Frações e suas Operações - Material Teórico (PDF): OBMEP

Material Teórico - Módulo de FRAÇÕES, O PRIMEIRO CONTATO Frações e suas Operações EP Sexto Ano do Ensino Fundamental BM Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha l O rta Po  1 Introduç...

Material Teórico - Módulo de FRAÇÕES, O PRIMEIRO CONTATO Frações e suas Operações EP Sexto Ano do Ensino Fundamental BM Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha l O rta Po  1 Introdução Após termos estudado, no módulo anterior, um pouco sobre os números naturais e suas principais propriedades de divisi- bilidade, chegou a hora de conhecermos uma classe maior de números, que chamamos de frações1 ou, ainda, números fracionários. Você com certeza já deve ter usado bastante o conceito de metade ou um terço. Por exemplo, imagine que você e mais dois de seus amigos saı́ram para comer uma pizza. Se EP todos concordaram em comer quantidades iguais, cada um deverá ter comido um terço da pizza. O sı́mbolo matemático que denota este valor é 13. Visualmente, é fácil entender o significado deste número: BM O Assim, o 13 significa que cada um de vocês comeu uma parte, dentre três partes iguais. De modo geral, o conjunto das frações é formado por todos números da forma ab , onde a e b são número naturais, l ta sendo b > 0. Além disso, cada um desses dois naturais a e b que formam uma fração recebe um nome especial: enquanto a é chamado de numerador, o inteiro b é chamado r de denominador. Po Observe que uma fração é o resultado de uma divisão. Por exemplo, suponha que Joãozinho ganhou 12 bombons 1 do Latim: fractus, que significa quebrado. http://matematica.obmep.org.br/ P.1 [email protected]  e que deseja repartir igualmente esses bombons entre ele e seus dois irmãos. Então, cada um ficará com a terça parte do total de 12 bombons, de forma que 12 3 = 4. Em outras palavras, cada um ficará com 4 bombons. Na igualdade 12 3 = 4 podemos observar dois conceitos importantes sobre frações: Todo número natural também é uma fração. De fato, todo número natural a é o resultado da divisão de a por 1. Matematicamente, podemos escrever a EP igualdade a a=. 1 Sendo assim, o conjunto N dos números inteiros está BM contido no conjunto das frações. Outro fato importante é: Existem várias formas de se representar uma mesma fração. O Por exemplo, da mesma forma que podemos obter o número 4 fazendo a divisão de 12 por 3, também po- demos obter este valor quando dividimos 20 por 5. Ou l seja, ta 12 20 4= =. 3 5 Agora que você entendeu que frações aparentemente dife- r rentes na verdade são iguais, você pode estar se questionando: Po Como, então, saber quais são as diferentes formas de se representar uma mesma fração? Bem, a resposta a essa pergunta é muito simples: — Sempre que você tiver uma fração ab , ao multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador desta fração por um mesmo número natural (que deve ser diferente de zero), o resultado será uma outra representação da mesma fração. http://matematica.obmep.org.br/ P.2 [email protected]  Por exemplo, na fração 35 , se multiplicarmos o numerador e o denominador por 4, obteremos 3 3·4 12 = =. 5 5·4 20 Outro exemplo, desta vez utilizando a operação de divisão: 28 28 ÷ 7 4 = =. 