Apuntes Javi - Campo Magnético PDF

# INTERACCIÓN MAGNÉTICA Los campos magnéticos son creados por las partículas con carga eléctrica en movimiento y por los imanes. Si una carga testimonio se encuentra en reposo, no experimenta ninguna fuerza magnética. La fuerza magnética depende de la dirección en que se mueve la carga testimonio,...

# INTERACCIÓN MAGNÉTICA Los campos magnéticos son creados por las partículas con carga eléctrica en movimiento y por los imanes. Si una carga testimonio se encuentra en reposo, no experimenta ninguna fuerza magnética. La fuerza magnética depende de la dirección en que se mueve la carga testimonio, y existe una determinada dirección en que la fuerza es nula. La fuerza es perpendicular al plano definido por el vector velocidad y las líneas del campo magnético. El módulo de la fuerza es proporcional a la intensidad del campo. ## LEY DE LORENTE $F_M = q \cdot (v \times B)$ La fuerza magnética que actúa sobre una partícula es directamente proporcional a su carga y al producto vectorial del vector velocidad de la partícula por el campo magnético externo. La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad y al campo magnético. $F_M = |q| \cdot v \cdot B \cdot sen \alpha$ La fuerza será máxima cuando la velocidad y el campo son perpendiculares. El sentido del producto vectorial se determina mediante la regla del producto vectorial (tapón de botella), midiendo el ángulo más corto entre $v$ y $B$ desde $v$. La unidad del campo magnético es el Tesla (T) que equivale a la fuerza que ejercería una fuerza de 1N sobre una carga eléctrica de 1C que se moviese perpendicularmente a un campo con una velocidad de 1m/s. $1T = \frac{1kg}{1s^2 \cdot A} = \frac{1N}{1 A \cdot m}$ También se usa el Gauss (G): 1T = 10⁴ G. Para conocer la dirección y sentido del vector fuerza magnética se aplica la regla de la mano derecha: - q(+): índice $\overrightarrow{v}$, medio $\overrightarrow{B}$, pulgar sentido $F_M$. - q(-): índice $\overrightarrow{v}$, medio $\overrightarrow{B}$, pulgar sentido contrario a $F_M$. Un electrón se mueve a 1000 km/h cuando entra en una región del espacio donde hay un campo magnético de 20G formando un ángulo de 20° con el vector velocidad. Calcular el módulo de la fuerza magnética y la aceleración que experimenta el electrón. $v = 1000 \frac{Km}{h} = 277,8 \frac{m}{s}$ $B = 20G = 2 \cdot 10^{-3} T$ $q_e = -1,6 \cdot 10^{-19} C$ $F_M = |q| \cdot v \cdot B \cdot sen \alpha$ $F_M = |-1,6 \cdot 10^{-19}| \cdot 277,8 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot sen(20°) = 3,04 \cdot 10^{-20} N$ $F_M = m_e \cdot a = m_e \cdot \frac{F_M}{m_e} = 3,3 \cdot 10^{10} \frac{m}{s}$ Si una partícula con carga está en movimiento en una región del espacio donde hay un campo eléctrico y un campo magnético a la vez, esta carga estará sometida a la fuerza eléctrica y a la fuerza magnética. $F_e= q \cdot E$ $F_M = q \cdot (v \times B)$ $F_{TOT} = F_e + F_M = q\cdot E + q\cdot (v \times B)$ $F_{TOT} = q \cdot (E + v \times B)$ Determinar la fuerza total que actúa sobre un protón de 100 eV que se mueve en la dirección del eje *x* en sentido positivo, cuando entra en una región donde hay un campo eléctrico $E = 200 \frac{V}{m}$ y un campo magnético $B = (0,04 \hat{i} + 0,01 \hat{j}) T$. Protón: $q = 1,6 \cdot 10^{-19} C$, $m = 1,67 \cdot 10^{-27} kg$. $E_{protón} = 100 eV =1,6 \cdot 10^{-17} J$ $E_c = \frac{1}{2}m v^2 = 1,6 \cdot 10^{-17} J = \frac{1}{2} \cdot 1,67 \cdot 10^{-27 } \cdot v^2$ $v = 1,38 \cdot 10^5 \frac{m}{s}$ Vector velocidad $\overrightarrow{v} = 1,38 \cdot 10^5 \frac{m}{s} \hat{i}$ $F_M = q \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B})$ $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1,38 \cdot 10^5 & 0 & 0 \\ 0,04 & 0,01 & 0 \\ \end{pmatrix} = -2760 \hat{j} + 5520 \hat{k}$ Entonces: $F_M = 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot (200 \hat{i} - 2760 \hat{j} + 5520 \hat{k}) = (-4,4 \hat{i} + 9,2 \hat{j}) \cdot 10^{-16} N$ El criterio para representar los vectores de un campo eléctrico o magnético cuando son perpendiculares