BİYÖSTATİSTİK ve BİLİMSEL ARAŞTIRMA PDF

2 BİYOİSTATİSTİK ve BİLİMSEL ARAŞTIRMADA ÇÖZÜMLEME  Bilimsel/Klinik Problem çözüm süreci İstatistiksel yöntemler tüm bilimsel disiplinlerde önemli bilimsel sonuçlar elde etmiştir. Bugün, Biyoistatistik yöntemleri tıbbi ve klinik araştırmaların karmaşık sorunlarına...

2 BİYOİSTATİSTİK ve BİLİMSEL ARAŞTIRMADA ÇÖZÜMLEME  Bilimsel/Klinik Problem çözüm süreci İstatistiksel yöntemler tüm bilimsel disiplinlerde önemli bilimsel sonuçlar elde etmiştir. Bugün, Biyoistatistik yöntemleri tıbbi ve klinik araştırmaların karmaşık sorunlarına mucize çözümler yapmaktadır. 18 yüzyılda istatistik sosyal bilimdi. Vücut Kitle İndeksi geliştiren Sosyolog Adolphe Quatelet (1796- 1874) istatistik bilim dalının kurucusudur. Adolphe Quetelet Belçika’da sosyal bilimlere istatistiğin önemini gösteren bir öncü oldu.  Tıp alanında önemli bilimsel saygınlığı olan NEJM ((New England Journal of Medicine) dergisinin Editorial raporunda son milenyumda tıpta en önemli 11 gelişmeyi sıralamış ve bunlardan biri de Biyoistatistik yöntemler olduğunu belirtmiştir. Bu sıralama önem sırasına göre değil kronolojik gelişmeye göre sıralanmış olup, aşağıdaki şekilde rapor edilmiştir.  Bilimsel araştırmada istatistiksel çözümlemeler Bilimsel araştırma çözümlemelerinde istatistik bilim dalının üstlendiği görevler İyi bir araştırma ortaya çıkarmak kolay bir iş değildir. Bu durum sadece verilerin değerlendirilmesi aşamasında istatistik uzmanına danışarak iyi bir test uygulamakla gerçekleştirilemez. Araştırıcıların çoğunun önerisi, araştırmanın başından itibaren her aşamada istatistik uzmanına danışılması ve ekip oluşturulması şeklindedir.  Biyoistatistik sağlık alanında karar verme yöntemlerini uygular ve geliştirir. Şekilde gösterildiği gibi bir döngü söz konusudur. Araştırıcı klinik, deneysel ve saha çalışmalarındaki hipotezleri kanıtlamak amacıyla kullanır. Ayrıca, ilaç endüstrisi ve diğer tıp ile ilgili sanayi çalışmalarında yer alır. Günümüzde kalite çalışmalarında doğru kararı vermede yöntem kullanır. Günümüzde kullanılan kalite programları istatistik yöntemlerle donatılmıştır. Bir ilacın, teşhis veya tedavi yönteminin etkinliği veya doğruluğu ile ilgili karar sadece Biyoistatistik yöntem kullanarak verilir.  Biyoistatistik uzmanının tıbbi araştırmalara yapacağı katkılar aşağıda sıralanmıştır. 1)Araştırmada örnek hacmi ve gücü (sample size and power) göz önünde tutmak Varyasyon nedir? Varyasyon; küçük değişiklik, sapma gibi anlamlara gelen İngilizce kökenli bir sözcüktür. Doğadaki her nesnede her canlıda farklılık vardır. Bu farklılıklar bir değişimi açıklar. Bu değişim, bu farklılık varyasyon olarak tanımlanır. Tüm canlıların sayısız özelliği gen adı verilen kimyasal moleküllerle belirlenir. Bunlar bazı iç mekanizmalardan ötürü sürekli olarak değişirler.  Örnek hacmi büyüdükçe varyasyonun küçüldüğü durum şekilde gösterilmiştir. Araştırıcıların istatistik uzmanına en çok sordukları sorulardan biri; Araştırmamın örnek hacmi ne olmalıdır? şeklindeki sorudur. Altman, örnek hacmi, araştırmalarda genellenebilir sonucu etkileyen en önemli etkenlerden biri olduğunu belirtmiştir. Araştırmanın bilimsel yeterliliğini belirlemede bir ölçüt olarak kabul edilmektedir. Yapılan çalışma için hangi istatistiksel düzen kullanılırsa kullanılsın örnek hacmi problemi ile ciddi bir şekilde karşı karşıyayız demektir. Bu durum, araştırıcılar için önemli bir zorluğu ifade eder. Bu nedenle, araştırıcıların çoğu basit bir mantıktan hareket ederek örnek hacmi için 20, 50, 100 gibi uygun sayıları veya bir ay, bir yıl gibi uygun bir zaman aralığını seçerler. Bu şekilde seçilen örnek hacmi, ciddi bir istatistik ve etik sorunla karşı karşıya olduğudur.  