42 42 ÷ 7 6 Intuitivamente, é claro que, ao multiplicarmos o numera- EP dor e o denominador por um mesmo número natural não nulo, estamos aumentando esses valores, tornando a representação da fração “mais complicada”. Por outro lado, ao dividirmos o numerador e o denominador por um mesmo natural não BM nulo, estamos diminuindo esses valores e, consequentemente, simplificando a representação da fração. Dessa forma, vol- tando ao exemplo anterior, 46 é uma simplificação da fração 28 42. Outra forma comum de expressar esta operação é dizer que 64 é uma forma reduzida da fração 42 28. Observe, ainda, que podemos reduzir 6 para 23 dividindo 4 O numerador e o denominador por 2. Por outro lado, não podemo reduzir ainda mais a fração 23 , já que não existe nenhum número natural maior que 1 que divida 2 e 3 ao mesmo tempo. Dizemos, pois, que 23 é uma representação l irredutı́vel da fração, ou, simplesmente (e sempre que não ta houver perigo de confusão), uma fração irredutı́vel. Visualmente é fácil ver que 46 e 23 representam uma mesma fração: r Po Generalizando a discussão anterior, veja que toda fração irredutı́vel ab é tal que seus numerador e denominador não são http://matematica.obmep.org.br/ P.3 [email protected]  divisı́veis por número natural algum maior que 1; de outra forma, a e b são primos entre si: mdc (a, b) = 1. 2 Somando e subtraindo frações com denominadores iguais Assim como podemos realizar as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) no conjunto dos números naturais, também podemos realizá-las no conjunto dos números EP fracionários. Iniciaremos esta seção com um caso bem simples: a adição de frações de mesmo denominador. Vamos começar nossa discussão com uma interpretação concreta dessa operação. Na figura 1, cada barra está dividida BM l O ta Figura 1: somando frações de mesmo denominador. r Po em sete partes, portanto cada parte representa 17 (um sétimo) do total. Na primeira barra, estão destacadas em amarelo quatro das sete partes – representando o número fracionário 4 7 ; na segunda barra, estão destacadas em vermelho duas das sete partes – representando o número fracionário 27. A adição de 2 partes e 4 partes dá-nos um total de 6 partes, cada uma representando 17 do total. Logo, 4 2 4+2 6 + = =. 7 7 7 7 http://matematica.obmep.org.br/ P.4 [email protected]  De maneira geral, temos a seguinte regra: Soma de Frações de Mesmo Denominador: a b a+b + =. c c c Alguns exemplos: 2 5 2+5 7 + = =. 3 3 3 3 EP 4 1 4+1 5 + = = = 1. 5 5 5 5 1 4 1+4 5 1 + = = =. 15 15 15 15 3 BM A subtração segue o mesmo princı́pio: Subtração de Frações de Mesmo Denominador (com a > b): a b a−b O − =. c c c Alguns exemplos: l 2 1 2−1 1 − = =. ta 4 4 4 4 6 2 6−2 4 − = =. 7 7 7 7 r Po 3 Somando e subtraindo frações com denominadores distintos Já vimos que somar e subtrair frações com um mesmo de- nominador é realmente muito fácil. Vejamos o que acontece quando tentamos realizar estas operações quando estamos lidando com frações com denominadores diferentes. Na figura acima, a primeira barra está dividida em sete partes iguais. A segunda barra (que é idêntica à primeira) http://matematica.obmep.org.br/ P.5 [email protected]  EP está dividida em cinco partes iguais. Dessa forma, a porção amarela representa 37 da primeira barra, enquanto a porçao BM vermelha representa 25 da segunda barra. Veja que, nesse caso, não podemos “encaixar” perfeitamente uma porção de tamanho igual a 15 da barra em uma porção de tamanho igual a 17. Isso não ocorria no exemplo inicial da seção anterior, uma vez que, naquele exemplo, todas as porções menores representavam uma mesma fração (no caso, 17 ) das barras lá O consideradas. Como resolver nosso problema atual, então? Aqui, iremos recorrer à flexibilidade da representação da frações. l Lembre-se de que já sabemos somar frações de mesmo ta denominador. A ideia é, então, utilizar esse caso para calcular 3 2 3 7 + 5. Para tanto, buscaremos representar as frações 7 e 2 5 usando um mesmo denominador. Para o que falta, basta r seguirmos os seguintes passos: Po 1. Multiplique o numerador e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração: 3 3·5 15 = =. 