al plano del dibujo: - Hacia dentro: **** - Hacia fuera: oooo Si una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme y estacionario $B$ con una velocidad $\overrightarrow{v}$ perpendicular al campo, como la $F_M$ es perpendicular a ambos, la partícula girará en el plano perpendicular al campo, manteniendo constante el módulo de su velocidad. Por tanto, la fuerza magnética actúa sobre la partícula como una fuerza centrípeta, obligando a esta a describir un MCU. Para determinar el radio de la circunferencia, solo es necesario imponer la condición de que la fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta. $F_M = F_c$ $|q| \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{v^2}{R}$ $R = \frac{m \cdot v}{|q| \cdot B}$ Dependiendo del signo de la carga, la $F_M$ tendrá un sentido u otro, haciendo que las circunferencias se tracen en sentido horario o antihorario. El periodo de movimiento, o tiempo que tarda en describir una vuelta completa es puede determinar conociendo la velocidad de la partícula y el radio de la circunferencia. $v = \frac{2 \pi R}{T} = 2 \pi f R$ $T = \frac{2 \pi m v}{|q| \cdot B} = \frac{2 \pi m }{|q| \cdot B}$ $f = \frac{|q| \cdot B} {2 \pi m}$ En el caso de que la partícula cargada se mueva con una velocidad que no es ni perpendicular ni paralela al campo magnético, siempre se podrá descomponer la velocidad en una componente $\overrightarrow{v}_\perp$ a $B$ denominada $\overrightarrow{v}_t$ que hará que la partícula describa circunferencias y otra componente paralela a $B$ denominada $\overrightarrow{v}_||$ que no se verá afectada por el campo magnético. La composición de los dos movimientos es una trayectoria helicoidal. La expresión para determinar el radio de la circunferencia es la misma, pero se utiliza $v_t$ en lugar de $v$. $R = \frac{m \cdot v_t}{|q| \cdot B}$ Un protón de 900eV entra en una región del espacio donde existe un campo magnético de 0,65T que forma un ángulo con el vector velocidad del protón. Determinar el radio de las circunferencias que describe, la frecuencia a la cual lo hace y la velocidad a la cual se desplaza en el plano de las circunferencias. $E_c = 900 eV = 1,44 \cdot 10^{-16} J$ $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,44 \cdot 10^{-16}}{1,67 \cdot 10^{-27}}} = 415247,17 \frac{m}{s}$ $v_\perp = v \cdot sen 80° = 408968,13 \frac{m}{s}$ $v_|| = v \cdot cos 80° = 72112,11 \frac{m}{s}$ (velocidad con la que se desplaza en el plano de las circunferencias) $R = \frac{m\cdot v_{\perp}}{|q| \cdot B} = \frac{1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 408968,13}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,65} = 6,56 \cdot 10^{-3} m$ $F = \frac{m \cdot V_||^2}{R} = \frac{1,67 \cdot 10^{-27} \cdot (72112,11)^2}{6,56 \cdot 10^{-3}} = 9,97 \cdot 10^{-16} N$ # F. MAGNÉTICA SOBRE ELEMENTOS DE CORRIENTE Es habitual que las cargas que se desplazan lo hagan dentro de un hilo conductor. La intensidad de corriente que pasa por dicho hilo se define como la carga infinitesimal que pasa por una sección transversal del hilo conductor por unidad de tiempo. $I = \frac{dq}{dt}$. El sentido de la intensidad de la corriente se establece, por convenio, al contrario al sentido en el que se mueven los electrones. Si tenemos en cuenta que el módulo de la velocidad de los electrones que atraviesan una sección del cable es: $v=\frac{dl}{dt}$, podemos expresar la fuerza magnética que actúa sobre este hilo de corriente en función de la intensidad de la corriente. $dF_M = q \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) = I \cdot dt \cdot (\frac{\overrightarrow{dl}}{dt} \times \overrightarrow{B}) = I \cdot (\overrightarrow{dl}\times \overrightarrow{B})$ (Ley de Laplace) Si utilizamos la relación: $dq = I \cdot dt$, podemos relacionar la ley de Lorentz y la de Laplace para determinar la fuerza magnética que actúa sobre un hilo conductor rectilíneo: $F_M = I \cdot (\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B})$ Por un hilo conductor rectilíneo de 5m de longitud colocado de forma paralela al eje $x$, circula