Değişik örnek hacimlerinde araştırmanın gücü Şekilde değişik örnek hacimlerinde değişik güçlerin olduğu görülmektedir. Örnek hacmi arttıkça Güç-power daha çok artmaktadır. Biyoistatistik uzmanı yukarda ifade edilen zorluğu çözmede ve yol göstermede önemli bir görev üstlenebilir. Araştırmada genellenebilir sonuçlar elde etmek için örnek hacmi konusunda önemli denilecek ölçütlerin belirlenmesi gerekir. * Dört şıklı yanıtlar sağa veya sola çarpık olabilir. Soldaki şekil tek yönü açıklamak için verilmiştir. 2) Anketler (Questionnaires) Bir soru formu bir grup insandan bilgi toplamak için iyi bir yoldur. İyi hazırlanmış bir anket formu ile bir grubun bilgi, görüş ve tercihleri öğrenilebilir. Rensis Likert; “Likert Ölçekli Anket” geliştirmiştir. Rensis Likert, Amerikalı önemli bir eğitimci ve psikolog bilim adamıdır. En çok yönetim biçimleri üzerine araştırmalar yapmıştır. Kendi adıyla bilinen Likert ölçeğini geliştirmiştir. Likert, doktorasını 1932 yılında Columbia Üniversitesi'nde psikoloji alanında yapmıştır. Doktora tezi ile, Likert ölçeğinin davranışları diğer ölçeklerden daha iyi belirlediğini göstermiştir. Likert ölçeği geçerliliği yüksek bir ölçektir. Genellikle 5, 7 veya 9 gibi tek sayılı şıklardan oluşur. Bu seçenek şekli, karşıdan daha çok bilgiyi alabileceğini kanıtlamıştır. Nedeni ise; ortaya gelen şıkkın kararsızım olması gereğidir. Simetrik bir görüş sağlar. Bu sayede yanıtlayıcının hangi yöne gitmesi gerektiğine kolaylık oluşturur. İstatistiksel önemliliği ise yanıtların normal dağılış göstermesidir. Dört şıklı yanıtların bir yöne doğru çarpık bir dağılış gösterdiği görülmüştür.  Alfa katsayısı ankette yer alan k sorunun varyansları toplamının genel varyansa oranlanması ile bulunan bir ağırlıklı standart değişim değeridir. 0 ile 1 arası değişim gösterir. Eğer sorular standardize edilmişse soruların ortalama korelasyonuna ya da kovaryansına dayanarak hesaplanır. Sorular arası negatif bir korelasyon varsa alfa katsayısı da negatif çıkar bu durum güvenilirliğin bozulmasına yol açar çünkü ölçeğin toplanabilirlik varsayımı bozulmuş olur. En iyi sonucu alacak bir anket oluşturmak için aşağıdaki adımlar kullanılmalıdır. 1. Anket soruları yazmaya başlamadan önce istediğiniz bilgi türü belirlenmelidir. Konu ile ilgili sorular başlıkla ilgili olmalıdır. Bu durum iç geçerliliği arttırır. 2. Katılacak bireylerin yaşam tarzı, varyasyonları belirlenmelidir. Bu durum anketin amacını belirleyen önemli bir faktördür. 3. Örnek hacmi çalışmanın gücü (power) hesaplanmalıdır. 4. Anketin girişinde konu ve neden anketin doldurulması gerektiği ile ilgili kısa bir giriş yapılmalıdır. 5. Anket soruları basit ve net oluşturulmalıdır. Sorular yanlış anlaşılabilir bir şekilde yazılmamalıdır. 6. Anket soruları tek sayfaya sığdırılmalıdır. Uzun sorular, soru sayınsın fazlalığı ilgiyi kaybettirir.. 7. Sorular okunabilir bir düzende yazıldıktan sonra iki kez okuyarak yanlışlıklarından arındırılmalıdır. 