7 7·5 35 2. Multiplique o numerador e o denominador da segunda fração pelo denominador da primeira fração: 2 2·7 14 = = 5 5·7 35 http://matematica.obmep.org.br/ P.6 [email protected]  3. Some os números fracionários em questão, com o auxı́lio do caso já estudado: 3 2 15 14 15 + 14 29 + = + = =. 7 5 35 35 35 35 Geometricamente, os passos acima possuem a seguinte interpretação: 1. Imagine um quadrado dividido em sete partes iguais EP por seis retas verticais. A fração 37 é representada pela porção amarela da figura a seguir. Quando fazemos 3 3·5 15 7 = 7·5 = 35 , estamos, em verdade, subdividindo o quadrado em 35 partes iguais, utilizando quatro retas horizontais. Das 35 partes em que o quadrado ficou BM dividido, 15 serão amarelas. l O r ta Po 2. Da mesma forma, dividindo um quadrado idêntico ao anterior em cinco partes iguais, com o auxı́lio de qua- tro retas horizontais, a fração 25 será representada pela porção vermelha da segunda figura. Quando fazemos 2 2·7 14 5 = 5·7 = 35 , estamos, de fato, subdividindo o qua- drado em 35 partes iguais, usando seis retas verticais. Assim, das 35 partes em que o quadrado ficou dividido, 14 serão vermelhas. http://matematica.obmep.org.br/ P.7 [email protected]  EP 3. Agora que as áreas pintadas dos dois quadrados são múltiplas de uma mesma área comum (a área de um BM dos 35 retângulos nos quais os quadrados ficara dividi- dos), podemos somar as quantidades de áreas pintadas, obtendo 15 + 14 = 29. O Portanto, 3 2 15 14 15 + 14 29 + = + = =. 7 5 35 35 35 35 l r ta Po De maneira geral, temos a seguinte regra geral para a adição de frações: http://matematica.obmep.org.br/ P.8 [email protected]  Soma de Frações com Denominadores Distintos: a b a·d b·c a·d+b·c + = + =. c d c·d d·c c·d Alguns exemplos: 2 4 2·5 4·3 10 + 12 22 + = + = =. 3 5 3·5 5·3 15 15 EP 7 1 7·3 1·2 21 + 2 23 + = + = =. 2 3 2·3 3·2 6 6 1 1 1·5 1·2 5+2 7 + = + = =. 2 5 2·5 5·2 10 10 BM A subtração segue o mesmo princı́pio (contanto que, como antes, a primeira fração seja maior que a segunda): Subtração de Frações com Denominadores Distintos: O a b a·d b·c a·d−b·c − = − =. c d c·d d·c c·d Alguns exemplos: l ta 4 2 4·3 2·5 12 − 10 2 − = − = =. 5 3 5·3 3·5 15 15 1 1 1·5 1·2 5−2 3 r − = − = =. 2 5 2·5 5·2 10 10 Po 4 Multiplicando e dividindo frações Multiplicar frações é muito fácil. Basta multiplicarmos os numeradores para obtermos o numerador do produto e, para obter o denominador do produto, basta multiplicar os deno- minadores das frações. Por exemplo: 2 5 2·5 10 · = =. 3 7 3·7 21 http://matematica.obmep.org.br/ P.9 [email protected]  1 5 1·5 5 · = =. 4 2 4·2 8 De maneira geral, temos a seguinte regra geral: Multiplicação de Frações: a c a·c · =. b d b·d Como antes, a multiplicação de frações também possui uma representação geométrica: ela é a interseção entre as EP áreas que representam cada uma das frações após uma sobre- posição. Por exemplo, ao fazermos o produto 37 · 25 , podemos imaginar os mesmos dois quadrados que utilizamos na seção anterior. Sobrepondo os dois quadrados, encontramos uma 6 área laranja que representa o valor 35. BM l O ta Para fazermos a divisão de duas frações ab e dc , multiplica- mos a primeira pela inversa da segunda. Assim: 2 4 2 5 2·5 10 r ÷ = · = =. 3 5 3 4 3·4 12 Po Outro exemplo: 1 1 1 3 1·3 3 ÷ = · = =. 