidad de longitud es mecánicos es una parte crucial del proceso de diseño. F m0II r 1 4p 3 1027 T # m / A 2 1 15,000 A 2 2 5 5 L 2pr 1 2p 2 1 4.5 3 1023 m 2 5 1.0 3 104 N / m Evalúe su comprensión de la sección 28.4 Un solenoide es un alambre enro- llado como bobina helicoidal. La figura de la derecha muestra un solenoide que conduce una corriente I. a) La fuerza magnética que una espira de la bobina ejerce sobre otra adyacente, I ¿es i) de atracción, ii) de repulsión, o iii) igual a cero? b) La fuerza eléctrica que una espira de la bobina ejerce sobre otra adyacente ¿es i) de atracción, ii) de repulsión, o iii) igual a cero? c) La fuerza magnética entre lados opuestos de la misma espira de la bobina, ¿es i) de atracción, ii) de repulsión, o iii) igual a cero? d) La fuerza eléctrica entre lados opuestos de la misma espira de la bobina, ¿es i) de atracción, ii) de repulsión, o iii) igual a cero? ❚ 28.11 Este electroimán contiene una bobina conductora de corriente con numerosas espiras de alambre. El campo 28.5 Campo magnético de una espira magnético resultante es capaz de atraer grandes cantidades de barras de acero circular de corriente y otros objetos de hierro. Si se mira en el interior de un timbre para puerta, un transformador, un motor eléctri- co o un electroimán (figura 28.11), se encontrarán bobinas de alambre con gran nú- mero de vueltas, espaciadas tan estrechamente que cada vuelta está muy cerca de formar una espira plana circular. En tales bobinas se utiliza una corriente para estable- cer un campo magnético. Por ello, es conveniente obtener una expresión para el cam- po magnético que produce una sola espira conductora circular portadora de corriente, o para las N espiras circulares estrechamente espaciadas que forman la bobina. En la sección 27.7 se consideró la fuerza y el par de torsión sobre una espira de corriente de este tipo colocada en un campo magnético externo generado por otras corrientes; aho- ra vamos a encontrar el campo magnético generado por la espira misma. La figura 28.12 presenta un conductor circular con radio a que conduce una co- rriente I. La corriente es llevada hacia dentro y fuera de la espira a través de dos alam- bres largos y rectos colocados lado a lado; las corrientes en estos alambres rectos van en sentidos opuestos, y sus campos magnéticos casi se cancelan entre sí (véase el ejemplo 28.4 en la sección 28.3). Para encontrar el campo magnético en el punto P sobre el eje de la espira, a una 28.12 Campo magnético en el eje de una distancia x del centro, seSusa la ley de Biot y Savart, ecuación (28.5) o (28.6).S Como espira circular. La corriente en el segmento S S se observa en la figura, d lSy r^ son perpendiculares, y la dirección del campo dB gene- d l genera el campo dB, que está en elS rado por este elemento d l en particular yaceSen el plano xy. Como r2 5 x2 1 a2, la plano xy. Las S corrientes de los otros d l magnitud dB del campo debido al elemento d l es generan dB con distintas componentes perpendiculares al eje x; la suma de estas m0 I dl componentes es cero. Las componentes x dB 5 (28.12) de los elementos dB S se combinan para 4p 1 x2 1 a2 2 S dar el campo total B en el punto P. S Las componentes del vector dB son y m0 I dl a dBx 5 dB cos u 5 (28.13) 4p 1 x 1 a 2 1 x 1 a2 2 1/2 S 2 2 2 dl p m0 I dl x r^ 2u 2 dBy 5 dB sen u 5 (28.14) 4p 1 x2 1 a2 2 1 x2 1 a2 2 1/2 a u S r dBy S I dB La situación tiene simetría rotacional con respecto al eje x, por lo que no puede ha- O S S z x ber una componente del campo total B perpendicular a este eje. Para cada elemento d l I u p P hay otro elemento correspondiente en el lado opuesto de la espira, con dirección S opues- I 2 2u dBx x ta. Estos dos elementos hacen contribuciones iguales a la componente x de dB, dada por 968 C APÍ T U LO 2 8 Fuentes de campo magnético la ecuación (28.13), pero dan componentes opuestas perpendiculares al eje x. Así, to- ONLINE das las componentes perpendiculares se cancelan y sólo sobreviven las componentes x. S Para obtener la componente x del campo total B, se integra la ecuación (28.13), in- 13.2 Campo magnético de una espira S cluyendo todos los elementos d l alrededor de la espira. Todos los elementos de esta expresión son