3) Örneğin ve kontrol grubunun seçilmesi Üzerinde araştırma yapılacak örneğin doğru seçilmiş olması gerekir. Seçilen konu ve hipotezlere uygun örnek seçilmedikçe doğru sonuçlar elde edilemez. 4)Araştırmanın Düzeni Araştırma düzeni hazırlamak verilerin değerlendirilmesinde kullanılacak olan analiz kadar önemlidir ve istatistik uzmanı bu konuda önemli sayılacak şekilde fikir verebilir. Örneğin, klinik araştırmalarda çift körleme yöntemi genellikle tercih edilmesine rağmen her zaman başarılı olmayabilir. Bazı durumlarda hasta grup kendi kontrolü olarak kullanılabilirken bazı durumlarda uygun olmayabilir. Araştırmada rasgeleliğin sağlanması gerekir. 5) Laboratuar deneyleri Tıbbi araştırıcılar genellikle hastadaki biyolojik varyasyonu ve etkilerini araştırırlar. Ancak gözden kaçırılmaması gereken konu, bu varyasyonun laboratuar ile olan ilişkisidir. Örneğin doz-yanıt çalışmalarında denemelerdeki rasgeleliğin sağlanması önem taşır. Bu tür çalışmalarda deneysel ünite insan hayvan veya test tüpü değildir. İstatistik uzmanı, rutin laboratuar ölçümlerinin kalite kontrolü ve gözlemler arası ölçümlerdeki varyasyon konularında yol gösterici olabilir. Biyomedikal deneyler gibi yöntemler istatistik uzmanının işbirliği ile geliştirilmişlerdir 6) Verilerin görüntülenmesi İyi seçilmiş grafik veya şekillerin araştırma sonuçlarını çok açık bir şekilde sunulmasına yardımcı olur. İstatistik uzmanı verilerin görüntülenmesinde kullanılacak yöntemlerde yardımcı olabilir. Grafiklerin çizimi değişkenlerin özelliklerine göre değişir. Hangi değişken yapısında hangi grafiğin çizilmesi gerektiği ileride anlatılacaktır. 7) Tanımlayıcı istatistikler ve istatistiksel analizlerin seçimi Araştırmada kullanılan tanımlayıcı istatistikler ve istatistiksel analizler verilere ve seçilen araştırma düzenine uygun olmalıdır. Bazı durumlarda ortanca (medyan) değer, aritmetik ortalama değerinden daha iyi bir ölçüm değeri olur. Bazı İstatistiksel Terimler Araştırmalarda kullanılan ortak bir terminoloji vardır. Bu terminolojide kullanılan bazı terimleri bu bölümde açıklamaya çalışacağız. Araştırmada veriler teksel gözlemlerden oluşmaktadır. Değişken (variable) Bireyden bireye veya zamandan zamana değişik değerler alan özelliklere değişken denir. Parametre (parameter) popülasyona ait sayısal özellikleri açıklar. Söz sayısal özellikler sabit sayılar olduğu için ölçümden ölçüme değişim göstermezler. Veriler (data set) herhangi bir bilimsel araştırma süresince toplanan gözlemler ve ölçümler için genel bir terimdir.  Rastgelelik (randomisation) belirli bir etki altında olmadan şansa bağlı olarak olayın gerçekleşmesi Örnek (sample), belirli bir yönteme göre elde edilmiş teksel gözlemler topluluğudur. Popülasyon (population) ise, aynı özellikteki bireylerin oluşturduğu topluluğa popülasyon denir. Sınırlı popülasyon ve sınırsız popülasyon olarak iki şekilde tanımlanabilir. Örneğin bir yıl içinde hastaneye müracaat eden malnütrisyonlu çocuklar Yanlı (bias) sonuçlardan veya gerçeklerden sapma Varyans (variance) rastgele bir değişkenin ortalama etrafındaki dağılımı, İleriye dönük çalışma(prospective study) bireylerin belirli bir süre içinde izlenerek yapılan bir tür araştırma şeklidir. Geriye dönük çalışma (retrospective study) : geriye dönük toplanan verilerden yararlanarak yapılan çalışmadır. Doğruluk (accuracy) ölçülen veya hesaplanan bir değerin gerçek değere yakınlığını belirten bir kavramdır. Doğrulamak (to confirm) Bir ölçümün doğru olduğunu söyleyebilmek için o değerin gerçek değerinin ne olduğunu bilmek gerekir. Hassasiyet (sensitivity) ise ayni büyüklüğün tekrarlamalı ölçüm veya hesaplama sonuçlarının birbirine yakınlığını ifade eden bir kavramdır.  