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## Algèbre linéaire exercices ### Sous-espaces vectoriels **Exercice 1** Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$? Justifier votre réponse. 1. $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y\}$ 2. $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y + 1\}$ 3. $C = \{(x, y)...

## Algèbre linéaire exercices ### Sous-espaces vectoriels **Exercice 1** Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$? Justifier votre réponse. 1. $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y\}$ 2. $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y + 1\}$ 3. $C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1\}$ 4. $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0 \text{ ou } y = 0\}$ **Exercice 2** Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$? Justifier votre réponse. 1. $A = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ 2. $B = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y = z\}$ 3. $C = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$ 4. $D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = 0 \text{ et } y = z\}$ **Exercice 3** Soient $F$ et $G$ les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$ définis par: $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ et $G = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y = z\}$. 1. Déterminer une base de $F$ et une base de $G$. 2. Déterminer $F \cap G$. 3. Montrer que $F + G = \mathbb{R}^3$. 4. La somme $F + G$ est-elle directe? Justifier votre réponse. **Exercice 4** Soient $F$ et $G$ les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$ définis par: $F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = 0 \text{ et } z = 2t\}$ et $G = Vect\{(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)\}$. 1. Déterminer une base de $F$ et une base de $G$. 2. Déterminer $F \cap G$. 3. Déterminer $F + G$. 4. La somme $F + G$ est-elle directe? Justifier votre réponse. ### Applications linéaires **Exercice 5** Les applications suivantes sont-elles linéaires? Justifier votre réponse. 1. $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x, y) \mapsto (x + y, x - y)$ 2. $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x, y) \mapsto (x + y, xy)$ 3. $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x, y) \mapsto (x + y + 1, x - y)$ 4. $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x, y, z) \mapsto (x + y, x - z)$ **Exercice 6** Soit $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'application linéaire définie par: $f(x, y, z) = (x + y, x - y, z)$. 1. Déterminer le noyau de $f$. 2. Déterminer l'image de $f$. 3. $f$ est-elle injective? surjective? bijective? Justifier votre réponse. **Exercice 7** Soit $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'application linéaire définie par: $f(x, y) = (x + y, x - y, x)$. 1. Déterminer le noyau de $f$. 2. Déterminer l'image de $f$. 3. $f$ est-elle injective? surjective? bijective? Justifier votre réponse. **Exercice 8** Soit $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'application linéaire définie par: $f(x, y, z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z)$. 1. Déterminer le noyau de $f$. 2. Déterminer l'image de $f$. 3. $f$ est-elle injective? surjective? bijective? Justifier votre réponse. ### Matrices **Exercice 9** Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$. Calculer: 1. $A + B$ 2. $A - B$ 3. $2A$ 4. $AB$ 5. $BA$ 6. $A^2$ **Exercice 10** Calculer le déterminant des matrices suivantes: 1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 2. $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ 3. $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ **Exercice 11** Calculer l'inverse des matrices suivantes (si elle existe): 1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 2. $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 3. $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ *** This document contains a set of linear algebra exercises, divided into three sections: Subspaces, Linear Applications, and Matrices. Each section includes several problems that test understanding of the concepts.