5 3 5 1 5·1 5 De maneira geral, temos a seguinte regra geral: Divisão de Frações: a c a d a·d ÷ = · =. b d b c b·c http://matematica.obmep.org.br/ P.10 [email protected]  5 Um pouco de história Os egı́pcios foram um dos primeiros povos que utilizaram o conceito de fração. O seu sistema de numeração era formado por hieróglifos que representavam as potências de 10 (veja a figura 2): EP BM Figura 2: hieróglifos representando potências de 10. Já os racionais eram escritos como soma de frações com numeradores iguais a 1. Por exemplo, a fração 56 era escrita como 56 = 12 + 13. O hieróglifo que indicava a fração era semelhante a uma boca, e significava “parte”: O 1 Por exemplo, 10 era escrito como: l r ta Algumas frações possuı́am hieróglifos especiais. Por exem- Po plo: 1 1 1 Dessa forma 2 + 3 + 6 era escrito como: http://matematica.obmep.org.br/ P.11 [email protected]  Até os dias atuais, frações do tipo n1 são chamadas de frações egı́pcias. Apesar de seu uso prático ter ficado no passado, as frações egı́pcias continuam sendo objeto de estudo em Teoria dos Números e em Matemática recreacional. Podemos até mesmo citar um dos mais famosos problemas EP em aberto (isto é, até hoje ainda não resolvidos por ninguém) sobre frações egı́pcias: a conjectura de Erdös–Straus. Os matemáticos P. Erdös e E. Straus conjecturaram, em 1948, que toda fração do tipo n4 , com n ≥ 5, pode ser es- crita como a soma de três frações egı́pcias. Ou seja, eles BM conjecturaram que a equação 4 1 1 1 = + + (1) n x y z sempre tem soluções naturais positivas x, y, z, para todo O natural n ≥ 5. Por exemplo, para n = 5, temos: 4 1 1 1 = + + 5 2 5 10 l Com o auxı́lio de computadores, foi demonstrado que a ta conjectura de Erdös-Straus é verdadeira para todo natural n tal que 5 ≤ n ≤ 1014. Porém, até hoje ninguém foi capaz de demonstrar o caso geral ou refutar a conjectura, apresentando r um valor natural n ≥ 5 para o qual a equação (1) não tenha Po soluções naturais positivas x, y, z. Caso esteja curioso para aprender mais sobre frações egı́pcias, consulte as referências , ou. 6 Sugestões ao professor Apresentar os conceitos básicos sobre números fracionários a alunos que estão apenas começando a aprender um pouco mais sobre Matemática não é uma tarefa fácil. Porém é http://matematica.obmep.org.br/ P.12 [email protected]  muito importante que os alunos fixem bem as ideias que são apresentadas nesta aula. O professor deve estar seguro de que sua turma entendeu bem os conceitos da multiplicidade da representação de frações e as interpretações concretas da soma de frações com um mesmo denominador. Tente fazer um bom número de exemplos diferentes sobre os conceitos básicos, à medida que eles forem apresenta- dos. Mantenha um foco especial nos exemplos com figuras geométricas. Se você tiver bastante tempo disponı́vel em suas aulas, tente fazer esses exemplos utilizando técnicas de EP recorte e cole. É provável que alguns alunos, ao fim da aula, ainda te- nham dúvidas sobre a soma de frações com denominadores diferentes. Isso é perfeitamente normal. Nas próximas aulas BM de exercı́cios, vocês terão a oportunidade de exercitar esse assunto até que as dúvidas desapareçam. A última seção dessa aula é optativa. Caso você perceba que sua turma evoluiu bem no conteúdo apresentado, você poderá falar um pouco sobre as frações egı́pcias e até mesmo sobre a conjectura de Erdös–Straus. Certamente, muitos O alunos não entenderão a conjectura em si, mas se alguns deles entenderem que existem problemas na Matemática em relação aos quais ainda se sabe a resposta, isso já terá sido l algo fantástico! Lembre-se de manter a curiosidade de sua ta turma elevada! Boa aula! Referências r Po Ronald L. Graham. Paul Erdös and Egyptian fractions. Erdös centennial, Bolyai Soc. Math. Stud., 25:289–309, 2013. Gay Robins and Charles Shute. The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text. Dover, 1987. Dirk J. Struik. A Concise History of Mathematics. Dover, 1967. http://matematica.obmep.org.br/ P.13 [email protected]