İstatistik Bilim Dalı ve Bilim Adamları “Bilim tarihi, ikinci el materyalin öğretmenleri ve daha önce yapılan büyük keşiflerin oluşturduğu entelektüel atmosferin ve koşulların yok edilmesi sonucu, büyük ölçüde acı çekmektedir. İlk el çalışma her zaman daha öğreticidir ve sıklıkla… sürprizlerle doludur.” R.A.Fisher, 1955  Adolphe Quetelet Quetelet 1835 yılında yayınladığı yöntemlerle, istatistikte yeni bir dönemin başlangıcına neden olmuştur. İnsanın doğal yapısını ve olumsuz etkenleri inceleyen çalışması ile ortalama insan kavramını ilk kez tartışmıştır. Bin yedi yüz doksan altı (1796) yılında Belçika’da doğan Quetelet, sosyal istatistik konusunda ondokuzuncu yüzyılın en güçlü ismi olmuştur Quetelet; Bana göre, olasılık teorisi tüm bilim dalları için, özellikle de gözleme dayalı bilim dalları çalışmalarına temel oluşturmalıdır. (“It seems to me that the theory of probabilities ought to serve as the basis for the study of all the sciences, and particularly of the sciences of observation.”)  Adolphe Quetelet ’in araştırma sonuçları İlk uluslararası İstatistik konferansı 1853 yılında Quetelet başkanlığında gerçekleştirildi. Teorik ve uygulamalı istatistikte çok geniş etkileri olan kongrenin diğer sezonlarda başarılı bir şekilde devam etmiştir. Alçak gönüllü, cömert, inandırıcı, başkalarının görüşlerine önem veren, aynı zamanda sakin ve saygılı, öğrenmeye açık, konuşkan, gittiği her yerde arkadaş kazanan ve arkadaşlıklarını koruyan, zaman ve duruma göre davranan, olağanüstü çalışma becerisi olan, zeki ve kahkahalı bir kişiliğe sahipti.  Florance Nightingale’in öğretisi ve ilk Coxcomp grafiği Tutkulu bir istatistikçi Florance Nightingale ve William Farr Florance Nightingale’in birçok nedenden dolayı İstatistik tarihi ve grafiklerinde önemli bir yeri vardır. Tıpta reform oluşturan İstatistiksel verileri güçlü bir argüman şeklinde grafik ve diyagram olarak sunmuştur. Ona göre Tanrı dünyayı yaratmıştır ve bazı kurallara göre yönetmektedir. Uygun araştırmalarla bu kuralları hem sosyal hem de biyofiziksel alanlarda tanımlamak olasıdır. İstatistik teriminin tarihçesi İstatistik terimi; İstatistik bilim dalı, 18. yy dan önce doğdu. Devletin, bilim adamlarına daha doğru karar vermek için yöntemler geliştirilmesi gerektiğini istemesi, tüm bilimsel gelişmeler için bir başlangıç noktası olduğunu söylemek bir abartı olmaz. İstatistik terimi yeni latincede statisticum collegium ("council of state") devlet konseyi ve italyancada statista ("statesman" ) devlet adamı anlamında kullanılmıştır. İstatistik yöntemler için ilk kez Council of State, “Devlet Konseyi”, devletin danışma konseyi denmesi çok büyük bir anlamdır. Araştırıcı, karar vermede başarılı olması için istatistik yöntemleri öğrenmek zorundadır. Bu bir zorunluluktur. Doğru karar verme bir yetenek değildir. Öğrenilir bir davranıştır. Doğru karar vermenin en iyi yolu istatistik öğrenmektir. Bu durum için ülkemiz çok geç kalmıştır. Sonuç olarak istatistik Yeni Latince ve İtalyancadan türetilen bir terimdir. Biyoistatistik nedir? Biyoistatistik, istatistik bilim dalına ait