una corriente de 0,8 A en el sentido negativo del eje. Calcular la fuerza magnética que se ejerce sobre dicho hilo si en todo el espacio hay un campo magnético descrito por el vector $\overrightarrow{B} = (0,5 \hat{i} - 0,1 \hat{k}) T$ $\overrightarrow{l} = 5 m \hat{i}$ $I = 0,8A$ $\overrightarrow{B} = (0,5 \hat{i} - 0,1 \hat{k}) T$ $\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0 & -0,1 \\ \end{pmatrix} = -3,5 \hat{j}$ $F_M = I \cdot (\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B}) = 0,8 \cdot (-3,5 \hat{j}) = -2,8 \hat{j} \cdot 10^{-7} N$ # CREACIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO Hasta ahora se ha estudiado la fuerza que experimentan las cargas en movimiento cuando están sometidas a la acción de un campo magnético. Ahora se estudiará cómo estas cargas crean los campos. Experimentalmente, se determinó que el campo magnético creado por una carga puntual en movimiento viene descrito por: $dB = k\cdot \frac{q \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u_r})}{r^2}$ $k' = \frac{{\mu_0}}{4\pi} = 10^{-7} N/A^2$, donde $\overrightarrow{v}$ es la velocidad de la partícula y $\overrightarrow{u_r}$ es el vector posición unitario del punto del espacio en el cual el campo magnético es $\overrightarrow{B}$, teniendo origen en la posición de la partícula. Según esta expresión, el campo magnético es nulo en la dirección de la velocidad y en el resto de puntos, las líneas del campo forman circunferencias alrededor de esta línea. ## CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR ELEMENTOS DE CORRIENTE A partir de la ecuación anterior, si en lugar de considerar una carga en movimiento consideramos un hilo de corriente recto con cargas circulando a la misma velocidad, el campo magnético que se crea viene dado por la siguiente expresión. $dB = K \cdot \frac{I \cdot d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{u_r}}{r^2} = I \cdot \frac{d\overrightarrow{l}}{dt} \times \frac{\overrightarrow{u_r}}{r^2}$ $B = K \cdot I \cdot \int_{curva} \frac{d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{u_r}}{r^2}$, si integramos esta expresión... $B = \frac{{\mu_0}\cdot I}{2\pi r}$ (Ley de Biot-Savart) $ $ El sentido de las líneas de campo viene dado por la regla de la mano derecha (caracol). Se dispone de dos hilos de corriente paralelos a 1m de distancia, con intensidades de 2A y 1,5A en el mismo sentido. Calcular el punto donde se anula el campo magnético. $B = \frac{{\mu_0} \cdot I}{2 \pi r}$ $B_1 = B_2$ $\frac{{\mu_0} \cdot I_1}{2 \pi r_1} = \frac{{\mu_0} \cdot I_2}{2 \pi r_2}$ $r_1 + r_2 = 1 m$ $\frac{I_1}{r_1}=\frac{I_2}{r_2}$ $2 \cdot r_2 = 1,5 \cdot (1-r_2)$ $2 \cdot r_2 + 1,5 \cdot r_2 = 1,5$ $r_2 = 0,428 m$ Si en lugar de un hilo tenemos una espira circular, el campo magnético creado en su centro viene dado por todos los elementos de corriente infinitesimales que crean idénticos campos magnéticos. El campo magnético total en el centro tiene la misma dirección y sentido que en su momento dipolar magnético. El módulo del campo magnético se calcula mediante la expresión: $B = \frac{{\mu_0} \cdot I}{2R}$ $B$ y tiene una dirección perpendicular al plano de la espira. Si el hilo conductor se configura en forma de solenoide, que es una bobina cilíndrica que consta de muchas espiras enrolladas de manera compacta, el campo magnético total que produce es la suma del campo de cada espira, refortándose los unos con los otros para conseguir un campo magnético bastante uniforme y elevado en su interior, y muy débil en su exterior. El campo magnético en el interior del solenoide viene dado por la expresión: $B= \mu_0 \cdot n \cdot I = \frac{\mu_0 \cdot N \cdot I}{l}$ donde *N* es el número de vueltas y *l* es la longitud del solenoide. Una bobina de espiras tiene una longitud de 5cm y es atravesada por una intensidad de 0,5A que produce en su interior un campo magnético *B* = 1,9 · 10^-3T. Calcular el número de espiras que forman la bobina. $I = 0,5A$ $l = 5 cm = 0,05 m$ $B = \mu_0 \cdot n \cdot I = \mu_0 \cdot \frac{N}{l} \cdot I$ $1,9 \cdot 10^{-3} = 