constantes, excepto dl, por lo que se pueden sacar de la integral para obtener Bx 5 3 3 dl m0I a dl m0Ia 5 4p 1 x 1 a 2 2 2 3 / 2 4p 1 x 1 a2 2 3/2 2 La integral de dl es simplemente la circunferencia del círculo, ∫ dl 5 2pa y final- mente obtenemos m0 Ia2 Bx 5 (sobre el eje de una espira circular) (28.15) 2 1 x2 1 a2 2 3/2 28.13 Regla de la mano derecha para la La dirección del campo magnético sobre el eje de una espira portadora de corrien- dirección del campo magnético producido te está dada por la regla de la mano derecha. Si se cierran los dedos de la mano dere- sobre el eje de una bobina que conduce cha alrededor de la espira en la dirección de la corriente, el pulgar derecho apunta en corriente. la dirección del campo (figura 28.13). S Regla de la mano derecha B para el campo magnético producido por una espira Campo magnético sobre el eje de una bobina de corriente: Ahora suponga que en vez de una sola espira en la figura 28.12, se tiene una bobina que consiste en N espiras, todas con el mismo radio. La separación entre las espiras I I I I es tan pequeña que el plano de cada una está prácticamente a la misma distancia x del punto de campo P. Cada espira contribuye por igual al campo, y el total es N veces el Cuando los dedos de la mano campo producido por una sola espira: derecha se doblan en la dirección de I, el pulgar derecho S apunta en m0 NIa2 S B la dirección de B. Bx 5 (sobre el eje de N espiras circulares) (28.16) 2 1 x2 1 a2 2 3/2 El factor N en la ecuación (28.16) es la razón por la que se utilizan bobinas de alam- bre, y no espiras aisladas, para producir campos magnéticos intensos; para obtener una intensidad de campo deseada, el uso de una sola espira requeriría una corriente I tan grande que superaría la capacidad nominal del alambre de la espira. 28.14 Gráfica del campo magnético a La figura 28.14 muestra una gráfica de Bx como función de x. El valor máximo del lo largo del eje de una bobina circular campo está en x 5 0, el centro de la espira o bobina: con N espiras. Cuando x es mucho más grande que a, la magnitud del campo m0 NI disminuye aproximadamente con 1>x3. Bx 5 (en el centro de N espiras circulares) (28.17) 2a Bx m0 NI Conforme se avanza a lo largo del eje, la magnitud del campo disminuye. Bmáx 5 2a En la sección 27.7 se definió que el momento dipolar magnético m (o momento magnético) de una espira portadora de corriente es igual al IA, donde A es el área de 1 la sección transversal de la espira. Si hay N vueltas, el momento magnético total es Bmáx 2 NIA. La espira circular en la figura 28.12 tiene área A 5 pa2, por lo que el momento magnético de una sola espira es m 5 Ipa2; para N espiras, m 5 NIpa 2. Al sustituir es- tos resultados en las ecuaciones (28.15) y (28.16) se encuentra que estas expresiones se pueden escribir como x m0m 3a 2a a O a 2a 3a (sobre el eje de cualquier número Bx 5 (28.18) 2p 1 x 1 a2 2 3/2 2 de espiras circulares) En la sección 27.7 se describió un dipolo magnético en términos de su respuesta a un campo magnético producido por corrientes fuera del dipolo. Pero un dipolo magnéti- co también es una fuente de campo magnético; la ecuación (28.18) describe el campo magnético producido por un dipolo magnético para puntos a lo largo del eje del dipo- lo. Este campo es directamente proporcional al momento dipolar magnético m. Note  28.6 Ley de Ampère 969 que el campo a lo largo del eje x está en la misma dirección que el momento magnéti- 28.15 Líneas de campo magnético S co vectorial m; esto es cierto para el eje x tanto positivo como negativo. producidas por la corriente en una espira circular. En S los puntos sobre el eje, el campo B tiene la misma dirección C U I DA DO Campo magnético de una bobina Las ecuaciones (28.15), (28.16) y (28.18) que el momento magnético de la espira. son válidas sólo sobre el eje de una espira o bobina. ¡No trate de aplicarlas en otros puntos! ❚ La figura 28.15 muestra algunas de las líneas de campo magnético que rodean z una espira circular de corriente (dipolo magnético) en planos a través del eje. Las di- recciones de las líneas de campo están dadas por la misma regla de la mano derecha que para un conductor largo y recto. Tome el conductor con su mano derecha, con el I S