bilimsel yöntemleri tıp alanı araştırmaları için geliştiren ve uygulamasını sağlayan bir bilim dalıdır. Bir anlamda Biyoistatistik, araştırma yöntem biliminin tıp alanı ile olan arakesitini oluşturur. Söz konusu arakesit gün geçtikçe genişlemektedir. Tıp otoriteleri, gelecekteki hekimlerin bilimsel gelişmenin gerisinde kalmamaları için daha çok istatistik yöntem öğrenmeleri gerektiğini ifade etmektedirler. Tıp alanı, İstatistik ve Bilgisayar gibi uygulamalı bilim dalları ile gün geçtikçe ileri adımlar atmaktadır. Tıp alanı olasılıkların önemli bir ölçüde önem kazandığı bir alandır. Biyoistatistik bilim dalı da olasılığın ölçülmesinde önemli yöntemler geliştirmiş bir bilim dalıdır. Bu nedenle hekimin teşhis ve tedavide kullandığı yöntem ve ilaçların olası iyileştirme veya iyileştirmeme durumunu ortaya çıkarması ve doğru kararın verilmesinde bilimsel yöntemlerle ortaya koyması gerekir Değişken türleri Değişik sınıflandırmalar olmakla beraber değişkenler; 1)Kantitatif veya ölçüm değişkenleri a)Sürekli değişkenler, b)Kesikli değişkenler 2)Kalitatif değişkenler ise; a)Özellik belirten, b)Sıralama değişkenleri (i- Aralık ve ii- Oransal) olarak sınıflandırılmaktadır.  Sürekli değişkenler ise, tam rakamlarla ifade edilen değişkenlerdir. Hasta sayısı, hücre sayısı, nabız, kardeş sayısı, ameliyat sayısı gibi buçuklu olarak ifade edilemeyen değişkenlerdir. Kalitatif değişkenler, kalite belirleyen değişkenler olarak da ifade edilebilir. Tanım veya isim içeren değişken türleridir. Özellik belirten değişken, kategorik değişken veya nominal değişken olarak bilinir. Örneğin göz rengi, saç rengi, cinsiyet gibi değişkenler özellik belirten değişkenler olarak ifade edilebilir. Sıralama değişkenleri ise, adı ile anıldığı gibi sıralama özelliği gösteren değişkenlerdir. Şaşırtıcı değişken Şaşırtıcı (confounding) değişken Şaşırtıcı değişkenin bağımlı ve bağısız değişkenleri bir şekilde etkilediği ve sonuçta yorumların yanlı yapılmasına neden olduğunu belirttik. Yukarıdaki örnekte altı yıl süresince zehirlenme vakaları dağılışını gösteren birinci grafik incelendiğinde, yıllar arttıkça zehirlenme vakalarının bir trent şeklinde arttığı görülmektedir. Ancak bu grafikte araştırıcı eğer zehirlenme olayları ile ilgili ciddi önlemlerin alındığını, konuyla ilgili merkezler kurulduğunu biliyorsa sonuçlarda bir yanlışlık olduğunu anlayacaktır. Yıllar, zehirlenme vakaları ve popülasyon dikkate alındığında, şaşırtıcı bir değişkenin varlığı anlaşılır.  Frekans Dağılışları Bir araştırmada elde edilen yığın verilerden anlamlı bir sonuç çıkarmanın ilk yolu, frekans tablosu ve frekans dağılışını elde etmektir. Kalitatif Değişkenlere Ait Frekans Tablosu ve Çubuk Grafik Kalitatif değişkene ait frekans tablosunu oluşturmak kolaydır. Yapılacak olan iş, her bir özelliğe ait gözlenen sayısal değerleri toplamak ve karşısına yazmaktır. Bu sayısal değerlere frekans adı verilir. Bu frekanslar genelde toplam bireylerin oranı olarak göreceli frekans şeklinde verilmektedir Kantitatif Değişkenlerin Frekans Dağılışları Çubuk Grafik, Histogram ve Frekans Poligonu Kantitatif (ölçüm) değişkenlerin kesikli ve sürekli olmak üzere ikiye ayrıldıkları daha önce söz edilmişti. Gözlem sayısı 20'den fazla olduğu durumda bu değişkenleri frekans dağılışı Yaşı 16 olan 30 genç bireyin kardeş sayıları şeklinde sunmak faydalı olur. 3 1 3 2 2 1 1 3 1 1 5 3 3 2 0 4 2 1 2 5 3 1 2 2 1 1 2 4 2 1  Şimdide sürekli değişkenlerin frekans dağılışını, histogram ve frekans poligonu şeklinde nasıl gösterileceklerini görelim. Hemen şunu belirtelim ki, sürekli değişkenlerin frekans dağılışlarını bulmak diğerlerine göre daha çok dikkat ister. Aşağıdaki Tablo’da 0.1/100 hassasiyetle ölçülmüş 70 kişinin 15 puan üzerinden aldıkları puanlar verilmiştir. Bu değerler dikkate alınarak frekans dağılış tablosu verilmiştir. 