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{N}{ 0,05} \cdot 0,5$ $N = \frac{1,9 \cdot 10^{-3} \cdot 0,05}{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 0,5} = 151 \text{ espiras}$ ## FUERZAS ENTRE ELEMENTOS DE CORRIENTE Todo circuito eléctrico produce a su alrededor un campo magnético, y si se coloca cerca de otro circuito, este se verá afectado por una fuerza magnética, siendo esta interacción mutua. El caso más simple es el de dos hilos de corriente paralelos, colocados a cierta distancia. A partir de la ley de Laplace: $F_M = I \cdot ( \overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B})$ y de la expresión del campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo: $B = \frac{\mu_0 \cdot I}{2 \pi r}$ se puede obtener la expresión de la fuerza por unidad de longitud que ejercen dos conductores rectilíneos paralelos: $F = \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{I_1 \cdot I_2}{R} = 2 K \cdot \frac{I_1 \cdot I_2}{R}$ Por un hilo de corriente muy largo colocado horizontalmente circulan 10 A. Determinar la altura a la que se quedará levitando otro cable colocado sobre el anterior. (d_cable = 0,4 g/m) $0,4 g/m = 4 \cdot 10^{-4} kg/m = m$ $\overrightarrow{F} = m \cdot \overrightarrow{g} = 4 \cdot 10^{-4} \cdot 9,8 = 3,92 \cdot 10^{-3} N$ $R = \frac{2 \cdot K \cdot I_1 \cdot I_2}{F} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot 10 \cdot 10}{3,92 \cdot 10^{-3}} = 5,1 \cdot 10^{-3} m$ # INDUCCIÓN MAGNÉTICA Si una corriente eléctrica puede producir magnetismo, también puede ocurrir el proceso contrario, es decir, un campo magnético puede generar una corriente eléctrica mediante un fenómeno conocido como inducción electromagnética, que consiste en producir una corriente eléctrica en un circuito mediante la variación del número de líneas de inducción magnética que lo atraviesan. Esto sólo ocurre si la fuente magnética está en movimiento. Para poder explicar este fenómeno, introducimos el concepto de flujo magnético, que vendría a ser la cantidad de magnetismo que atraviesa el circuito. Se calcula a partir del campo magnético, el área de la superficie sobre la cual actua y el ángulo de incidencia. - Flujo magnético elemental: $d\Phi_B = B \cdot dS = B \cdot dS \cdot cos \alpha$ - Flujo magnético total de una superficie: $\Phi_B = \int d\Phi = \int B \cdot dS = \int B \cdot dS \cdot cos \alpha$. - Unidad del flujo magnético: Wb - $1Wb = 1T \cdot m²$. Las observaciones de Faraday establecieron que: la corriente inducida aparece cuando hay movimiento relativo, y a mayor velocidad de movimiento, mayor inducción. El sentido de la corriente se invierte al cambiar el sentido del movimiento. En el caso de una bobina, a mayor número de espiras, mayor intensidad del corriente inducido. $\Phi_B = N \cdot B \cdot S$ En una región del espacio donde hay un campo magnético $B = (0,25 \hat{i} + 0,15 \hat{j} - 0,35 \hat{k}) T$, determina el flujo magnético que atraviesa una espina cuadrada de 1 cm de lado colocada en la orientación de la imagen. Superficie de la espira: $S = 10^{-4} m^2$ $S = (cos 20° \hat{i} - sen 20° \hat{j}) \cdot 10^{-4} m^2$ $\Phi_B = B \cdot S$ $\Phi_B = (0,25 \hat{i} + 0,15 \hat{j} - 0,35 \hat{k}) (cos 20° \hat{i} - sen 20° \hat{j}) \cdot 10^{-4}$ $\Phi_B = (0,15 cos 20° - 0,15 sen 20°) \cdot 10^{-4}$ $\Phi_B = 1,83 \cdot 10^{-5} Wb$ Mediante el uso de fuerzas magnéticas y eléctricas sobre electrones, se puede justificar la aparición de una fuerza electromotriz en una barra metálica. En todo fenómeno de inducción siempre se produce una variación del flujo magnético a través de la superficie que delimita la espira conductora. La fuerza electromotriz $ε$ está inducida en sentido contrario a la variación del flujo magnético por unidad de tiempo en la superficie definida por la espira. (Esto es la ley de la inducción de Faraday-Henry: la f.e.m. se opone a la causa que lo genera, es decir, a la variación del flujo magnético). Ley Faraday-Henry: $ε= -\frac{d\Phi_B}{dt}$ - f.e.m. inducida: $ε= -\frac{d\Phi_B}{dt}$ - en un solenoide: $ε= -N\frac{d\Phi_B}{dt}$