9.5 9.7 11.1 11.2 11.4 12.0 12.7 10.2 13.7 10.4 14.9 11.5 12.0 11.0 13.3 12.9 12.1 9.4 13.2 10.8 11.7 10.6 10.5 13.7 11.8 14.1 10.3 13.6 12.1 12.9 11.4 12.7 10.6 11.4 11.9 9.3 13.5 14.6 11.2 11.7 10.9 10.4 12.0 12.9 11.1 8.8 10.2 11.6 12.5 13.4 12.1 10.9 11.3 14.7 10.8 13.3 11.9 11.4 12.5 13.0 11.6 13.1 9.7 11.2 15.1 10.7 12.9 13.4 12.3 11.0 14.6 11.1 13.5 10.9 13.1 11.8 12.2 Puanlara ait frekans dağılışı Sınıf aralıkları Tarama Frekans Oran (gr/100ml) 8-8.9 I 1 0.013 9-9.9 IIIII 5 0.065 10-10.9 IIIII IIIII IIII 14 0.182 11-11.9 IIIII IIIII IIIII IIIII II 22 0.286 12-12.9 IIIII IIIII IIIII I 16 0.208 13-13.9 IIIII IIIII III 13 0.169 14-14.9 IIIII 5 0.065 15-15.9 I 1 0.013 Toplam 77 100 Tablo’da verilen frekans dağılışında ilk sütunu sınıflar oluşturmaktadır. Örneğin 11-11.9 sınıfı, 11.0 ile 11.9 gr/100 ml arasındaki ölçüm değerlerinin tümünü içermektedir. Bu sınıfta yer alan kişilere ait puan değeri sayısı 19' dur. Frekans dağılışını hazırlamadan önce yapılacak olan ilk iş, toplam gözlem sayısını, en küçük ve en yüksek değerleri saptamaktır. Bu duruma göre, sınıflandırmanın yapılıp yapılamayacağı ve hangi sınıf aralığının kullanılacağına karar verilir. Araştırıcı, örnek hacmine bağlı olarak 5-20 arasında sınıf yapmaya karar vermelidir. Sınıf aralığı bilginin çok kaybolmayacağı ve kötü bir dağılışa neden olmayacağı şeklinde belirlenmelidir. Sınıf aralığının çok geniş alındığında ayrıntılı bilginin kaybolacağı, çok dar alındığında ise, dağılışın derli toplu bir dağılış olmaktan çıkacağı unutulmamalıdır.  Dağılışın şeklini görmek için sürekli değişkenler için kullanılan histogram veya frekans poligonundan yararlanmamız gerekir. Hemoglobin verileri için histogram Şekil’de verilmiştir. Histogram frekans veya oranlar dikkate alınarak çizilebilir. Her iki durumda da histogramın şeklinde bir değişiklik olmaz. Yagın görülen frekans şekilleri Frekans Dağılış Şekilleri Frekans poligonları sınırlandırılmayacak kadar değişik sayıda olabilir. Ancak birçok istatistik yöntemler normal dağılış eğrisini varsayım olarak kabul ederler. Frekans dağılışları arasında en yaygın olanları göstermektedir. Şekilde görülen her üç eğride, en çok frekans merkezde toplanmış ve en düşük frekanslar ise her iki uçta toplanmıştır. Birinci şeklin (a) 'daki dağılış merkeze göre simetrik olan normal dağılış eğrisidir. Simetrik olmayan diğer iki eğri ise çarpık dağılıştır. Şekil (b) ile verilen dağılış pozitif yöne doğru veya sağa doğru eğri dağılış olarak tanınır. Şekil (c)'de ki dağılış ise negatif yöne doğru eğri veya sola doğru eğri olan bir dağılış olarak bilinir.  Şekil 2.25 Pay-alan ve çubuk grafikleri Pay-alan grafiği, kategorik verileri veya farklı değerlere sahip (oran dağılımı) bir değişkenin dağılımını görsel olarak özetleyen bir grafik şeklidir. Bu tür bir grafik yuvarlak bir alanın kategori dikkate alınarak, bir seri bölümlere ayrılması ile gerçekleştirilir.